Известия Российской академии наук. Серия математическая
RUS  ENG    ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ПАКЕТ AMSBIB  
Общая информация
Последний выпуск
Скоро в журнале
Архив
Импакт-фактор
Правила для авторов
Загрузить рукопись

Поиск публикаций
Поиск ссылок

RSS
Последний выпуск
Текущие выпуски
Архивные выпуски
Что такое RSS


Изв. РАН. Сер. матем.:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
Найти




Персональный вход:
Логин:
Пароль:
Запомнить пароль
Войти
Забыли пароль?
Регистрация

Известия Российской академии наук. Серия математическая, 2021, том 85, выпуск 2, страницы 142–171
DOI: https://doi.org/10.4213/im8995 (Mi im8995) 		 
Эта публикация цитируется в 15 научных статьях (всего в 15 статьях)

Свойства монотонно линейно связных множеств

И. Г. Царьковab

a Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, механико-математический факультет
b Московский Центр фундаментальной и прикладной математики
PDF полного текста (605 kB) PDF английской версии (550 kB) Полный текст в HTML Список цитирования (15)
Список литературы:
PDF
HTML
DOI: https://doi.org/10.4213/im8995
Аннотация: Изучаются монотонно линейно связные множества, а также сильно и слабо связные по Менгеру множества. Вводится новое понятие $\varepsilon$-солнечности и устанавливается его связь с понятием солнечности. Доказывается, что ограниченно компактные солнца в $C(Q)$ являются монотонно линейно связными множествами.
Библиография: 14 наименований.
Ключевые слова: промежутки, монотонно линейно связные множества, связность по Менгеру, солнечность.
Финансовая поддержка Номер гранта
Российский фонд фундаментальных исследований 19-01-00332-a
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 19-01-00332-a).
Поступило в редакцию: 27.11.2019
Исправленный вариант: 24.07.2020
Англоязычная версия:
Izvestiya: Mathematics, 2021, Volume 85, Issue 2, Pages 306–331
DOI: https://doi.org/10.1070/IM8995
Реферативные базы данных:
Тип публикации: Статья
УДК: 517.982.256
MSC: 41A65, 52A30, 54C65

§ 1. Введение

В теоретических и практических вопросах особое место занимает задача построения алгоритма для нахождения наилучшего или почти наилучшего приближения. Чаще в основе такого рода алгоритмов лежит характеризационное свойство элементов наилучшего приближения. В геометрической теории приближения такие свойства формулируются в виде свойств солнечности аппроксимирующего множества, поскольку свойства солнечности или строгой солнечности суть эквивалентные переформулировки известного критерия Колмогорова характеризации элемента наилучшего приближения. Отметим, что изначально критерий Колмогорова был получен для подпространств, затем перенесен на случай выпуклых множеств, но самым естественным классом множеств, для которых он имеет место, оказался класс строгих солнц.

Через $B(x,r)$ и $\mathring{B}(x,r)$ обозначим соответственно замкнутый и открытый шары в линейном нормированном пространстве $(X,\|\,{\cdot}\,\|)$ (в дальнейшем для краткости будем обозначать как $X$) с центром $x$ радиуса $r$, т. е. соответственно множества $\{y\in X\mid \|y-x\|\leqslant r\}$ и $\{y\in X\mid \|y-x\|< r\}$. Через $S(x,r)$ обозначим сферу с центром $x$ радиуса $r$, т. е. множество $\{y\in X\mid \|y-x \|=r\}$. Нам также понадобится обозначение единичной сферы $S^*$ сопряженного пространства $X^*$ (в случае обычного линейно нормированного пространства $X$). И через $\operatorname{ext}S^*$ будем обозначать множество всех ее экстремальных функционалов.

Для произвольного множества $M$ в некотором нормированном пространстве $X$ через $\varrho(y,M)$ ($y\in X$, $M\subset X$) обозначим расстояние до множества $M$, т. е. величину $\inf_{z\in M}\|z-y\|$.

Через $P_Mx$ обозначим множество всех ближайших точек из $M$ для $x\in X$, т. е. множество $\{y\in M\mid \|y-x\|=\varrho(x,M)\}$. Для произвольных $x\in X $ и $\delta>0$ рассмотрим также метрические $\delta$-проекции $P_M^\delta x$ и $\mathring{P}_M^\delta x$, представляющие собой соответственно множества $\{y\in M\mid \|y-x\|\leqslant\varrho(x,M)+\delta\}=M\cap B(x,\varrho(x,M)+\delta)$ и $\{y\in M\mid \|y-x\|<\varrho(x,M)+\delta\}=M\cap \mathring{B}(x,\varrho(x,M)+\delta)$.

Определение 1. Пусть $\varepsilon\geqslant 0 $, $M\subset X$. Отображение $\varphi\colon X\to M$ называется аддитивной (мультипликативной) $ \varepsilon $-выборкой, если для всех $x\in X $ выполняется включение

$$ \begin{equation*} \varphi(x)\in P_M^\varepsilon x \end{equation*} \notag $$
(соответственно $ \varphi(x)\in P_M^{\varepsilon\varrho(x,M)} x $). В случае, когда эти включения выполняются на некотором множестве $E\subset X$, говорят о $ \varepsilon $-выборке на $E$.

Часто для установления существования непрерывной $\varepsilon$-выборки бывает достаточно установить монотонную связность (в каком-нибудь смысле) аппроксимирующего множества. В этой работе уделяется особое внимание свойствам таких множеств по отношению к аппроксимативным и структурным характеристикам. В основном изучаются соотношения свойств солнечности, связности, устойчивости почти метрической проекции (в смысле существования непрерывной $\varepsilon$-выборки) и свойства монотонной линейной связности. В частности известно, что аппроксимативно компактное монотонно линейно связное множество допускает на себя непрерывные $\varepsilon$-выборки для всех $\varepsilon>0$ (см. [1; теорема 3]), что говорит об особом положении таких множеств в вопросах устойчивости аппроксимации.

Интересна и другая сторона монотонно линейно связных (и монотонно связных по Менгеру) множеств, связанная со свойством солнечности таких множеств. Это свойство в различных пространствах изучалось многими авторами, в частности Брауном, Беренсом, Алимовым (подробнее с этой темой можно ознакомиться в обзоре [2]). Также интересен для изучения частный случай монотонно линейно связных множеств – случай промежутков (в некоторых работах называемых брусами). Этот интерес к промежуткам и их свойствам обусловлен ролью этих объектов в различных задачах аппроксимации (см. [3]). В частности отметим, что множество чебышёвских центров произвольного ограниченного множества является промежутком, множество относительных чебышёвских центров (относительно множества $V$) представляет собой пересечение промежутка и множества $V$.

Достаточно интересен следующий вопрос: в каких пространствах или при каких условиях сумма монотонно линейно связного множества и промежутка является монотонно линейным связным множеством? В этой работе, в частности, доказано, что сумма монотонно линейно связного множества и открытого шара (как специального промежутка) в $C(Q)$ является монотонно линейно связным множеством (теорема 3). Здесь и везде далее $Q$ – метрический компакт, $C(Q)$ – пространство действительных непрерывных функций на $Q$ с равномерной нормой, а $m(E)$ – пространство действительных ограниченных функций на непустом множестве $E$ с равномерной нормой. Безусловный интерес представляет собой также задача о структуре солнца в негладких пространствах. В этой работе мы доказываем, что в пространствах $X=C(Q)\vee m(E)$ всякое ограниченно компактное солнце является сильно связным по Менгеру и, следовательно, монотонно линейно связным (теорема 13). Отсюда следует, что для класса ограниченно компактных непустых множеств свойство солнечности совпадает со свойством монотонной линейной связности. В работе вводится также новое аппроксимативное понятие – $\varepsilon$-солнце. Для него показано, что оно $\varepsilon$-близко к обычному солнцу (теорема 8), а также, что такой объект как $\varepsilon$-солнце появляется при наличии аддитивной $\varepsilon$-выборки (для некоторого фиксированного $\varepsilon>0$) с естественным специальным свойством (теорема 9).

§ 2. Аддитивные свойства монотонных множеств

Здесь надо напомнить определение сегмента $[\![ x,y]\!]$ и промежутка в линейном нормированном пространстве $X$:

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, [\![ x,y]\!] &:= \bigl\{z\in X\mid \min \{\varphi(x),\varphi(y)\} \leqslant \varphi(z)\leqslant \max \{\varphi(x),\varphi(y)\} \ \forall\, \varphi \in \operatorname{ext} S^*\bigr\} \\ &= \bigl\{z\mid \varphi (z) \in [\varphi (x),\varphi (y)]\bigr\}. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$

На самом деле, если взять произвольное подмножество $\mathcal{A} \subset \operatorname{ext} S^*$ такое, что $\mathcal{A} \cup (-\mathcal{A})=\operatorname{ext} S^*$, то

$$ \begin{equation*} [\![ x,y]\!] = \bigl\{z\in X\mid f(z)\in [f(x),f(y)]\ \forall\, f\in \mathcal{A}\bigr\}. \end{equation*} \notag $$
Например, для $X=C(Q)$ удобно в качестве $\mathcal{A}$ выбирать функционалы, сопоставляющие функции $\varphi \in C(Q)$ ее значения в точках $t\in Q$. В этом случае для любых $\varphi, \psi \in C(Q)$
$$ \begin{equation*} [\![\varphi ,\psi ]\!] = \bigl\{ g\in C(Q)\mid g(t) \in [\varphi (t),\psi(t)]\ \forall\, t\in Q\bigr\}. \end{equation*} \notag $$

С выбором множества $\mathcal{A} \subset \operatorname{ext} S^*$, $\mathcal{A} \cup (-\mathcal{A})=\operatorname{ext} S^*$, можно связать линейное отображение $c\colon X\to c(X)$, сопоставляющее элементу $x\in X$ функцию $c(x)\colon \mathcal{A}\to \mathbb{R}$, принимающую значение $x(x^*): = x^*(x)$ на элементе $x^*\in \mathcal{A}$. Таким образом, $c(X)$ — пространство непрерывных функций на $\mathcal{A}$, являющееся сужением на $\mathcal{A}$ непрерывных линейных функционалов из $X$, действующих на $X^*$. На $c(X)$ мы рассматриваем равномерную норму, т. е.

$$ \begin{equation*} \| c(x) \|= \sup_{x^*\in \mathcal{A}}|x(x^*)|. \end{equation*} \notag $$
Нетрудно видеть, что отображение $c\colon X\to c(X)$ является изометрией. Таким образом, мы вкладываем пространство $X$ как подпространство $c(X)$ в пространство $m(\mathcal{A})$ ограниченных функций на $\mathcal{A}$ с равномерной нормой. Удобно будет отождествлять пространства $X$ и $c(X)$.

Множество $\Pi\subset X$ называется промежутком, если для всех $x,y\in \Pi$ верно включение $[\![ x,y]\!] \subset \Pi$. Отметим, что промежутками в $m(\mathcal{A})$ являются множества

$$ \begin{equation*} P=P(\{I_{x^*}\}_{x^*})=\bigcap_{x^*\in \mathcal{A}}\Pi(x^*,I_{x^*}), \end{equation*} \notag $$
где $I_{x^*}\subset \mathbb{R}$ – промежуток, а
$$ \begin{equation*} \Pi(x^*,I_{x^*}):=\{f\in m(\mathcal{A})\mid f(x^*)\in I_{x^*}\}. \end{equation*} \notag $$
При этом любой промежуток $\Pi\subset X$ получается пересечением $X$ и некоторого промежутка $P$ из $m(\mathcal{A})$. Ядром промежутка $P$ назовем множество
$$ \begin{equation*} \mathring{P}:=\bigcap_{x^*\in \mathcal{A}}\Pi(x^*,\mathring{I}_{x^*}), \end{equation*} \notag $$
где $\mathring{I}_{x^*}\subset \mathbb{R}$ – внутренность промежутка $I_{x^*}$.

Можно показать, что непустое пересечение промежутков есть промежуток, а кроме того, промежуток, умноженный на число, – промежуток. Пустое множество можно по определению считать промежутком.

Нетрудно заметить, что любые два промежутка в $m(\mathcal{A})$, пересечение которых имеет пустое ядро, можно разделить некоторым экстремальным функционалом Дирака $\delta_t$, сопоставляющим функциям их значение в точке $t\in \mathcal{A}$. В частности, можно отделить таким подходящим функционалом непустой произвольный промежуток $P$ в $m(\mathcal{A})$ и произвольную точку $x\in m(\mathcal{A})\setminus \mathring{P}$. Поскольку промежуток $\Pi\subset X$ есть пересечение пространства $X$ и подходящего промежутка $P$ из $m(\mathcal{A})$ (напоминаем, что $X$ и $c(X)$ отождествляются), то любая точка

$$ \begin{equation*} x\in X\setminus \mathring{\Pi},\qquad \mathring{\Pi}:=\mathring{P}\cap X, \end{equation*} \notag $$
отделяется от промежутка $\Pi$ экстремальным функционалом из $\mathcal{A}$, который в свою очередь является сужением некоторого функционала Дирака на $X$.

На самом деле, для обсуждения вопроса об отделении точки требуется более расширенное понятие по сравнению с промежутком, а именно – обобщенный промежуток. Обобщенным промежутком в $m(\mathcal{A})$ называется множество $V$, которое получается из замкнутого промежутка $\Pi$ отбрасыванием некоторого множества его точек, не принадлежащих его ядру. Ядром обобщенного промежутка, конечно, будет промежуток $\mathring{V}:=\mathring{\Pi}$. Нетрудно убедиться в том, что всякая точка $x\in m(\mathcal{A})$ отделяется экстремальным функционалом от обобщенного промежутка $V$, если $x\notin \mathring{V}$. Более того, отметим, что все обобщенные промежутки в $m(\mathcal{A})$ характеризуются как множества, которые отделяются (в нестрогом смысле) от не принадлежащих им точек при помощи некоторых экстремальных функционалов единичной нормы. Далее мы можем определить обобщенные промежутки в $X$. Множество $P\subset X$ называется обобщенным промежутком в $X$, если $P=V\cap X$, где $V$ – обобщенный промежуток в $m(\mathcal{A})$. Его ядром называется множество $\mathring{P}:=\mathring{V}\cap X$. Поэтому в $X$ имеет место аналогичная характеризация: множество $P$ является обобщенным промежутком в $X$ тогда и только тогда, когда все точки, не принадлежащие $\mathring{P}$, отделяются (в нестрогом смысле) от $P$ при помощи некоторого экстремального функционала единичной нормы из $X^*$.

Задача разделения двух промежутков в пространстве $X$ является более сложной даже в том случае, когда эти промежутки не пересекаются. Обозначим через $\mathcal{T}(\Pi)$ канонический промежуток промежутка $\Pi\subset X$ (напоминаем, что мы отождествили $X$ и $c(X)$), положив его равным пересечению $\bigcap_{P\supset \Pi}P$ по всем промежуткам $P$ в $m(\mathcal{A})$, содержащим промежуток $\Pi\subset X$. Конечно, $\mathcal{T}(\Pi)$ – промежуток в $m(\mathcal{A})$. Нетрудно видеть, что промежутки $\Pi_1$ и $\Pi_2$ из $X$ можно разделить экстремальным функционалом из $\mathcal{A}$ тогда и только тогда, когда промежутки $P_1=\mathcal{T}(\Pi_1)$ и $P_2=\mathcal{T}(\Pi_2)$ можно разделить некоторым функционалом Дирака в пространстве $m(\mathcal{A})$, т. е. в случае, когда ядро промежутка $P_1\cap P_2$ пусто. В свою очередь, промежутки $\Pi_1$ и $\Pi_2$ из $X$ можно разделить экстремальным функционалом из $\mathcal{A}$ тогда и только тогда, когда можно отделить ноль от разности множеств $\Pi_1$ и $\Pi_2$ некоторым экстремальным функционалом из $\mathcal{A}$. В работе [4] было доказано, что в пространстве $\ell^1_3$ существуют замкнутые непересекающиеся промежутки (в указанной работе авторы называют их брусами), которые нельзя разделить никаким экстремальным функционалом.

Рассмотрим два произвольных промежутка $P\,{=}\,P(\{I_{x^*}\}_{x^*})$ и $R\,{=}\,R(\{J_{x^*}\}_{x^*})$ из $m(\mathcal{A})$. Тогда их сумма $P+R$ равна

$$ \begin{equation*} \bigcap_{x^*\in \mathcal{A}}\Pi(x^*,I_{x^*}+J_{x^*}) \end{equation*} \notag $$
и, следовательно, является промежутком в $m(\mathcal{A})$. Аналогично сумма любых промежутков в $C(Q)$ также является промежутком. В частности, любая равномерная окрестность промежутка – промежуток. Сумма же двух промежутков в произвольном пространстве $X$ уже может не быть промежутком. Это вытекает из следующего факта: разность двух замкнутых непересекающихся непустых промежутков $\Pi_1$ и $\Pi_2$ можно отделить от нуля экстремальным функционалом из $\mathcal{A}$ только в случае, когда эти промежутки можно разделить экстремальным функционалом из $\mathcal{A}$. Однако, если последнее сделать невозможно, то $\Pi:=\Pi_1-\Pi_2=\Pi_1+(-\Pi_2)$ не может быть промежутком, поскольку в противном случае мы смогли бы отделить $\Pi$ от нуля. Пример из работы [4], как раз и показывает, что такие промежутки $\Pi_1$ и $\Pi_2$ могут найтись в некоторых пространствах $X$.

На самом деле, имеет место следующее утверждение.

Теорема 1. Для того, чтобы разность двух обобщенных промежутков $A$ и $B$ в пространстве $X$ была обобщенным промежутком в $X$ необходимо и достаточно, чтобы для всех их сдвигов $A_v:=A+v$ и $B_w:=B+w$ $(v,w\in X)$, непересекающихся (или непересекающихся по ядрам этих сдвигов), эти сдвиги $A_v$ и $B_w$ можно было разделить при помощи некоторого экстремального функционала единичной нормы из $X^*$.

Доказательство. Сначала заметим, что если множества $A_v$ и $B_w$ разделяются некоторым экстремальным функционалом единичной нормы $x^* $, то этот же функционал отделяет точку $v-w$ от разности $A-B$. Отметим, что условие непересечения множеств $A_v$ и $B_w$ своими ядрами (или простого непересечения) означает, что точка $w-v$ не принадлежит ядру $A-B$, если, конечно, $A-B$ – обобщенный промежуток. В этом случае можно отделить эту точку от $A-B$ подходящим экстремальным функционалом единичной нормы. Кроме того, подбирая различные $v,w\in X$, можно получить в качестве их разности $u=w-v$ любую точку, не принадлежащую ядру обобщенного промежутка $A-B$ (или самому множеству $A-B$). Как мы уже отмечали, все такие точки можно отделить при помощи подходящего экстремального функционала от множества $A-B$, если это множество – обобщенный промежуток.

С другой стороны, если $A-B$ не является обобщенным промежутком, то найдется точка $w$, не принадлежащая этому множеству и которую нельзя отделить от $A-B$ некоторым экстремальным функционалом единичной нормы. И, следовательно, нельзя разделить множества $A$ и $B_w$ экстремальным функционалом единичной нормы. Таким образом, теорема доказана.

Примером простого промежутка является шар в пространстве $m(\mathcal{A})$ или соответственно в $X$.

Определение 2. Путь $p\colon [0,1]\to X$ (непрерывное отображение) в линейном нормированном пространстве $(X,\|\,{\cdot}\,\|)$ называется монотонным, если для любого функционала $x^*\in\operatorname{ext}S^*$ функция $x^*(p(t))$ является монотонной. Геометрически это означает, что поверхности уровня такого функционала (т. е. соответствующие гиперплоскости) этот путь пересекают один раз или по следу некоторого его подпути. Таким образом, прообразы пересечения с соответствующими гиперплоскостями являются отрезками (возможно вырожденными). Множество $M$ называется монотонно линейно связным, если любые две точки этого множества можно соединить монотонным путем, след которого лежит в $M$.

Нетрудно видеть, что любое выпуклое множество является монотонно линейно связным множеством, а пересечение монотонно линейно связного множества и промежутка является монотонно линейным связным множеством. Подробно со свойствами монотонно линейных связных множеств, а также множеств, связных по Менгеру (будет рассмотрено позже), можно ознакомиться в работе [2].

Замечание 1. В любом линейном нормированном пространстве $X$ из условия, что $M=\bigcup_{n\in \mathbb{N}}M_n$, где каждое $M_n$ – монотонно линейно связное множество, и $M_n\subset M_{n+1}$ $(n\in \mathbb{N})$, вытекает, что $M$ – монотонно линейно связное множество. Действительно, для любых точек $a,b\in M$ найдется номер $n$, для которого $a,b\in M_n$, а следовательно, существует монотонный путь, соединяющий точки $a$ и $b$, и след которого лежит в $M_n\subset M$.

Следствие 1. Множество $M$ монотонно линейно связно тогда и только тогда, когда для любой расширяющейся последовательности шаров, объединение которых содержит $M$, пересечение с каждым шаром такой последовательности или пусто, или монотонно линейно связно.

Доказательство. Утверждение непосредственно вытекает из замечания 1 и того, что непустое пересечение монотонно линейно связного множества с промежутком (а шар – это промежуток) также монотонно линейно связно.

Следствие 2. Множество $M$ монотонно линейно связно тогда и только тогда, когда его непустое пересечение с произвольным шаром монотонно линейно связно.

Теорема 2. Пусть $M$ – монотонно линейно связное непустое множество и $N$ – замкнутый промежуток в пространстве $\ell^\infty_n$. Тогда их арифметическая сумма $M+N$ является монотонно линейно связным множеством.

Доказательство. Утверждение тривиально сводится к случаю, когда $M$ – след некоторого монотонного пути. Действительно, для любых точек $s,t\in (M+N)$ найдутся точки $c,d\in M$: $s\in c+N$ и $t\in d+N$. Пусть $p\colon [0,1]\,{\to}\,M$ – монотонный путь, соединяющий точки $c$ и $d$. Если мы докажем, что множество $p([0,1])+N$ монотонно линейно связно, то найдется монотонный путь, соединяющий точки $s$ и $t$ и лежащий во множестве $p([0,1])+N\subset M+N$. Таким образом, доказательство сводится к случаю, когда $M$ – след некоторого монотонного пути, а следовательно, компактное монотонно линейно связное множество. Отметим, что в этом случае, множество $M+N$ будет замкнутым.

Поскольку для любого шара $B(x,R)$: $N\cap B(x,R)\neq \varnothing$, промежуток $N_R:=N\cap B(x,R)$ замкнут и ограничен, и

$$ \begin{equation*} M+N=\bigcup_n(M+N_{R_n})\quad\text{при}\quad R_n\to\infty, \end{equation*} \notag $$

то в силу замечания 1 без потери общности можно считать, что $N$ – ограниченный замкнутый промежуток, а следовательно, является сегментом в $\ell^\infty_n$. Рассмотрим сначала случай, когда $N=[\![ \mathbf{a},\mathbf{b}]\!]$ является невырожденным сегментом, т. е. $a_i\,{<}\,b_i$ $(i\,{=}\,1,\dots,n)$, где $\mathbf{a}\,{=}\,(a_1,\dots,a_n),\mathbf{b}\,{=}\,(b_1,\dots,b_n)\,{\in}\, \ell^\infty_n$. Отметим, что этот сегмент является $n$-мерным параллелепипедом $\prod_{i=1}^n[a_i,b_i]$. Так как параллельный сдвиг монотонно линейно связного множества является монотонно линейно связным множеством, то без потери общности можно считать, что $\mathbf{0}=(0,\dots,0)$ – центр симметрии сегмента-параллепипеда $[\![ \mathbf{a},\mathbf{b}]\!]$. Поскольку изоморфизм $T(x_1,\dots,x_n):=(\alpha_1 x_1,\dots,\alpha_n x_n)$ и обратный к нему, где $\alpha_i:=(b_i-a_i)/2$ $(i=1,\dots,n)$, не меняет монотонность пути в пространстве $\ell^\infty_n$, то достаточно доказать, что $T^{-1}(M)+B(0,1)$ – монотонно линейно связное множество (здесь мы пользуемся тем, что $[\![ \mathbf{a},\mathbf{b}]\!]=T(B(0,1))$). Отметим, что монотонно линейно связное множество (см. [5]) обладает непрерывной $\varepsilon$-выборкой для всех $\varepsilon>0$. В [6] было доказано, что любая замкнутая $r$-окрестность множества, обладающего непрерывной $\varepsilon$-выборкой для всех $\varepsilon>0$, обладает непрерывной $\varepsilon$-выборкой для всех $\varepsilon>0$. Как показал А. Р. Алимов [5], в $\ell^\infty_n$ это свойство равносильно монотонной линейной связности. Таким образом, множество $T^{-1}(M)+B(0,1)$, являющееся $1$-окрестностью множества $T^{-1}(M)$ монотонно линейно связно. Отсюда $M+[\![ \mathbf{a},\mathbf{b}]\!]$ – монотонно линейно связно.

Рассмотрим теперь случай, когда $[\![ \mathbf{a},\mathbf{b}]\!]$ – вырожденный сегмент. Обозначим для произвольного $\varepsilon>0$ через $\mathbf{e}$ вектор $(\varepsilon,\dots,\varepsilon)$. Тогда $[\![ \mathbf{a},\mathbf{b}]\!]+B(0,\varepsilon)=[\![ \mathbf{a}-\mathbf{e},\mathbf{b}+\mathbf{e}]\!]$ – невырожденный сегмент, и $M+[\![ \mathbf{a}-\mathbf{e},\mathbf{b}+\mathbf{e}]\!]=(M+N)+B(0,\varepsilon)$ является замкнутой $\varepsilon$-окрестностью множества $M+N$. Поскольку это множество в силу предыдущего рассмотрения монотонно линейно связно, то на него есть непрерывная $\varepsilon$-выборка. Из произвольности выбора $\varepsilon$ и леммы 2 из работы [1] вытекает, что множество $M+N$ также обладает непрерывной $\varepsilon$-выборкой для произвольного $\varepsilon>0$. Отсюда, как мы уже отмечали, вытекает, что $M+N$ монотонно линейно связно в пространстве $\ell^\infty_n$. Теорема доказана.

Теорема 3. Пусть $M$ – монотонно линейно связное непустое множество в пространстве $C(Q)$, где $Q$ – метрический компакт. Тогда арифметическая сумма $M+\mathring{B}(0,R)$ $(R> 0)$ является монотонно линейно связным множеством.

Доказательство. Рассмотрим произвольные функции $\varphi,\psi\in M+\mathring{B}(0,r)$. Существуют функции $f,g\in M$ такие, что $\varphi\in (f+\mathring{B}(0,R))=\mathring{B}(f,R)$ и $\psi\in (g+\mathring{B}(0,R))=\mathring{B}(g,R)$. Пусть $r(\,{\cdot}\,)[u]\colon [0,1]\to C(Q)$ – монотонный путь, соединяющий $f$ и $g$ (здесь и далее под переменной $u$ в квадратных скобках мы будем обозначать переменную пути, переменная в круглых скобках – это переменная элемента (как функции) пространства $C(Q)$). Приступим к построению монотонного пути
$$ \begin{equation*} \kappa(\,{\cdot}\,)[u]\colon [0,2]\to (M+\mathring{B}(0,R))\subset C(Q), \end{equation*} \notag $$
соединяющего $\varphi$ и $\psi$. Рассмотрим сначала случай, когда для некоторой точки $t\in Q$ выполнено неравенство $f(t)\geqslant g(t)$. Тогда $r(t)[u]$ монотонно нестрого убывает (по переменной $u$). Если $\varphi(t)\geqslant \psi(t)$, то для всех $u\in [0,1] $ положим
$$ \begin{equation*} \kappa(t)[u]:=\max\{\varphi(t)-f(t)+r(t)[u],\psi(t)\}, \end{equation*} \notag $$
нетрудно видеть, что в этом случае $\kappa(t)[\,{\cdot}\,]$ нестрого монотонно убывает на отрезке $[0,1]$. Если $\varphi(t)\leqslant \psi(t)$, то для всех $u\in [0,1] $ положим $\kappa(t)[u]:=\varphi(t)$. Отметим, что в этом случае можно считать, что $\kappa(t)[\,{\cdot}\,]$, по нашему выбору, нестрого монотонно или убывает, или возрастает на отрезке $[0,1]$. И в обоих рассматриваемых случаях положим $\kappa(t)[u]:=(2-u)\kappa(t)[1]+(u-1)\psi(t)$ для всех $u\in [1,2]$. Учитывая, что $\kappa(t)[1]\geqslant \psi(t)$ для первого случая и $\kappa(t)[1]=\varphi(t)\leqslant \psi(t)$ для второго случая, мы получим, что $\kappa(t)[\,{\cdot}\,]$ в первом случае монотонно убывает в нестрогом смысле на отрезке $[0,2]$, а во втором – монотонно возрастает в нестрогом смысле на отрезке $[0,2]$. В первом случае пусть $u_0\in [0,1]$ – максимальное число, при котором $\varphi(t)-f(t)+r(t)[u]\geqslant\psi(t)$, тогда $|\kappa(t)[u]-r(t)[u]|=|\varphi(t)-f(t)|<R$ для всех $u\in [0,u_0]$, и $|\kappa(t)[u]-r(t)[u]|<R$ при всех $u\in [u_0,1]$. Последнее неравенство вытекает из того, что или $u_0=1$, и поэтому $|\kappa(t)[u]-r(t)[u]|=|\psi(t) -g(t)|<R$, или $u_0<1$, и поэтому
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, -R&\leqslant -|\varphi(t)-f(t)|\leqslant\varphi(t)-f(t)\leqslant\psi(t)-r(t)[u] =\kappa(t)[u]-r(t)[u] \\ &\leqslant\psi(t)-r(t)[1]=\psi(t)-g(t)\leqslant |\psi(t)-g(t)|<R \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
при всех $u\in [u_0,1]$. Пусть теперь $u\in [1,2]$. Имеют место неравенства
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, -R&<\psi(t)-g(t)\leqslant \kappa(t)[1]-g(t)= \max\{\varphi(t)-f(t)+g(t),\psi(t)\}-g(t) \\ &=\max\{\varphi(t)-f(t),\psi(t)-g(t)\}<R, \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
поэтому
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, -R&=(2-u)(-R)+(u-1)(-R)<(2-u)(\kappa(t)[1]-g(t))+(u-1)(\psi(t)-g(t)) \\ &=\kappa(t)[u]-g(t)<(2-u)R+(u-1)R=R. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$

Во втором случае $\varphi(t)\leqslant\kappa(t)[u]\leqslant\psi(t)$ для всех $u\in [0,2]$. И, следовательно,

$$ \begin{equation*} -R<\varphi(t)-f(t)\leqslant\kappa(t)[u]-r(t)[u]\leqslant \psi(t)-g(t)<R \end{equation*} \notag $$
для всех $u\in [0,1]$. Пусть теперь $u\in [1,2]$. Тогда
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, -R&<\varphi(t)-g(t) =(u-2)\varphi(t)+(u-1)\varphi(t)-g(t) \leqslant\kappa(t)[u]-g(t) \\ &=(u-2)\varphi(t)+(u-1)\psi(t)-g(t) \leqslant (u-2)\psi(t)+(u-1)\psi(t)-g(t) \\ &=\psi(t)-g(t)<R. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$

Аналогично разбирается случай, когда для некоторой точки $t\in Q$ выполнено неравенство $f(t)\leqslant g(t)$. Тогда $r(t)[u]$ монотонно нестрого возрастает. Если $\varphi(t)\leqslant \psi(t)$, то для всех $u\in [0,1] $ положим

$$ \begin{equation*} \kappa(t)[u]:=\min\{\varphi(t)-f(t)+r(t)[u],\psi(t)\}, \end{equation*} \notag $$
нетрудно видеть, что в этом случае $\kappa(t)[\,{\cdot}\,]$ нестрого монотонно возрастает на отрезке $[0,1]$. Если $\varphi(t)\geqslant \psi(t)$, то для всех $u\in [0,1] $ положим $\kappa(t)[u]:=\varphi(t)$. Отметим, что в этом случае можно считать, что $\kappa(t)[\,{\cdot}\,]$, по нашему выбору, нестрого монотонно или убывает, или возрастает на отрезке $[0,1]$. В обоих случаях положим
$$ \begin{equation*} \kappa(t)[u]:=(2-u)\kappa(t)[1]+(u-1)\psi(t) \end{equation*} \notag $$
для всех $u\in [1,2]$. Проводя рассуждения, аналогичные ранее проведенным, мы получим, что в случае $\varphi(t)\leqslant \psi(t)$ функция $\kappa(t)[\,{\cdot}\,]$ нестрого монотонно возрастает на отрезке $[0,2]$, а в случае $\varphi(t)\geqslant \psi(t)$ функция $\kappa(t)[\,{\cdot}\,]$ нестрого монотонно убывает на отрезке $[0,2]$. Кроме того, $|\kappa(t)[u]-r(t)[u]|<R$ для всех $u\in [0,1]$, и $|\kappa(t)[u]-g(t) |<R$ для всех $u\in [1,2]$.

Отсюда следует, что $\kappa(\,{\cdot}\,)[u]\in r(\,{\cdot}\,)[u]+\mathring{B}(0,R)\subset M+\mathring{B}(0,R)$ для всех $u\in [0,1]$, и $\kappa(\,{\cdot}\,)[u]\in g(\,{\cdot}\,)+\mathring{B}(0,R)\subset M+\mathring{B}(0,R)$ для всех $u\in [1,2]$. Непрерывность отображения $\eta(u):=\kappa(\,{\cdot}\,)[u]$ как отображения отрезка $[0,2]$ в пространство $C(Q)$ нетрудно проверить. Отсюда $M+\mathring{B}(0,R)$ $(R> 0)$ является монотонно линейно связным множеством. Теорема доказана.

§ 3. Свойство солнечности в полиэдральных несимметричных конечномерных пространствах

Задача характеризации структуры солнц до сих пор не решена даже в конечномерных полиэдральных пространствах. Известны ответы только для случая $(\mathrm{BM})$-пространств. Поэтому остается задача охарактеризовать солнца в общих конечномерных полиэдральных пространствах или охарактеризовать пространства, в которых всякое солнце является монотонно линейно связным.

Прежде чем изучить в каких полиэдральных пространствах солнца являются монотонно линейными связными (связными по Менгеру), а в каких нет, требуется изучить как необходимые условия солнечности множества, так и достаточные условия этого свойства. В частности, хорошо бы выяснить, при каких условиях солнца будут обладать непрерывной $\varepsilon$-выборкой, а при каких будут хотя бы связными множествами, так как указанные свойства заведомо имеют место для монотонно линейно связных множеств. В этом праграфе мы будем рассматривать обобщения конечномерных линейно нормированных пространств, а именно, конечномерные линейные пространства с некоторой несимметричной нормой $\|\,{\cdot}\,|$ на нем. От несимметричной нормы на линейном пространстве $X$ будем требовать свойства:

1) $\|\alpha x|=\alpha\| x|$ для всех $\alpha\geqslant 0$, $x\in X$;

2) $\| x+y|\leqslant \| x |+\| y|$ для всех $x,y\in X$;

3) $\|x|\geqslant 0$ для всех $x\in X$;

3a) $\|x|= 0$ $\Leftrightarrow $ $x=0$.

Эта несимметричная норма задается функционалом Минковского некоторого, вообще говоря, несимметричного тела, содержащего ноль. В таких пространствах мы будем изучать, в частности, свойства множества с полунепрерывной снизу метрической проекцией. Отметим также, что вместе с несимметричной нормой $\|\,{\cdot}\,|$ часто удобно рассматривать норму симметризации: $\|x\|:=\max\{\|x|,\|-x|\}$ $(x\in X)$.

Через $B(x,r)$ и $\mathring{B}(x,r)$ обозначим соответственно замкнутый и открытый шар в линейном несимметричном нормированном пространстве $\mathcal{X}=(X,\|\,{\cdot}\,|)$ с центром $x$ радиуса $r$, т. е. соответственно множества $\{y\in X\mid \|y-x|\leqslant r\}$ и $\{y\in X\mid \|y-x|< r\}$. Через $S(x,r)$ обозначим сферу с центром $x$ радиуса $r$, т. е. множество $\{y\in X\mid \|y-x |=r\}$. Нам также понадобится обозначение единичной сферы $S^*$ сопряженного пространства $X^*$ (в случае обычного линейно нормированного пространства $X$). И через $\operatorname{ext}S^*$ будем обозначать множество всех ее экстремальных функционалов.

Для произвольного множества $M$ в некотором несимметричном нормированном пространстве $\mathcal{X} $ через $\varrho(y,M)$ ($y\in X$, $M\subset X$) обозначим расстояние до множества $M$, т. е. величину $\inf_{z\in M}\|z-y|$.

Через $P_Mx$ обозначим множество всех ближайших точек из $M$ для $x\in X$, т. е. множество $\{y\in M\mid \|y-x|=\varrho(x,M)\}$. Для произвольных $x\in X $ и $\delta>0$ рассмотрим также метрические $\delta$-проекции $P_M^\delta x$ и $\mathring{P}_M^\delta x$, представляющие собой соответственно множества

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, \{y\in M\mid \|y-x|\leqslant\varrho(x,M)+\delta\}&=M\cap B(x,\varrho(x,M)+\delta), \\ \{y\in M\mid \|y-x|<\varrho(x,M)+\delta\}&=M\cap \mathring{B}(x,\varrho(x,M)+\delta). \end{aligned} \end{equation*} \notag $$

Определение 3. Пусть $\varnothing \ne M\subset X$. Точка $x\in X\setminus M$ называется точкой солнечности, если существует точка $y\in P_Mx\ne \varnothing$ (называемая точкой светимости) такая, что $y\in P_M((1-\lambda)y+\lambda x)$ для всех $\lambda\geqslant 0$ (это геометрически означает, что из точки $y$ исходит луч (солнечный луч), проходящий через $x$, для каждой точки которого $y$ является ближайшей из $M$).

Точка $x\in X\setminus M$ называется точкой строгой солнечности, если $P_Mx\ne\varnothing$ и каждая точка $y\in P_Mx$ является точкой светимости. Если все точки из $K\subset X\setminus M$ являются точками солнечности (строгой солнечности), то множество $M$ называют солнцем (строгим солнцем) относительно множества $K$. В случае, когда $K= X\setminus M$, говорят, что $M$ – солнце (строгое солнце).

Определение 4. Пусть $M$ – выпуклое подмножество конечномерного несимметричного пространства $X$. Через $\operatorname{int}_0 M$ и $\partial_0 M$ обозначим множества внутренних и граничных точек множества $M$ относительно аффинной оболочки $M$, а через $\dim M$ – размерность этой аффинной оболочки.

Определение 5. Непустое выпуклое замкнутое подмножество $A $ сферы $ S(x,r)$ конечномерного несимметричного пространства $X$ называется гранью $S(x,r)$, если из условий $[z,y]\subset S(x,r)$ и $A\cap (z,y)\neq \varnothing$ следует, что $[z,y]\subset A$. Через $\Gamma=\Gamma(S(x,r))$ $(r>0)$ обозначим класс всех граней $S(x,r)$. Эти грани обычно называют собственными гранями шара $B(x,r)$.

Далее мы изучим свойства замкнутых множеств $M$ в конечномерных несимметричных пространствах, обладающих следующими свойствами: для любых элементов $x\in X$ или $P_Mx$ одноточечно, или существуют грани $B_\alpha=B_\alpha(x)$ сферы $S(x,r)$ $(r=\varrho(x,M))$, которые пересекаются с множеством $P_Mx$ по своей относительной внутренности и покрывают в объединении множество $P_Mx$, и при этом $B=B(x):=\bigcap_{\alpha}B_\alpha$ – непустая грань сферы $S(x,r)$. Такой класс множеств $M$ обозначим как $\mathfrak{M}=\mathfrak{M}(X)$. Если соответствующее свойство выполняется для всех $x\in U$, где $U$ – непустое подмножество $X$, будем писать, что $M\in \mathfrak{M}(X,U)$.

Несимметричное конечномерное пространство $(X,\|\,{\cdot}\,|)$ называется полиэдральным, если единичный шар $B(0,1)$ этого пространства является невырожденным выпуклым многогранником.

Отметим без доказательства, что верно следующее утверждение.

Замечание 2. Пусть $(X,\|\,{\cdot}\,|)$ – несимметричное конечномерное полиэдральное пространство, $M\in\mathfrak{M}(X)$. Тогда для всех $x\in X$ грани $\{B_\alpha=B_\alpha(x)\}$ шара $B(x, \varrho(x,M) )$ пересекаются по непустой грани $B=B(x) $. При этом $B$ по своей относительной внутренности пересекается с $P_Mx$ или в случае одноточечности $B$ содержится в $P_Mx$.

Нам понадобится следующее определение.

Определение 6. Компакт $Y$ называется клеточноподобным, если существует абсолютный окрестностный ретракт $Z$ и вложение $i\colon Y\to Z$ такое, что образ $i(Y)$ стягиваем в любой своей окрестности $U\subset Z$ (см. [7]).

Отметим, что счетное пересечение стягиваемых компактов, образующих вложенную последовательность, является клеточноподобным. И всякое полунепрерывное сверху отображение $F\colon K\to 2^Y$ $(K\subset Y$ – компакт) с клеточноподобными образами в банаховом пространстве $Y$ допускает $\varepsilon$-аппроксимацию (см. [7]), т. е. для любого $\varepsilon>0$ существует непрерывное однозначное отображение $\varphi\colon K\to Y$, график которого лежит в $\varepsilon$-окрестности графика отображения $F$.

Следующее утверждение описывает локальные свойства метрической проекции в случае выполнения локального свойства $\mathfrak{M}(X,U)$ для некоторого специального открытого множества $U$.

Теорема 4. Пусть $(X,\|\,{\cdot}\,|)$ – несимметричное конечномерное полиэдральное пространство, $M\subset X$ – непусто и замкнуто. Возьмем произвольный открытый шар $\mathring{B}(x_0,r)$: $\varrho(x_0,M)<r$ и положим

$$ \begin{equation*} U:=\{z\in \mathring{B}(x_0,r)\mid \|z-x_0|+\varrho(z,M)<r\}. \end{equation*} \notag $$
Тогда, если $M\in \mathfrak{M}(X,U)$, то для любых элементов $z\in U$ множество $P_Mz$ является клеточноподобным (в этом случае, говорят, что $M$ является $P$-клеточноподобным на $U$).

Доказательство. Через $H^k_z$ будем обозначать гомотетию в пространстве $X$ с центром в точке $z$ и коэффициентом $k$. Отметим, что по определению множество $U$ состоит из тех и только тех точек $z$, что шар $B(z,\varrho(z,M)) $ содержится в шаре $ \mathring{B}(x,r)$. Все образы таких шаров $B(z,\varrho(z,M))$ под действием гомотетий с центрами в точках из этих шаров и коффициентами $\leqslant 1$ также являются шарами, центры которых принадлежат $U$, при условии, конечно, что они пересекаются с $M$.

Предположим от противного, что не все образы метрической проекции на $U$ клеточноподобны. Тогда найдется элемент $x\in U$, для которого $P_Mx$ не клеточноподобно, а следовательно, $r=\varrho(x,M)>0$. Выберем среди таких точек $x$ те, для которых $\dim B(x):=m_0$ имеет минимальную размерность. Далее, среди этих точек выберем те $x$, у которых размерность граней $B_\alpha(x)$ максимальной размерности была бы минимально возможной, и затем среди этих точек $x$ выберем те, у которых число граней $B_\alpha(x)$ максимальной размерности $m_1$ было бы минимально возможным. Затем, среди полученных точек выберем те $x$, для которых размерность граней $B_\alpha(x)$ максимальной размерности $m_2$, меньшей $m_1$, была минимально возможной, и затем среди этих точек $x$ выберем те, у которых число граней $B_\alpha(x)$, размерности $m_2$, было бы минимально возможным. И, затем, для этих точек повторим процедуру, т. е. выберем те $x$, для которых размерность граней $B_\alpha(x)$: $\dim B_\alpha(x)<m_2$ максимальной размерности $m_3$ была бы минимально возможной, и затем среди этих точек $x$ выберем те, у которых число граней $B_\alpha(x)$ размерности $m_3$ было бы минимально возможным и так далее.

Таким образом, мы найдем такую точку $x\in U$, для которой $\dim B(x)=m_0$, а грани $B_\alpha(x)$ имеют размерности: $m_1>m_2>\dots>m_k=m_0$ (если $\dim B_\alpha(x)=m_k=m_0$, то $B_\alpha(x)=B(x)$), и число граней размерности $m_i$ ($i=1,\dots,k-1$) минимально возможно для фиксированных (выбранных раньше) чисел $m_l$ ($l=1,\dots,i-1$). Для каждой точки $y\in B_\alpha=B_\alpha(x)$ положим

$$ \begin{equation*} k_\alpha(y):=\inf\{k\in [0,1]\mid \operatorname{int_0}H^k_y(B_\alpha)\cap M\neq\varnothing\}. \end{equation*} \notag $$
Пусть $\mathcal{B}(y)=\{\alpha\mid y\in B_\alpha\}$. Положим
$$ \begin{equation*} k(y)=\max_{\alpha\in \mathcal{B}(y)}k_\alpha(y). \end{equation*} \notag $$
Покажем, что функция $k\colon A\to \mathbb{R}$, где $A:=\bigcup_\alpha B_\alpha$, является полунепрерывной сверху. Возьмем произвольные точку $y_0\in A$ и последовательность $\{y_n\}\subset A$, сходящуюся к $y_0$. Достаточно проверить, что
$$ \begin{equation*} k_0=k(y_0)\geqslant k:=\varlimsup_{n\to\infty}k(y_n). \end{equation*} \notag $$
Переходя при необходимости к подпоследовательности, без потери общности можно считать, что $k(y_n)\to k$ ($n\to\infty$). Учитывая, что число граней семейства $\{B_\alpha\}$ конечно, можно без потери общности считать, что $\{y_n\}\subset B_{\alpha_0}$ и $k_n:=k(y_n)=k_{\alpha_0}(y_n)$ $(n\in \mathbb{N})$ для некоторого индекса $\alpha_0$. Если бы $k_{\alpha_0}(y_0)$ было меньше $k$, то, учитывая, что $ \operatorname{int_0}H^{k'}_{y_n}(B_{\alpha_0})\cap M=\varnothing$ для всех $n\in \mathbb{N}$, для которых $k<k'<k_n$, мы получили бы, что $ \operatorname{int_0}H^{k }_{y_0}(B_{\alpha_0})\cap M=\varnothing$, а это противоречит определению числа $k_{\alpha_0}(y_0)$ и замкнутости $M$. Таким образом, $k_0=k(y_0)\geqslant k_{\alpha_0}(y_0)\geqslant k$, и, следовательно, мы доказали, что функция $k(\,{\cdot}\,)$ полунепрерывна сверху.

Рассмотрим отображение $F\colon A\to 2^T$, где $T=P_Mx\subset M$, сопоставляющее каждой точке $y\in A$ множество

$$ \begin{equation*} M\cap H^{k(y)}_{y}[B(x,r)]=P_Mx\cap H^{k(y)}_{y}[B(x,r)]=P_M(x+k(y)(y-x)),\qquad r=\varrho(x,M). \end{equation*} \notag $$
В силу полунепрерывности сверху функции $k(\,{\cdot}\,)$ отображение $F(y)=P_M(x+k(y)(y-x))$ является полунепрерывным сверху. Поскольку существует индекс $\alpha_0\in \mathcal{B}(y)$: $k=k(y)=k_{\alpha_0}(y)$, то $ \operatorname{int_0}H^{k }_{y}(B_{\alpha_0})\cap M=\varnothing$. Здесь мы выберем $\alpha_0 $ еще и так, чтобы размерность грани $B_{\alpha_0}$ была как можно больше. И, следовательно, для точки $z=x+k(y)(y-x)$ число граней (типа $B_{\alpha}(z)$) размерности $\dim B_{\alpha_0}$ уже меньше (а число граней большей размерности не изменилось), а это означает, что $P_Mz=F(y)$ является клеточноподобным по выбору точки $x$. Таким образом, мы получаем, что полунепрерывное сверху отображение $F$ отображает клеточноподобное множество $A$ в подмножества $T=P_Mx=A\cap M$, образы $F$ клеточноподобны, и $x\in F(x)$ для всех $x\in T$.

Далее мы повторим рассуждения при доказательстве теоремы 7 (см. [8]). Отображение $f$, сопоставляющее каждой $w $ из множества

$$ \begin{equation*} T_F=\{(z,y)\mid z\in A,\, y\in F(z)\} \end{equation*} \notag $$
значение $y\in A$, для которого $w=(y,u) $ $ (u\in F(y))$, является клеточноподобной шейповой эквивалентностью в силу конечномерности множеств $T_F$ и $A$ (см. [9; с. 424]). Отсюда $T_F$ клеточноподобно. Поэтому клеточноподобно и множество
$$ \begin{equation*} T_1=\{(x,y-x)\mid x\in A,\, y\in F(x)\}, \end{equation*} \notag $$
которое гомеморфно множеству
$$ \begin{equation*} T_2=\{(y,y-x)\mid x\in A,\, y\in F(x)\}=\{(y,y-x)\mid x\in T,\, x\in F^{-1}(y)\}. \end{equation*} \notag $$
Поэтому $T_2$ также клеточноподобно. Но его ретракция при помощи отображения $\pi(a,b)=(a,0) $ равна $T\times \{0\}$ не клеточноподобна, чего не может быть. Противоречие доказывает, что $M$ является $P$-клеточноподобным на $U$. Теорема доказана.

Замечание 3. В качестве множества $A$ из доказательства теоремы 4 вместо $\bigcup_\alpha B_\alpha$ можно взять объединение выпуклых оболочек множеств $ B_\alpha\cap M$. Тогда аналогично доказывается, что если $M\in \mathfrak{M}(X,U)$ для некоторого выпуклого множества $U\supset M$, то для любых элементов $x\in U$ множество $P_Mx$ является клеточноподобным.

Определение 7. Множество $A$ в несимметричном пространстве $X $ называется бесконечно связным, если для всех $n\in \mathbb{N}$ и единичного шара $B\subset \mathbb{R}^n$ и произвольного непрерывного отображения $\varphi\colon \partial B\to A$ существует непрерывное продолжение $\widetilde{\varphi}\colon B\to A$. Множество $M\subset X$ называется $\mathring{B} $-бесконечно связным ($\mathring{B} $-стягиваемым), если непустое пересечение произвольного открытого шара с $M$ является бесконечно связным (стягиваемым) множеством.

В частности, из замечания 3 (и теоремы 4), как было показано в работе [10] (см. следствие 2), вытекает следующая характеризационная теорема.

Теорема 5. Пусть $(X,\|\,{\cdot}\,|)$ – несимметричное конечномерное полиэдральное пространство, $M\subset X$ непусто и замкнуто. Тогда, если $M\in \mathfrak{M}(X)$, то имеют место следующие равносильные утверждения:

1) для любых элементов $x\in X$ множество $P_Mx$ является клеточноподобным;

2) $M$ является $\mathring{B}$-бесконечно связным множеством;

3) $M$ обладает непрерывной $\varepsilon$-выборкой для всех $\varepsilon>0$;

4) $M$ является $\mathring{B}$-стягиваемым множеством.

Отметим следующие свойства шаров несимметричных полиэдральных пространств. Во-первых, шары $B(x,R)$ представляют собой сдвинутые на вектор $x$ гомотетичные раздутия в $R$ раз шара-многогранника $B(0,1)$. Во-вторых, для любых числа $ a>0$, прямой $\ell\ni 0$, шара $B(x,R)$ и точки $y\in B(x,R)$ таких, что прямая $\ell_y:=\ell+y$ пересекает шар $ B(x,R)$ по отрезку длины $>a$, найдется такое число $\varepsilon>0$, что для всех $y',z\in X$, $r$: $\|y-y'|,\|z-x|,|R-r|<\varepsilon$, $y'\in B(z,r)$ прямая $\ell_{y'}$ пересекает шар $B(z,r)$ по отрезку длины $>a$.

Лемма 1. Пусть $(X,\|\,{\cdot}\,|)$ – несимметричное конечномерное полиэдральное пространство, $M$ – непустое замкнутое множество, $x\in X\setminus M$, $r=\varrho(x,M)\,{>}\,0$, $\{P_\alpha\}$ – такой конечный набор граней шара $B(x,r)$, что $P_Mx\subset \bigcup_{\alpha}P_\alpha$, и все грани $P_\alpha$, а также грань $Q:=\bigcap_{\alpha}P_\alpha$, не пересекаются своей относительной внутренностью с множеством $P_Mx$. Пусть $x_0$ – точка из относительной внутренности либо $Q$, либо некоторой грани $P_{\alpha_0}$ такая, что для всех $\delta>0$ шар $H^{1-\delta}_{x_0}(B(x,r))$ не пересекается с $M$ (такая точка обязательно найдется, например, в относительной внутренности грани максимальной размерности). Рассмотрим бесконечно малую положительную последовательность $\{\delta_n\}\subset (0,1)$. Пусть $x_n:=x_0+(1-\delta_n)(x-x_0)$, а $z_n\in P_Mx_n$ – произвольная точка светимости в $M$ для $x_n$ $(n\in \mathbb{N})$. Рассмотрим произвольную предельную точку $y$ для последовательности $\{z_n\}$. Тогда точка $y$ является точкой светимости $M$ для $x$, и для любой точки $z\in P_Mx$ отрезок $[y,z]$ не пересекается с относительной внутренностью граней $P_\alpha\supset P_{\alpha_0}$, если $x_0\in\operatorname{int_0}P_{\alpha_0}$, или с относительной внутренностью всех граней $P_\alpha $, если $x_0\in\operatorname{int_0}Q$.

Доказательство. Для определенности рассмотрим случай $x_0\in\operatorname{int_0}Q$. Переходя при необходимости к подпоследовательности, без потери общности будем считать, что $\{z_n\}$ сходится к точке $y$. Так как каждая точка $z_n$ является точкой светимости для точки $x_n$, то для всех $\lambda\geqslant 0$ точки $\{z_n\}$ являются ближайшими для точек $a_n^\lambda:=z_n+\lambda(x_n-z_n)$. Переходя к пределу при $n\to\infty$, мы получим, что для точки $a^\lambda:=y+\lambda(x-y)$ точка $y$ является ближайшей во множестве $M$. Из произвольности выбора числа $\lambda$ вытекает, что $y$ – точка светимости в $M$ для точки $x$.

Докажем второе утверждение леммы методом от противного. Предположим, что существует точка $z\in P_Mx$, для которой отрезок $[y,z]$ пересекается по некоторой точке $w$, принадлежащей относительной внутренности или некоторой грани $P_{\alpha}$, или $Q$. По условию леммы для всех $n\in \mathbb{N}$ множество $H^{1-\delta_n}_{x_0}(B(x,\varrho(x,M)))=B(x_n,(1-\delta_n)r)$ не пересекается с $M$, и, следовательно, $B(x_n,(1-\delta_n)r)$ содержится во внутренности шара $B(x_n,\varrho(x_n,M))$. По условию начиная с некоторого $n_0\in \mathbb{N}$ шар

$$ \begin{equation*} B(x_n,(1-\delta_n)r)=H^{1-\delta_n}_{x_0}(B(x,\varrho(x,M))),\qquad n\geqslant n_0, \end{equation*} \notag $$
содержит точку $w$, поэтому $w$ принадлежит внутренности шара $B(x_n,\varrho(x_n,M))$, т. е. $\|w-x_n|<\varrho(x,M)$. Рассмотрим прямую $\ell:=\{t(z-y)\mid t\in \mathbb{R}\}$, тогда прямая $\ell_y:=\ell+y$ пересекает шар $B(x,\varrho(x,M))$ по невырожденному отрезку. Поэтому в силу второго свойства полиэдральных пространств, сформулированных перед этой леммой, начиная с некоторого номера $n_1\geqslant n_0$, прямая $\ell_n:=\ell_{z_n}=\ell+z_n$ пересекает шар $B(x_n,\varrho(x_n,M))$ по невырожденному отрезку $(n\geqslant n_1)$. Поэтому опорный конус
$$ \begin{equation*} K_{z_n}:=\bigcup_{k>0}H^k_{z_n}(B(x_n,\varrho(x_n,M))) \end{equation*} \notag $$
(ко множеству $M$ в точке $z_n$) содержит луч $P\ni z_n$ прямой $\ell_n$ $(n\geqslant n_1)$. Учитывая, что точка $w$ принадлежит внутренности шара $B(x_n,\varrho(x_n,M))$, мы получим, что луч $P_w:=P+w-z_n$ принадлежит внутренности конуса $K_{z_n}$ $(n\geqslant n_1)$. Так как точка $z_n$ является точкой светимости в $M$ для $x_n$, то внутренность конуса $K_{z_n}$ не пересекается с $M$, а следовательно, луч $P_w$ не пересекается с $M$, но при этом этот луч содержит один из концов отрезка $[y,z]$, противоречие.

Лемма доказана.

Замечание 4. Аналогично предыдущему утверждению доказывается, что отрезок $[y,z]$ не пересекается с внутренностью шара $B(x,r)$. Поэтому в предыдущей лемме в качестве граней (уже несобственных), содержащих $Q$ можно рассматривать сам шар $B(x,r)$. В этом случае условие $P_Mx\subset \bigcup_{\alpha}P_\alpha$ выполняется автоматически и поэтому его можно опускать при использовании леммы 1.

Замечание 5. Если $x_0\in\operatorname{int_0}Q$, то точка светимости $y$, упомянутая в лемме 1, принадлежит одной из граней $P_\alpha$, а, если $x_0\in\operatorname{int_0}P_{\alpha_0}$, то $y$ принадлежит одной из граней $P_\alpha\supset P_{\alpha_0}$. При этом, если $P_{\alpha_0}$ максимальная по вложению грань, то $y\in P_{\alpha_0}$.

Следующее утверждение непосредственно вытекает из леммы 1.

Следствие 3. Пусть $(X,\|\,{\cdot}\,|)$ – несимметричное конечномерное полиэдральное пространство, $\dim X=n$, $M$ – непустое замкнутое множество, $x\in X\setminus M$, $r=\varrho(x,M)>0$. Рассмотрим грань $G$ шара $B(x,r)$ максимальной размерности $n-1$, пересекающей множество $M$ по своей относительной границе. Тогда найдется точка светимости во множестве $M\cap G=M\cap B(x,r)$ относительно несимметричного шара $G$ в плоскости $L$, натянутой на $G$.

Следующие два утверждения хорошо известны в случае симметричных конечномерных пространств [11].

Теорема 6. Пусть $(X,\|\,{\cdot}\,|)$ – несимметричное конечномерное пространство, $M$ – строгое солнце, $x\in X\setminus M$, $r=\varrho(x,M)>0$. Тогда множество $P_Mx$ связно.

Доказательство. Предположим от противного, что пересечение $M$ и шара $B(x,r)$ несвязно. Тогда для некоторого числа $k>1$ шар $B(x,kr)$ пересекается с $M$ по своей внутренности и $M\cap B(x,kr)$ представляется в виде объединения непустых непересекающихся замкнутых множеств $M_1$ и $M_2$, пересекающихся с внутренностью $B(x,kr)$. Пусть $x_1\in M_1$ – внутренняя точка шара $B(x,kr)$. Рассмотрим гомотетию $H^{k_0}_{x_1}(\,{\cdot}\,)$ шара $B(x,kr)$, при которой шар $B(x_1+k_0(x-x_1),kk_0r)=H^{k_0}_{x_1}( B(x,kr) )$ пересекается с $M_2$ только своей границей. Пусть $y\in B(x_1+k_0(x-x_1),kk_0r)\cap M_2$, тогда эта точка является точкой светимости для шара $B(x_1+k_0(x-x_1),kk_0r)$. Действительно, нетрудно видеть, что образ гомотетии этого шара относительно точки $y$ с достаточно маленьким положительным коэффициентом $s$ является шаром, пересекающим множество $M$ своей границей. В силу строгой солнечности это означает, что все точки этого пересечения, в том числе и точка $y$, являются точками светимости шара $H^s_y(B(x_1+k_0(x-x_1),kk_0r))$. Раздувая этот шар относительно точки $y$ в $1/s$ раз, мы получим шар $B(x_1+k_0(x-x_1),kk_0r)$, который пересекается своей внутренностью со множеством $M$, чего не должно быть. Это противоречие доказывает теорему.

Из предыдущей теоремы тривиально вытекает следующее утверждение.

Следствие 4. Пусть $(X,\|\,{\cdot}\,|)$ – несимметричное конечномерное полиэдральное пространство, $M$ – строгое солнце. Тогда $M$ является $B$-связным, т. е. пересечение $M$ с любым замкнутым шаром пространства $B(x,r)$ связно.

Определение 8. Пусть $(X,\|\,{\cdot}\,|)$ – несимметричное конечномерное полиэдральное пространство. Для каждой точки $x$ границы невырожденного шара $B(x_0,r_0)$ рассмотрим множество $T_x$, представляющее собой набор собственных граней этого шара, содержащих точку $x$. Через $(\mathrm{OP})$ обозначим класс всех несимметричных конечномерных полиэдральных пространств, для которых для их невырожденных шаров $B(x_0,r_0)$ выполнено условие:

для любой точки $x$ из относительной внутренности неодноточечной грани невырожденного шара $B(x_0,r_0)$ и любой точки $y$, принадлежащей некоторой грани $P$ (минимальной по вложению среди тех граней из набора $T_x$, которые содержат точку $y)$, не существует двух граней из $T_y$, не содержащих грань $P$ и не являющихся подгранями друг друга, непустые пересечения которых с гранями из $T_x$ не являются гранями из набора $T_y$.

Отметим без доказательства, что шар-тетраэдр не является $(\mathrm{OP})$-пространством, есть четырехмерные пространства с симметричным шаром, которые не являются $(\mathrm{OP})$-пространствами, и более того, в них есть не $B$-связные солнца.

Теорема 7. Пусть $(X,\|\,{\cdot}\,|)\in (\mathrm{OP})$ – несимметричное конечномерное пространство, $M$ – солнце. Тогда $M$ является $B$-связным.

Доказательство. Так же просто, как это делается в конечномерном нормированном пространстве, можно показать, что множество $M$ является $B$-связным, когда множество $ P_Mx=M\cap B(x,r)$ связно для произвольных $x\in X\setminus M$, $r=\varrho(x,M)>0$. Проведем доказательство теоремы методом от противного. Предположим, что $P_Mx$ несвязно и, следовательно, представляется в виде объединения непустых непересекающихся замкнутых множеств $M_1$ и $M_2$. Найдется шар $B(x_0,r_0)\subset B(x,r)$ ($r=\varrho(x,M)>0$) минимально возможного радиуса, пересекающий оба множества $M_1$ и $M_2$. Обозначим $E_j:=M_j\cap B(x_0,r_0)$ ($j=1,2$). Отметим, что по построению шар $B(x,r)$, а следовательно, и шар $B(x_0,r_0)$ внутри себя точек из $M$ не содержат.

Пусть $Q$ – такая минимально возможная по размерности грань шара $B(x_0,r_0)$, пересекающая множества $E_1$ и $E_2$ и такая, что всякая большая по вложению грань $P$ не пересекается своей относительной внутренностью с множеством $M$. Грань $Q$ не может пересекать множество $M$ по своей относительной внутренности, поскольку в этом случае в ее относительной внутренности окажутся точки из $E_1$ или из $E_2$. Пусть для определенности это будут точки из $E_2$. Тогда относительно любой точки из $E_1\cap Q$ можно гомотетично сдуть шар $B(x_0,r_0)$, получив шар меньшего радиуса со свойствами, заявленными для $B(x_0,r_0)$, чего не должно быть.

В силу леммы 1 и замечания 4 (в качестве точки $x$ из этой леммы мы будем рассматривать точку $x_0$, вместо числа $r$ число $r_0$) найдется точка светимости $y$, принадлежащая одной из граней $P\supset Q$ шара $B(x_0,r_0)$, и для которой любой отрезок $[y,z]$ ($z\in P_Mx_0$) не пересекает внутренность любой грани, содержащей $Q$ (в том числе и внутренность $Q$). Для применения леммы 1 точка $ x_0$, фигурирующая в этой лемме берется из относительной внутренности грани $Q$. Так как все грани, содержащие $Q$, не пересекаются своими внутренностями с $M$, то шар $H^{1-\delta}_{x_0}(B(x,r))$ не пересекается с $M$ для всех $\delta\in (0,1)$ (условие из леммы 1). Поэтому есть точка $y$ светимости $M$ для $x$, и для любой точки $z\in P_Mx$ отрезок $[y,z]$ не пересекается с относительной внутренностью всех граней $P\supset Q $ (в том числе и $Q$). Таким образом, рассматривается второй случай утверждения леммы 1, а именно, случай: $x_0\in\operatorname{int_0}Q$.

Отметим, что все грани $P\supset Q$ (здесь $P$ вместо $P_\alpha$ из вышеуказанной леммы 1) принадлежат семейству $T_z$ для любой точки $z\in \operatorname{int_0}Q$. Далее выберем такие грани, которые в своей внутренности содержат внутренние точки вышеуказанных отрезков (это минимальные по включению грани, содержащие эти отрезки). Этот набор $\mathcal{N}$ граней из $T_y$, содержащий в своем объединении множество $P_Mx_0$ (что, очевидно, вытекает из того, что объединение отрезков $[y,z]$, где $z$ пробегает множество $P_Mx_0$, содержит $ P_Mx_0$), состоит из граней, непустое пересечение которых с любой гранью $P\supset Q$ (в том числе, и с гранью $P=Q$) есть собственная подгрань грани $P$. Оставим в этом наборе $\mathcal{N}$ только грани, не являющиеся подгранями каких-то граней из $\mathcal{N}$.

Если какая-то грань из набора $\mathcal{N}$ пересекает грань $Q$ (по собственной подграни $Q_0$ грани $Q$) и точка $y$ не принадлежит $Q$, то других граней (в силу принадлежности пространства классу $(\mathrm{OP})$) из набора $\mathcal{N}$, пересекающихся с $Q$, нет. В этом случае грань $Q_0$ пересекается с каждым множеством $E_j$ ($j=1,2$), так как набор $\mathcal{N}$ покрывает множество $P_Mx_0$. Построенная грань $Q_0$ противоречит минимальности грани $Q$, чего не должно быть. Остается рассмотреть случай, когда точка $y$ принадлежит грани $Q$. Для определенности предположим, что $y\in E_2$. Учитывая, что любой отрезок $[y,z]$ ($z\in E_1$) не пересекает внутренность грани $Q$, можно утверждать, что найдется собственная подгрань $Q$, содержащая этот отрезок, а это противоречит минимальности грани $Q$. Это противоречие доказывает утверждение теоремы. Теорема доказана.

Отметим, что для несимметричного трехмерного пространства, шар которого является симплексом, существует несвязное солнце, состоящее из двух его скрещивающихся ребер.

Представляет интерес следующая задача: охарактеризовать все конечномерные несимметричные пространства, в которых всякое солнце связно.

§ 4. Монотонная связность солнц

Определение 9. Множество $M$ в линейном нормированном пространстве $X$ назовем $\varepsilon$-солнцем $(\varepsilon\geqslant 0)$ относительно $ K\subset X\setminus M$, если существует такое отображение $\varphi\colon K\to M$, что для каждого $x\in K$ и произвольного числа $\lambda\geqslant 0$ расстояние $\varrho(z_\lambda,M)\geqslant \|z_\lambda-\varphi(x)\|-\varepsilon $ и $\varrho(z_\lambda,\varphi(K))= \|z_\lambda-\varphi(x)\|=\lambda\|x-\varphi(x)\|$, где $z_\lambda = \varphi(x)+\lambda(x-\varphi(x)) $. В случае, когда $K= X\setminus M$, будем говорить, что $M$ – $\varepsilon$-солнце.

Замечание 6. В силу определения 9 $\varepsilon$-солнечность множества $M$ означает, что для всех $x\in X\setminus M$ конус

$$ \begin{equation*} K_x:=\bigcup_{\lambda\geqslant 0}B(z_\lambda,\|z_\lambda-\varphi(x)\|)= \bigcup_{\lambda\geqslant 0}B(z_\lambda,\lambda\|x-\varphi(x)\|) \end{equation*} \notag $$
не пересекается своей внутренностью с множеством $\varphi(X)$, а конус
$$ \begin{equation*} K_{x,\varepsilon}:=\bigcup_{\lambda\geqslant 0}B(z_\lambda,\|z_\lambda-\varphi(x)\|-\varepsilon)= \bigcup_{\lambda\geqslant \lambda_0}B(z_\lambda,\|z_\lambda-\varphi(x)\|-\varepsilon) \end{equation*} \notag $$
(число $\lambda_0>0$ выбирается так, чтобы $\|z_{\lambda_0}-\varphi(x)\|=\varepsilon$) не пересекается своей внутренностью с множеством $M$. Кроме того, в силу определения конусов $K_x$ и $K_{x,\varepsilon}$ расстояние между любыми точками множеств $X\setminus\operatorname{int}K_x$ и $\operatorname{int}K_{x,\varepsilon}$ больше $\varepsilon$. Отметим также, что в случае, когда $z\in (x,\varphi(x))$: $\|z-\varphi(x)\|=\varepsilon$, выполнено равенство $K_{x,\varepsilon}=z-\varphi(x)+K_x$.

Действительно, установим истинность последнего утверждения замечания. Поскольку $z_\lambda$ принадлежит лучу, проходящему через точки $x$ и $\varphi(x)$, и $z=z_{\lambda_0}$, то

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, (\lambda-\lambda_0)\|x-\varphi(x)\|&=\|z_\lambda-z\|= \|z_\lambda-\varphi(x)\|-\|z-\varphi(x)\| \\ &=\|z_\lambda-\varphi(x)\|-\varepsilon,\qquad \lambda\geqslant \lambda_0. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Поэтому
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, K_{x,\varepsilon}&=\bigcup_{\lambda\geqslant \lambda_0}B(z_\lambda,(\lambda\,{-}\,\lambda_0)\|x\,{-}\,\varphi(x)\|)\,{=} \bigcup_{\mu=\lambda-\lambda_0\geqslant 0}B(z\,{+}\,\mu(x\,{-}\,\varphi(x)),\mu\|x\,{-}\,\varphi(x)\|) \\ &=z-\varphi(x)+\bigcup_{\mu\geqslant 0}B(z_\mu,\mu\|x-\varphi(x)\|)=z-\varphi(x)+K_x. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$

Следствие 5. Для любых точек $x,y,z\in X$ таких, что

$$ \begin{equation*} \|x-\varphi(z)\|=\varepsilon\leqslant \|y-\varphi(y)\|, \end{equation*} \notag $$
верно включение $x\in X\setminus\operatorname{int}K_{y,\varepsilon}$.

Доказательство. Действительно, $\varphi(z)\in X\setminus\operatorname{int}K_{y}$, и, следовательно, расстояние от точки $\varphi(z)$ до множества $\operatorname{int}K_{y,\varepsilon}$ больше $\varepsilon$. Следовательно, точка $x$, расстояние от которой до $\varphi(z)$ равно $\varepsilon$, лежит вне множества $\operatorname{int}K_{y,\varepsilon}$. Следствие доказано.

Теорема 8. Пусть $M$ – $\varepsilon$-солнце. Тогда множество

$$ \begin{equation*} M_\varepsilon:=\bigcap_{x\colon \|x-\varphi(x)\|=\varepsilon}(X\setminus\operatorname{int}K_{x,\varepsilon})= X\setminus\biggl(\bigcup_{x\colon \|x-\varphi(x)\|=\varepsilon}\operatorname{int}K_{x,\varepsilon}\biggr) \end{equation*} \notag $$
является солнцем, и $M_\varepsilon\subset \overline{O_\varepsilon(M)}$.

Доказательство. Возьмем произвольную точку $x\in X$: $\|x-\varphi(x)\|>\varepsilon$ и для нее рассмотрим точку $x_\varepsilon\in (\varphi(x),x)$: $\|x_\varepsilon-\varphi(x)\|=\varepsilon$. В этом случае
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, \varepsilon&=\|x_\varepsilon-\varphi(x)\|=\|x-\varphi(x)\|-\|x-x_\varepsilon\| =\varrho(x,\varphi(X))-\|x-x_\varepsilon\| \\ &\leqslant\varrho(x_\varepsilon,\varphi(X))\leqslant \|x_\varepsilon-\varphi(x)\|=\varepsilon, \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
т. е. $\|x_\varepsilon-\varphi(x)\| =\varrho(x_\varepsilon,\varphi(X))=\varepsilon\leqslant\|x_\varepsilon-\varphi(x_\varepsilon)\|$. В силу следствия 5 точка $x_\varepsilon$ принадлежит $M_\varepsilon$, а точка $x\in \operatorname{int}K_{x,\varepsilon}$ находится во внешности множества $M_\varepsilon$. При этом в силу замечания 6 (последнее утверждение) точка $x_\varepsilon$ является точкой светимости множества $M_\varepsilon$, а $\ell_{x_\varepsilon}:=\{x_\varepsilon+\lambda(x-x_\varepsilon)\mid \lambda\geqslant 0\}$ является солнечным лучом, исходящим из $x_\varepsilon$ и проходящем через $x$ (так как на этом луче лежат центры шаров, из объединения которых и состоит конус $K_{x,\varepsilon}$). Отсюда следует, что $M_\varepsilon$ – солнце, а всякая точка $x\in X$: $\|x-\varphi(x)\|>\varepsilon$ лежит вне $\overline{O_\varepsilon(M)}$ и, следовательно, $M_\varepsilon\subset \overline{O_\varepsilon(M)}$. Теорема доказана.

Теорема 9. Пусть $M\subset X$ – ограниченно компактное множество в банаховом пространстве $(X,\|\,{\cdot}\,\|)$ и для некоторого $\varepsilon>0$ существует такая непрерывная $\varepsilon$-выборка $\psi\colon X\to M$, что для любой точки $x\in X$ и последовательности $\{y_n\}$: $\varrho(y_n,M)\to \infty$ верно: $\liminf_{n\to \infty}\|x-\psi(y_n)\|\geqslant \|x-\psi(x) \|$. Тогда множество $M$ является $\varepsilon$-солнцем.

Доказательство. Построим отображение $\varphi$ из определения $\varepsilon$-солнца. Возьмем произвольную точку $x\in X$: $\varrho (x,M)>0$ и рассмотрим шар $B(x,r)$. Без потери общности будем считать, что $x=0$. Далее будем действовать по аналогии с доказательством солнечности множеств с непрерывной метрической проекцией в нормированном пространстве (см. [12]). Построим непрерывное отображение $\Psi=\Psi_{x,r,\varepsilon}\colon B(x,r)\to B(x,r)$, положив
$$ \begin{equation*} \Psi(t)=-r\frac{\psi(t)}{\|\psi(t)\|} \end{equation*} \notag $$
для всех $t\in B(x,r)=B(0,r)$. Образ отображения $\Psi$ содержится в компактном подмножестве шара. По теореме Шаудера существует точка $z_r\in B(0,r)$ (на самом деле она принадлежит границе этого шара), для которой $\Psi(z_r)=z_r$. Это означает, что отрезок $[z_r,\psi(z_r)]$ содержит точку $x=0$ и $\|z_r-x\|=r$. Кроме того,
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, \|\psi(z_r)-x\|&= \|\psi(z_r)-z_r\|-\|z_r-x\|\leqslant \varrho(z_r,M)+\varepsilon-r \\ &\leqslant \varrho(x,M)+\|z_r-x\|+\varepsilon-r=\varrho(x,M)+\varepsilon. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Последнее означает, что
$$ \begin{equation*} \psi(z_r)\in B(x,\varrho(x,M)+\varepsilon)\cap M=:K. \end{equation*} \notag $$
Аналогично, для всех точек $z\in [z_r,\psi(z_r)]$ выполнены неравенства
$$ \begin{equation*} \|z-\psi(z_r)\|=\|\psi(z_r)-z_r\|-\|z_r-z\|\leqslant \varrho(z_r,M)+\varepsilon-\|z_r-z\|\leqslant \varrho(z ,M)+\varepsilon. \end{equation*} \notag $$
Выбирая некоторую последовательность $\{r_n\}$, стремящуюся к бесконечности, мы получим последовательность точек $\{z_n:=z_{r_n}\}$, для которых $\psi(z_n)\in K$ и
$$ \begin{equation*} \|z_n-x\|=r_n\to\infty,\qquad x\in [z_n,\psi(z_n)],\quad n\in \mathbb{N}. \end{equation*} \notag $$
Найдется точка $v$ – предельная для последовательности $\{\psi(z_n)\}$ в компакте $K$. Выберем подпоследовательность $\{x_k\}$ из $\{z_n\}$ так, чтобы последовательность $\{\psi(x_n)\}$ сходилась к $v$. Эту точку $v=\varphi(x)$ сопоставим точке $x$, построив тем самым отображение $\varphi\colon X\setminus M\to M$. Из построения вытекает, что для всех точек луча
$$ \begin{equation*} z\in \ell:=\{z_\lambda:=\varphi(x)+\lambda(x-\varphi(x))\mid \lambda\geqslant 0\} \end{equation*} \notag $$
верно неравенство $\varrho(z,M)\geqslant \|z-\varphi(x)\|-\varepsilon$.

Отметим, что для любой точки $y\in X\setminus M$ аналогично строится последовательность $\{y_m\}$, для которой $\psi(y_m)$ сходится к $w=\varphi(y)$, при этом $\|y-\psi(y_m)\|\to\infty$ и $y\in [y_m,\psi(y_m)]$. Тогда

$$ \begin{equation*} \|x_n-\varphi(y)\|=\lim_{m\to\infty}\|x_n-\psi(y_m)\|\geqslant \|x_n-\psi(x_n)\|=\|x_n-x\|+\|x -\psi(x_n)\|, \end{equation*} \notag $$
отсюда
$$ \begin{equation*} \|x-\varphi(y)\|\geqslant \|x_n-\varphi(y)\|-\|x_n-x\|\geqslant \|x -\psi(x_n)\|\to \|x-\varphi(x)\|,\qquad n\to\infty, \end{equation*} \notag $$
т. е. $\|x-\varphi(y)\|\geqslant \|x-\varphi(x)\|$. Таким образом, отображение $\varphi$ удовлетворяет свойствам из определения 9, и, следовательно, $M$ является $\varepsilon$-солнцем. Теорема доказана.

Определение 10. Подмножество $M\subset X$ называется сильно связным по Менгеру, если $ [\![ x,y]\!]\cap M\ne \{x,y\}$ для любых различных точек $x,y\in M$. Подмножество $M\subset X$ назовем слабо связным по Менгеру, если для любого конечного набора $\alpha=(x^*_1,\dots,x^*_n)\subset \operatorname{ext}S^*$ множество $(x^*_1,\dots,x^*_n)(M)$ сильно связно по Менгеру в пространстве $l^n_\infty $, где норма $\|y\|$ элемента $y=(y_1,\dots,y_n)\in l^n_\infty(\alpha) $ равна $\max_{i=1,\dots,n}|y_i|$.

Замечание 7. Обычная связность по Менгеру определяется так же, как и сильная связность по Менгеру, с одной только разницей, что сегмент $[\![ x,y]\!]$ заменяется на множество

$$ \begin{equation*} \mathbf{m}(x,y):=\bigcap_{B(z,r)\supset \{x,y\}}B(z,r). \end{equation*} \notag $$
Как известно, $[\![ x,y]\!]\subset \mathbf{m}(x,y)$, и поэтому из сильной связности по Менгеру вытекает обычная связность по Менгеру. Также известно, что в любом сепарабельном пространстве эти связности эквивалентны. Но до сих пор неизвестно ни одного примера, когда была бы обычная связность по Менгеру, а сильной не было. Связано это с тем, что неизвестно примеров, когда бы $[\![ x,y]\!]\neq \mathbf{m}(x,y)$. Отметим также, что в определении слабой связности по Менгеру можно ограничиться линейно независимыми наборами $\alpha=(x^*_1,\dots,x^*_n)$.

Для произвольного набора $\alpha=\{x^*_1,\dots,x^*_n\}\subset S^*$ определим отображение $F_\alpha\colon X\to X_\alpha$, положив $F_\alpha(x):=(x^*_1(x),\dots,x^*_n(x))$ $(x\in X)$. Здесь $X_\alpha:=F_\alpha(X)$ – подпространство в пространстве векторов $\{y=(y_1,\dots,y_n)\}$. Норма на пространстве $X_\alpha$ определяется нормой факторпространства $X/L_\alpha$, где $L_\alpha=\{x\in X\mid x^*_i(x)=0,\ i=1,\dots,n\}$, т. е. $ \|F_\alpha(x)\|_\alpha:=\varrho(x,L_\alpha)$.

Через $B_\alpha(y,r)$ обозначим шар $\{z\in X_\alpha\mid \|z-y\|_\alpha\leqslant r\}$.

Замечание 8. Отметим, что в случае, когда $\alpha=\{x^*_1,\dots,x^*_n\}\subset \operatorname{ext}S^*$, для $X=C(Q)$ ($Q$ – метрический компакт) или для случая $X=m(E)$ – пространства действительных ограниченных функций на множестве $E$ с равномерной нормой, множество $X_\alpha$ (для набора $\alpha$ линейно независимых экстремальных функционалов) будет совпадать с пространством $\ell^\infty_n$. А в этом пространстве все солнца сильно связаны по Менгеру и монотонно линейно связны. Также $F_\alpha(B(x,r))=B_\alpha(x_\alpha,r)$ ($x_\alpha=F_\alpha(x)$), т. е. шар переходит в шар того же радиуса. Отсюда $F_\alpha(\mathbf{m}(x,y))\supset\mathbf{m}(x_\alpha,y_\alpha)$. С другой стороны, $F_\alpha([\![ x,y]\!])\subset[\![ x_\alpha,y_\alpha]\!]$. Поэтому $F_\alpha([\![ x,y]\!])=F_\alpha(\mathbf{m}(x,y)) =\mathbf{m}(x_\alpha,y_\alpha)=[\![ x_\alpha,y_\alpha]\!]$.

Определение. Линейное нормированное пространство $X$ называется $(\mathrm{BM})$-пространством, если

$$ \begin{equation*} B(0,\|x\|)\cap (\mathbf{m}(x,y)\setminus \{x\})\neq\varnothing,\quad \text{когда}\quad [x,x-y]\cap \mathring{B}(0,\|x\|)=\varnothing, \end{equation*} \notag $$
где $x\neq 0$.

Отметим, что, в частности, пространство $\ell^\infty_n $ является $(\mathrm{BM})$-пространством.

А. Л. Браун [13] доказал, что в конечномерных $(\mathrm{BM})$-пространствах каждое солнце является монотонно линейно связным и связным по Менгеру.

Лемма 2. Пусть $X = C(Q)\vee m(E)$, $y,x\in X$: $\|y-x\|=r>0$. Тогда конус

$$ \begin{equation*} K(y,x):= \overline{\bigcup_{\lambda\geqslant 0}B(y+\lambda(x-y),\lambda\|y-x\|)} \end{equation*} \notag $$
в пространстве $X = m(E)$ равен множеству $G$, представляющем собой пересечение всех конусов
$$ \begin{equation*} G(Q):=\{z(t)\in X\mid (z- x)\operatorname{sign}(y-x )\big|_{Q}\leqslant r \} \end{equation*} \notag $$
по всем непустым конечным подмножествам $Q\subset E$. А в случае $X = C(Q) $ равен конусу
$$ \begin{equation*} G=G(Q):= \bigl\{z(t)\in X\mid (z- x)\operatorname{sign}(y-x )\big|_{Q_0}\leqslant |y-x|\big|_{Q_0}=r \bigr\}, \end{equation*} \notag $$
где $Q_0:=\{t\in Q\mid |y(t)-x(t)|=r\}$.

Доказательство. Случай $X = m(E)$ разбирается проще, чем второй случай, поэтому остановимся на разборе случая $X = C(Q) $. Без потери общности будем считать, что $r=1$ и $x=0$. Достаточно показать, для любой точки-функции $w(t)\in C(Q)$, принадлежащей внутренности множества
$$ \begin{equation*} G:=\bigl\{z(t)\in X\mid z\operatorname{sign}y\big|_{Q_0}\leqslant |y|\big|_{Q_0}=1 \bigr\}, \end{equation*} \notag $$
функция $y+\lambda (w-y)$ принадлежит внутренности шара $B(0,1)$ для достаточно малых $\lambda>0$. В силу того, что $w\in\operatorname{int}G$, верны неравенства $w\operatorname{sign}y<|y|$ на компакте ${Q_0}$. Поэтому на некоторой окрестности $U$ множества $ {Q_0}$ эти неравенства сохраняются. На компакте $Q\setminus U$ модуль функции $y$ не превосходит некоторого числа $\alpha<1$. Выберем число $\lambda\in (0,1)$ так, чтобы $\lambda|w(\,{\cdot}\,)|<1-\alpha$ на $Q$. Тогда
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, &|y(\,{\cdot}\,)+\lambda(w(\,{\cdot}\,)-y(\,{\cdot}\,))|= |\operatorname{sign}y(y(\,{\cdot}\,)+\lambda(w(\,{\cdot}\,)-y(\,{\cdot}\,)))| \\ &\qquad= |(1-\lambda)|y(\,{\cdot}\,)|+\lambda w(\,{\cdot}\,)\operatorname{sign}y| < (1-\lambda)|y(\,{\cdot}\,)|+\lambda |y|\leqslant 1 \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
на $U$ и
$$ \begin{equation*} |y(\,{\cdot}\,)+\lambda(w(\,{\cdot}\,)-y(\,{\cdot}\,))|<(1-\lambda)\alpha+1-\alpha\leqslant 1 \end{equation*} \notag $$
на $Q\setminus U$. Таким образом, $y+\lambda (w-y)$ принадлежит внутренности шара $B(0,1)$. Лемма доказана.

Теорема 10. Пусть $M$ – строгое солнце в пространстве $X=C(Q) \vee m(E)$. Тогда для любого набора различных экстремальных функционалов $\alpha \subset S^*$, не содержащих двух антиподальных, множество $M_\alpha:=F_\alpha(M)$ является строгим солнцем в пространстве $X_\alpha$, если оно замкнуто.

Доказательство. Случаи $X = C(Q) $ и $X = m(E)$ разбираются практически аналогично, поэтому остановимся на разборе только случая $X = C(Q) $.

Без потери общности можно считать, что набор $\alpha=\{x^*_1,\dots,x^*_n\} $ представляет собой набор функционалов Дирака $\{\delta_{\alpha_1},\dots,\delta_{\alpha_n}\}$ для различных точек $ \alpha_1,\dots,\alpha_n\in Q$, определенных формулой $\delta_{}(x(\,{\cdot}\,)):=x(\alpha_i)$ $(i=1,\dots,n)$.

В начале отметим, что норма на пространстве $X_\alpha$ определяется нормой факторпространства $X/L_\alpha$, где $L_\alpha=\{x\in X\mid x^*_i(x)=0,\ i=1,\dots,n\}$, т. е. $\|F_\alpha(x)\|_\alpha:=\varrho(x,L_\alpha)$.

Возьмем произвольную точку $y_\alpha=F_\alpha(x)$ такую, что

$$ \begin{equation*} \varrho_\alpha(y_\alpha,M_\alpha):=\inf_{z\in M_\alpha}\|y_\alpha-z\|_\alpha>0. \end{equation*} \notag $$
Без потери общности можно считать, что $y_\alpha=0\in X_\alpha$. Найдется точка $z_\alpha\in M_\alpha$: $\|z_\alpha-y_\alpha\|=\varrho_\alpha(y_\alpha,M_\alpha)=:r$. Через $A$ обозначим те индексы $i$, для которых модули разности $i$-х координат векторов $z_\alpha$ и $y_\alpha$ равны $r$. Пусть $z\in M$ такая функция, что $F_\alpha(z)=z_\alpha$, т. е. $z(\alpha_i)$ – $i$-е координаты вектора $z_\alpha$ $(i=1,\dots,n)$. Найдется функция $x_0\in L_\alpha$ (т. е. $x_0(\alpha_i)=0$ для $i=1,\dots,n$) такая, что $|z(\alpha_i)-x_0(\alpha_i)|=|z(\alpha_i)|=r$ для всех $i\in A$ и для остальных аргументов $|z(\alpha )-x_0(\alpha )|\,{<}\,r$. В этом случае $\varrho(x_0,M)=\|z-x_0\|=r$. Так как $M$ – строгое солнце, то точка $z $ является точкой светимости, и, следовательно, бесконечное раздутие шара $B(x_0,r)$ относительно точки $z$ представляет собой конус
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, K(z,x_0)&=\bigcup_{\lambda\geqslant 0}B(z+\lambda(x_0-z),\lambda\|z-x_0\|) \\ &= \bigl\{w(t)\in X\bigm| (w- x_0)\operatorname{sign}(z-x_0 )\big|_{\mathcal{A}} \leqslant |z-x_0|\big|_{\mathcal{A}}=r \bigr\}, \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
где $\mathcal{A}:=\{\alpha_i\}_{i\in A}$ (лемма 2). Отсюда следует, что этот конус содержит плоскость $L_\alpha+z$ в своей границе, а пространство $L_\alpha $ в своей внутренности. На самом деле, для любой точки $w\in K(z,x_0)$ плоскость $w+L(A)$, где
$$ \begin{equation*} L(A):=\{v\in X\mid v(\alpha)=0,\,\alpha\in \mathcal{A}\}, \end{equation*} \notag $$
принадлежит этому конусу. Поскольку этот конус не пересекается с множеством $M$ своей внутренностью, то конус
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, F_\alpha(K(z,x_0))&=K_\alpha(z_\alpha,0):=\bigcup_{\lambda\geqslant 0}B(z_\alpha+\lambda( 0-z_\alpha),\lambda\|z_\alpha- 0\|) \\ &= \bigl\{w_\alpha(t)\in X_\alpha\bigm| (w_\alpha- 0)\operatorname{sign}(z_\alpha- 0 )\big|_{A}\leqslant |z_\alpha- 0|\big|_{A}=r \bigr\} \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
в пространстве $X_\alpha$ не пересекается своей внутренностью с множеством $M_\alpha$. Таким образом, точка $z_\alpha$ является точкой светимости множества $M_\alpha$ в пространстве $X_\alpha$, и из произвольности выбора точки $y_\alpha$ и ее ближайшей $z_\alpha$ вытекает, что $M_\alpha$ – строгое солнце в $X_\alpha$. Теорема доказана.

Непосредственно из теоремы 10 вытекает следующее утверждение.

Следствие 6. Пусть $X=C(Q)\vee m(E) $, $M$ – строгое солнце в $X$, и $F_\alpha(M)$ замкнуто для всех конечных наборов $\alpha\in \operatorname{ext}S^*$. Тогда множество $M$ слабо связно по Менгеру.

Теорема 11. Пусть $M$ – аппроксимативно компактное солнце в пространстве $X=C(Q)\vee m(E) $. Тогда для любого набора различных экстремальных функционалов $\alpha \subset S^*$, не содержащих двух антиподальных, множество $M_\alpha:=F_\alpha(M)$ является солнцем в пространстве $X_\alpha$, если оно замкнуто.

Доказательство. Сначала действуем так же, как в теореме 10. Без потери общности можно считать, что набор $\alpha=\{x^*_1,\dots,x^*_n\} $ представляет собой набор функционалов Дирака $\{\delta_{\alpha_1},\dots,\delta_{\alpha_n}\}$ для различных точек $\alpha_1,\dots,\alpha_n\in \Omega$, определенных формулой $\delta_{}(x(\,{\cdot}\,)):=x(\alpha_i)$ $(i=1,\dots,n)$.

Возьмем произвольную точку $y_\alpha=F_\alpha(x)$ такую, что

$$ \begin{equation*} \varrho_\alpha(y_\alpha,M_\alpha):=\inf_{z\in M_\alpha}\|y_\alpha-z\|_\alpha>0. \end{equation*} \notag $$
Без потери общности можно считать, что $y_\alpha=0\in X_\alpha$. Найдется точка $z_\alpha\in M_\alpha$: $\|z_\alpha-y_\alpha\|=\varrho_\alpha(y_\alpha,M_\alpha)=:r$. Через $A$ обозначим те индексы $i$, для которых модули разности $i$-х координат векторов $z_\alpha$ и $y_\alpha$ равны $r$. Пусть $z\in M$ такая функция, что $F_\alpha(z)=z_\alpha$, т. е. $z(\alpha_i)$ – $i$-е координаты вектора $z_\alpha$ $(i=1,\dots,n)$. Найдется функция $x_0\in L_\alpha$ (т. е. $x_0(\alpha_i)=0$ для $i=1,\dots,n$) такая, что $|z(\alpha_i)-x_0(\alpha_i)|=|z(\alpha_i)|=r$ для всех $i\in A$ и для остальных аргументов $|z(\alpha )-x_0(\alpha )|\,{<}\,r$. В этом случае $\varrho(x_0,M)=\|z-x_0\|=r$.

Через $N$ обозначим все ближайшие точки-функции $y$ для $x_0$, у которых нет аргументов $\alpha$ не из множества $\mathcal{A}:=\{\alpha_i\}_{i\in A}$ таких, что $|y(\alpha )-x_0(\alpha )|\,{=}\,r$. Докажем, что $z$ является точкой светимости и соответствующий опорный конус $K(z,x_0)$ содержится в некотором опорном конусе, содержащем плоскость $z+L(A)$, где $L(A):=\{v\in X\mid v(\alpha)=0,\, \alpha\in \mathcal{A}\}$. Действительно, рассмотрим последовательность чисел $\lambda_n\in (0,1)$: $\lambda_n\to 0$ $(n\to\infty)$. Пусть $x_n:=\lambda_n z+(1-\lambda_n)x_0=x_0+\lambda_n(z-x_0)$ $(n\in \mathbb{N})$. Множество ближайших точек для $x_n$ является частью множества ближайших для $x_0$ и содержит точку $z$. Если среди этих точек есть точка $y_0\in P_M(x_0)\setminus N$, то у нее есть аргумент $\alpha\notin \mathcal{A}$, для которого $|y_0(\alpha )-x_0(\alpha )| =r$. Тогда

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, |y_0(\alpha )-x_n(\alpha )|&= |y_0(\alpha )-x_0(\alpha)-\lambda_n(z(\alpha)-x_0(\alpha))| \\ &\geqslant |y_0(\alpha )-x_0(\alpha)|-| \lambda_n(z(\alpha)-x_0(\alpha))|>r-\lambda_n r=\|z-x_n\|, \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
и, следовательно, точка $y_0$ не является ближайшей для $x_n$. Таким образом, ближайшие для точек $x_n$ лежат в множестве $N$. Так как $M$ – солнце, то среди этих точек есть точки светимости в $M$ для $x_n$ (пусть точка $z_n$ – одна из таких точек). Таким образом, также как и в теореме 10, мы получим, что опорный конус $K(z_n,x_n)$ содержит плоскость $z_n+L(A)$. Устремляя $n\to\infty$, мы получим, что $z $ есть точка светимости для $x_0$, и соответствующий опорный конус $K(z,x_0)$ является подмножеством конуса, содержащего плоскость $z +L(A)$ и внутренность которого не пересекается с $M$. Далее следуем доказательству теоремы 10 и получим, что точка $z_\alpha$ является точкой светимости множества $M_\alpha$ в пространстве $X_\alpha$, и из произвольности выбора точки $y_\alpha$ и ее ближайшей $z_\alpha$ вытекает, что $M_\alpha$ – солнце в $X_\alpha$. Теорема доказана.

Следствие 7. Пусть $M$ – компактное солнце в пространстве $X=C(Q)$. Тогда для произвольного набора различных экстремальных функционалов $\alpha\,{\subset}\, S^*$, не содержащих двух антиподальных, множество $M_\alpha:=F_\alpha(M)$ является солнцем в пространстве $X_\alpha$.

Замечание 9. Пусть $M$ – ограниченно компактное солнце в $X=C(Q)$, $w_0\in M$. Положим $M^R:= B(w_0, R)\cap M$. Тогда для любого набора $\alpha\,{\subset}\operatorname{ext}S^*$ (различных экстремальных функционалов, не содержащих двух антиподальных), множества $M_{R,\alpha}\,{:=}\,F_\alpha(M^R)$ для всех точек

$$ \begin{equation*} y\in B(w_0, R)\colon\quad \varrho_\alpha(F_\alpha(y),M_{R,\alpha})>0 \end{equation*} \notag $$
найдется точка светимости $z_\alpha\in M_{R,\alpha}$ для точки $y_\alpha\,{:=}\,F_\alpha(y)$.

Следствие 8. Пусть $X_\alpha=\ell^\infty_n$. Тогда множество

$$ \begin{equation*} M^R_{ \alpha}:=M_{R, \alpha} \cap B_\alpha(v_0,R)=M_{R, \alpha} \end{equation*} \notag $$
(в условиях замечания 9) является солнцем, где $v_0:=F_\alpha(w_0)$.

Доказательство. В доказательстве теоремы 4.2 из работы [13] Брауном было доказано следующее утверждение. В любом конечномерном $(\mathrm{BM})$-пространстве (в частности, в $\ell^\infty_n$) для любого множества $K$ и произвольных различных точек $x,y\in K$, если для всех точек некоторой окрестности $U$ отрезка $[x,y]$ есть точки светимости во множестве $K$, то $[\![ x,y]\!] \cap K\neq \{x,y\}$.

Приведем доказательство Брауна для полноты картины. Отметим прежде всего, что при доказательстве используется ассоциированная норма $|\,{\cdot}\,|$, которая, как показал Браун (следствие 3.2 из работы [13]), существует в любом конечномерном пространстве. Эта норма обладает свойством: условие $z\in [\![ x ,y ]\!] $ равносильно условию $|x-y|=|x-z|+|z-y|$ для произвольных точек $x,y,z$ этого пространства.

Предположим, следуя Брауну, что $K\,{\cap}\,([\![ x,y]\!]\,{\setminus}\,\{x,y\})\,{=}\,\varnothing$ и придем к противоречию. Для произвольного $\varepsilon\,{>}\,0$ рассмотрим множества $K_\varepsilon\,{:=}\,\{z\,{\mid}\, \varrho(z,K)\,{\leqslant}\,\varepsilon\}$ и $A_\varepsilon:=K_\varepsilon\cap ([\![ x,y]\!] \setminus \{x,y\})$. Будет показано, что для всех достаточно малых $\varepsilon>0$ существует точка $x_\varepsilon\in A_\varepsilon$ такая, что $|x_\varepsilon-x|=|x_\varepsilon-y|=|x-y|/2$. Тогда, устремляя $\varepsilon$ к нулю, мы получим противоречие: $K\cap ([\![ x,y]\!] \setminus \{x,y\})\neq\varnothing$. Без потери общности будем предполагать, что $\varepsilon\in (0,\|x-y\|/2)$. Для некоторого числа $\theta\in (0,\varepsilon/\|x-y\|)$ верны соотношения:

$$ \begin{equation*} x+\theta(y-x)\in A_\varepsilon,\qquad |(x+\theta(y-x))-y|>\frac{1}{2}|x-y|. \end{equation*} \notag $$
Рассмотрим точку $x_\varepsilon\in A_\varepsilon\cap [\![ x ,y]\!]$:
$$ \begin{equation*} \min\biggl\{|y-x'|\biggm| |y-x'|\geqslant\frac12|x-y|,\, x'\in A_\varepsilon\cap [\![ x ,y]\!]\biggr\}=|y-x_\varepsilon| \end{equation*} \notag $$
и покажем, что этот минимум равен $|x-y|/2$. Предположим от противного, что $|x_\varepsilon-y|>|x-y|/2$, и пусть $z$ является точкой светимости в $K$ для $x_\varepsilon$. Тогда $[z,y]\cap \mathring{B}(x_\varepsilon,\|x_\varepsilon-z\|)=\varnothing$. Из свойств $(\mathrm{BM})$-пространств вытекает, что
$$ \begin{equation*} B(0,\|z-x_\varepsilon\|)\cap ([\![ z-x_\varepsilon,z-y]\!] \setminus \{z-x_\varepsilon \})\neq \varnothing, \end{equation*} \notag $$
что эквивалентно $B(z,\|z-x_\varepsilon\|)\cap ([\![ x_\varepsilon,y]\!] \setminus \{x_\varepsilon \})\neq \varnothing$. Предположим, что точка $w$ принадлежит множеству $B(z,\|z-x_\varepsilon\|)\cap ([\![ x_\varepsilon,y]\!] \setminus \{x_\varepsilon \})$. Тогда полуинтервал $(x_\varepsilon,w]$ также содержится в этом множестве. Далее, $\|w-z\|\leqslant \|x_\varepsilon-z\|\leqslant \varepsilon$. Так как $w\,{\in}\, K_\varepsilon$ и $w\in [\![ x_\varepsilon,y]\!] \setminus \{x_\varepsilon \}$, то $|y-w|<|x_\varepsilon-y|$ (так как $|y-w|+|w-x_\varepsilon|=|x_\varepsilon-y|$), что противоречит выбору точки $x_\varepsilon$ и, следовательно, верно равенство $|x_\varepsilon-y|=|x-y|/2$. Таким образом, утверждение Брауна, сформулированное в первом абзаце данного доказательства, доказано. Перейдем к доказательству следствия.

Если в качестве $K$ взять множество $ M_{R,\alpha} $ и произвольные точки $x_\alpha,y_\alpha\in M^{R}_\alpha\subset M_{R,\alpha}$, то мы получим, что $[\![ x_\alpha,y_\alpha]\!] \cap M_{R,\alpha} \neq \{x_\alpha,y_\alpha\}$. Учитывая, что $[\![ x_\alpha,y_\alpha]\!] \subset B_\alpha(v_0,R)$, мы получим, что

$$ \begin{equation*} [\![ x_\alpha,y_\alpha]\!] \cap M^{R}_\alpha= [\![ x_\alpha,y_\alpha]\!] \cap M_{R,\alpha} \neq \{x_\alpha,y_\alpha\}. \end{equation*} \notag $$
Отсюда вытекает, что множество $M^{R}_\alpha$ связно по Менгеру, а следовательно, и сильно связно по Менгеру. Потому оно монотонно линейно связно и является солнцем в пространстве $X_\alpha=\ell^\infty_n$.

Следствие 9. Пусть $X=C(Q)\vee m(E)$, $M$ – ограниченно компактное солнце в $X$. Тогда для любых чисел $R>0$ и всех конечных наборов различных экстремальных функционалов $\alpha\subset\operatorname{ext}S^*$, не содержащих двух антиподальных, множество $M^R_{\alpha}:=M_{ R,\alpha} \cap B_\alpha(v_0,R) $, упомянутое в следствии 8, будет солнцем в пространстве $X_\alpha=\ell^\infty_n$, а следовательно, сильно связным по Менгеру и монотонно линейно связным множеством. Аналогично, если $M$ – строгое солнце в $X$, то если $M_\alpha:=F_\alpha(M)$ замкнуто, то оно является строгим солнцем в $X_\alpha$ для всех наборов $\alpha\subset\operatorname{ext}S^*$, а следовательно, сильно связным по Менгеру и монотонно линейно связным множеством.

Доказательство. Из замечания 8 и следствия 8 вытекает, что $X_\alpha=\ell^\infty_n$ и множество $M_{R, \alpha}$ является солнцем. Как было доказано в работах [5] и [14], всякое солнце в $\ell^\infty_n$ связно по Менгеру и монотонно линейно связно. В конечномерных пространствах множества, связные по Менгеру, будут сильно связными по Менгеру. Второе утверждение выводится аналогично из теоремы 10. Следствие доказано.

Рассмотрим в пространстве $X$ топологию, порожденную предбазой из элементов $O_{x^*,c}=\{y\in X\mid x^*(y)>c\}$ $(x^*\in \operatorname{ext}S^*$, $c\in \mathbb{R})$. Такую топологию обозначим как $\tau$-топология.

Теорема 12. Пусть $X$ – банахово пространство, $M$ – $\tau$-компактное множество в пространстве $X$. Тогда, если множество $M $ не является сильно связным по Менгеру, то существует конечный набор $\alpha$ различных экстремальных функционалов из $S^*$, не содержащих двух антиподальных, для которого множество $M_\alpha=F_\alpha(M)$ не является монотонно линейно связным в $X_\alpha$.

Доказательство. Пусть найдутся различные точки $x,y\in M$, для которых $[\![ x,y]\!] \cap M=\{x,y\}$. Найдется функционал $x^*_0\in \operatorname{ext}S^*$, для которого $x^*_0(y-x)=\|y-x\|$. Рассмотрим выпуклое замкнутое множество
$$ \begin{equation*} N:=\biggl\{z\in[\![ x,y]\!] \biggm| x^*_0(z)=x^*_0\biggl(\frac{x+y}2\biggr)\biggr\}. \end{equation*} \notag $$
Это множество не пересекается с $M$. Для каждой точки $w\in M$ существует функционал $x^*_w\in \operatorname{ext}S^*$, строго разделяющий точку $w$ и множество $N$, т. е. для некоторого числа $c_w$ верно неравенство $x^*_w(w)>c_w>\sup_{z\in N}x^*_w(z)$. Тогда $\{O_{x^*_w,c_w}\}$ – открытое покрытие $\tau$-компактного множества, и, следовательно, существует конечное подпокрытие $\{O_{x^*_i,c_i}\}_{i=1}^{K}$, где $x^*_i:=x^*_{w_i}$, $c^*_i:=c_{w_i}$ $(i=1,\dots,K)$. Рассмотрим набор $\alpha:=\{x^*_i\}_{i=0}^{K}$ (можно считать, что он состоит из различных функционалов, не содержащих двух антиподальных). Тогда $F_\alpha([\![ x,y]\!])=[\![ F_\alpha(x),F_\alpha(y)]\!] $ и
$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, F_\alpha(N)=\biggl\{z_\alpha=(z^\alpha_0,\dots,z^\alpha_K)\in[\![ F_\alpha(x),F_\alpha(y)]\!] \biggm| z^\alpha_0=\frac{x^\alpha_0+y^\alpha_0}2\biggr\}, \\ x^\alpha_0:=x^*_0(x),\quad y^\alpha_0:=x^*_0(y), \end{gathered} \end{equation*} \notag $$
и по построению $F_\alpha(N)$ не пересекается с $M_\alpha\,{=}\,F_\alpha(M)$. Поэтому не существует монотонного пути в $M_\alpha$, соединяющего точки $x_\alpha\,{:=}\,F_\alpha(x)$ и $y_\alpha\,{:=}\,F_\alpha(y)$, так как он должен лежать в $[\![ x_\alpha , y_\alpha ]\!] $ и пересекать гиперплоскость
$$ \begin{equation*} \biggl\{z_\alpha\biggm| z^\alpha_0=\frac{x^\alpha_0+y^\alpha_0}2\biggr\}. \end{equation*} \notag $$
Следовательно, множество $M_\alpha$ не является монотонно линейно связным. Теорема доказана.

Следствие 10. Пусть $X=C(Q)\vee m(E)$, $M$ – $\tau$-компактное аппроксимативно компактное (строгое) солнце в $X$. Тогда множество $M$ сильно связно по Менгеру.

Доказательство. Предположим, что множество $M$ не является сильно связным по Менгеру. Тогда в силу теоремы 12 для некоторого конечного набора $m$ различных экстремальных функционалов $\alpha$ из $S^*$, не содержащих двух антиподальных, множество $M_\alpha$ не монотонно линейно связно в $\ell^\infty_m$. Кроме того, в силу $\tau$-компактности множества $M$ его образ $M_\alpha=F_\alpha(M)$ замкнут. Тогда оно не может быть солнцем, что противоречит следствию 6. Таким образом, следствие доказано.

Теорема 13. Пусть $X=C(Q)\vee m(E)$, $M$ – ограниченно компактное солнце в пространстве $X$. Тогда множество $M $ является сильно связным по Менгеру и, следовательно, монотонно линейно связным.

Доказательство. Предположим от противного, что множество $M$ не является сильно связным по Менгеру. Тогда найдутся различные точки $x ,y \in M$, для которых $[\![ x ,y ]\!] \cap M=\{x ,y \}$. Возьмем такое число $R>0$, что $[\![ x ,y ]\!] \subset B(w_0 ,R/ 2)$ $(w_0\in M)$. Рассмотрим множество $M^R=B(w_0 ,R)\cap M$. Это множество компактно в сильной топологии, а следовательно, $\tau$-компактно.

Существует конечный набор $\alpha\subset \operatorname{S^*}$ экстремальных функционалов (не содержащих двух антиподальных), который строго отделяет множество $M^R$ от множества

$$ \begin{equation*} N:=\biggl\{z\in[\![ x,y]\!] \biggm| x^*_0(z)=x^*_0\biggl(\frac{x+y}2\biggr)\biggr\},\qquad x^*_0\in \operatorname{ext}S^*\colon\quad x^*_0(y-x)=\|y-x\| \end{equation*} \notag $$
(см. доказательство теоремы 12). Поэтому найдется такое число $\varepsilon\in (0,R/4)$, что набор отделяет $O_\varepsilon(N)$ от множества $M^R$. Из следствия 9 множество $M^R_\alpha=M_{R, \alpha} \cap B_\alpha(v_0,R)\subset O_\varepsilon(M_{R,\alpha})$ $(v_0:=F_\alpha(w_0))$ будет монотонно линейным связным и сильно связным по Менгеру множеством в $X_\alpha$. По построению множество $N_\alpha:=F_\alpha(N)$ не пересекается с $M_{R, \alpha}$, поэтому монотонный путь, соединяющий точки $x_\alpha:=F_\alpha(x)$ и $y_\alpha:=F_\alpha(y)$, содержится в $M^R_{\alpha}$ и не содержится в $[\![ x_\alpha,y_\alpha]\!]$, чего не может быть. Это противоречие доказывает утверждение теоремы. Теорема доказана.

Как уже было отмечено в § 1, отсюда следует, что всякое ограниченно компактное солнце в $X=C(Q)\vee m(E)$ обладает непрерывной $\varepsilon$-выборкой для всех $\varepsilon>0$. А из теоремы 3 из работы [15] вытекает, что для всех точек $x\in X$ множество ближайших точек является клеточноподобным множеством, а само солнце $\mathring{ {B}}$-стягиваемо.

Теорема 14. Пусть $X\,{=}\,C(Q)\,{\vee}\, m(E)$, $M$ – такое непустое монотонно линейно связное множество в пространстве $X$, что $\overline{M}$ ограниченно компактно. Тогда множество $\overline{M} $ является сильно связным по Менгеру и, следовательно, монотонно линейно связным.

Доказательство. Предположим, что $\overline{M} $ не является сильно связным по Менгеру. В силу следствия 2, пересекая при необходимости с подходящим шаром, можно считать без потери общности, что $M$ предкомпактно и монотонно линейно связно, а $\overline{M}$ компактно в $X$, но не монотонно линейно связно. Таким образом, существуют различные точки $a,b\in \overline{M}$, для которых $[\![ a,b]\!]\,{\cap}\,\overline{M}\,{=}\,\{a,b\}$. Тогда замкнутое множество
$$ \begin{equation*} N:=\biggl\{z\in[\![ a,b]\!] \biggm| x^*_0(z)=x^*_0\biggl(\frac{a+b}2\biggr)\biggr\},\qquad x^*_0\in \operatorname{ext}S^*\colon\quad x^*_0(b-a)=\|b-a\|, \end{equation*} \notag $$
не пересекается с $\overline{M}$, и найдется число $\varepsilon>0$, для которого множество
$$ \begin{equation*} N_\varepsilon:=\biggl\{z\in[\![ a,b]\!] +O_\varepsilon(0)\biggm| x^*_0(z)=x^*_0\biggl(\frac{a+b}2\biggr)\biggr\} \end{equation*} \notag $$
не пересекается с $\overline{M}$. Отметим, что $\Pi_\varepsilon:=[\![ a,b]\!] +O_\varepsilon(0)=O_\varepsilon([\![ a,b]\!] )$ является промежутком в $X$, пересечение которого c гиперплоскостью
$$ \begin{equation*} \Gamma:=\biggl\{z\in X\biggm| x^*_0(z)=x^*_0\biggl(\frac{a+b}2\biggr)\biggr\} \end{equation*} \notag $$
образует множество $N_\varepsilon$, не пересекающееся с множеством $\overline{M}$. Возьмем некоторые точки $a_0\in M\cap O_\varepsilon(a)$ и $b_0\in M\cap O_\varepsilon(b)$. Тогда эти точки принадлежат промежутку $\Pi_\varepsilon$, а следовательно, монотонный путь $p\colon [0,1]\to M$, соединяющий эти точки также принадлежит $\Pi_\varepsilon$. Для достаточно малого $\varepsilon$ точки $a_0$ и $b_0$ будут лежать по разные стороны гиперплоскости $\Gamma$ и, следовательно, путь $p$ пересечет эту гиперплоскость. Отсюда будет вытекать, что этот путь пересечется и с множеством $N_\varepsilon$, а это противоречит условию $N_\varepsilon\cap M=\varnothing$. Это противоречие доказывает, что $\overline{M} $ является сильно связным по Менгеру, что влечет в силу компактности его монотонную линейную связность. Теорема доказана.

Следствие 11. Пусть $X=C(Q)\vee m(E)$, $M$ – непустое монотонно линейно связное множество, а $N$ – его замыкание в $\tau$-топологии (или в слабой топологии), являющееся $\tau$-компактным (или слабо компактным) множеством в пространстве $X$. Тогда множество $N $ является сильно связным по Менгеру.

Доказательство. Если бы утверждение следствия было неверным, то в силу теоремы 12 существовал бы конечный набор $\alpha$ различных экстремальных функционалов из $S^*$ (не содержащих двух антиподальных), для которого множество $N_\alpha=F_\alpha(N)$ не являлось бы монотонно линейно связным или связным по Менгеру множеством, в то время как множество $M_\alpha=F_\alpha(M)$ было бы монотонно линейно связным или связным по Менгеру множеством, что противоречило бы теореме 14. Следствие доказано.

Список литературы
1. И. Г. Царьков, “Локальная и глобальная непрерывная $\varepsilon$-выборка”, Изв. РАН. Сер. матем., 80:2 (2016), 165–184  mathnet  crossref  mathscinet  zmath; англ. пер.: I. G. Tsar'kov, “Local and global continuous $\varepsilon$-selection”, Izv. Math., 80:2 (2016), 442–461  crossref
2. А. Р. Алимов, И. Г. Царьков, “Связность и солнечность в задачах наилучшего и почти наилучшего приближения”, УМН, 71:1(427) (2016), 3–84  mathnet  crossref  mathscinet  zmath; англ. пер.: A. R. Alimov, I. G. Tsar'kov, “Connectedness and solarity in problems of best and near-best approximation”, Russian Math. Surveys, 71:1 (2016), 1–77  crossref
3. А. Р. Алимов, И. Г. Царьков, “Чебышёвский центр множества, константа Юнга и их приложения”, УМН, 74:5(449) (2019), 3–82  mathnet  crossref  mathscinet  zmath; англ. пер. A. R. Alimov, I. G. Tsar'kov, “Chebyshev centres, Jung constants, and their applications”, Russian Math. Surveys, 74:5 (2019), 775–849  crossref  adsnasa
4. А. Р. Алимов, В. Ю. Протасов, “Отделимость выпуклых множеств экстремальными гиперплоскостями”, Фундамент. и прикл. матем., 17:4 (2012), 3–12  mathnet  mathscinet  zmath; англ. пер.: A. R. Alimov, V. Yu. Protasov, “Separation of convex sets by extreme hyperplanes”, J. Math. Sci. (N.Y.), 191:5 (2013), 599–604  crossref
5. A. R. Alimov, “On finite-dimensional Banach spaces in which suns are connected”, Eurasian Math. J., 6:4 (2015), 7–18  mathnet  mathscinet  zmath
6. И. Г. Царьков, “Непрерывная $\varepsilon$-выборка”, Матем. сб., 207:2 (2016), 123–142  mathnet  crossref  mathscinet  zmath; англ. пер.: I. G. Tsar'kov, “Continuous $\varepsilon$-selection”, Sb. Math., 207:2 (2016), 267–285  crossref
7. L. Górniewicz, Topological fixed point theory of multivalued mappings, Topol. Fixed Point Theory Appl., 4, 2nd ed., Springer, Dordrecht, 2006, xiv+539 pp.  crossref  mathscinet  zmath
8. И. Г. Царьков, “Непрерывные выборки из операторов метрической проекции и их обобщений”, Изв. РАН. Сер. матем., 82:4 (2018), 199–224  mathnet  crossref  mathscinet  zmath; англ. пер.: I. G. Tsar'kov, “Continuous selections for metric projection operators and for their generalizations”, Izv. Math., 82:4 (2018), 837–859  crossref  adsnasa
9. K. Sakai, Geometric aspects of general topology, Springer Monogr. Math., Springer, Tokyo, 2013, xvi+521 pp.  crossref  mathscinet  zmath
10. И. Г. Царьков, “Аппроксимативные свойства множеств и непрерывные выборки”, Матем. сб., 211:8 (2020), 132–157  mathnet  crossref  mathscinet  zmath; англ. пер.: I. G. Tsar'kov, “Approximative properties of sets and continuous selections”, Sb. Math., 211:8 (2020), 1190–1211  crossref
11. В. А. Кощеев, “Связность и некоторые аппроксимативные свойства множеств в линейных нормированных пространствах”, Матем. заметки, 17:2 (1975), 193–204  mathnet  mathscinet  zmath; англ. пер.: V. A. Koshcheev, “The connectivity and approximative properties of sets in linear normed spaces”, Math. Notes, 17:2 (1975), 114–119  crossref
12. В. С. Балаганский, Л. П. Власов, “Проблема выпуклости чебышёвских множеств”, УМН, 51:6(312) (1996), 125–188  mathnet  crossref  mathscinet  zmath; англ. пер.: V. S. Balaganskii, L. P. Vlasov, “The problem of convexity of Chebyshev sets”, Russian Math. Surveys, 51:6 (1996), 1127–1190  crossref  adsnasa
13. A. L. Brown, “Suns in normed linear spaces which are finite dimensional”, Math. Ann., 279:1 (1987), 87–101  crossref  mathscinet  zmath
14. H. Berens, L. Hetzelt, “Die metrische Struktur der Sonnen in $\ell_\infty(n)$”, Aequationes Math., 27:3 (1984), 274–287  crossref  mathscinet  zmath
15. И. Г. Царьков, “Новые критерии существования непрерывной $\varepsilon$-выборки”, Матем. заметки, 104:5 (2018), 745–754  mathnet  crossref  mathscinet  zmath; англ. пер.: I. G. Tsar'kov, “New criteria for the existence of a continuous $\varepsilon$-selection”, Math. Notes, 104:5 (2018), 727–734  crossref
Образец цитирования: И. Г. Царьков, “Свойства монотонно линейно связных множеств”, Изв. РАН. Сер. матем., 85:2 (2021), 142–171; Izv. Math., 85:2 (2021), 306–331
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Tsa21}
\by И.~Г.~Царьков
\paper Свойства монотонно линейно связных множеств
\jour Изв. РАН. Сер. матем.
\yr 2021
\vol 85
\issue 2
\pages 142--171
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/im8995}
\crossref{https://doi.org/10.4213/im8995}
\adsnasa{https://adsabs.harvard.edu/cgi-bin/bib_query?2021IzMat..85..306T}
\elib{https://elibrary.ru/item.asp?id=46031535}
\transl
\jour Izv. Math.
\yr 2021
\vol 85
\issue 2
\pages 306--331
\crossref{https://doi.org/10.1070/IM8995}
\isi{https://gateway.webofknowledge.com/gateway/Gateway.cgi?GWVersion=2&SrcApp=Publons&SrcAuth=Publons_CEL&DestLinkType=FullRecord&DestApp=WOS_CPL&KeyUT=000701557800001}
\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85105043191}
Образцы ссылок на эту страницу:
  • https://www.mathnet.ru/rus/im8995
  • https://doi.org/10.4213/im8995
  • https://www.mathnet.ru/rus/im/v85/i2/p142
    • Эта публикация цитируется в следующих 15 статьяx:
    Citing articles in Google Scholar: Russian citations, English citations
    Related articles in Google Scholar: Russian articles, English articles
    		Известия Российской академии наук. Серия математическая Izvestiya: Mathematics
    Статистика просмотров:
    Страница аннотации:407
    PDF русской версии:101
    PDF английской версии:31
    HTML русской версии:118
    Список литературы:44
    Первая страница:8
     
      Обратная связь:
    		  Пользовательское соглашение  Регистрация посетителей портала  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2024