М. И. Штогрин, “О выпуклом многограннике в правильной системе точек”, Изв. РАН. Сер. матем., 86:3 (2022), 187–226; Izv. Math., 86:3 (2022), 586

Аннотация: Огранка с “начинкой”. Идеальная кристаллическая структура состоит из конечного числа равных и параллельных трансляционных точечных решеток. В $\mathbb R^3$ она простирается неограниченно во всех направлениях. Выделим в ней конечную часть, расположенную в замкнутом выпуклом многограннике, каждая грань которого содержит не принадлежащие одной прямой узлы трансляционной точечной решетки, входящей в структуру. Такой многогранник называют возможной огранкой идеальной кристаллической структуры.
Широко известны 32 кристаллических класса, или 32 кристаллографические точечные группы. Среди них находится группа симметрии возможной огранки, вычисленная с учетом принадлежащих ей узлов идеальной кристаллической структуры. Циклическая подгруппа $C_n$ группы симметрии любой возможной огранки имеет порядок $n\le 4$ или $n=6$.
Огранка без “начинки”. В настоящей работе построены две кристаллические структуры, в каждой из которых имеется такой кристаллический многогранник, группа симметрии которого, вычисленная без учета принадлежащих ему узлов кристаллической структуры, обладает поворотной осью порядка $n=8$ или $n=12$ соответственно. В обоих случаях кристаллический многогранник является прямой призмой конечной высоты. Без учета внутреннего строения возможная огранка кристаллической структуры в трехмерном евклидовом пространстве не может обладать поворотной осью другого порядка $n$ при условии $6<n<\infty$.
Предлагаемые построения сопровождаются подробными исследованиями идеальных кристаллических структур, а также множеств Делоне $S$ типа $(r, R)$ в $\mathbb R^2$ и $\mathbb R^3$. В частности, предъявлено развернутое доказательство одной из теорем, сформулированной в 2010 г. на Международной конференции, посвященной 120-летию со дня рождения Б. Н. Делоне.
Библиография: 31 наименование.

Следствия могут обладать более высокой симметрией, чем вызвавшие их причины. Пьер Кюри

Введение

С основными понятиями и фактами из области кристаллографии можно ознакомиться в [1] или [2]. Яркие откровения по геометрической кристаллографии имеются в [3]–[5]. Однако те факты и понятия, которые необходимы, ниже подробно освещены.

Говоря о внутреннем строении кристалла, его мысленно продолжают до бесконечности по всем направлениям в $\mathbb R^3$. В итоге получают так называемый идеальный кристалл. Его группа совмещений с собой обладает конечной фундаментальной областью и называется фёдоровской группой. В пространстве $\mathbb R^3$ существуют всего 230 фёдоровских групп.

Геометрию глобального внутреннего устройства кристаллической структуры раскрывает следующая теорема Шёнфлиса: каждая фёдоровская группа $G$ содержит абелеву подгруппу $T$ конечного индекса. Это подгруппа трансляций, или группа параллельных переносов. Факторгруппа $G/T$ изоморфна конечной группе вращений, которая входит в 32 кристаллических класса. Именно она числится группой симметрии внешней формы кристалла.

Орбита точки пространства относительно фёдоровской группы состоит из конечного числа равных и параллельных трансляционных точечных решеток, см. [6]. В свою очередь, идеальная кристаллическая структура состоит из конечного числа орбит. Значит, она состоит из конечного числа равных и параллельных трансляционных точечных решеток.

Трансляционные точечные решетки, входящие в состав идеальной кристаллической структуры, вообще говоря, не равноправны. Напротив, трансляционные точечные решетки, входящие в состав правильной системы точек, или орбиты точки пространства относительно фёдоровской группы, всегда равноправны. Они равны и параллельны друг другу. Параллельный перенос, при котором трансляционная точечная решетка переходит в себя, принадлежит фёдоровской группе, транзитивно действующей на точках правильной системы. Однако параллельный перенос, при котором одна трансляционная точечная решетка из правильной системы точек переходит в другую, не принадлежит фёдоровской группе; движение из фёдоровской группы, при котором одна трансляционная точечная решетка из правильной системы точек переходит в другую, не является параллельным переносом.

В пространстве $\mathbb R^3$ зафиксируем три некомпланарных вектора $\mathbf{e}_1$, $\mathbf{e}_2$, $\mathbf{e}_3$ с общим началом в точке $O\in \mathbb R^3$. Все точки пространства $\mathbb R^3$ с целыми координатами в репере $O\mathbf{e}_1\mathbf{e}_2\mathbf{e}_3$ составляют точечную решетку $\Lambda$. Если плоскость $\mathbb R^2\subset\mathbb R^3$ пересекает решетку $\Lambda\subset\mathbb R^3$ по подрешетке, основной репер которой состоит из двух неколлинеарных векторов, выходящих из одного общего узла, то эту подрешетку называют сеткой решетки $\Lambda$.

В классической кристаллографии кристалл принято представлять в виде конечной вырезки из идеальной кристаллической структуры. Вырезка имеет вид замкнутого выпуклого многогранника. По законам кристаллографии плоскость каждой грани многогранника содержит сетку трансляционной точечной решетки из кристаллической структуры.

“Между внутренним строением кристалла и его внешней формой существует вполне определенная связь: грани кристалла соответствуют плоским сеткам, ребра – рядам пространственной решетки, имеющим наибольшую ретикулярную плотность. Под ретикулярной плотностью понимается число узлов, приходящихся на единицу площади плоской сетки или единицу длины ряда пространственной решетки”, см. [7; гл. 1, § 1.2, п. 1.2.2].

Нормаль к грани кристаллического многогранника не обязана иметь рациональное направление в трансляционной решетке. Однако в решетке, обратной к основной, эта нормаль всегда имеет рациональное направление. Координаты примитивного вектора с этим направлением суть взаимно простые целые числа, которые называют индексами Миллера. При этом “индексы грани не только целые, но и малые числа”, см. [8; гл. I, § 12].

Возможная огранка – это простая форма, см. [9]–[12], или комбинация простых форм. Простой формой называют многогранник, все грани которого можно получить из одной с помощью элементов симметрии многогранника. Существуют 47 простых форм. Количество граней в простой форме и их взаимное расположение зависит не только от группы симметрии, но и от позиции исходной грани по отношению к элементам симметрии. Наибольшее количество граней имеют простые формы, грани которых занимают самое общее положение в пространстве по отношению к элементам симметрии. Их называют общими простыми формами.

При достаточно малом изменении позиции исходной грани простая форма остается общей, но это не означает, что позицию исходной грани можно менять непрерывно. В самом деле, простая форма тесно связана с трансляционной точечной решеткой, обладающей фиксированными значениями ее метрических параметров. Нормаль к плоскости грани простой формы должна быть направлена вдоль вектора решетки, обратной к основной трансляционной решетке. Она имеет небольшие целые координаты – индексы Миллера.

Обратимся к некоторым конкретным примерам простых форм, см. [12]. Дитетрагональная призма не может быть правильной 8-угольной призмой, а дигексагональная призма не может быть правильной 12-угольной призмой, так как иначе имелись бы нормали к граням призмы с иррациональными направлениями в решетке, обратной к основной трансляционной точечной решетке, а реально они должны быть рациональными. По этой же причине пентагондодекаэдр не может быть правильным додекаэдром.

В некоторых случаях симметрия огранки может оказаться богаче точечной группы кристалла. Это может произойти, например, при специальных параметрах трансляционной точечной решетки: дитригональная призма вполне может оказаться гексагональной; однако ее группа симметрии все же вошла в 32 кристаллических класса.

Возникает следующий вопрос: можно ли увеличить группу симметрии огранки не при изменении параметров трансляционной точечной решетки, а при изменении взаиморасположения трансляционных решеток, входящих в данную структуру, при котором группа симметрии огранки (как многогранника) не входит в 32 кристаллических класса?

Возможная огранка идеального кристалла представляет собой простую форму или комбинацию простых форм. Те грани, которые принадлежат одной и той же простой форме, обладают одинаковыми физическими и химическими свойствами. Сетки, расположенные в плоскостях граней одной и той же простой формы, конгруэнтны между собой, следовательно, они имеют одну и ту же ретикулярную плотность. Но мы не будем учитывать, равны ли плотности сеток в плоскостях конгруэнтных граней или нет.

Основная цель настоящей работы состоит в том, чтобы выяснить, может ли возможная огранка, как обычный выпуклый многогранник, взятый сам по себе, обладать более богатой группой симметрии, при которой грани различных простых форм, составляющих огранку, могут стать эквивалентными. При этом возможная огранка может быть комбинацией простых форм в любом их количестве, даже равном числу всех граней огранки.

§ 1. Основной результат

Внешняя форма идеального кристалла тесно связана с его внутренним строением. Возможные грани кристалла соответствуют плоским сеткам пространственных решеток, входящих в кристаллическую структуру. Эти сетки имеют достаточно большую ретикулярную плотность, как правило, наибольшую. Под ретикулярной плотностью сетки понимается число узлов, приходящихся на единицу площади. Ограниченный возможными гранями замкнутый выпуклый многогранник – это возможная огранка или возможный кристаллический многогранник.

В кристаллографии при вычислении группы симметрии огранки всегда учитывают положения узлов кристаллической структуры в огранке (с “начинкой”).

Ниже группа симметрии возможной огранки вычислена без учета положения узлов кристаллической структуры в предполагаемой огранке (без “начинки”).

При этих условиях мы построим специальную кристаллическую структуру, которая обладает возможной огранкой с поворотной осью порядка $n=8$ или $n=12$.

При поиске порядка оси вращения многогранника мы будем пользоваться лишь тем, что нормаль к грани многогранника является вектором решетки, обратной к основной трансляционной решетке из кристаллической структуры. Положение узлов кристаллической структуры, принадлежащих возможной огранке, мы учитывать не будем.

Основания двух таких призм вместе с узлами мультисетки изображены на рис. 1 и рис. 2, о чем подробно будет сказано ниже в § 7 (см. предложения 10 и 13), в § 10 и § 12.

§ 2. Пространственная трансляционная решетка

В трехмерном евклидовом пространстве рассмотрим произвольный параллелепипед. Построим разбиение пространства на параллельные ему параллелепипеды, в котором смежные параллелепипеды пересекаются по целым граням. Такое разбиение мы называем нормальным. Любая точка пространства принадлежит хотя бы одному параллелепипеду разбиения. Достаточно малая окрестность точки пространства $\mathbb R^3$ принадлежит только:

1) одному параллелепипеду, если точка находится внутри него;

2) двум параллелепипедам, если точка расположена внутри грани;

3) четырем параллелепипедам, если точка находится внутри ребра;

4) восьми параллелепипедам, если точка расположена в вершине.

Вершины этого разбиения составляют трансляционную точечную решетку. Точки решетки, или узлы, составляют дискретную систему точек в $\mathbb R^3$.

Различные задачи в области решеток рассматривались в [10], [13]–[16].

Пусть ребра параллелепипеда, выходящие из одной вершины, являются единичными отрезками координатных осей с началом в этой вершине. Тогда все вершины разбиения и только они будут иметь целочисленные координаты. Таким образом, трансляционная точечная решетка в $\mathbb R^3$ может быть определена как совокупность точек с целочисленными координатами в репере, который называют основным репером решетки.

Решетка обладает свойством параллельной переносности. Если взять вектор с началом и концом в точках решетки, то параллельный ему вектор с началом в точке решетки будет иметь конец в точке этой же решетки. Перенос решетки на вектор, обладающий целочисленными координатами в основном репере, совмещает решетку с собой.

Доказательство. Если узлы расположены на одной прямой и расстояние между ближайшими узлами рационально, то рациональны расстояния между любыми узлами решетки на этой прямой.

Пусть узлы не расположены на одной прямой. Тогда существует параллелограмм с вершинами в узлах решетки. Пусть длины его сторон рациональны. Тогда при гомотетии с центром в вершине параллелограмма и коэффициентом гомотетии, равным общему знаменателю длин его сторон, получим новый параллелограмм с вершинами в узлах решетки, длины сторон которого являются целыми. Умножив длину каждой стороны на длину смежной стороны, опять получим параллелограмм с вершинами в узлах решетки. Его стороны равны. Значит, это ромб. Диагонали ромба ортогональны. Рассмотрим прямоугольник с вершинами в узлах решетки, стороны которого равны и параллельны диагоналям ромба. Пусть длины сторон прямоугольника рациональны. Тогда поступим с прямоугольником так, как с параллелограммом. Получим квадрат с вершинами в узлах решетки. Если длина стороны квадрата рациональна, то длина диагонали иррациональна. Предложение доказано.

Доказательство. Треугольник и шестиугольник имеются в гексагональной решетке. Квадрат имеется в квадратной решетке. Докажем, что в $\mathbb R^d$, $d\geqslant 2$, при $n=5$ и $n\geqslant 7$ нет плоского правильного выпуклого $n$-угольника с вершинами в узлах заданной решетки. От противного. Пусть он имеется. Тогда его вершины, взятые через две, соединим отрезками. Все такие отрезки параллельны сторонам. Они ограничивают $n$-угольник, гомотетичный исходному при $n\geqslant 7$ или центрально симметричный с гомотетичным исходному при $n=5$, с коэффициентом гомотетии $k<1$. Каждая вершина нового $n$-угольника, как четвертая вершина ромба, построенного на смежных сторонах исходного $n$-угольника, принадлежит решетке. С новым $n$-угольником можно поступить точно так же, повторяя это вновь и вновь. Однако этот процесс нельзя продолжать неограниченно, так как в исходном плоском $n$-угольнике имеется лишь конечное число узлов решетки. Предложение доказано.

Первоначальное доказательство предложения 3 опиралось на следующий результат из [10]: для любой трансляционной точечной решетки в $\mathbb R^3$ порядок ее поворотной оси не больше $6$ и не равен $5$. Н. Ю. Ероховец обратил внимание автора на то, что использование порядка поворота оси решетки является излишним. Благодаря этому, наоборот, в силу предложения 3 получаем ограничение для порядка $n$ поворотной оси решетки: $n\leqslant 6$ и $n\ne 5$.

Следуя [13], рассмотрим в $\mathbb R^3$ рациональногранный, в частности, целочисленный многогранник. Остановимся на последнем из них. Его вершины имеют целые координаты. Значит, вершины многогранника принадлежат трансляционной точечной решетке.

Доказательство. Одну из вершин многогранника $M$ соединим прямолинейными отрезками со всеми остальными его вершинами. Получим базисную совокупность векторов с общим началом. Рассмотрим всевозможные линейные комбинации векторов базисной совокупности, взятые с коэффициентами из $\mathbb Z$. Каждый вектор линейной комбинации имеет целые декартовы координаты. Концы всех этих векторов составляют дискретную систему точек. Очевидно, что это параллельно переносная система точек, т. е. решетка, обозначим ее через $\Lambda$. Эта решетка является редчайшей среди всех решеток, которым принадлежат все вершины многогранника $M$. Она не зависит от того, какая вершина многогранника $M$ была выбрана за начало векторов базисной совокупности. Группа поворотов пространства, совмещающих $M$ с собой, совмещает с собой точечную решетку $\Lambda$, см. [13]. Предложение доказано.

§ 3. Переход от мультирешеток к системам Делоне

Пространственная точечная решетка в $\mathbb R^3$ центрально-симметрична с центром симметрии в точке решетки и в середине отрезка с концами в точках решетки.

Если имеется поворот пространства вокруг обычной или винтовой оси, совмещающий точечную решетку с собой и не оставляющий ни одной ее точки на том же месте, то имеется обычный поворот вокруг параллельной оси на тот же угол, совмещающий решетку с собой и оставляющий хотя бы одну ее точку на том же месте. В самом деле, если каждая точка решетки заняла новое положение, то посредством параллельного переноса, совмещающим решетку с собой, одно из новых положений точки решетки можно вернуть в старое положение. Тогда результирующий поворот будет вокруг старого положения точки решетки.

Трехмерная решетка не обладает обычной поворотной осью циклической группы $C_8$ или $C_{12}$, см. предложение 3. Отсюда следует, что она не обладает зеркально-поворотной осью группы $S_8$ или $S_{12}$. В самом деле, если бы точечная решетка обладала зеркально-поворотной осью группы $S_8$ или $S_{12}$, то такая же ось оставляла бы на том же месте ее узел $O$. Зеркальный поворот на угол $5\pi/4$ или $7\pi/6$, а затем центральная симметрия в точке $O$ совместно составили бы обычный поворот восьмого или двенадцатого порядка соответственно, который трехмерная решетка не допускает.

Кроме того, трехмерная решетка не обладает группами $D_{4d}$ и $D_{6d}$ [17]. Доказывается от противного. Пусть пространственная трансляционная точечная решетка совмещается с собой всеми элементами группы $D_{nd}$ при $n=4$ или $n=6$. Тогда все лучи, выходящие из узла решетки в направлении осей второго порядка, ортогональных оси порядка $n$, являются эквивалентными относительно группы $D_{nd}$. На этих лучах имеются эквивалентные узлы решетки (см. следствие из предложения 7 ниже), являющиеся вершинами правильного $2n$-угольника при $n=4$ или $n=6$, что невозможно в силу предложения 3.

Исходя из основного эмпирического закона Гаюи, раскрывающего геометрию огранки кристалла, в [10] были найдены все $32$ кристаллических класса (кристаллографические точечные группы). Любая конечная группа изометрий пространства, совмещающих трансляционную решетку с собой, называется кристаллографической точечной группой.

Как оказалось, уже в 1830 г. И. Гессель дал первый вывод $32$ кристаллографических точечных групп, но волей случая его вывод долго оставался незамеченным.

Группа всех поворотов пространства вокруг точки решетки, совмещающих решетку с собой, называется голоэдрией. В $\mathbb R^3$ существуют $32$ кристаллографические точечные группы, среди которых имеются семь различных голоэдрий. Некоторые голоэдрии имеют целочисленно неэквивалентные представления в виде групп целочисленных $(3\times 3)$-матриц. Если представления голоэдрий целочисленно эквивалентны, то решетки относят к одному типу Браве. Существуют $14$ типов Браве трансляционных решеток в $\mathbb R^3$. Среди групп этих решеток и их подгрупп конечного индекса содержатся все $230$ фёдоровских групп.

Наличие группы параллельных переносов является характерным свойством идеального кристалла. Наиболее простой идеальный кристалл представляется в виде орбиты точки пространства относительно фёдоровской группы, или в виде правильной системы точек, см. [6]. По теореме Шёнфлиса фёдоровская группа имеет подгруппу параллельных переносов. В [18] дано упрощение доказательства теоремы Шёнфлиса, но в пространственном случае доказательство не такое простое, как в плоском. Если же в качестве элемента симметрии фёдоровской группы имеется центральная симметрия в некоторой точке пространства $\mathbb R^3$, то в духе [19] доказательство теоремы Шёнфлиса становится элементарным.

В самом деле, пусть центральная симметрия в точке $A_0$, где $A_0\in\mathbb R^3$, является элементом симметрии фёдоровской группы $G$. Тогда центральная симметрия в любой точке, принадлежащей орбите точки $A_0$ относительно группы $G$, также является элементом симметрии группы $G$. Теперь осталось воспользоваться тем, что представитель этой орбиты имеется в каждой фундаментальной области группы $G$. А именно, эта орбита содержит точку $A_1$ в фундаментальной области, которой не принадлежит точка $A_0$. Далее, эта орбита содержит точку $A_2$ в фундаментальной области, которая не пересекает прямую, проходящую через точки $A_0$ и $A_1$. Наконец, эта орбита содержит точку $A_3$ в фундаментальной области, которая не пересекает плоскость, проходящую через точки $A_0$, $A_1$ и $A_2$. Произведение централных симметрий в точках $A_0$ и $A_i$, $i=1, 2, 3,$ представляет собой параллельный перенос $\mathbf{t}_i$, $|\mathbf{t}_i|=2|A_0A_i|$. Полученные три переноса $\mathbf{t}_1$, $\mathbf{t}_2$, $\mathbf{t}_3$ некомпланарны, а их целочисленные комбинации состаляют группу параллельных переносов. Все параллельные переносы из $G$ составляют группу параллельных переносов. Эта группа имеет конечный индекс в $G$.

Произвольная кристаллическая структура состоит из орбит конечного числа точек пространства $\mathbb R^3$ относительно одной и той же фёдоровской группы. Уникальным обобщением кристаллической структуры является широко применяемое множество Делоне $S\subset\mathbb R^3$ типа $(r, R)$. Не одним этим понятием мог гордиться его создатель [20].

Н. П. Долбилин посвятил свои исследования [19] точечным множествам Делоне в евклидовом пространстве произвольной размерности. Ограничимся здесь размерностью $3$. Пусть каждая точка некоторого множества Делоне является центром симметрии этого множества. Тогда четыре центра симметрии $A_0$, $A_1$, $A_2$, $A_3$ множества Делоне, не расположенные в одной плоскости, порождают группу параллельных переносов, совмещающих множество Делоне с собой. Следовательно, данное множество Делоне представляет собой кристаллическую структуру. Каждая прямая, содержащая две точки этого множества Делоне, пересекается с ним по одномерной точечной решетке. Однако вопреки высказанному предположению М. Д. Ковалёва, такое множество Делоне не обязано быть трансляционной точечной решеткой.

В самом деле, все вершины квадратной решетки в евклидовой плоскости вместе с серединами всех сторон основных квадратов из этой решетки (середины сторон основного квадрата суть вершины меньшего квадрата, а середины сторон всех основных квадратов составляют вдвое более густую квадратную решетку) задают точечное множество Делоне. Для него каждая его точка является центром симметрии этого множества. Каждая прямая, содержащая две точки этого множества, очевидно, пересекается с ним по одномерной точечной решетке. Однако это множество не является решеткой (в связи с отсутствием в нем центров основных квадратов исходной квадратной решетки). Все антиподальные множества Делоне для евклидова пространства произвольной размерности были найдены в [21].

В тезисах [22] для множества Делоне $S\subset\mathbb R^3$ типа $(r, R)$ с конгруэнтными кластерами $S_X(2R)=S\cap B_X(2R)$ во всех точках $X\in S$ доказано, что порядок $n$ локальной оси $C_n$ из группы $H_X(2R)$, состоящей из изометрий кластера $S_X(2R)$, не превышает $6$. Эта принципиальная оценка порядка оси получена без наличия трансляционной точечной решетки, для несчетного множества таких систем Делоне.

Долбилин высказал гипетезу о том, что порядок этой оси не равен $5$.

Теорема Штогрина об ограниченности порядка локальных осей во множестве Делоне $S\subset\mathbb R^3$ типа $(r, R)$ с эквивалентными $2R$-кластерами явилась исходным пунктом для доказательства верхней оценки $10R$ радиуса регулярности для множеств Делоне в трехмерном евклидовом пространстве (см. [23]). В процессе доказательства Долбилин [24] вывел теорему о том, что в совершенно произвольном множестве Делоне $S\subset\mathbb R^3$ найдется хотя бы одна точка $X\in S$, такая, что порядок оси группы $H_X(2R)$ не превышает $6$, откуда немедленно следует это же ограничение в случае множества Делоне с эквивалентными $2R$-кластерами. Позднее Долбилин усилил этот результат, доказав, что в любом множестве Делоне подмножество точек $X$, для которых порядок оси в группе $H_X(2R)$ не превосходит 6, само является множеством Делоне с некоторым другим значением параметра $R'$ $(\geqslant R)$ [25].

Особенность работ [24], [25] состоит в том, что из теорем, доказанных там для совершенно произвольных множеств Делоне, следуют важные содержательные утверждения для гораздо более узкого класса множеств Делоне, а именно, множеств с эквивалентными $2R$-кластерами. В том же духе в [25] высказана вторая гипотеза Долбилина: в любом множестве Делоне $S\subset\mathbb R^3$ типа $(r, R)$ подмножество тех точек, в которых группа $H_X(2R)$ является одним из 32 кристаллических классов, само является множеством Делоне. Эта гипотеза Долбилина является похоже максимально возможным обобщением знаменитой теоремы о невозможности пятиугольной симметрии в трехмерной решетке. В самое последнее время Долбилин и Штогрин доказали двумерный аналог этой гипотезы, а также получили ряд других результатов относительно локальных групп в произвольном множестве Делоне [26].

§ 4. Доказательство анонсированной в [22] теоремы 2

В тезисах Международной конференции, посвященной 120-летию со дня рождения Б. Н. Делоне, были анонсированы [22] следующие две теоремы.

Н. П. Долбилин обратил внимание автора на отсутствие в [22] должного доказательства теоремы 2, а также на то, что “локально правильная система Делоне”, взятая из [13; гл. 2, § 2, п. 1], может быть неверно истолкована. В действительности под этой системой мы понимаем множество Делоне $S\subset\mathbb R^3$ типа $(r, R)$ с конгруэнтными паучками $P_A(2R)$ во всех $A\in S$.

Завершение доказательства теоремы 2 фактически сводится к построению в $\mathbb R^3$ разбиения Делоне для $(r, R)$-системы $S$ с конгруэнтными паучками $P_A(2R)$ и с условием, что порядок поворотной оси $a$ из группы $H_A(2R)$ изометрий паучка $P_A(2R)$ в $\mathbb R^3$ равен $6$.

Кстати сказать, здесь $R$ является радиусом покрытия пространства $\mathbb R^3$ равными замкнутыми шарами $B_A(R)$ с центрами во всех точках $A\in S$, а $r$ является диаметром равных открытых шаров $\operatorname{int}B_A(r/2)$ с центрами во всех $A\in S$, составляющих упаковку в пространстве $\mathbb R^3$. Предложение 14, известное в теории конечных групп изометрий пространства $\mathbb R^3$ и доказанное в тексте настоящей статьи, подтверждает, что локальная поворотная ось $a$, порядок которой равен $6$, является единственной в группе $H_A(2R)$.

В доказательстве теоремы 1 локальная ось $a$ имеет порядок $n>6$. Поэтому наименьшее $\rho_*$, при котором векторы паучка $P_A(\rho_*)$ неколлинеарны, больше $r$, т. е. $\rho_*>r$.

В теореме 2 ось $a$ имеет порядок $n=6$, а наименьшее $\rho_*$, при котором векторы паучка $P_A(\rho_*)$ неколлинеарны, может быть либо больше $r$, либо равно $r$, т. е. $\rho_*\geqslant r$.

В любом случае в паучке $P_A(\rho_*)$ для не коллинеарного $a$ отрезка $AB$, $A\in a$, $|AB|=\rho_*\leqslant 2R$, воспользуемся рассуждениями из доказательства теоремы 1. При $|NA|\ne 0$ получаем противоречие, так как паучки $P_A(\rho_*)$ и $P_B(\rho_*)$ не конгруэнтны.

В дальнейшем будем предполагать, что $|NA|=0$, следовательно, отрезок $AB$ ортогонален единственной в $H_A(2R)$ поворотной оси $a$ порядка $6$.

Приступаем к подробному изложению доказательства теоремы 2.

Размножим отрезок $AB$ всеми поворотами вокруг локальной оси $a$. В плоскости $p$, ортогональной локальной оси $a$, получим плоскую звезду $\operatorname{st}A$ (в обозначении плоской звезды использована прописная буква $\mathrm{s}$), состоящую из шести правильных треугольников, обладающих общей вершиной $A$. В звезде $\operatorname{st}A$ выделим треугольник $\Delta$ с вершинами $A$, $B$, $C$ (из множества $S$) и сторонами $|AB|=|BC|=|CA|=\rho_*$.

В звезде $\operatorname{st}A$ имеются два треугольника, смежные по стороне $AB$. Значит, в вершине $B$ сходятся три стороны длины $\rho_*$, принадлежащие этим двум треугольникам.

В силу конгруэнтности локальных паучков $P_A(2R)$ во всех $A\in S$, в вершине $B$, расположенной на краю звезды $\operatorname{st}A$, имеется звезда $\operatorname{st}B$, конгруэнтная звезде $\operatorname{st}A$.

Разбиение плоскости $p$ на правильные треугольники, конгруэнтные треугольнику $\Delta$ с вершинами $A$, $B$, $C$ и сторонами $|AB|=|BC|=|CA|=\rho_*$ и смежные по целым сторонам, является разбиением Делоне для плоской гексагональной решетки, построенной на основном треугольнике $\Delta$. Стороны правильных треугольников являются ребрами разбиения. Вершины правильных треугольников являются узлами гексагональной решетки.

Доказательство. В предполагаемой гексагональной решетке радиусы звезды $\operatorname{st}A$ составляют предстабильный паучок $P_A(\rho_*)$. По лемме 2 в точке $B$ однозначно определяется локальная ось $b$ порядка $n=6$, ортогональная плоскости $p$. Примыкающие к $B$ два треугольника являются частью звезды $\operatorname{st}B$, иначе получилось бы противоречие. Поворотами вокруг локальной оси $b$ примыкающие к точке $B$ два треугольника однозначно достраиваются до звезды $\operatorname{st}B$. С центрами во всех остальных вершинах на краю звезды $\operatorname{st}A$ имеются точно такие же звезды. Соединим $A$ со всеми вершинами этих звезд. В плоскости $p$ получим стабильный паучок $P_A(\rho_*+2R)$, $\rho_*=R\sqrt{3}<2R$. Здесь $R$ – радиус покрытия плоскости $\mathbb R^2=p$ равными кругами с центрами в точках предполагаемой плоской гексагональной решетки, которая в целом однозначно задается этим стабильным паучком.

Как разбиение $(3^6)$, она однозначно задается предстабильным паучком – частью локального паучка $P_A(2R)$. В итоге по звезде $\operatorname{st}A$ однозначно построена расположенная в $p$ гексагональная решетка, выявленная в [22]. В плоскости $p$ имеется примитивный треугольник $\Delta$ гексагональной решетки. Это правильный треугольник с вершинами $A$, $B$, $C$ и сторонами $|AB|=|BC|=|CA|=\rho_*$. Локальные оси $a$, $b$, $c$ в вершинах $A$, $B$, $C$ соответственно являются образующими группы изометрий плоскости $p$, транзитивной на узлах плоской гексагональной решетки. Саму гексагональную решетку теперь можно представить в виде пересечения $p\cap S$. В силу леммы 1 в плоскости $p$ нет других точек из $S$. Лемма доказана.

Следовательно, треугольник $\Delta$ является гранью многогранника Делоне [20]. Более того, в силу доказанной пустоты шара в $\mathbb R^3$ получаем $\rho_*/\sqrt{3}<R$, или $\rho_*<R\sqrt{3}$.

Шар в $\mathbb R^3$ достаточно малого радиуса, касающийся плоскости $p$ в точке $A$, содержит лишь одну точку $A$ из $S$. Сохраняя точку $A$ на поверхности шара, будем отодвигать его центр от плоскости $p$. Оставаясь внутри пустым от точек из $S$, касающийся плоскости $p$ в точке $A$ шар, наконец, впервые наткнется на хотя бы одну “новую” точку из $S$. В этот момент радиус шара, очевидно, не превышает радиуса покрытия $R$, а принадлежащая ему новая точка из $S$, быть может, не единственная, не расположена в плоскости $p$.

Таким же шаром, центр которого расположен с противоположной стороны от плоскости $p$, достигается другая новая точка из $S$. Обе новые точки из $S$ расположены с разных сторон от $p$ и принадлежат шару $B_A(2R)$, значит, принадлежат кластеру $S_A(2R)$.

Рассмотрим объединение локальных множеств $S_X(2R)$ при всех $X\in p\cap S$. Удалим из него все точки множества $p\cap S$. В множестве $S$ получим подмножество точек, расположенных по разные стороны от плоскости $p$, которое обозначим через $\mathcal M$:

Доказательство. Из $A'\in\mathcal M$ следует, что $A'\in S_X(2R)$, где $X\in p\cap S$, $A'\notin p$, $|A'X|\leqslant 2R$. Шар $B_{A'}(2R)$ содержит точку $X$. Поэтому пересечение множеств $S_{A'}(2R)$ и $p\cap S$ не пусто. В этом непустом множестве имеется точка, ближайшая к $A'$, которая обозначена через $A$. Так как $A$ ближайшая к $A'$, то $|A'A|\leqslant|A'X|$. Следовательно, $|A'A|\leqslant 2R$ и поэтому $A'\in S_A(2R)$. Значит, локальная ось $a$ в точке $A$ распространяет свое действие на точку $A'$.

Будет ли $A'$ вершиной многогранника пространственной звезды $\operatorname{St}A$ (в обозначении пространственной звезды использована заглавная буква $\mathrm{S}$) – выяснится потом.

Так как среди всех точек (узлов) гексагональной решетки ее точка $A$ является ближайшей к точке $A'$, то ортогональная проекция точки $A'$ на плоскость $p$ принадлежит области Дирихле–Вороного точки $A$ в плоской гексагональной решетке $p\cap S$.

Предположим, что точка $A'$ не расположена на оси $a$. Тогда все образы точки $A'$ при поворотах вокруг локальной оси $a$ суть вершины правильного выпуклого шестиугольника. Изометричная ему ортогональная проекция на плоскость $p$ содержится в области Дирихле–Вороного точки $A$ в гексагональной решетке. Значит, сторона этого шестиугольника не превышает стороны области Дирихле–Вороного, равной $\rho_*/\sqrt{3}$. Так как $\rho_*/\sqrt{3}<\rho_*$, а смежные стороны шестиугольника не расположены на одной прямой, то получаем противоречие с тем, что $\rho_*$ является наименьшим числом, при котором в паучке $P_A(\rho_*)$ имеются неколлинеарные векторы. Следовательно, точка $A'$ находится на локальной оси $a$. Лемма доказана.

В лемме 5 точка $A$ является единственной. В противном случае точка $A'$ находилась бы на ортогональных плоскости $p$ локальных осях, восстановленных в двух или трех точках гексагональной решетки $p\cap S$, что является невозможным.

Пусть для некоторой точки $A\in p\cap S$ множество $S_A(2R)$ не обладает точкой, расположенной на локальной оси $a$ и отличной от $A$. Тогда не существует точки $A'\in\mathcal M$, расположенной на оси $a$. Значит, в лемме 5 отрезок $AA'$ определяется не точкой $A$, а точкой $A'$.

Внутри отрезка $AA'\in a$, вообще говоря, могут находиться другие точки из множества $S$. Тогда ту из них, которая является ближайшей к $A$, переобозначим через $A'$ и поэтому впредь можно считать, что отрезок $AA'$ пуст внутри от точек из множества $S$.

Построим шар с пустым внутри от точек из $S$ диаметром $AA'\in a$. Если шар содержит точку $X'\in S$, $X'\ne A$, $X'\ne A'$, то расстояние от $X'$ до плоскости $p$ меньше $|AA'|$. Точка $X'$ расположена на локальной оси $x\perp p$ в точке $X\in p\cap S$, $X\ne A$, ближайшей к $X'$, и $|XX'|<|AA'|$. Точка $X'$ расположена с той же стороны от плоскости $p$, что и точка $A'$. Для отрезка $XX'$ можно повторить эти же рассуждения и так далее.

Для каждой точки из $\mathcal M$ имеется свой отрезок, расположенный на локальной оси в точке из ${p\,\cap S}$. Длина каждого отрезка, расположенного на локальной оси, не больше $2R$. Значит, каждый такой отрезок является радиусом-вектором локального паучка. Все локальные паучки конгруэнтны. Локальный паучок имеет лишь конечное число радиусов. Следовательно, среди отрезков на локальных осях существует минимальный отрезок.

Среди всех отрезков, имеющихся на локальных осях с одной стороны от плоскости $p$ (где расположена точка $A'$), минимальный отрезок обозначим через $XX'$.

Среди всех отрезков, расположенных на локальных осях с другой стороны от плоскости $p$ (где нет точки $A'$), минимальный отрезок обозначим через $YY''$.

Расстояние от любой точки множества $\mathcal M$ до плоскости $p$ не больше $2R$, что следует из определения множества $\mathcal M$. Однако если отрезок, соединяющий точку из $\mathcal M$ с ближайшей точкой из ${p\cap S}$, является минимальным, то построим шар, диаметром которого служит этот отрезок. Этот шар содержит лишь две точки из $S$ – концы диаметра. Значит, его длина меньше $2R$. Глобальный ли минимум или это минимум с той или иной стороны от плоскости $p$ – не имеет значения. Для минимальных $XX'$ и $YY''$ имеют место неравенства $|XX'|<2R$ и $|YY''|<2R$ независимо от того, будет ли $|XX'|=|YY''|$ или $|XX'|\ne |YY''|$.

Все точки из $\mathcal M$ расположены на локальных осях в некоторых точках из ${p\cap S}$. Способы распределения минимальных отрезков в узлах из ${p\cap S}$ разделим на три случая.

Первый случай. По обе стороны от плоскости $p$ минимальные отрезки, направленные вдоль локальных осей, имеют одну и ту же длину, и существует такая точка множества $p\cap S$, в которой сходятся два минимальных отрезка. Такие же два минимальных отрезка сходятся в каждой точке множества $p\cap S$ в силу конгруэнтности локальных паучков.

Итак, в вершине $A$ сходятся два противоположно направленных отрезка $AA'$ и $AA''$ минимальной длины $|AA'|=|AA''|$. Точно такие же два отрезка сходятся в каждой точке гексагональной решетки $p\cap S$. Концы всех этих отрезков задают гексагональные решетки в плоскостях $p'$ и $p''$, параллельных $p$ и расположенных по разные стороны от $p$.

В плоскости $p'$ гексагональная решетка имеет основной треугольник $\Delta'$ с вершинами $A'$, $B'$, $C'$, который проектируется на $p$ в треугольник $\Delta$ с вершинами $A$, $B$, $C$. Треугольники $\Delta$ и $\Delta'$ являются основаниями правильной треугольной призмы $ABCA'B'C'$.

С другой стороны от плоскости $p$ имеется аналогичная призма $ABCA''B''C''$, изометричная призме $ABCA'B'C'$. Любой правильный треугольник гексагональной решетки, расположенной в плоскости $p$, является общим основанием точно таких же двух призм. Все эти призмы заполняют два слоя толщины $|AA'|$ между $p$ и $p'$ и между $p$ и $p''$. В вершине $A$ сходятся $12$ правильных треугольных призм, конгруэнтных призме $ABCA'B'C'$.

Шесть радиусов плоской звезды $\operatorname{st}A$ вместе с отрезками $AA'$ и $AA''$ являются частью локального паучка $P_A(2R)$, т. е. составляют подпаучок. В вершине $A'$ имеется плоская звезда $\operatorname{st}A'$, конгруэнтная звезде $\operatorname{st}A$, имеется отрезок $A'A$, не хватает противоположного ему отрезка из подпаучка. Недостающий противоположный отрезок, очевидно, восстанавливается однозначно. Это же имеет место в любой другой точке гексагональной решетки, расположенной в $p'$. Сказанное можно повторить для гексагональной решетки, расположенной в плоскости, симметричной плоскости $p$ относительно $p'$ и так далее. В итоге получим разбиение пространства на призмы, конгруэнтные призме $ABCA'B'C'$. Вершины этих призм составляют пространственную гексагональную решетку, принадлежащую множеству $S$.

Доказательство. От противного. Пусть точка $X\in S$ находится между плоскостями $p$ и $p'$. Тогда точка $X$ принадлежит слою толщины $|AA'|$ между $p$ и $p'$, заполненному правильными треугольными призмами, конгруэнтными призме $ABCA'B'C'$. Следовательно, $X$ принадлежит некоторой из этих призм. Для определенности будем полагать, что $X$ принадлежит призме $ABCA'B'C'$. Однако $X$ не является вершиной призмы.

Дальше всех от вершин призмы находится ее центр. Оценим сверху расстояние от вершины $A$ до центра призмы. Разложим его на слагаемые: первое слагаемое – расстояние от $A$ до центра основания, второе слагаемое – половина высоты призмы. Первое слагаемое равно $\rho_*/\sqrt{3}$; из леммы 4 следует, что $\rho_*/\sqrt{3}<R$. Ортогональное ему второе слагаемое равно $|AA'|/2<R$. В итоге расстояние от $A$ до центра призмы меньше $R\sqrt{2}<2R$. Значит, точка $X$ принадлежит локальному окружению некоторой вершины призмы $ABCA'B'C'$.

Ортогональная проекция Pr$_pX$ точки $X$ на плоскость $p$ принадлежит треугольнику $\Delta$ и поэтому ближайшая к Pr$_pX$ точка из плоской гексагональной решетки $p\,{\cap}\, S$ находится среди вершин $A$, $B$ и $C$ треугольника $\Delta$. Ортогональная проекция $\operatorname{Pr}_{p'}X$ точки $X$ на плоскость $p'$ принадлежит треугольнику $\Delta'$ и поэтому ближайшая к $\operatorname{Pr}_{p'}X$ точка из гексагональной решетки $p'\,{\cap}\, S$ находится среди его вершин $A'$, $B'$ и $C'$. Следовательно, ближайшая к $X$ точка из пространственной гексагональной решетки, построенной из треугольных призм, конгруэнтных призме $ABCA'B'C'$, находится либо в плоскости $p$ среди вершин $A$, $B$ и $C$ призмы $ABCA'B'C'$, либо в плоскости $p'$ среди вершин $A'$, $B'$ и $C'$ этой же призмы.

Пусть, для определенности, вершина $A'$ является ближайшей к $X$. Тогда $X$ расположена на локальной оси $a'\perp p'$ в точке $A'$, принадлежащей плоской гексагональной решетке $p'\cap S$. Значит, $X$ находится внутри отрезка $A'A\in a'$. Это противоречит минимальности отрезка $AA'\in a$, который является пустым внутри от точек из множества $S$. Следовательно, между плоскостями $p$ и $p'$ нет точек из множества $S$. Лемма доказана.

Следовательно, построенная пространственная гексагональная решетка совпадает с $S$.

Второй случай. По обе стороны от плоскости $p$ минимальные отрезки, выпущенные из точек множества ${p\cap S}$ вдоль локальных осей, имеют одну и ту же длину, однако не существует такой точки в множестве ${p\cap S}$, в которой сходились бы два минимальных отрезка. Таким образом, исходя из конгруэнтности локальных паучков, в каждой точке из ${p\cap S}$ имеется только один минимальный отрезок, направленный вдоль локальной оси.

Для любой точки $A\in S$ группа $H_A(2R)$ содержит единственную локальную ось $a$ порядка $6$. Через $A$ проходит единственная плоскость $p$, ортогональная оси $a$. Пересечение ${p\cap S}$ является плоской гексагональной решеткой. В данном случае в точке $A$ существует единственный отрезок $AA'$ минимальной длины, направленный вдоль оси $a$. Так как для всех точек $A\in S$ локальные паучки $P_A(2R)$ конгруэнтны, то во всех точках $A\in S$ минимальные отрезки, направленные вдоль локальных осей, имеют одну и ту же длину.

Итак, в каждой точке гексагональной решетки $p\cap S$ есть только один минимальный отрезок, направленный вдоль локальной оси. Среди всех минимальных отрезков существуют такие отрезки, концы которых расположены с разных сторон от плоскости $p$.

Разбиение Делоне для плоской гексагональной решетки ${p\cap S}$ состоит из одинаковых правильных треугольников. Стороны треугольников являются ребрами разбиения. Вершины треугольников являются узлами плоской гексагональной решетки.

Пусть, для определенности, в вершинах $A$ и $B$ треугольника $\Delta$ минимальные отрезки, направленные вдоль локальных осей, имеют концы, расположенные с разных сторон от плоскости $p$. Тогда минимальный отрезок в вершине $C$ правильного треугольника $\Delta$ будет одинаково направлен с минимальным отрезком либо в вершине $A$, либо в вершине $B$.

Для определенности будем считать, что минимальные отрезки в вершинах $A$ и $C$ одинаково направлены, т. е. их концы расположены по одну и ту же сторону от $p$. Это отрезки $AA'$ и $CC'$; $A'C'$ и $AC$ параллельны, как противоположные стороны прямоугольника.

В точке $A$ имеется единственный минимальный отрезок $AA'\in a$. В точке $A'$ имеется единственный минимальный отрезок $A'U\in a'$. В силу конгруэнтности паучков $P_{A'}(2R)$ и $P_A(2R)$ имеет место равенство $|A'U|=|AA'|$. Рассмотрим в $\mathbb R^3$ всевозможные способы взаиморасположения отрезков $A'U$ и $A'A$: либо отрезки $A'U$ и $A'A$ находятся в общем положении – они не расположены на одной прямой и не ортогональны; либо они ортогональны; либо отрезки $A'U$ и $A'A$ противоположно направлены; либо они совпадают.

Пусть отрезок $A'U$ не ортогонален отрезку $A'A$ и не расположен на оси $a$. Тогда $|A'U|=|A'A|=|AA'|<2R$. Следовательно, $A\in S_{A'}(2R)$. Кроме того, точка $A$ не расположена в плоскости $p'$. В множестве $p'\cap S$ существует ближайшая к $A$ точка $V'$. В прямоугольном треугольнике $V'A'A$ катет $V'A$ короче гипотенузы $A'A$. На локальной оси $v'$, ортогональной плоскости $p'$ в точке $V'$, получен отрезок $V'A$, который короче отрезка $A'U$, что следует из $|V'A|<|A'A|=|A'U|$. Это противоречит тому, что отрезок $A'U$ является минимальным. Следовательно, отрезки $A'U$ и $A'A$ не могут находиться в общем положении.

Пусть, далее, отрезок $A'U$ ортогонален отрезку $A'A$. Тогда отрезок $A'A$ расположен в плоскости $p'$. Все точки множества $S$, расположенные в плоскости $p'$, составляют плоскую гексагональную решетку $p'\cap S$. Значит, концы отрезка $A'A$ расположены в узлах решетки $p'\cap S$. Поэтому $|A'A|\geqslant \rho_*$, так как наименьшее расстояние между узлами решетки $p'\cap S$ равно $\rho_*$. Из неравенства $|AA'|<2R$ следует, что $A'\in S_A(2R)$. Более того, в звезде $\operatorname{st}A'$ имеется такая точка, которая содержится в $S_A(2R)$ и не расположена на оси $a$.

В самом деле, звезда $\operatorname{st}A'$ содержит шесть радиусов длины $\rho_*$. Угол между соседними радиусами равен $\pi/3$. Отрезок $AA'$, $|AA'|\geqslant \rho_*$, расположен в плоскости звезды $\operatorname{st}A'$. Следовательно, при любом взаиморасположении $\operatorname{st}A'$ и $AA'$ в плоскости $p'$ звезда $\operatorname{st}A'$ содержит такую точку $V$, не расположенную на оси $a$, что угол между отрезками $A'A$ и $A'V$ не превышает $\pi/3$. Учитывая неравенство $|AA'|\geqslant \rho_*$, заключаем, что точка $V$ содержится в $S_A(2R)$. Значит, локальная ось $a$ распространяет свое действие на точку $V$. Размножим точку $V$ всеми поворотами вокруг $a$. Получим правильный выпуклый шестиугольник, стороны которого меньше $\rho_*$, так как $|A'V|=\rho_*$. Смежные стороны не расположены на одной прямой. Это противоречит тому, что $\rho_*$ является наименьшим числом, при котором векторы паучка $P_A(\rho_*)$ не коллинеарны. Следовательно, отрезок $A'U$ не ортогонален отрезку $A'A$.

Пусть, напротив, отрезки $A'U$ и $A'A$ коллинеарны и противоположно направлены. Тогда из минимальности $AA'$ и равенства $|A'U|=|A'A|$ следует, что в точке $A'$ сходятся два минимальных отрезка, а это уже исследованный выше первый случай, а не второй.

Пусть, наконец, отрезок $A'U$ совпадает с отрезком $A'A$, или точка $U$ совпадает с точкой $A$; в точке $A$ есть минимальный отрезок $AA'$, направленный вдоль локальной оси $a$; в точке $A'$ есть минимальный отрезок $A'A$, направленный вдоль локальной оси $a'$. Тогда плоскости $p$ и $p'$ параллельны, так как $p$ ортогональна $AA'$, а $p'$ ортогональна $A'A$.

Плоскости $p$ и $p'$ являются равноправными. В плоскостях $p$ имеется плоская гексагональная решетка ${p\cap S}$. В плоскостях $p'$ имеется плоская гексагональная решетка $p'\cap S$. Осталось выяснить, какое взаимное расположение этих решеток в пространстве $\mathbb R^3$.

Так как плоскость звезды $\operatorname{st}A'$ ортогональна отрезку $A'A$, а в этой плоскости уже есть отрезок $A'C'$, $|A'C'|=\rho_*$, $A'C'\parallel AC$, то звезда $\operatorname{st}A'$ параллельна звезде $\operatorname{st}A$. Значит, гексагональные решетки $p'\cap S$ и $p\cap S$ параллельны. Следовательно, в каждой точке решетки $p\cap S$ имеется минимальный отрезок, направленный вдоль локальной оси, конец которого расположен в плоскости $p'$. Вдоль локальной оси $b$ в вершине $B$ есть два противоположно направленных минимальных отрезка. Это опять первый случай, а не второй.

Таким образом, предполагаемый второй случай практически не реализуется.

Третий случай. С одной стороны от плоскости $p$ расположен выпущенный из точки $X\in p\,{\cap}\, S$ отрезок $XX'$, $X'\in S$, направленный вдоль локальной оси $x\perp p$. С другой стороны от плоскости $p$ расположен выпущенный из точки $Y\in p\cap S$ отрезок $YY''$, $Y''\in S$, направленный вдоль локальной оси $y\perp p$. Отрезки $XX'$ и $YY''$ являются минимальными, причем каждый со своей стороны от плоскости $p$. Предполагается, что $|XX'|\ne |YY''|$, так как оба случая равенства длин этих отрезков уже исследованы в предыдущих случаях.

Конгруэнтность локальных паучков означает, что в точке $A\in p\cap S$ сходятся такие два отрезка $AA'$ и $AA''$, что $|AA'|=|XX'|$ и $|AA''|=|YY''|$. Для определенности будем считать, что $|AA'|<|AA''|$. Точно такие же два отрезка имеются в каждой точке гексагональной решетки $p\cap S$. Концы отрезков длины $|AA'|$ расположены по одну сторону от плоскости $p$, а концы отрезков длины $|AA''|$ расположены по другую сторону, так как минимальные отрезки вдоль локальных осей с одной и той же стороны от $p$ имеют одну и ту же длину.

Концы минимальных отрезков длины $|AA'|$ расположены в плоскости $p'$ и составляют плоскую гексагональную решетку $p'\cap S$. Концы минимальных отрезков длины $|AA''|$ расположены в плоскости $p''$ и составляют плоскую гексагональную решетку $p''\cap S$. Плоскости $p'$ и $p''$ параллельны плоскости $p$ и расположены с разных сторон от $p$.

Аналогично первому случаю строится разбиение слоя толщины $|AA'|$ между плоскостями $p$ и $p'$ на правильные треугольные призмы, конгруэнтные призме $ABCA'B'C'$, и разбиение слоя толщины $|AA''|$ между плоскостями $p$ и $p''$ на правильные треугольные призмы, конгруэнтные призме $ABCA''B''C''$. В вершине $A$ сходятся $12$ правильных треугольных призм, из них шесть призм конгруэнтны $ABCA'B'C'$ и шесть призм конгруэнтны $ABCA''B''C''$.

Так же, как в первом случае, строится разбиение пространства на призмы, конгруэнтные призмам $ABCA'B'C'$ и $ABCA''B''C''$. При этом призмы, конгруэнтные $ABCA'B'C'$, принадлежат слоям толщины $|AA'|$, а призмы, конгруэнтные $ABCA''B''C''$, принадлежат слоям толщины $|AA''|$. Слои разной толщины чередуются между собой. Вершины призм разбиения составляют пространственную гексагональную бирешетку, принадлежащую $S$.

В лемме 1 и в усиливающей ее лемме 4 треугольник $\Delta$ можно заменить на $\Delta'\subset p'$. В лемме 6 плоскости $p$ и $p'$ можно заменить на $p$ и $p''$, так как отрезок $AA''$, представляющий высоту призмы $ABCA''B''C''$, имеет длину $|AA''|<2R$. Напомним, что в доказательстве используется минимальность отрезка лишь с одной стороны от плоскости $p$, а не с обеих сторон. По такой же причине в предложении 5 призму $ABCA'B'C'$ можно заменить на призму $ABCA''B''C''$. Соответствующие доказательства останутся точно такими же.

Следовательно, пространственная гексагональная бирешетка в целом совпадает с множеством $S$. В бирешетке одна гексагональная решетка смещена относительно другой вдоль оси группы $C_6$. Каждая локальная ось шестого порядка является частью глобальной оси группы $C_6$.

Таким образом, возможны только два случая – первый ($S$ – пространственная гексагональная решетка) и третий ($S$ – пространственная гексагональная бирешетка).

Исходя из конгруэнтности локальных паучков $P_A(2R)$ с поворотной осью порядка $n=6$ в $(r, R)$-системе $S\subseteq\mathbb R^3$, удалось доказать, что конгруэнтные звезды $\operatorname{St}A$, $A\in S$, состоят из правильных треугольных призм. В итоге $(r, R)$-система $S\subseteq\mathbb R^3$ в целом является пространственной гексагональной решеткой при $|AA''|=|AA'|$ или пространственной гексагональной бирешеткой при $|AA''|>|AA'|$. В случае бирешетки одна решетка смещена относительно другой вдоль оси порядка $n=6$.

Доказательство этой теоремы уже было презентовано раньше в работе [17; теорема 4.3], где были выявлены четыре некристаллографические точечные группы $D_{4d}$, $D_{6d}$, $S_8$ и $S_{12}$, в каждой из которых обычная поворотная ось является кристаллографической.

§ 5. Рациональные направления в плоской решетке

Здесь исследуется группа симметрии множества рациональных направлений в трансляционной точечной решетке, расположенной в $\mathbb R^2$. Она содержит группу всех изометрических отображений решетки на себя, сохраняющих ее узел на том же месте.

Луч, выпущенный из точки решетки, имеет в ней рациональное направление, если на этом луче имеется еще хотя бы одна точка этой решетки. Значит, на этом луче имеется бесконечное множество точек решетки, называемых ее узлами.

Луч рационального направления в плоской решетке можно задавать вектором, имеющим взаимно простые целые координаты в основном репере этой решетки.

Любое рациональное направление в плоской точечной решетке будем задавать коллинеарным этому направлению вектором, модуль которого равен $1$.

Пусть две решетки гомотетичны или параллельно расположены, или одна из них является полномерной подрешеткой другой. Тогда такие решетки имеют одно и то же множество рациональных направлений. Все эти решетки мы относим к одному виду.

Таким образом, мы будем разделять все плоские решетки на пять видов, выделив по одному представителю из каждого вида плоских решеток, а именно:

1) косоугольная решетка, без ортогональных рациональных направлений;

2) прямоугольная решетка, примитивная, особая, в которой имеются только два рациональных направления, которые ортогональны друг другу;

3) прямоугольная решетка, примитивная, специальная, в которой стороны прямоугольника имеют одну и ту же длину (это тетрагональная решетка);

4) прямоугольная решетка, примитивная, специальная, в которой диагональ прямоугольника равна удвоенной его стороне (значит, при добавлении центров всех прямоугольников эта решетка станет гексагональной решеткой);

5) прямоугольная решетка, примитивная, общая, не особая, не одна из двух специальных, не полномерная подрешетка какой-либо решетки, названной выше.

Группа симметрии множества рациональных направлений в решетке первого вида совпадает с голоэдрией $C_2$, а в решетке второго вида совпадает с голоэдрией $D_2$. Группа симметрии множества рациональных направлений в решетке третьего, четвертого или пятого вида бесконечна.

Прямоугольная решетка имеется среди решеток всех видов, кроме первого. Смежные стороны прямоугольника примем за единичные отрезки координатных осей. Пусть длина примитивного вектора вдоль оси абсцисс равна $1$, а длина примитивного вектора вдоль оси ординат равна $\lambda$. Тогда квадрат длины вектора с координатами $x$ и $y$ равен $x^2+\lambda^2\,y^2$.

Точки с целыми координатами являются узлами прямоугольной решетки. Радиус-векторы точек $(a, b)$ и $(-\lambda^2b, a)$ ортогональны друг другу. Пусть $a, b\in\mathbb N$. Тогда точка $(a, b)$ принадлежит решетке. Если $\lambda^2$ иррационально, то в решетке только два рациональных направления являются ортогональными, значит, это решетка второго вида с голоэдрией $D_2$.

Так как $a, b\in\mathbb N$, то точка $(-\lambda^2b, a)$ будет иметь рациональные координаты, если и только если $\lambda^2$ является рациональным. В таком случае радиус-вектор узла $(a, b)$ будет ортогональным радиус-вектору узла $(-\lambda^2bd, ad)$, где $d$ – знаменатель числа $\lambda^2$.

Пусть $\lambda^2$ является целым числом. Тогда радиус-вектор точки $(-\lambda^2b, a)$ имеет целые координаты. Он ортогонален радиус-вектору точки $(a, b)$. Отношение длин обоих радиус-векторов равно отношению единичных отрезков на координатных осях. Прямоугольная подрешетка, построенная на обоих радиус-векторах, подобна исходной прямоугольной решетке с коэффициентом подобия $\sqrt{a^2+\lambda^2b^2}$ и повернута относительно нее на угол $\alpha= \operatorname{arctg} (\lambda b/a)$. Так как множество рациональных направлений в решетке и полномерной подрешетке одно и то же, то оно совмещается с собой при повороте на угол $\alpha$.

В силу зеркальной симметричности исходной прямоугольной решетки относительно оси абсцисс, в ней есть узлы $(a, -b)$ и $(-\lambda^2b, -a)$. Они расположены на лучах, выпущенных из начала $O(0, 0)$ и эквивалентных $Ox$ и $-Oy$ при повороте на угол $-\alpha$. Значит, множество рациональных направлений исходной прямоугольной решетки совмещается с собой при поворотах на угол $z\alpha$ при всевозможных значениях $z\in \mathbb Z$.

Пусть, далее, число $\lambda^2$ является целым числом, но не является полным квадратом целого числа, значит, число $\lambda$ иррационально. Тогда поворот на угол $\pi/2$, совмещающий с собой множество рациональных направлений прямоугольной решетки, соответствующей метрической квадратичной форме $x^2+\lambda^2\,y^2$, не принадлежит голоэдрии. Он не совмещает решетку с собой, так как длины любых двух ортогональных примитивных векторов этой решетки не соизмеримы. Зеркальное отражение от биссектрисы угла между ортогональными примитивными векторами также не совмещает решетку с собой, так как их длины не соизмеримы. Эта решетка совмещается с собой группой $D_2$ и таких точечных групп бесконечно много.

Наконец, при $\lambda^2=1$ мы имеем квадратную решетку третьего вида с голоэдрией $D_4$. При $\lambda^2=3$ это примитивная прямоугольная решетка четвертого вида с голоэдрией $D_2$, а если добавить центры всех прямоугольников, то решетка станет гексагональной с голоэдрией $D_6$. При $\lambda^2=p$, где $p$ простое, $p\ne 3$, это примитивная прямоугольная решетка пятого вида с голоэдрией $D_2$.

Для решеток третьего, четвертого и пятого видов группы поворотов множеств рациональных направлений являются бесконечными и различными для разных видов. В этих решетках имеется бесконечное множество пар ортогональных рациональных направлений; любое рациональное направление входит в пару с некоторым другим рациональным направлением.

Конечные точечные группы множеств рациональных направлений для решеток второго и пятого видов одинаковы. Однако для решеток второго вида в заданном узле есть только одна максимальная конечная точечная группа, а для решеток пятого вида в заданном узле имеется бесконечно много максимальных конечных точечных групп.

Множество рациональных направлений решетки пятого вида обладает поворотом четвертого порядка, хотя это не квадратная решетка в $\mathbb R^2$ или ее подрешетка. Однако оно не обладает поворотом восьмого или двенадцатого порядка, так как такая решетка не является подрешеткой квадратной или гексагональной решетки. (Так как модули ортогональных примитивных векторов решетки пятого вида несоизмеримы, то биссектриса между этими векторами имеет иррациональное направление, что доказывается точно так же, как предложение 8 ниже. Этим еще раз подтверждается, что решетка пятого вида не обладает поворотом восьмого порядка.)

Нас интересует следующий вопрос: каким может быть порядок группы поворотов множества всех рациональных направлений в произвольной плоской точечной решетке?

Доказательство. Узлы $O$ и $A$ заданной решетки соединим прямолинейным отрезком $OA$. При повороте вокруг узла $O$ на угол $\varphi=2\pi/n$ отрезок $OA$ переходит в отрезок $OB$, отрезок $OB$ переходит в $OC$, $OC$ переходит в $OD$, $OD$ в $OE$, $\dots$ . Точки $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $\dots$ являются вершинами правильного выпуклого $n$-угольника $ABCDE\dots$ . Отрезки $OA$, $OB$, $OC$, $OD$, $OE$, $\dots$ расположены в $\mathbb R^2$ и имеют рациональные направления в решетке.

Рассмотрим первые три отрезка $OA$, $OB$ и $OC$. Отрезок $OB$ направлен по биссектрисе угла между $OA$ и $OC$. Так как отрезок $OB$ имеет рациональное направление в решетке, то найдется точка $B'$, принадлежащая решетке и расположенная внутри отрезка $OB$, на его продолжении или же совпадающая с $B$. Построим ромб с диагональю $OB'$, две стороны которого направлены по отрезкам $OA$ и $OC$. Две другие стороны ромба проходят через точку $B'$, принадлежащую решетке. В основном репере решетки все стороны ромба задаются линейными уравнениями с рациональными коэффициентами. Значит, все вершины ромба имеют рациональные координаты. Умножив координаты вершин ромба на общее кратное их знаменателей, на лучах $OA$ и $OC$ получим точки решетки, равноудаленные от $O$.

Точно так же отрезок $OD$ направлен по биссектрисе угла между отрезками $OC$ и $OE$. Следовательно, на лучах $OC$ и $OE$ имеются точки решетки, равноудаленные от точки $O$. Значит, в данном случае на луче $OC$ получена какая-то точка решетки; в предыдущем случае на этом же луче $OC$ была получена, вообще говоря, совсем другая точка решетки; возьмем на луче $OC$ точку, расстояние которой от $O$ кратно расстояниям от $O$ в этих двух случаях. На этом расстоянии имеются точки решетки на всех трех лучах $OA$, $OC$ и $OE$.

Таким образом, на лучах $OA$, $OC$ и $OE$ имеются точки заданной решетки, равноудаленные от узла $O$. Здесь необходимо подчеркнуть, что все три луча проходят через вершины $n$-угольника $ABCDE\dots$, взятые через одну при обходе вдоль его периметра.

Повторяя эти рассуждения вновь и вновь, сделаем полный обход вокруг точки $O$ при четном $n$ или два полных обхода вокруг $O$ при нечетном $n$. При четном $n$ взятые через одну вершины являются вершинами правильного $(n/2)$-угольника. При нечетном $n$ взятые через одну вершины правильного $n$-угольника являются вершинами этого же правильного $n$-угольника. В обоих случаях вершины полученного правильного многоугольника принадлежат точечной решетке. При нечетном $n>6$ такого не может быть. При четном $n>6$, или $n/2>3$, возможно лишь $n/2=4, 6$, см. предложение 3 (для плоской решетки предложение 3 доказывается точно так же, как для пространственной), т. е. $n=8, 12$. Лемма доказана.

В квадратной решетке подрешетка не обязана совмещаться с собой поворотом четвертого порядка. В гексагональной решетке подрешетка не обязана совмещаться с собой поворотом шестого порядка. Для множеств рациональных направлений в этих решетках имеет место следующее предложение.

Таким образом, множество рациональных направлений в плоской точечной решетке, вообще говоря, может обладать поворотом восьмого порядка или двенадцатого порядка. Кроме того, оно может обладать поворотом бесконечного порядка, см. [16].

При обсуждении теоремы 4 из [16] А. Ю. Попов высказал две проблемы.

(1) Иррациональное число $(1/\pi) \operatorname{arctg} (b/a)$ является трансцендентным или алгебраическим?

(2) Если число $(1/\pi) \operatorname{arctg} (b/a)$ является алгебраическим, то какой степени?

Ясно, что с тетрагональной точечной решеткой связано не одно иррациональное число $(1/\pi) \operatorname{arctg} (b/a)$, их счетное множество. Будем обозначать каждое отдельное такое число через $\omega_n$, где $n\in\mathbb N$. Все числа $\omega_n$ составляют счетное множество $\Omega=\{\omega_n\mid n\in\mathbb N\}$. При $n=\mathrm{const}$ и всевозможных $z\in\mathbb Z$, $z\ne 0$, числа $z\omega_n$ иррациональны и составляют счетное подмножество множества $\Omega$. Является ли множество $\Omega$ объединением счетного множества или конечного числа таких подмножеств – неизвестно. Пусть два подмножества $\{z\omega_j\mid z\in\mathbb Z,\, z\ne 0\}$ и $\{z\omega_k\mid z\in\mathbb Z,\, z\ne 0\}$ пересекаются. Тогда $z_j\omega_j=z_k\omega_k$ при некоторых $z_j$ и $z_k$, значит, числа $\omega_j$ и $\omega_k$ линейно зависимы над полем $\mathbb Q$. А как обстоит дело с независимыми $\omega_n$ – это открытый вопрос еще одной проблемы:

сколько чисел множества $\Omega$ являются линейно независимыми над полем $\mathbb Q$ – конечное число или счетное множество?

Эти проблемы переносятся с решеток третьего вида на решетки четвертого и пятого видов.

Изоморфны ли группы поворотов множеств рациональных направлений для различных представителей решеток пятого вида или нет?

§ 6. Правильный многоугольник в плоской мультирешетке

Группа движений (изометрий) плоскости $\mathbb R^2$ называется фёдоровской, если она обладает конечной фундаментальной областью, в которой имеется представитель орбиты каждой точки плоскости относительно заданной группы. В $\mathbb R^2$ имеются $17$ фёдоровских групп. Если в фёдоровской группе есть движения второго рода, то существует подгруппа индекса $2$, состоящая из движений первого рода и имеющая конечную фундаментальную область.

Рассмотрим фёдоровскую группу, состоящую из движений первого рода. На краю ее фундаментальной области имеется лишь конечное число точек, которые являются центрами вращений для этой группы. Рассмотрим два центра вращения, эквивалентных относительно движений фёдоровской группы. Сделаем поворот вокруг одного центра по часовой стрелке, а затем поворот такой же величины вокруг другого центра, но против часовой стрелки. В итоге получим параллельный перенос. Эквивалентный ему параллельный перенос, полученный при повороте, порядок которого больше $2$, не коллинеарен с ним.

Пусть порядок каждого поворота из фёдоровской группы равен $2$. Тогда последовательно выполненные повороты вокруг двух фиксированных центров дадут параллельный перенос вдоль прямой, на которой они лежат. Возьмем другие два центра, принадлежащие двум фундаментальным областям, расположенных по разные стороны от упомянутой прямой, вдоль которой происходит уже построенный исходный перенос. Последовательно выполненные повороты вокруг этих двух центров дают перенос, неколлинеарный исходному.

Множество всех параллельных переносов из фёдоровской группы составляют ее абелеву подгруппу конечного индекса – группу параллельных переносов.

Орбита точки плоскости относительно данной фёдоровской группы является правильной системой точек. Орбита точки плоскости относительно подгруппы параллельных переносов является плоской решеткой. Правильная система точек евклидовой плоскости состоит из конечного числа параллельных решеток. Это так называемая мультирешетка.

Покажем, что восьмиугольник может быть правильным, если его вершины принадлежат плоской мультирешетке, состоящей из четырех квадратных решеток, см. рис. 1.

На рис. 1 задан правильный восьмиугольник в плоской мультирешетке. На горизонтальной или вертикальной стороне восьмиугольника расположены по два линейных ряда узлов из квадратных (тетрагональных) решеток. Любая другая сторона восьмиугольника содержит линейный ряд (из семи узлов), принадлежащий квадратной решетке из заданной мультирешетки.

Для этой плоской мультирешетки в звезду многоугольников Делоне входят два квадрата и два прямоугольника. Если сторона наименьшего квадрата с вершинами в узлах мультирешетки равна $1$, то сторона следующего по величине квадрата равна $\sqrt {1,125}$.

Аналогично строится правильный двенадцатиугольник в плоской мультирешетке, состоящей из шести гексагональных решеток, см. рис. 2.

На стороне двенадцатиугольника расположены либо три узла одного линейного ряда, либо по два узла из двух линейных рядов, взятых из двух гексагональных решеток. В звезду разбиения Делоне входят правильный шестиугольник, правильный треугольник и два прямоугольника. Если длина стороны шестиугольника равна $1$, а длина стороны треугольника равна $2$, то длина стороны двенадцатиугольника равна $4+2\sqrt{3}$.

В обоих случаях не существует такого репера, в котором координаты всех вершин правильного восьмиугольника или правильного двенадцатиугольника были бы рациональными. Каждая сторона содержит линейный ряд узлов, принадлежащих некоторой точечной решетке, входящей в состав плоской мультирешетки. Эти линейные ряды не принадлежат одной и той же точечной решетке, хотя направление каждого линейного ряда является рациональным. (Прямые, на которых расположены стороны правильного $n$-угольника, где $n=8$ или $n=12$, задаются линейными неоднородными уравнениями. Если коэффициенты при неизвестных переменных являются рациональными, то хотя бы в некоторых уравнениях свободные члены должны быть иррациональными.)

Таким образом, без учета узлов соответствующих мультирешеток группа обычных поворотов $n$-угольника, $n=8$ или $n=12$, см. рис. 1 и рис. 2, имеет порядок $n=8$ или $n=12$. С учетом узлов соответствующих мультирешеток группа обычных поворотов плоского $n$-угольника, $n=8$ или $n=12$, см. рис. 1 и рис. 2, имеет порядок $n/2=4$ или $n/2=6$.

Данные два примера навели на мысль построить третий любопытный пример.

На рис. 3 изображен квадрат в плоской бирешетке. На горизонтальных сторонах квадрата расположены по два линейных ряда узлов, взятых из этих решеток. Вертикальные стороны квадрата содержат по одному линейному ряду узлов.

Начало координат $O(0, 0)$ расположено в центре квадрата, изображенного на рис. 3. Ось $Ox$ горизонтальна, ось $Oy$ вертикальна. Прямоугольная решетка с метрической квадратичной формой $x^2+2\,y^2$, т. е. решетка пятого вида при $\lambda\,{=}\,\sqrt{2}$, является исходной (на рис. 3 нет ее узлов). Построим две прямоугольные решетки, равные и параллельные исходной. Первая решетка имеет свой узел в точке $(3\sqrt{2}-4, 0)$. Вторая решетка имеет свой узел в точке $(-3\sqrt{2}+4, 0)$. Получим бирешетку, пересечение которой с квадратом со сторонами длиной $6\sqrt{2}$ изображено на рис. 3. Точка $O$ является центром симметрии бирешетки.

Заданный квадрат, как и множество рациональных направлений в исходной прямоугольной решетке, обладает поворотом четвертого порядка. Однако этот поворот четвертого порядка не совмещает исходную прямоугольную решетку с собой. Зеркальные отражения от диагоналей квадрата также не совмещают исходную прямоугольную решетку с собой. Длины примитивных векторов с направлениями, эквивалентными при повороте четвертого порядка или при зеркальном отражении от диагоналей квадрата, не являются соизмеримыми.

В первых двух примерах все ясно: повороты порядка $n=8$ и $n=12$ не являются кристаллографическими. А что можно сказать о повороте порядка $n=4$ в третьем примере? Ведь он вроде бы находится среди поворотов кристаллографического порядка, а ведет себя точно так же, как повороты порядка $n=8$ и $n=12$ в первых двух примерах.

§ 7. Рациональные направления в пространственной решетке

Луч в $\mathbb R^3$, выпущенный из узла решетки, имеет рациональное направление в данной решетке, если на нем имеется еще хотя бы один узел этой решетки. Значит, на нем имеется бесконечное множество узлов решетки. Луч, выпущенный из узла решетки, не содержащий других узлов решетки, кроме начала, имеет иррациональное направление.

Луч рационального направления в данной решетке можно задавать вектором, имеющим взаимно простые целые координаты в основном репере решетки.

Любое рациональное направление в произвольной точечной решетке будем задавать коллинеарным этому направлению вектором, модуль которого равен $1$.

Рассмотрим поворот пространства $\mathbb R^3$ вокруг заданной оси на угол $\pi$ и возьмем какое-то направление в $\mathbb R^3$, рациональное или нет. Угол между этим направлением и осью может быть произвольным: он может быть прямым (равным $\pi/2$), острым или равным $0$.

Доказательство. От противного. Пусть направление оси является рациональным. Тогда примитивный отрезок $OC$, где $O$ и $C$ точки решетки, направлен вдоль оси второго порядка, а $OA$ и $OB$ суть примитивные отрезки, направленные вдоль рациональных направлений в данной решетке, эквивалентные при повороте вокруг этой оси на угол $\pi$. Построим ромб с диагональю $OC$ и сторонами, параллельными отрезкам $OA$ и $OB$. Так как точки $O$ и $C$ принадлежат решетке, а неколлинеарные отрезки $OA$ и $OB$ имеют рациональные направления, то в основном репере плоской решетки линейные уравнения прямых, на которых расположены стороны ромба, имеют рациональные коэффициенты. Следовательно, все вершины ромба имеют рациональные координаты. Если умножить координаты всех точек на общий знаменатель координат, то координаты станут целыми. Значит, в направлениях отрезков $OA$ и $OB$ имеются узлы решетки, равноудаленные от ее узла $O$. Поэтому отрезки $OA$ и $OB$ соизмеримы, что противоречит исходным условиям. Предложение доказано.

Доказательство. Если два рациональных направления общего положения (не ортогональные и не параллельные оси) эквивалентны при повороте на угол $\pi$ и примитивные отрезки с этими двумя направлениями соизмеримы, то в силу предложения 7 направление оси является рациональным. Если два других рациональных направления общего положения (не ортогональные и не параллельные оси) эквивалентны при повороте на угол $\pi$ вокруг той же самой оси, то примитивные отрезки с этими двумя направлениями также соизмеримы. Иначе в силу предложения 8 направление оси было бы иррациональным. Однако направление одной и той же оси не может быть одновременно рациональным и иррациональным. Следовательно, если примитивные отрезки соизмеримы для одной пары эквивалентных направлений относительно данной оси, то они соизмеримы и для любой другой пары.

Аналогично, если примитивные отрезки несоизмеримы для одной пары эквивалентных направлений, то они несоизмеримы и для любой другой. Предложение доказано.

Мы не будем вдаваться в дальнейшие подробности, связанные с поворотом второго порядка, и впредь займемся исследованием поворотов более высокого порядка.

Доказательство. Рассмотрим обычную поворотную ось порядка $n$, $n>6$, которая проходит через узел решетки $O$. Так как ось имеет всего лишь два противоположных направления, то в множестве неколлинеарных направлений найдется не направленное вдоль оси направление. В рациональном направлении для данной решетки выпустим из ее узла $O$ примитивный отрезок $OA$ общего положения относительно оси, т. е. не параллельный и не ортогональный оси. При вращении вокруг оси на угол $\varphi=2\pi/n$ отрезок $OA$ переходит в отрезок $OB$, отрезок $OB$ переходит в $OC$, $OC$ переходит в $OD$, $OD$ в $OE$, $\dots$, причем все эти отрезки рационально направлены. Значит, любые два из этих отрезков задают рациональную плоскость, которая пересекает пространственную точечную решетку по плоской точечной решетке, т. е. сетке. Докажем, что проекции этих отрезков на плоскость, ортогональную оси, имеют рациональные направления в пространственной точечной решетке.

Действительно, точки $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $\dots$ являются вершинами правильного $n$-угольника, расположенного в плоскости, не содержащей точку $O$ и ортогональной оси вращения.

Пусть число $n>6$ является четным. Тогда вокруг оси имеется поворот на угол $\pi$. При повороте на угол $\pi$ отрезок $OA$ и его образ не коллинеарны и они расположены в плоскости, содержащей ось. При повороте на угол $\pi$ отрезок $OB$ и его образ не коллинеарны и расположены в плоскости, содержащей ось. Значит, ось имеет рациональное направление. Как и в доказательстве предложения 7, построим ромб с вершинами в точках решетки, у которого одна сторона направлена вдоль $OA$, а диагональ направлена вдоль оси. Тогда вторая диагональ ромба ортогональна оси. Поэтому ортогональная проекция отрезка $OA$ на плоскость, ортогональную оси, имеет рациональное направление. Отрезок $OA$ можно заменить на $OB$, $OC$, $\dots$ . Следовательно, проекции всех отрезков $OA$, $OB$, $OC$, $OD$, $OE$, $\dots$ на плоскость, ортогональную оси, имеют рациональные направления.

Пусть число $n>6$ является нечетным. Тогда начнем с трапеции $ABCD$. Ее бедра $AB$ и $CD$ равны. Ее основания $AD$ и $BC$ ортогональны оси. Плоскости треугольников $OAB$ и $OCD$ пересекаются по прямой рационального направления. Она и прямая рационального направления, проходящая через точку $O$ и вершину $n$-угольника, противоположную стороне $BC$, определяют плоскость, проходящую через ось. Эта плоскость однозначно определяется осью и серединой стороны $BC$. Плоскости треугольников $OBC$ и $OAD$ пересекаются по прямой рационального направления, параллельной стороне $BC$ и расположенной в плоскости, ортогональной оси. Заменив $BC$ на другую сторону $n$-угольника $ABCDE\dots$, убеждаемся, что ось имеет рациональное направление и что плоскость, проходящая через $O$ и ортогональная оси, является рациональной. В силу сказанного заключаем, что плоскость, проходящая через ось и любой из отрезков $OA$, $OB$, $OC$, $OD$, $OE$, $\dots$, а также плоскость, проходящая через $O$ и ортогональная оси, пересекаются по прямой рационального направления. Следовательно, ортогональные проекции отрезков $OA$, $OB$, $OC$, $OD$, $OE$, $\dots$ на плоскость, проходящую через $O$ и ортогональную оси, имеют рациональные направления.

Таким образом, если существуют эквивалентные отрезки $OA$, $OB$, $OC$, $OD$, $OE$, $\dots$ рационального направления, не ортогональные оси вращения и не параллельные ей, то ось имеет рациональное направление и существуют такого же типа отрезки, ортогональные оси. В силу этого впредь мы можем (и будем, чтобы не вводить новых обозначений) предполагать, что все упомянутые выше отрезки, эквивалентные отрезку $OA$ при поворотах вокруг оси на углы вида $\varphi=2k\pi/n$, $1\leqslant k\leqslant n$, ортогональны оси и имеют рациональные направления.

Итак, отрезки $OA$, $OB$, $OC$, $OD$, $OE$, $\dots$, эквивалентные отрезку $OA$ относительно группы $C_n$ порядка $n>6$, расположены в плоскости $\mathbb R^2$, проходящей через $O$, и имеют рациональные направления в плоской точечной решетке. Для них имеет место заключение леммы 8, доказанной ранее для плоского случая, см. выше. Предложение доказано.

Совокупность рациональных направлений в квадратной или гексагональной решетке не обладает поворотом конечного порядка, который был бы больше $8$ или $12$ соответственно, порядок $8$ или $12$ наибольший, см. предложение 6 и предложение 10.

Предложение 10 применяется к тем рациональным направлениям, чьи примитивные векторы имеют различную длину. Если же их длины одинаковы, то см. предложение 3. Случаи $n=8$ и $n=12$ будут уточнены в предложениях 11 и 12.

Множество всех рациональных направлений квадратной (тетрагональной) решетки в $\mathbb R^3$ обладает поворотом четвертого порядка – одним из элементов ее голоэдрии.

Доказательство. Одной из основных ячеек квадратной (тетрагональной) трансляционной точечной решетки в $\mathbb R^3$ является квадратная призма. Будем рассматривать квадратную точечную решетку с метрической квадратичной формой $x^2+y^2+\nu^2z^2$, построенную с помощью квадратной призмы с ребрами длиной $1$, направленными вдоль координатных осей $Ox$ и $Oy$, и ребром длины $\nu$, направленным вдоль координатной оси $Oz$.

Плоскость $Oxy$ пересекает пространственную квадратную решетку по плоской квадратной решетке. Множество рациональных направлений плоской квадратной решетки обладает поворотом восьмого порядка, см. предложение 6. Следовательно, множество всех тех рациональных направлений тетрагональной (квадратной) пространственной решетки в $\mathbb R^3$, которые расположены в координатной плоскости $Oxy$, обладает поворотом восьмого порядка. К этому множеству можно добавить два противоположных направления вдоль оси $Oz$.

Любое более широкое подмножество множества рациональных направлений тетрагональной решетки в $\mathbb R^3$ поворотом восьмого порядка не обладает. В самом деле, рассмотрим произвольный примитивный вектор общего положения. Его координаты имеют вид $\{x, y, z\}$, где $x, y, z$ целые, $x^2+y^2\ne 0$ и $z\ne 0$. После поворота восьмого порядка вокруг оси $Oz$ получим вектор $\{(x-y)/\sqrt{2}, (x+y)/\sqrt{2}, z\}$. Так как здесь $z\ne 0$ и либо $x-y\ne 0$, либо $x+y\ne 0$, то направление повернутого вектора не является рациональным. Предложение доказано.

При трансцендентном $\nu$ направление оси порядка $n=4$ является единственным в решетке, основной репер которой задан метрической квадратичной формой $x^2+y^2+\nu^2z^2$. Если подмножество множества рациональных направлений этой квадратной решетки в $\mathbb R^3$ обладает поворотом восьмого порядка, то оно состоит из направлений, ортогональных оси и, быть может, параллельных ей. Все рациональные направления, ортогональные оси и параллельные ей, составляют нерасширяемое множество рациональных направлений с группой $C_8$.

Множество всех рациональных направлений гексагональной решетки в $\mathbb R^3$ обладает поворотом шестого порядка – одним из элементов ее голоэдрии.

Наконец, воспользуемся тем, что нормали к граням кристаллического многогранника направлены вдоль рациональных направлений в решетке, обратной к основной решетке кристаллической структуры. Следовательно, исследование группы симметрии многогранника сводится к исследованию группы симметрии совокупности нормалей к его граням.

Такая $kn$-угольная призма построена при $k=1$ (не построена при $k\geqslant 2$). При практическом применении предложения 13 в нем будет фигурировать пространственная точечная решетка, обратная к трансляционной точечной решетке идеальной кристаллической структуры.

§ 8. О поворотной оси порядка $n\geqslant 6$ в конечной группе

Великий Леонард Эйлер доказал следующую замечательную теорему: если движение (твердого) тела имеет неподвижную точку, то это поворот тела вокруг некоторой оси.

Для конечной группы движений в $\mathbb R^3$, совмещающих это тело с собой, известно следующее.

Доказательство. От противного. Пусть группа $G$ содержит две подгруппы $C_n\subseteq G$ одного и того же порядка $n\geqslant 6$. Тогда в силу конечности группы $G$ число всех таких подгрупп является конечным. Ось поворота группы $C_n$ пересекает сферу $\mathbb S^2$ с центром $O\in\mathbb R^3$ в двух диаметрально противоположных точках, вокруг которых $\mathbb S^2$ вращается при поворотах вокруг этой оси.

Точку пересечения сферы $\mathbb S^2$ с одной осью обозначим через $A$, а ближайшую к $A$ точку пересечения сферы $\mathbb S^2$ с остальными осями того же порядка обозначим через $V$. Размножим $A$ поворотами вокруг оси $OV$. Все $n\geqslant 6$ образов точки $A$ являются точками пересечения сферы $\mathbb S^2$ с осями поворотов порядка $n\geqslant 6$ из группы $G$. На $\mathbb S^2$ эти $n\geqslant 6$ образов точки $A$ являются вершинами правильного выпуклого $n$-угольника с центром на поворотной оси $OV$. Стороны $n$-угольника короче, чем $|AV|$. Это противоречит тому, что точка $V$ является ближайшей к $A$. Значит, если в группе $G$ есть подгруппа $C_n$ заданного порядка $n\geqslant 6$, то лишь одна. Предложение доказано.

§ 9. Правильная система точек в пространстве

Напомним, что группа симметрии многогранника с вершинами в узлах некоторой трансляционной точечной решетки в $\mathbb R^3$ является подгруппой голоэдрии либо самой этой решетки, либо некоторой ее полномерной подрешетки. Следовательно, эта группа является одной из $32$ точечных групп – знаменитых $32$ кристаллических классов Гадолина [10].

Для трансляционной точечной решетки грани огранки, эквивалентные в геометрическом смысле, являются эквивалентными в физическом и химическом смысле.

Приступим к нахождению группы многогранника, грани которого содержат узлы сеток трансляционных точечных решеток, входящих в правильную систему точек. Нормаль к грани многогранника задает не одну плоскость, а целое семейство параллельных плоскостей. То же самое можно сказать о соответствующих индексах Миллера. Но одно дело, если плоскости семейства содержат сетки одной и той же пространственной решетки, и совсем другое дело, если плоскости семейства содержат сетки разных решеток, принадлежащих правильной системе точек в $\mathbb R^3$, что впредь и будем предполагать. В первом случае плоскости граней задаются линейными уравнениями с рациональными коэффициентами. Во втором случае коэффициенты уравнений плоскостей граней не обязаны быть рациональными.

Рациональными являются коэффициенты уравнений плоскостей, проходящих через точку $O(0, 0, 0)$ и параллельных плоскостям граней. В основном репере решетки они задаются однородными линейными уравнениями с рациональными коэффициентами.

Правильной системой точек в $\mathbb R^3$ называют орбиту точки пространства относительно фёдоровской группы. Она состоит из конечного числа равных и параллельно расположенных в $\mathbb R^3$ трансляционных точечных решеток. Правильная система точек неограниченно простирается в $\mathbb R^3$ по всем направлениям. Однако нас интересует лишь конечная вырезка из правильной системы точек в виде замкнутого выпуклого многогранника. По определению плоскость каждой грани многогранника содержит плоскую сетку, принадлежащую хотя бы одной из пространственных решеток, входящих в правильную систему точек. Нормалями к плоскостям граней многогранника в правильной системе точек служат векторы решетки, обратной к основной трансляционной точечной решетке. Этот выбор многогранника в правильной системе точек является вполне естественным, он тесно связан с исследованием группы симметрии возможной огранки кристалла (внешней формы кристалла). Этот выбор согласуется с уже упомянутыми утверждениями из [7; с. 9] и [8; с. 94].

В следующем параграфе воспользуемся этим при исследовании симметрии кристаллического многогранника без учета положения в нем узлов правильной системы точек.

§ 10. Многогранник в правильной системе точек

Здесь исследуется симметрия возможной огранки правильной системы точек в $\mathbb R^3$. Сам по себе замкнутый выпуклый многогранник, как возможная огранка правильной системы точек, иногда может обладать поворотной осью порядка $n=8$ или $n=12$. При $6<n<\infty$ такой многогранник не может иметь осей другого порядка. При $n=8$ или $n=12$ этот многогранник имеет вид прямой $kn$-угольной призмы конечной высоты, см. предложение 13.

Действительно, с правильной системой точек мы связываем замкнутый выпуклый многогранник (кристаллографический многогранник), каждая грань которого содержит узлы плоской сетки хотя бы одной из всех тех точечных решеток, которые составляют правильную систему точек. Эти решетки равны и параллельны. Значит, равны и параллельны обратные им решетки. Можно сказать, что у них одна и та же обратная решетка, так как нам важны не ее узлы, а лишь направления в ней, примитивные векторы которых служат нормалями к граням многогранника. Нас интересует группа симметрии кристаллографического многогранника, точнее, группа симметрии множества нормалей к его граням.

Нас будет интересовать лишь внешняя форма многогранника. Внутреннее его устройство мы не будем учитывать. Таким образом, мы будем рассматривать изометричную копию внешней формы кристаллического многогранника. Это замкнутый выпуклый многогранник, гранями которого являются замкнутые выпуклые многоугольники.

Впредь от произвольного кристалличекого многогранника останется лишь его внешняя форма, лишенная всякого внутреннего содержания многогранника.

Наша цель – найти все группы таких многогранников, взятых самих по себе, чьи группы симметрии содержат циклические подгруппы порядка $n$, где $6<n<\infty$.

Поставленная задача фактически уже решена в предложениях 10 и 13 (последнее из них применяется для решетки, обратной к трансляционной точечной решетке).

В самом деле, в $\mathbb R^2$ были построены примеры правильных многоугольников, обладающих поворотом порядка $n=8$ или $n=12$, см. рис. 1 и рис. 2. Оба примера приводят к заявленным двум правильным системам точек в $\mathbb R^3$. А именно, плоскую правильную систему точек размножим параллельным переносом вдоль отрезка, ортогонального плоскости, в которой расположены рис. 1 или рис. 2, и всеми кратными ему переносами. Прямое произведение правильного восьмиугольника или правильного двенадцатиугольника на ортогональный ему отрезок представляет собой правильную восьмиугольную призму конечной высоты с группой симметрии $D_{8h}$ или правильную двенадцатиугольную призму конечной высоты с группой симметрии $D_{12h}$.

Кристаллический многогранник, как замкнутый выпуклый многогранник, взятый без учета его внутреннего строения, обладающий поворотной осью $C_n$ порядка $n=8$ или $n=12$, представляет собой прямую $kn$-угольную призму конечной высоты, правильную при $k=1$ с группой симметрии $D_{nh}$, неправильную при $k\geqslant 2$, быть может, с группой симметрии $D_{nh}$ или $C_{nh}$. Уточним предполагаемый вид группы симметрии при $k\geqslant 2$, учитывая, что прямая призма обладает плоскостью зеркальной симметрии, параллельной ее основаниям.

Рассмотрим вспомогательный список групп $S_8$, $C_8$, $C_{8v}$, $D_8$, $D_{4d}$, $D_{8d}$, $S_{16}$, $S_{12}$, $C_{12}$, $C_{12v}$, $D_{12}$, $D_{6d}$, $D_{12d}$, $S_{24}$. Группы $S_8$ и $D_{4d}$ обладают поворотной осью $C_4$. Группы $S_{12}$ и $D_{6d}$ обладают поворотной осью $C_6$. Порядок поворотной оси обеих групп удвоится, если в каждой добавить зеркальное отражение от плоскости, ортогональной оси. Остальные группы обладают обычной поворотной осью $C_n$ порядка $n=8$ или $n=12$ и не более. Расширим каждую группу, добавив зеркальное отражение от плоскости, ортогональной главной оси.

Очевидно, группы $S_8$ и $C_8$ расширятся до $C_{8h}$; группы $C_{8v}$, $D_8$, $D_{4d}$ расширятся до $D_{8h}$; расширения групп $D_{8d}$, $S_{16}$ содержат $C_{16}$; группы $S_{12}$, $C_{12}$ расширятся до $C_{12h}$; группы $C_{12v}$, $D_{12}$, $D_{6d}$ расширятся до $D_{12h}$; расширения групп $D_{12d}$, $S_{24}$ содержат $C_{24}$.

Группы $C_{16}$ и $C_{24}$ не являются осями рассматриваемой $kn$-угольной призмы. Только $D_{8h}$ и $C_{8h}$ или $D_{12h}$ и $C_{12h}$ входят в полный список групп, среди которых могут находиться группы симметрии $kn$-угольных призм, $k\in\mathbb N$, при $n=8$ или $n=12$ соответственно.

Подтверждение групп $C_{8h}$ и $C_{12h}$ нами не предпринималось. Группы $D_{8h}$ и $D_{12h}$ уже подтверждены на конкретных теоретических примерах, связанных с рис. 1 и рис. 2.

Таким образом, для правильной системы точек предложение 1 доказано.

С учетом содержащихся в гранях узлов сеток, как оказалось, боковая поверхность обеих $n$-угольных призм при $n=8$ или $n=12$ – это комбинация двух простых форм.

§ 11. О действиях кристаллографической точечной группы

Наличие групп с осями порядка $n=8$ или $n=12$ побудило нас по-новому взглянуть на кристаллографические точечные группы, так как элементы некоторых из них могут обладать необычными действиями. Так, например, в $\mathbb R^3$ обнаружен многогранник, представляющий собой огранку бирешетки и обладающий группой вращений, не все элементы которой совмещают трансляционную точечную решетку с собой. А именно, рассмотрим трансляционную точечную решетку с метрической квадратичной формой $x^2+2y^2+\nu^2z^2$, построенную с помощью прямоугольного параллелепипеда с ребрами длиной $1$, $\sqrt 2$ и $\nu$.

(Если $\nu$ трансцендентно, то отрезок длины $\nu$ не соизмерим ни с единичным отрезком оси $Ox$, равным $1$, ни с единичным отрезком оси $Oy$, равным $\sqrt{2}$, ни с любым другим примитивным отрезком прямоугольной решетки, расположенной в плоскости $Oxy$.)

Поворот вокруг оси $Oz$ на угол $\pi/2$ совмещает с собой направление оси $Oz$ и множество рациональных направлений прямоугольной решетки в плоскости $Oxy$, но он не совмещает с собой множество рациональных направлений пространственной решетки, занимающих общее положение, т. е. не из $Oxy$ и не вдоль $Oz$. В самом деле, принадлежащий решетке узел $(1, 0, k)$, $k\in\mathbb N$, при повороте вокруг оси $Oz$ на угол $\pi/2$ переходит в точку $(0, 1/\sqrt{2}, k)$, расположенную на луче, выпущенном из узла $O(0, 0, 0)$ в иррациональном направлении.

При повороте вокруг оси $Oz$ на угол $\pi/2$ рациональное направление в данной решетке переходит в рациональное направление, если и только если оно направлено вдоль оси $Oz$ или ортогонально ей. Многогранник, нормалями к граням которого служат рациональные направления, а поворот вокруг $Oz$ на угол $\pi/2$ совмещает этот многогранник с собой, является прямой призмой. В частности, если эта призма обладает минимальным числом боковых граней, то она представляет собой прямую квадратную (тетрагональную) призму. (Ее боковая поверхность является комбинацией двух простых форм. Примером такой призмы служит прямое произведение квадрата из рис. 3 на ортогональный ему отрезок длины $\nu$.)

Это не единственный пример такого действия элементов кристаллографической точечной группы. Однако здесь не ставилась цель описать все те случаи, которые могут встретиться. Например, достаточно взять трансляционную решетку с любой нетриклинной голоэдрией и взять ее подрешетку с триклинной голоэдрией. Возможную огранку этой решетки можно выбрать так, чтобы ее группа симметрии совпала с исходной голоэдрией.

§ 12. Произвольная кристаллическая структура

В классической кристаллографии идеальная кристаллическая структура в общем случае состоит из конечного числа правильных систем точек, построенных для одной и той же фёдоровской группы. Как и правильная система точек, она состоит из конечного числа равных и параллельных трансляционных точечных решеток. Выбор кристаллического многогранника в произвольно взятой кристаллической структуре ничем не отличается от выбора кристаллического многогранника в правильной системе точек и ни к чему новому не ведет. Многогранник может обладать поворотной осью порядка $n=8$ или $n=12$, что уже было получено для правильной системы точек. Осей иного порядка $n$ нет, если $6<n<\infty$.

Реальное существование правильной восьми или двенадцатиугольной призмы представляется нам маловероятным. Для их появления точки кристаллической структуры должны иметь иррациональные координаты. Должны быть специальные скорости роста граней и остановка роста должна произойти в подходящий момент. Плоскости граней с различными плотностями сеток должны оказаться на одном и том же расстоянии от центра многогранника. Возможность всего этого подтверждена лишь искусственными теоретическими примерами.

В каждой конечной группе ось восьмого или двенадцатого порядка может быть только одна. Этот общеизвестный факт из теории конечных точечных групп подтверждает предложение 14. С учетом предложений 10, 13 и 14 доказательство предложения 1 завершено.

Множество рациональных направлений в тетрагональной или гексагональной точечной решетке, расположенных в плоскости $\mathbb R^2$, совмещается с собой также и при поворотах бесконечного порядка, см. [16]. Оно совмещается с собой и в пространстве $\mathbb R^3$ при поворотах бесконечного порядка вокруг оси, ортогональной плоскости $\mathbb R^2$. Однако наличие оси бесконечного порядка (порожденной поворотом на иррациональную часть полного угла $2\pi$) еще не означает, что это может привести к огранке в виде прямого кругового цилиндра. Возможная огранка, как конечная вырезка из бесконечной кристаллической структуры, должна иметь вид замкнутого выпуклого многогранника с конечным числом граней.

§ 13. Заключение

Существенным вкладом в развитие классической кристаллографии являются исследования локальных свойств правильных систем точек, или систем Делоне, начатых в [27], [28] и продолженных в [13] и [17], [19], [21], [23]–[26]. Были найдены условия, накладываемые на систему Делоне, при которых она является правильной системой точек. Как оказалось, в системе Делоне все точки будут обладать одинаковыми глобальными окружениями в ней, если они обладают одинаковыми локальными окружениями, не большими, но не очень малыми.

В современной кристаллографии исследуют так называемые квазикристаллы, которые могут обладать поворотными осями восьмого, десятого, двенадцатого и иного порядка $n$, где $6<n<\infty$, см. [29]. Есть много разных определений квазикристалла, некоторые из них имеются в книге [30; дополнение 2]. С исследованием квазикристаллов, включая общее обсуждение и сопоставление некоторых определений квазикристалла, можно ознакомиться в обзоре [31].

Квазикристаллы никак не связаны с фёдоровскими группами. Группа поворотных частей движений фёдоровской группы не содержат осей порядка $n$ при условии $6<n<\infty$. Несмотря на это, возможная огранка кристалла, без учета узлов сеток, вообще говоря, может обладать осью порядка $n=8$ или $n=12$. Это может случиться в правильной системе точек, если среди координат точек встретятся иррациональные значения. Но иррациональности координат точек не достаточно. Они должны быть тесно связаны с огранкой.

Сказанное подтверждают лишь искусственные примеры, см. правильный восьмиугольник на рис. 1 и правильный двенадцатиугольник на рис. 2, а также § 10 и § 12.

На рис. 1 сторона минимального квадрата с вершинами в точках, принадлежащих правильной системе точек, равна $1$. Сторона следующего по величине квадрата равна $\sqrt {1,125}$. Стороны таких квадратов несоизмеримы и даже имеются на одной прямой. Значит, среди координат узлов этой системы точек имеется иррациональное число.

Интересно, встречаются ли в кристаллографии правильные системы точек с иррациональными координатами в кристаллографической системе координат и имеется ли техническая возможность подтвердить это или опровергнуть. Подтверждение нужно было бы искать среди кристаллов с иррациональными координатами узлов. Такими являются структуры с икосаэдрами в [29]. Вершины икосаэдра не могут обладать только рациональными координатами. Нормали к граням икосаэдра также не могут иметь лишь рациональные координаты, значит, они не содержатся среди нормалей к граням огранки кристалла.

Отметим, что дело обстоит не только в иррациональности координат. Выбор многогранника в правильной системе точек существенно отличается от его выбора в решетке. Многогранник в решетке имеет кристаллографическую симметрию, а многогранник в правильной системе точек может иметь некристаллографическую симметрию. Последнее связано с тем, что грани многогранника лежат в плоскостях сеток из разных трансляционных точечных решеток. Эти плоскости лишь чисто случайно могут оказаться на одном и том же расстоянии от точки пространства, неподвижной при вращениях, совмещающих многогранник с собой. Ясно, что это не закономерность [10], или правило. Допустимо ли это маловероятное в кристаллографии исключение из правил или нет – неизвестно.

В связи с иррациональными координатами мы упомянем еще раз и об иррациональных расстояниях. Отказ от иррациональных расстояний между точками того или иного геометрического объекта, см. предисловие редактора перевода [29], может привести к отказу от рассмотрения самого геометрического объекта. В самом деле, в $\mathbb R^2$ имеются два геометрических объекта – тетрагональная (квадратная) решетка и гексагональная решетка. Одной из основных ячеек тетрагональной решетки является квадрат. Если длина стороны квадрата равна $1$, то длина диагонали равна $\sqrt 2$. Одной из основных ячеек гексагональной решетки является ромб, составленный из двух правильных треугольников. Если длина одной диагонали ромба равна $1$, то длина другой диагонали равна $\sqrt 3$. Обе плоские решетки являются сетками соответствующих двух решеток в $\mathbb R^3$, см. также предложение 2. В классическом кристалле вместе с рациональными параметрами всегда присутствуют иррациональные.

Автор благодарен В. М. Бухштаберу, Н. П. Долбилину, Н. Ю. Ероховцу, М. Д. Ковалёву, А. Ю. Попову за ценные предложения в ходе обсуждения результатов этой работы. Отдельно автор выражает благодарность рецензенту за внимательное прочтение всей рукописи и существенные замечания, направленные на улучшение текста, в частности, на устранение допущенных пробелов.