| Известия Российской академии наук. Серия математическая |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 2 научных статьях (всего в 2 статьях) Внутренние оценки решений линейных эллиптических неравенств В. С. Климов Ярославский государственный университет имени П. Г. Демидова
Англоязычная версия:
Izvestiya: Mathematics, 2021, Volume 85, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/IM8989 
Реферативные базы данных:
     ВведениеВ статье анализируются свойства решений линейных эллиптических неравенств. Изучаемый класс функций представляет широкое обобщение множества субгармонических функций. Близкие по теме и используемым методам вопросы рассматривались в [1], [2]. Например, в монографии [1] приводится следующий результат. Теорема. Пусть в области $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ задана последовательность субгармонических функций $u_j$, сходящаяся в пространстве $\mathscr{D}'(\Omega)$ к субгармонической функции $u$. Тогда для любой области $\omega \Subset \Omega$. Используемые термины и обозначения подробно объясняются ниже. Сейчас же отметим, что если выбросить из рассмотрения субгармонические функции, тождественно равные $- \infty$ на компонентах связности открытого множества $\Omega$, то определением субгармоничности функции $u$ может служить неравенство $\Delta u \geqslant 0$, понимаемое в смысле теории распределений. Теорема Хёрмандера была обобщена в ряде направлений. В работе [2] установлен аналог соотношения (1), в котором предположение о субгармоничности $u_j$ заменено неравенством $\mathscr{L}(u_j) \geqslant 0$, где $\mathscr{L}$ – эллиптический оператор порядка $l$ с постоянными коэффициентами. Вместо сходимости в пространстве $W_p^1(\Omega, \mathrm{loc})$ доказывается сходимость в пространстве $H_2^s(\Omega,\mathrm{loc})$ при $s< l-n/2$. Кратко о структуре и содержании статьи. В § 1 приводятся определения различных классов функций. Цель параграфа состоит не в разъяснении известных понятий, а в фиксации обозначений и терминологии. Основное внимание уделено пространствам Соболева дифференцируемых функций [3], [4], а также некоторым их модификациям. Приводятся сведения о распределениях (обобщенных функциях). Первостепенную роль играют положительные распределения. Центральное место в работе занимает § 2. Здесь вводится клин $\mathscr{K}(A)=\{ u \colon A u \geqslant 0\}$, порождаемый равномерно эллиптическим оператором $A$ порядка $2 m$. В отличие от [1], [2] коэффициенты оператора $A$ уже не постоянные числа, а функции класса $C^\infty(\Omega)$, $\Omega$ – область в пространстве $\mathbb{R}^n$. Для элементов клина $\mathscr{K}(A)$ устанавливается внутренняя оценка вида
$$
\begin{equation*}
\|u; W_p^{2 m -1}(\omega)\| \leqslant c(p,\omega,\Omega) \|u;L_1(\Omega_0)\|,
\end{equation*}
\notag
$$
в которой $\omega \Subset \Omega_0 \Subset \Omega$, $p(n-1)<n$. Условие $p<n/(n-1)$ существенно, при $p=n/(n-1)$ приведенная внутренняя оценка уже неверна. Из этой оценки вытекает следующее утверждение: если $u_j \in \mathscr{K}(A)$ и $u_j \to u $ в $L_1(\Omega,\mathrm{loc})$, то $u_j \to u$ в $ W_p^{2 m -1}(\Omega,\mathrm{loc})$. Таким образом, сильно отличающиеся топологии $L_1(\Omega,\mathrm{loc})$ и $W_p^{2 m -1}(\Omega,\mathrm{loc})$ индуцируют на клине $\mathscr{K}(A)$ эквивалентные сходимости. Утверждения подобного рода иногда называют нелинейными теоремами вложения [2]. Существенным образом используются теоремы о полном наборе гомеоморфизмов [5], позволяющие в определенном смысле преодолеть то обстоятельство, что теория эллиптических краевых задач “не идет” в пространстве $L_1$ суммируемых функций. Заключительный параграф посвящен модификациям и обобщениям предшествующих результатов. Основное внимание уделяется ситуации, когда пространство $L_1(\Omega, \mathrm{loc})$ и соответствующая сходимость заменяются негативным пространством Соболева или пространством распределений $\mathscr{D}'(\Omega)$. Вводится клин $\mathscr{K}_1(A)=\{u \in \mathscr{K}(A) , A u \in L_1(\Omega,\mathrm{loc})\}$. Для элементов клина $\mathscr{K}_1(A)$ удается установить внутренние оценки, имеющие характер неравенств с предельным показателем. Здесь оказались полезными точные по порядку особенностей оценки функции Грина эллиптических краевых задач [6], [7]. § 1. Пространства функцийВсюду далее $\mathbb{R}^n$ – действительное $n$-мерное евклидово пространство со скалярным произведением $(x,y)$ и нормой $|x|$, $B(\xi, r)=\{x \in\mathbb{R}^n,\, |x -\xi|<r\}$ – открытый шар радиуса $r$ с центром в точке $\xi \in \mathbb{R}^n$, $\Omega$ – область в пространстве $\mathbb{R}^n$ ($n>1$, случай $\Omega=\mathbb{R}^n$ не исключается), $L_p(\Omega)$ – пространство Лебега; как обычно, эквивалентные относительно $n$-мерной меры Лебега $\operatorname{mes}_n$ функции отождествляются, $ 1 \leqslant p \leqslant \infty$, норма в пространстве $L_p(\Omega)$ вводится стандартным образом. Через $M_\delta(\Omega)$, $0<\delta<1$, обозначается пространство Марцинкевича, определяемое [8], [9] как совокупность измеримых по Лебегу функций $v \colon \Omega \to \mathbb{R}$, для которых имеет смысл и конечна норма
$$
\begin{equation*}
\|v;M_\delta(\Omega)\|=\sup_{e \subset \Omega}\biggl\{\operatorname{mes}_n^{\delta -1} e \int_e |v(x)|\,dx \biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Если $ 0<\operatorname{mes}_n \Omega<\infty$, $1 \leqslant p_1<p<\infty$, то справедливы непрерывные вложения $L_p(\Omega) \subset M_{1/p}(\Omega) \subset L_{p_1}(\Omega)$. Пространства Марцинкевича точнее учитывают особенности функций, возникающих в теории эллиптических уравнений. Для натурального числа $k$ и $q \in [1,\infty)$ через $W_q^k(\Omega)$ обозначается совокупность функций из $L_q(\Omega)$, производные в смысле Соболева [3], [4] которых до порядка $k$ включительно принадлежат пространству $L_q(\Omega)$. Норма в $W_q^k(\Omega)$ определяется равенством
$$
\begin{equation*}
\|u;W_q^k(\Omega)\|=\sum_{|\alpha| \leqslant k} \|D^\alpha u;L_q(\Omega)\|.
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь и далее $|\alpha|= \alpha_1 +\dots+\alpha_n$ – порядок мультииндекса $\alpha =(\alpha_1, \dots, \alpha_n)$, $D^\alpha u=D_1^{\alpha_1} \cdots D_n^{\alpha_n} u$, $D_i=\partial/\partial x_i$. Аналогичным образом с помощью пространств $M_\delta(\Omega)$ определяются дифференциальные надстройки $M_\delta^k(\Omega)$, называемые иногда пространствами Марцинкевича–Соболева. Ниже применяются локальные варианты $W_q^k(\Omega,\mathrm{loc})$ пространств $W_q^k(\Omega)$. Пространство $W_q^k(\Omega,\mathrm{loc})$ состоит из функций, сужения которых на любую область $\omega \Subset \Omega$ принадлежит $W_q^k(\omega)$. Как обычно, включение $\omega \Subset \Omega$ означает, что замыкание $\overline{\omega}$ области $\omega$ есть компакт, содержащийся в $\Omega$. Последовательность $u_j \in W_q^k(\Omega,\mathrm{loc})$ сходится в $W_q^k(\Omega,\mathrm{loc})$ к функции $u$, если
$$
\begin{equation}
\lim_{j \to \infty} \|u_j-u; W_q^k(\omega)\|=0 \quad \forall\, \omega \Subset \Omega.
\end{equation}
\tag{2}
$$
Как нетрудно видеть, условие (2) будет выполнено, если для каждой точки $\xi \in \Omega$ найдется такое положительное число $r$, что $B(\xi,r) \Subset \Omega $ и Близки к пространствам Соболева пространства бесселевых потенциалов $L_p^l(\Omega)$, см. [4], [5]. По определению функция $f$ принадлежит пространству $L_p^l (\mathbb{R}^n)$, $1 \leqslant p \leqslant \infty$, $l>0$, если где $\varphi \in L_p(\mathbb{R}^n)$, $G_l(x)$ – прообраз Фурье функции $(2 \pi)^{n/2} (1+|\lambda|^2)^{-1/2}$. Норма в пространстве $L_p^l(\mathbb{R}^n)$ вводится следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\|f;L_p^l(\mathbb{R}^n)\|=\|\varphi; L_p (\mathbb{R}^n)\|.
\end{equation*}
\notag
$$
В случае ограниченной области $\Omega$ функция $f \colon \Omega \to \mathbb{R}$ принадлежит $L_p^l(\Omega)$, если она является сужением на $\Omega$ некоторой функции $ \widetilde{f} $ класса $L_p^l(\mathbb{R}^n)$, называемой продолжением $f$. Соответствующая норма определяется равенством
$$
\begin{equation*}
\|f;L_p^l(\Omega)\|=\inf\|\widetilde{f}; L_p^l(\mathbb{R}^n)\|,
\end{equation*}
\notag
$$
точная нижняя грань берется по всем продолжениям на $\mathbb{R}^n$ функции $f$. Даже для натурального числа $l$ пространства $W_p^l(\Omega)$ и $L_p^l(\Omega)$ могут отличаться. Напомним определение пространства Никольского $H_1^k(\Omega)$. Обозначим через $\Omega_\eta$ совокупность точек из $\Omega$, отстоящих от границы области $\Omega$ на расстояние, большее чем $\eta$. Функция $f \colon \Omega \to \mathbb{R}$ принадлежит $H_1^1(\Omega)$, если она суммируема по $\Omega$ и выполняется условие Зигмунда
$$
\begin{equation}
\|f(\,{\cdot}\,{+}\,h)-2 f(\,{\cdot}\,)+ f(\,{\cdot}\,{-}\,h); L_1(\Omega_\eta)\| \leqslant M |h|, \qquad |h|< \eta.
\end{equation}
\tag{3}
$$
Класс $H_1^1(\Omega)$ образует пространство Банаха, если ввести норму где $M_f$ – наименьшая константа, с которой выполняется неравенство (3) для всех $\eta$, для которых $\Omega_\eta$ имеет смысл. Для натурального $k>1$ пространство $H_1^k(\Omega)$ состоит из функций класса $W_1^{k-1}(\Omega)$, все производные которых порядка $k-1$ принадлежат пространству $H_1^1(\Omega)$. В $H_1^k(\Omega)$ вводится норма
$$
\begin{equation*}
\|f;H_1^k(\Omega)\|=\|f; W_1^{k-1}(\Omega)\|+\sum_{|\alpha|=k -1} \|D^\alpha f; H_1^1(\Omega)\|.
\end{equation*}
\notag
$$
Хорошо известны определения пространств Никольского $H_1^k(\Omega)$ и для нецелых значений параметра $k$, см. [4]. Через $C^l(\Omega)$ обозначается пространство функций с конечной нормой
$$
\begin{equation*}
\|u; C^l(\Omega)\|=\sum_{|\alpha| \leqslant [l]} \sup \{|D^\alpha u(x)|, x \in \Omega\}+ [u]_{l,\Omega},
\end{equation*}
\notag
$$
где $l>0, [l]$ – целая часть $l$,
$$
\begin{equation*}
[u]_{l,\Omega}=\sum_{|\alpha|=[l]} \sup_{x,y \in \Omega} |x-y|^{[l]-l} |D^\alpha u(x)- D^\alpha u(y)|.
\end{equation*}
\notag
$$
Если $l$ – натуральное число, то слагаемое $[u]_{l,\Omega}$ в приведенном определении заменяется нулем. Для компактного множества $\mathbb{K} \subset \mathbb{R}^n$ обычным образом вводится банахово пространство $C(\mathbb{K})$ непрерывных на $\mathbb{K}$ действительных функций. Норма в $C(\mathbb{K}) $ определяется равенством Через $\operatorname{rca}(\mathbb{K})$ обозначается множество всех регулярных счетноаддитивных функций $\mu$, заданных на $\sigma$-алгебре $\mathscr{B}$ всех борелевских множеств из $\mathbb{K}$ и имеющих конечную полную вариацию $|\mu|(\mathbb{K})<\infty$. Сопряженное к $C(\mathbb{K})$ пространство состоит из линейных функционалов, допускающих представление
$$
\begin{equation*}
\Lambda(\varphi)=\int_{\mathbb{K}} \varphi(x)\, d \mu(x),\qquad \varphi \in C(\mathbb{K}),
\end{equation*}
\notag
$$
в котором $\mu$ – элемент из $\operatorname{rca}(\mathbb{K})$, см. [9]. Если функционал $\Lambda$ положителен, то его норма $\|\Lambda;C^*(\mathbb{K})\|=\mu(\mathbb{K})$. Помимо обычных функций в работе находят приложения и обобщенные, называемые иногда распределениями. Напомним некоторые определения и обозначения [10]. Через $\mathscr{D}(\Omega)$ обозначается линейное пространство всех финитных в $\Omega$ и бесконечно дифференцируемых функций. Функции класса $\mathscr{D}(\Omega)$ называют пробными. Последовательность пробных функций $\varphi_j$ сходится к нулю, если $\varphi_j$ равномерно финитны и все их производные равномерно стремятся к $0$. Говорят, что последовательность пробных функций $\varphi_j$ сходится к пробной функции $\varphi$, если разность $\varphi_j- \varphi$ сходится к нулю в $\mathscr{D}(\Omega)$; в этом случае пишут $\varphi_j \to \varphi$ в $\mathscr{D}(\Omega)$. Непрерывный линейный функционал $\Lambda \colon \mathscr{D}(\Omega) \to \mathbb{R}$ называют обобщенной функцией или распределением. Линейное пространство всех распределений обозначают символом $\mathscr{D}'(\Omega)$. Если $\Lambda \in \mathscr{D}'(\Omega)$, $\varphi \in \mathscr{D}(\Omega)$, то для обозначения величины $\Lambda(\varphi)$ используется символ $\langle \Lambda, \varphi \rangle$. Каждой локально суммируемой функции $f$ можно сопоставить распределение $\Lambda$, определяемое равенством
$$
\begin{equation*}
\langle \Lambda, \varphi \rangle=\int_\Omega f(x) \varphi(x) \, dx.
\end{equation*}
\notag
$$
В данной ситуации функцию $f$ называют плотностью распределения $\Lambda$. Таким образом, класс $L_1(\Omega,\mathrm{loc})$ можно интерпретировать как подмножество распределений на $\Omega$: $L_1(\Omega,\mathrm{loc}) \subset \mathscr{D}'(\Omega)$. Ниже $\mathscr{D}_+(\Omega)$ – множество неотрицательных пробных функций. Распределение $\Lambda$ называют положительным, если
$$
\begin{equation*}
\langle \Lambda, \varphi \rangle \geqslant 0\quad\forall\, \varphi \in \mathscr{D}_+(\Omega).
\end{equation*}
\notag
$$
Множество положительных распределений обозначается символом $(\mathscr{D}')_+(\Omega)$. Очевидно,что $(\mathscr{D}')_+(\Omega)$ есть замкнутый конус в пространстве $\mathscr{D}'(\Omega)$. Каждое положительное распределение является мерой. Более подробно это означает следующее. Обозначим через $\mathfrak{B}(\Omega)$ совокупность всех борелевских подмножеств $\Omega$. Мерой $\mu$ в $\Omega$ называют неотрицательную счетноаддитивную функцию множества, определенную на $\mathfrak{B}(\Omega)$ и конечную на всех компактных подмножествах $\Omega$. Для каждой меры $\mu$ распределение $\Lambda$, определяемое равенством
$$
\begin{equation}
\langle \Lambda, \varphi \rangle=\int_\Omega \varphi(x) \, d \mu(x),
\end{equation}
\tag{4}
$$
положительно. Верно и обратное: любое положительное распределение $\Lambda$ допускает представление (4), см. [10]; соответствующая мера $\mu$ называется ассоциированной с распределением $\Lambda$ и иногда обозначается символом $\mu_\Lambda$. Таким образом, положительные распределения обладают некоторым запасом регулярности. Пересечение $(\mathscr{D}')_+(\Omega) \cap L(\Omega,\mathrm{loc})$ состоит из локально суммируемых неотрицательных функций. Ниже будут применяться негативные пространства Соболева, сопряженные к пространствам $W_p^k(\Omega)$, $L_p^l(\Omega)$, образующие некоторые подпространства $\mathscr{D}'(\Omega)$. Их определения и свойства рассматриваются в § 2 и § 3. § 2. Внутренние оценкиДалее $A$ – линейный дифференциальный оператор, определяемый равенством
$$
\begin{equation*}
(Au)(x)=\sum_{|\alpha| \leqslant 2 m} a_\alpha(x) D^\alpha u(x).
\end{equation*}
\notag
$$
Оператор $A$ равномерно эллиптичен:
$$
\begin{equation*}
\sum_{|\alpha|=2 m} a_\alpha(x) t_1 ^{\alpha_1} \cdots t_n^{\alpha_n} \geqslant k_0(x) (t_1^2 +\dots+t_n^2) ^m;
\end{equation*}
\notag
$$
здесь $k_0 \colon \Omega \to \mathbb{R}$ – функция на $\Omega$, причем
$$
\begin{equation*}
\inf_{x \in \omega} k_0(x)>0 \quad \forall\, \omega \Subset \Omega.
\end{equation*}
\notag
$$
Коэффициенты $a_\alpha(x)$ дифференциального оператора $A$ – бесконечно дифференцируемые в $\Omega$ функции:
$$
\begin{equation}
a_\alpha \in C^\infty(\Omega), \qquad |\alpha|\leqslant 2 m.
\end{equation}
\tag{5}
$$
Через $A^*$ обозначается формально сопряженный к $A$ дифференциальный оператор, определяемый равенством
$$
\begin{equation*}
(A^*v)(x)=\sum_{|\alpha| \leqslant 2 m} (-1)^{|\alpha| } D^\alpha (a_\alpha(x) v(x)).
\end{equation*}
\notag
$$
Если $u \colon \Omega \to \mathbb{R}$ – достаточно гладкая функция, то для любой пробной функции $\varphi$ имеет место равенство
$$
\begin{equation}
\int_\omega \varphi(x) (A u)(x) \,dx=\int_\Omega u(x) (A^*\varphi)(x) \,dx.
\end{equation}
\tag{6}
$$
Ввиду (5) функция $A^* \varphi $ также является пробной. Это позволяет распространить оператор $A$ на класс распределений $\mathscr{D}'(\Omega)$. Если $u \in \mathscr{D}'(\Omega)$, то функционал $ \varphi \to u(A^* \varphi)$ также принадлежит $\mathscr{D}'(\Omega)$; соответствующее распределение и обозначается символом $A u$. Таким образом, верен аналог соотношения (6) – равенство
$$
\begin{equation}
(A u) (\varphi)=\langle u, A^*\varphi \rangle \quad \forall\, \varphi \in \mathscr{D}(\Omega).
\end{equation}
\tag{7}
$$
Если $\Lambda \in \mathscr{D}'(\Omega)$, то уравнение эквивалентно соотношению
$$
\begin{equation*}
u(A^*\varphi)=\langle \Lambda, \varphi \rangle \quad \forall\, \varphi \in \mathscr{D}(\Omega).
\end{equation*}
\notag
$$
Из общей теории уравнений эллиптического типа известно, что если $\Lambda$ – обычная достаточно гладкая функция, то таковым же является и любое решения уравнения (8). Например, если $\Lambda$ – бесконечно дифференцируемая в $\Omega$ функция, то и каждое решение уравнения (8) также бесконечно дифференцируемо. Это замечание применимо, в частности, к случаю $\Lambda= 0$. Совокупность решений уравнения $Au =0$ обозначается символом $\operatorname{Ker}(A)$. Оно составляет правильную часть класса $C^\infty(\Omega)$. Если $\mathscr{B}_0$, $\mathscr{B}_1$ – открытые концентрические шары и $\mathscr{B}_1 \Subset \mathscr{B}_0 \Subset \Omega$, то для любого положительного числа $\nu$ справедлива оценка
$$
\begin{equation}
\|w; C^\nu (\mathscr{B}_1)\| \leqslant c (\nu, \mathscr{B}_0, \mathscr{B}_1) \| w; L_1 (\mathscr{B}_0)\|,
\end{equation}
\tag{9}
$$
константа $c(\nu,\mathscr{B}_0,\mathscr{B}_1) $ не зависит от функции $w \in \operatorname{Ker}(A)$. Если оператор $A$ совпадает с оператором Лапласа
$$
\begin{equation*}
\Delta=\sum_{i =1}^n \frac {\partial^2}{\partial x_i^2},
\end{equation*}
\notag
$$
то функции класса $\operatorname{Ker}(\Delta)$ именуют гармоническими. Наряду с гармоническими функциями хорошо изучены и субгармонические функции, характеризуемые соотношением вида $\Delta u \geqslant 0$, понимаемым в смысле теории распределений. Естественным аналогом субгармонических функций являются распределения $u$, для которых $A u$ – положительное распределение, т. е. выполнено неравенство $A u \geqslant 0$, понимаемое в смысле теории обобщенных функций. Введем класс $\mathscr{K}(A)$, полагая
$$
\begin{equation*}
\mathscr{K}(A)=\{ u \in \mathscr{D}'(\Omega), \, A(u) \geqslant 0\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Распределения класса $\mathscr{K}(A)$ иногда именуют субэллиптическими функциями [11]. Краткости ради, далее будет использоваться и этот термин. Множество $\mathscr{K}(A)$ есть замкнутый клин в $\mathscr{D}'(\Omega)$ с лезвием $\operatorname{Ker}(A)$. Поскольку положительное распределение есть мера, то субэллиптические функции обладают некоторой регулярностью, во всяком случае они являются локально суммируемыми функциями. Ряд дополнительных сведений о гладкости субэллиптических функций можно найти в [11]. Фиксируем точку $\xi$ из $\Omega$ и введем обозначение Подберем положительное число $ R=R(\xi)$, удовлетворяющее следующим предположениям:$\beta_1)$ $B_R \Subset \Omega$; $\beta_2)$ для любого $\rho \in (0,R)$ задача Дирихле
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, (Au)(x)=0,\qquad x \in B_\rho, \nonumber \\ D^\alpha u(x)=0, \qquad x \in \partial B_\rho,\quad |\alpha| \leqslant m-1, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{10}
$$
имеет только нулевое решение. В силу результатов теории эллиптических краевых задач (см., например, [5]) уравнение (8) имеет единственное решение $v \colon B_\rho \to \mathbb{R}$, удовлетворяющее нулевым граничным условиям (10). Это решение для $\Lambda \in (\mathscr{D}'(\Omega))_+$ представимо в виде где $G(x,y)$ – функция Грина задачи Дирихле для эллиптического оператора $A$, $\mu$ – мера, соответствующая положительному распределению $\Lambda=A u$. Так как $ A u=A v=\Lambda$, то функция $w=u-v$ принадлежит $\operatorname{Ker}(A)$. Таким образом, функция $u$ на шаре $B_\rho$ допускает представление где $ A w\,{=}\,0$, $\mu\,{=}\,Au$. Равенство (12) есть аналог представления Рисса для субгармонических функций.Фиксируем число $r$ из $(0,R)$ и полагаем $\rho=(R+r)/2$. Установим неравенства, связывающие числовые характеристики введенных выше функций $u, v, w$. Лемма 1. Пусть $u \in \mathscr{K}(A), \mu=A u$. Тогда справедливо неравенство постоянная $c_1(r,R)$ не зависит от функции $u$ из $\mathscr{K}(A)$. Доказательство. Пусть $\psi$ – бесконечно дифференцируемая функция одного переменного $t$, причем $0 \leqslant \psi(t) \leqslant 1$ и
$$
\begin{equation*}
\psi(t) = \begin{cases} 1, & \text{если }t \leqslant 1, \\ 0, & \text{если } t>\dfrac{R}{\rho}. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда функция $\varphi(x)=\psi(|x-\xi|/\rho)$ принадлежит $\mathscr{D}_+(\Omega)$ и Из определения функции $\varphi$ и меры $\mu=A u$ вытекают соотношения
$$
\begin{equation*}
u(A^*\varphi)=\int_\Omega \varphi \, d \mu \geqslant \int_{B_\rho}1 \,d \mu=\mu(B_\rho).
\end{equation*}
\notag
$$
Вместе с тем справедлива оценка сверху:
$$
\begin{equation}
u(A^*\varphi) =\int_{B_R} u(x) (A^*\varphi) (x) \,dx \leqslant c_0 \int_{B_R}\,dx;
\end{equation}
\tag{14}
$$
здесь $c_0=\|A^*(\varphi); L_\infty(B_R)\|$. Объединяя два последних неравенства, приходим к оценке (13), в которой $c(r, R)=c_0$. Лемма доказана. Перейдем теперь к оценкам сверху нормы функции $v$, связанной с мерой $\mu=A u$ равенством (11). Напомним определение негативного пространства Соболева $L_q^{-l}(\Omega)$. Пусть $ 1 <q<\infty, l>0, L_2(\Omega)$ – гильбертово пространство, – скалярное произведение в этом пространстве. Если $ q'=q/(q-1)$ – двойственный к $q$ показатель и пространство $L_{q'}^l(\Omega)$ непрерывно вложено в $L_2(\Omega)$, то для функции $u$ из $L_2(\Omega)$ имеет смысл и конечна норма
$$
\begin{equation*}
\|u\|_{q,-l}=\sup\{ (u,v)_{L_2},\, \|v; L_{q'}^l(\Omega)\| \leqslant 1 \}.
\end{equation*}
\notag
$$
Пополнение $L_2(\Omega)$ в этой норме называют негативным пространством $L_q^{-l}(\Omega)$. Далее негативные пространства $L_q^{-l}(\Omega)$ рассматриваются лишь в случае, когда $\Omega$ есть открытый шар. Лемма 2. Пусть $ 2 m-1 <l<2 m$ и Тогда имеет место оценка постоянная $c_2(r,R)$ не зависит от функции $u$ из $\mathscr{K}(A)$. Доказательство. Пусть $p'$ – двойственный к $p$ показатель, т. е. $ p' =p/(p-1)$. Из неравенства (15) вытекает оценка $p'(2 m-l)>n$, поэтому банахово пространство $E_1=L_{p'}^{2 m-l}(B_\rho)$ непрерывно вложено в банахово пространство $E=C(\overline{B_\rho})$, см. [4]. Но тогда пространство $E^*$ – сопряженное к пространству $E$ непрерывно вложено в пространство $E_1^*$, совпадающее с негативным пространством $L_p^{l-2 m}(B_\rho)$. В силу теоремы о полном наборе гомеоморфизмов [5] для любого распределения $\Lambda$ класса $L_p^{l-2 m}(B_\rho)$ существует единственное решение $v$ краевой задачи (8), (10); справедлива оценка
$$
\begin{equation*}
\|v; L_p^l(\Omega)\| \leqslant c \|\Lambda; L_p^{l-2 m}(B_\rho)\|.
\end{equation*}
\notag
$$
Для завершения доказательства теперь достаточно заметить, что пространство $E^*$ непрерывно вложено в пространство $E_1^*=L_p^{l-2 m}(B_\rho)$, см. [4], и учесть равенство $\|\Lambda; E^*\|=\mu(B_\rho)$. Лемма доказана. Следствие. В предположениях леммы 2 выполняется неравенство Теорема 1. Пусть $ 1<p<\infty$, $2 m -1 <l<2m$ и имеет место оценка (15). Тогда для любого числа $r$ из $(0,R)$ справедливо неравенство постоянная $c_3(r,R)$ не зависит от функции $u$ из $\mathscr{K}(A)$. Доказательство. Пусть $u \in \mathscr{K}(A)$, $\mu=A u$, функция $v$ определена равенством (11), $w=u-v$. Тогда из лемм 1, 2 и непрерывности оператора вложения пространства $L_p^l(B_\rho)$ в пространство $L_1(B_\rho)$ следуют соотношения
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\|w;L(B_\rho)\| \leqslant \|u; L_1(B_\rho)||+\|v; L_1(B_\rho)\| \leqslant \|u;L_1(B_R)\|+ k_1 \|v;L_p^l (B_\rho)\| \\ &\qquad \leqslant \|u;L_1(B_R)\|+k_1 c_2(r,R) \mu(B_\rho) \leqslant (1+k_1 c_2(r,R) c_1(r,R)) \|u;L_1(B_R)\|; \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
здесь $k_1$ – норма оператора вложения $L_p^l(B_\rho)$ в $L_1(B_\rho)$, $c_1(r,R)$, $c_2(r,R)$ – постоянные, фигурирующие в леммах 1, 2. Из оценки (9) вытекает неравенство Эта оценка и (17) влекут за собой неравенства Теорема доказана. Фиксируем число $p_0$ из интервала $(1,n/(n-1))$ и выберем число $p$, удовлетворяющее условиям
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{p_0}>\frac{1}{p}-\frac{l-2 m +1}{n},\qquad 1<p<\frac{n}{n+l-2 m}.
\end{equation*}
\notag
$$
Эти условия гарантируют компактность оператора вложения пространства $L_p^l(B_r)$ в пространство $W_{p_0}^{2 m -1}(B_r)$. Теорема 2. Пусть $u_j \in \mathscr{K}(A)$, $j \in \mathbb{N}$, $u$ – локально суммируемая в $\Omega$ функция и для любого шара $B \Subset \Omega$ справедливо интегральное равенство Тогда $u \in \mathscr{K}(A)$ и $u_j \to u $ в $W_{p_0}^{2 m -1}(\Omega, \mathrm{loc})$. Доказательство. Фиксируем область $\omega \Subset \Omega$, точку $\xi$ из $\omega$ и положительное число $R= R(\xi)$ так, чтобы
1) шар $B_R=B(\xi,R) \Subset \Omega$; 2) для каждого шара $B_\rho= B(\xi,\rho)$, $0<\rho<R(\xi)$, задача Дирихле (10) имеет только нулевое решение. Если $\rho=\rho(\xi) \in (0,R(\xi))$, то согласно теореме 1 для функции $u_j$ из $\mathscr{K}(A)$ справедливы оценки
$$
\begin{equation}
\|u_j; L_p^l(B(\xi, \rho(\xi)))\| \leqslant c(\rho(\xi), R(\xi)) \, \|u_j, L_1(B(\xi, R(\xi)))\|.
\end{equation}
\tag{19}
$$
Система шаров $B(\xi, \rho(\xi))$, $\xi \in \overline{\omega}$, образует открытое покрытие компакта $\overline{\omega}$, поэтому найдутся такие точки $\xi_1, \xi_2,\dots, \xi_n$ из $\overline{\omega}$ , что
$$
\begin{equation}
\overline{\omega}\subset \bigcup_{i=1}^N B(\xi_i,\rho(\xi_i)).
\end{equation}
\tag{20}
$$
Для любого индекса $i=1, 2,\dots,N$ пространство $L_p^l(B(\xi_i, \rho(\xi_i)))$ компактно вложено в пространство $W_{p_0}^{2 m-1}(B(\xi_i,\rho(\xi_i)))$. Отсюда вытекают соотношения
$$
\begin{equation*}
\lim_{j \to \infty} \|u_j-u; W_{p_0}^{2 m-1}(B(\xi_i, \rho(\xi_i)))\|=0, \qquad i= 1,2,\dots,N.
\end{equation*}
\notag
$$
В силу свойства аддитивности имеет место неравенство
$$
\begin{equation*}
\|u_j-u ;W_{p_0}^{2 m-1}(\omega)\| \leqslant \sum_{i =1}^N \|u_j-u;W_{p_0}^{2m-1} (B(\xi_i, \rho(\xi_i)))\|.
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема доказана. Замечание. Интегральное равенство, фигурирующее в условиях теоремы 2, можно заменить формально более слабым предположением: для любого $\xi$ из $\Omega$ существует такое положительное число $r$, что $B(\xi,r) \Subset \Omega$ и Теорема 3. Пусть $\omega, \Omega_0$ – области в $\mathbb{R}^n$ и $\omega \Subset \Omega_0 \Subset \Omega$. Тогда пространство $\mathscr{K}(A)|L_1(\Omega_0)$ компактно вложено в $W_{p_0}^{2 m -1} (\omega)$; более подробно это означает, что множество $\{ u \in \mathscr{K}(A),\, \|u; L_1(\Omega_0)\|\leqslant 1 \}$ предкомпактно в пространстве $W_{p_0}^{2 m -1}(\omega)$. Доказательство. Воспользуемся рассуждениями, примененными при доказательстве теоремы 2. Пусть совокупность шаров $B(\xi_i, \rho(\xi_i))$ – система, построенная выше и удовлетворяющая дополнительным условиям
$$
\begin{equation*}
B(\xi_i, \rho(\xi_i)) \Subset \Omega_0, \qquad i =1,2,\dots, N.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $R_i>\rho(\xi_i)$ и вместе с тем $B(\xi_i, R_i) \Subset \Omega_0$. При подобном выборе чисел $R_i$ имеют место вытекающие из (18) неравенства
$$
\begin{equation*}
\|u; L_p^l(B(\xi_i, \rho(\xi_i)))|| \leqslant \varkappa_0 \|u;L_1(B(\xi_i, R_i))\|, \qquad i=1, 2,\dots, N,\quad u \in \mathscr{K}(A),
\end{equation*}
\notag
$$
в которых $\varkappa_0=\max \{ c_3(\rho(\xi_i), R_i), \, i =1,\dots, N\}.$ В силу выбора числа $p_0$ имеет место оценка с некоторой постоянной $\varkappa$. Объединяя эту оценку с предшествующими неравенствами, приходим к цепочке соотношений Отсюда вытекает непрерывность оператора вложения множества $\mathscr{K}(A)|L_1 (\Omega_0)$ в пространство $W_{p_0}^{2 m -1} (\omega)$. Компактность этого оператора следует из компактности вложения $L_p^l(B(\xi_i, \rho(\xi_i)))$. Теорема доказана. Следствие. В условиях теоремы 3 имеет место неравенство где постоянная $c(\omega, \Omega_0)$ не зависит от функции $u \in \mathscr{K}(A)$. В неравенстве (21) и теоремах 2, 3 существенно предположение $p_0\,{<}\,n/(n\,{-}\,1)$. Убедимся в необходимости этого условия на примере оператора $A$, совпадающего с оператором Лапласа $\Delta$. Действительно, пусть функции $\mathscr{E}_n$ определены на $\mathbb{R}^n$ равенствами
$$
\begin{equation*}
\mathscr{E}_2(x)=\ln |x|,\qquad \mathscr{E}_n(x)=- |x|^{2-n} ,\quad n >2.
\end{equation*}
\notag
$$
Как нетрудно видеть, $\mathscr{E}_n \in \mathscr{K}(\Delta)$, $\mathscr{E}_n \in L_1(B_1)$, $B_1 =\{x \in \mathbb{R}^n,\, |x|<1\}$, в то же время включения $\mathscr{E}_n \in W_p^1(B_1)$ справедливы лишь при $p<n/(n-1)$.
§ 3. Модификации и обобщенияВначале обсудим варианты теорем 1–3, связанные с заменой пространства $L_1$ негативным пространством $\mathscr{H}(\Omega)=W_q^{-k}(\Omega)$, где $1<q<\infty$, $k$ – натуральное число и $k \leqslant 2 m$. Пространство $\mathscr{H}(\Omega)$ определяется как сопряженное к пространству Соболева $W_{q'}^k(\Omega)$, $q'= q/(q-1)$. Оно состоит из распределений $z$, допускающих представление где $z_\alpha \in L_q(\Omega)$ $\forall\, |\alpha| \leqslant k$. Норма в пространстве $\mathscr{H}(\Omega)$ определяется равенством
$$
\begin{equation*}
\|z; \mathscr{H}(\Omega)\|=\inf_{\{z_\alpha\}} \, \sup_{|\alpha|\leqslant k} \|z_\alpha; L_q(\Omega)\|,
\end{equation*}
\notag
$$
в котором $\inf$ берется по всем наборам $\{z_\alpha\}$, фигурирующим в равенстве (22). Проследим за соответствующими изменениями в построениях предшествующего пункта. Пусть $\xi \in \Omega$; $B_R$, $B_\rho$, $B_r$ – концентрические шары с центром в точке $\xi$ радиусов $ R> \rho >r$, удовлетворяющие сформулированным в п. 2 условиям. Пусть $u \in \mathscr{K}(A)$, функция $v$ определена в шаре $B_\rho$ равенством (11), $w=u-v$. Аналогом неравенства (13) является оценка
$$
\begin{equation}
\mu(B_\rho) \leqslant d_1(r,R) \|u; \mathscr{H}(B_R)\|,
\end{equation}
\tag{23}
$$
постоянная $d_1(r,R)$ не зависит от функции $u$ из $\mathscr{K}(A)$. Для ее доказательства достаточно вместо оценки (14) воспользоваться неравенством
$$
\begin{equation}
u(A^*\varphi)=\int_{B_R} u(x) (A^*\varphi)(x) \, dx \leqslant d_0 \|u;\mathscr{H}(B_R)\|,
\end{equation}
\tag{24}
$$
в котором $d_0=\|A^*(\varphi); W_q^k(B_R)\|$. Неравенство (24) и приводит к оценке (23) с константой $d_1(r,R)=d_0$. Сформулируем теперь вариант теоремы 1. Теорема 4. Пусть $1<p<\infty$, $2m-1 <l<2 m $ и имеет место оценка (15). Тогда для любого числа $r$ из $(0,R)$ справедливо неравенство где постоянная $d_2(r,R)$ не зависит от функции $u$ из $\mathscr{K}(A)$. Доказательство аналогично доказательству теоремы 1. Отметим лишь, что вместо неравенства (19) необходимо применить внутреннюю оценку вида
$$
\begin{equation}
\|w;L_p^l(B_r)\| \leqslant d(r,\rho) \|w; \mathscr{H}(B_\rho)\|,
\end{equation}
\tag{26}
$$
где константа $d(r,\rho)$ не зависит от функции $w \in \operatorname{Ker}(A)$. Эта оценка следует из общих результатов о внутренней регулярности слабых решений эллиптических уравнений (см., например, [12; с. 269–273]). Приведем достаточное для наших целей следствие этих результатов. Предложение 1 (см. [12; с. 269, 270]). Для каждой точки $\xi \in \Omega $ найдется такое число $\varepsilon>0$ и такая функция $g(x,y)$, что 1) $B(x, 2\varepsilon) \Subset \Omega$; 2) функция $g$ регулярна, т. е. $g \in C^{2 m}(B(\xi, 2 \varepsilon), B(\xi, 2\varepsilon))$; 3) если $w \in \operatorname{Ker}(A)$, то почти всюду в $B(\xi, \varepsilon)$ имеет место равенство Из регулярности функции $g(x,y)$ вытекает оценка
$$
\begin{equation*}
|w(x)| \leqslant C \|w;\mathscr{H}(\xi,2\varepsilon)\|,
\end{equation*}
\notag
$$
с постоянной $C$, не зависящей от $x \in B(\xi, \varepsilon)$. Эта оценка и (19) влекут за собой неравенство (26). Сформулируем варианты теорем 2 и 3. Теорема 5. Пусть $u_j \in \mathscr{K}(A)$, $j \in \mathbb{N}$, и для любого шара $B \Subset \Omega$ справедливо равенство Тогда $u\in \mathscr{K}(A)$ и $u_j \to u$ в $W_{p_0}^{2 m -1}(\Omega,\mathrm{loc})$. Теорема 6. Пусть $\omega$, $\Omega_0$ – области в $\mathbb{R}^n$ и $\omega \Subset \Omega_0 \Subset \Omega$. Тогда пространство $\mathscr{K}(A)|\mathscr{H}(\Omega_0)$ компактно вложено в $W_{p_0}^{2 m -1}(\omega)$; более подробно это означает, что множество предкомпактно в пространстве $W_{p_0}^{2 m -1}(\omega)$. Доказательства теорем 5 и 6 аналогичны доказательствам теорем 2, 3, поэтому не приводятся. В условиях теоремы 6 верно обобщающее оценку (21) неравенство
$$
\begin{equation*}
\|u; W_{p_0}^{2m-1}(\omega)\| \leqslant d(\omega, \Omega_0) \|u; \mathscr{H}(\Omega_0)\|,
\end{equation*}
\notag
$$
в котором постоянная $d(\omega, \Omega_0)$ не зависит от функции $u \in \mathscr{K}(A)$. Замечание. Предположение $k \leqslant 2 m$, фигурирующее в определении класса $\mathscr{H}$, на самом деле является лишним. Достаточно заметить, что решения уравнения $A(u)=0$ автоматически являются и решениями уравнения $(\Delta^s A) u=0$ при любом целом $s$. Далее нам потребуется следующее утверждение. Предложение 2. Пусть $A$ – равномерно эллиптический оператор с постоянными коэффициентами. Если $w_j \in \operatorname{Ker}(A)$ и $w_j \to w$ в $\mathscr{D}'(\Omega)$, то $w_j \to w$ в $L_1(\Omega,\mathrm{loc})$. Предложение 2 следует из существенно более сильного аналога теоремы Стилтьеса–Витали, установленного в [10; с. 138]. Автор специально ослабил результат из [10] в надежде, что аналогичное предложению 2 утверждение верно и для операторов с переменными коэффициентами. Теорема 7. Пусть оператор $A$ удовлетворяет условиям предложения 2. Если $u_j \in \mathscr{K}(A)$ и $u_j \to u$ в $\mathscr{D}'(\Omega)$, то $u_j \to u$ в $W_{p_0}^{2 m-1}(\Omega, \mathrm{loc})$. Доказательство. Фиксируем точку $\xi$ из $\Omega$ и положительное число $R=R(\xi)$ так, чтобы выполнялись условия $\beta_1)$, $\beta_2)$. Пусть $0<r<R$, $\rho =(r+R)/2$, $\varphi$ – функция класса $\mathscr{D}(\Omega)$, причем $\varphi(x)=1$ $\forall\, x \in B(\xi,\rho)$ и $\varphi(x)=0$, если $x\notin B(\xi,R)$ – способ построения подобной функции указан выше. Поскольку $u_j \in \mathscr{K}(A)$, то $\mu_j=A(u_j)$ есть неотрицательная мера. Имеют место соотношения влекущие за собой оценку вида $\mu_j(B(\xi,\rho)) \leqslant c_0<\infty$ $\forall\, j \in \mathbb{N}$.
Обозначим через $v_j$ решение уравнения $A v=\mu_j$, удовлетворяющее нулевым граничным условиям (10). В силу установленных в предшествующем пункте результатов последовательность $v_j$ сходится в пространстве $W_{p_0}^{2 m -1}(B(\xi,\rho))$. Так как $A u_j=A v_j$, то функция $w_j=u_j-v_j$ удовлетворяет уравнению $A w=0$. Поскольку $w_j \in \operatorname{Ker}(A)$ и последовательность $w_j=u_j-v_j$ сходится в $\mathscr{D}'(B(\xi, \rho))$, то в силу предложения 2 справедливо, что $w_j \to w$ в $L_1(B(\xi,\rho), \mathrm{loc})$. Но тогда и последовательность $u_j=v_j+w_j$ сходится к функции $u=v+w$ в пространстве $L_1(B(\xi,\rho), \mathrm{loc})$. В частности, справедливо равенство Таким образом, установлено следующее: для любого элемента $\xi \in \Omega$ существует такое положительное число $r$, что имеет место последнее равенство. Отсюда и из теоремы 2 вытекает сходимость $u_j \to u$ в $W_{p_0}^{2 m -1}(\Omega,\mathrm{loc})$. Теорема доказана. Аналогичный теореме 7 результат установлен в [1] для случая $A=\Delta$. В работе [2] $A$ – произвольный равномерно эллиптический оператор с постоянными коэффициентами, однако сходимость $u_j \to u$ устанавливается лишь в смысле топологии $H_2^s(\Omega,\mathrm{loc})$, $s<2m-n/2$, более слабой, чем топология $W_{p_0}^{2 m -1}(\Omega,\mathrm{loc})$. Условие постоянства коэффициентов оператора $A$ достаточно ограничительно; скорее всего оно связано лишь с методом доказательства. Принятое выше предположение о гладкости (5) также представляется слишком жестким. Сопоставим эллиптическому оператору $A$ более узкий, чем $\mathscr{K}(A)$, клин $\mathscr{K}_1 (A)$, полагая
$$
\begin{equation*}
\mathscr{K}_1(A)=\{ u \in \mathscr{K}(A), \, A u \in L_1(\Omega, \mathrm{loc})\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Как и в § 2, $A$ – равномерно эллиптический оператор; простоты ради сохраним и требование (5). Для элементов клина $\mathscr{K}_1(A)$ верно некоторое усиление неравенства (21). Установим вначале одно вспомогательное утверждение. Лемма 3. Пусть $\mathscr{X}$ – ограниченная область в $\mathbb{R}^n$, $F \colon \mathscr{X}\times \mathscr{X} \to \mathbb{R}$ – функция, непрерывная по совокупности переменных вне диагонали $x=y$ вместе со всеми частными производными $\partial^2 F/\partial x_i \partial x_j$ второго порядка. Пусть имеют место неравенства Тогда совокупность функций $F_y(\,{\cdot}\,)=F(\,{\cdot}\,,y)$, $y \in \mathscr{X}$, есть ограниченное множество в пространстве Никольского $H_1^1(\mathscr{X})$. Доказательство. Из неравенства (27) следует ограниченность множества функций $F_y$, $y \in \mathscr{X}$, в пространстве $L_1(\mathscr{X})$. Существенно сложнее проверяется условие Зигмунда (3). Фиксируем ненулевой вектор $h=(h_1,\dots, h_n)$ так, чтобы $\mathscr{X}_{|h|} \neq \varnothing$. Пусть $y \in \mathscr{X}$, $x \in \mathscr{X}_{|h|}$.
Оценим сверху интеграл
$$
\begin{equation*}
M(h)=\int_{\mathscr{X}_{|h|}} |F(x+h,y)-2 F(x,y)+F(x-h,y)|\, dx.
\end{equation*}
\notag
$$
Представим $M(h)$ в виде суммы двух интегралов $M_1(h)$, $M_2(h)$ от той же функции по множествам $T(h)=\mathscr{X}_{|h|} \cap B(y,2|h|)$ и $\mathscr{X}_{|h|}\setminus T(h)$. Из оценки (27) следуют соотношения
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, M_1(h)&=\int_{T(h)} |F(x+h,y)-2 F(x,y)+F(x-h,y)|\, dx \\ &\leqslant c \int_{B(y, 2|h|)} \biggl( \frac{1}{|x +h-y|^{n-1}} +\frac{2}{|x-y|^{n-1}}+ \frac{1}{|x-h-y|^{n-1}}\biggr) \,dx. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
При любом $t$ из отрезка $[-1,1]$ верны оценки
$$
\begin{equation*}
\int_{B(y,2|h|)} \frac {1}{|x+t h-y|^{n-1}}=\int_{|z|<2 |h|} \frac{d z}{|z+t h|^{n-1}} \leqslant \int_{|z|<3 |h|} \frac{dz}{|z|^{n-1}}=\varkappa_n |h|,
\end{equation*}
\notag
$$
постоянная $\varkappa_n$ зависит только от $n$. Объединяя найденные неравенства, приходим к неравенству $M_1(h)\leqslant 4 c \varkappa_n|h|$.
Докажем аналогичную оценку для интеграла $M_2(h)$. Предположим, что $\psi(t)=F(x+t h, y)$ – функция, определенная на отрезке $[-1,1]$. Имеют место равенства
$$
\begin{equation}
\psi''(t)=\sum_{i , j =1}^n \frac{\partial^2 F(x+th, y)}{\partial x_i\, \partial x_j} h_i h_j,
\end{equation}
\tag{29}
$$
$$
\begin{equation}
\begin{split} &F(x+h,y)-2F(x,y)+F(x-h,y)=\psi(1)-2 \psi(0)+\psi(-1) \\ &\qquad=\int_{-1}^1 (1-|t|) \psi''(t) \, dt. \end{split}
\end{equation}
\tag{30}
$$
Рассмотрим интегралы
$$
\begin{equation*}
N_{i j}(t, h)=\int_{\mathscr{X}_{|h|} \setminus T_h} \biggl| \frac{\partial^2 F}{\partial x_i \, \partial x_j}(x+t h,y)\biggr| \,dx,\qquad i,j=1, \dots,n.
\end{equation*}
\notag
$$
Используя неравенство (28), приходим к соотношениям
$$
\begin{equation*}
N_{i j}(t,h) \leqslant \int_{\mathscr{X}_{|h|} \setminus T_h} \frac {c}{|x+t h-y|^{n+1}}\,dx \leqslant \int_{|x-y|>2|h|}\frac{c}{|x+t h-y|^{n+1}}\,dx.
\end{equation*}
\notag
$$
При любом $t$ из отрезка $[-1,1]$ верны оценки
$$
\begin{equation*}
\int_{|x-y|>2|h|}\frac{c}{|x+t h-y|^{n+1}}\,dx=\int_{|z|> 2 |h|}\frac {dz}{|z +t h|^{n+1}} \leqslant \int_{|z| >|h|} \frac {d z}{|z|^{n+1}}=\frac {\lambda_n} {|h|},
\end{equation*}
\notag
$$
постоянная $\lambda_n$ зависит только от $n$. Таким образом, установлено неравенство Из соотношений (29)–(31) вытекают оценки
$$
\begin{equation*}
M_2(h) \leqslant \sum_{i,j =1}^n \int_{-1}^1 (1-|t|) N_{i j}(t, h)| h_i h_j |\,dt \leqslant c \mu_n |h|,
\end{equation*}
\notag
$$
где постоянная $\mu_n$ зависит лишь от $n$.
Из неравенств $M_1(h) \leqslant 4 c \varkappa_n |h|$, $M_2 (h) \leqslant c \mu_n |h|$ следует оценка а вместе с ней и ограниченность множества $F_y$, $y \in \mathscr{X}$, в пространстве Никольского $H_1^1(\mathscr{X})$. Лемма доказана.Теорема 8. Пусть $\omega$, $\Omega_0$ – области в $\mathbb{R}^n$ и $\omega \Subset \Omega_0 \Subset \Omega$. Тогда имеет место неравенство где постоянная $C(\omega, \Omega_0)$ не зависит от функции $u \in \mathscr{K}_1(A)$. Доказательство. Вначале установим локальный вариант теоремы 8. Справедливо следующее утверждение: для любой точки $\xi$ из $\overline{\omega}$ найдется такое положительное число $R=R(\xi)$, что
1) $B(\xi,R) \Subset \Omega_0$; 2) если $ 0 <r <R$, то для функции $u$ из $\mathscr{K}_1(A)$ верно неравенство
$$
\begin{equation}
\| u; H_1^{2 m}(B(\xi,r))\| \leqslant C(r,R) \| u;L_1(B(\xi,R))\|,
\end{equation}
\tag{33}
$$
постоянная $C(r,R)$ зависит лишь от $r$ и $R$.
Фиксируем $R>0$ настолько малым, чтобы выполнялись условия $\beta_1)$, $\beta_2)$ с $\Omega= \Omega_0$. Пусть $r \in (0,R)$, $\rho =(r+R)/2$, $u \in \mathscr{K}_1(A)$, $f =A u$ – неотрицательная функция класса $L_1(\Omega, \mathrm{loc})$, $\mu $ – мера с плотностью $f$. Из леммы 1 вытекают соотношения
$$
\begin{equation}
\int_{B(\xi,\rho)} f(x) \,dx =\mu(B_\rho) \leqslant c_1(r,R) \int_{B_R} |u(x)|\,dx,
\end{equation}
\tag{34}
$$
где постоянная $c_1(r,R)$ не зависит от функции $u$ из $\mathscr{K}_1(A)$.
Пусть $v \colon B(\xi,\rho) \to \mathbb{R}$ есть решение следующей задачи Дирихле:
$$
\begin{equation*}
(Au)(x)=f(x),\quad x \in B(\xi,\rho), \qquad D^\alpha v(x)=0,\quad x \in \partial B(\xi,\rho),\quad |\alpha|<m.
\end{equation*}
\notag
$$
Это решение представимо в виде где $G(x,y)$ – функция Грина задачи Дирихле для эллиптического оператора $A$. Фиксируем мультииндекс $\alpha=(\alpha_1, \dots, \alpha_n)$ длины $2 m-1$ и положим $ v_\alpha(x)= D^\alpha v(x)$, $G_\alpha(x,y)=D_x^\alpha G(x,y)$. Из формулы (35) следует равенство
$$
\begin{equation*}
v_\alpha(x)=\int_{B(\xi, \rho)} G_\alpha(x,y) f(y) \,dy.
\end{equation*}
\notag
$$
В силу результатов [6], [7] функция $F(x,y)=G_\alpha(x,y)$ удовлетворяет предположениям леммы 3. Отсюда вытекает оценка
$$
\begin{equation}
\| v; H_1^{2m}(B_\rho)\| \leqslant C_1(\rho, R) \|f; L(B(\xi,\rho))\|.
\end{equation}
\tag{36}
$$
Поскольку $Au=Av$, то функция $w=u-v$ удовлетворяет в шаре $B(\xi,\rho)$ однородному уравнению $A w=0$. Из неравенств (34), (36) следует оценка
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \|w; L_1(B(\xi,\rho))\| &\leqslant \|u; L_1(B(\xi,\rho))\|+\|v; L_1(B(\xi,\rho))\| \nonumber \\ &\leqslant C_2(\rho,R) \| u; L_1(B(\xi,R))\|. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{37}
$$
С другой стороны, справедливо вытекающее из (9) неравенство
$$
\begin{equation*}
\|w; C^{2m}(B(\xi,r))\| \leqslant C(r,\rho) \|w; L_1(B(\xi,\rho))\|,
\end{equation*}
\notag
$$
объединяя которое с оценкой (37), приходим к соотношению
$$
\begin{equation}
\|w; C^{2m}(B(\xi,r))\| \leqslant C_3(r,R) \|u; L_1(B(\xi,R))\|.
\end{equation}
\tag{38}
$$
Оценки (34), (36), (38) влекут за собой неравенство (33) – локальный вариант теоремы.
Переход от локального варианта теоремы к полному осуществляется по стандартной схеме. Пусть $\xi \in \overline{\omega}$. Подберем в соответствии с локальным вариантом теоремы положительное число $R(\xi)$. Если $0<r(\xi)<R(\xi)$, то верна следующая из (33) оценка:
$$
\begin{equation}
\|u; H_1^{2m}(B(\xi,r(\xi)))\| \leqslant C(r,R) \|u; L_1(B(\xi,R(\xi)))\|.
\end{equation}
\tag{39}
$$
Выберем конечное покрытие компакта $\overline{\omega}$ шарами $B_j=B(\xi_j, r(\xi_j))$, $j=1, \dots, N$, и положим $\mathbb{B}_j=B(\xi_j, R(\xi_j))$. В силу (39) имеют место соотношения
$$
\begin{equation*}
\| u; H_1^{2m}(B_j)\| \leqslant C \, \| u; L_1(\mathbb{B}_j)\|,\qquad j=1, \dots, N,
\end{equation*}
\notag
$$
где $C=\max\{C(r(\xi_j), R(\xi_j)),\, j=1,\dots, N\}$. Фиксируем функции $\varphi_j$, $j= 1,\dots, N$, удовлетворяющие условиям
$$
\begin{equation*}
\varphi_j \in C_0^\infty(\Omega_0), \qquad \operatorname{supp}(\varphi_j) \Subset B_j,\qquad \sum_{j=1}^n \varphi_j(x)=1 \quad \forall\, x \in \omega.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда
$$
\begin{equation*}
\|u \varphi_j; H_1^{2m}(\Omega_0)\| \leqslant k \|u; H_1^{2 m}(\mathbb{B}_j)\|.
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь неравенство (32) вытекает из соотношений
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|u;H_1^{2m}(\omega)\| &\leqslant \biggl\|\sum_{j=1}^N u \varphi_j; H_1^{2m}(\Omega_0)\biggr\| \leqslant k \sum_{j=1}^N \|u; H_1^{2 m}(\mathbb{B}_j)\| \\ &\leqslant k C \sum_{j=1}^N \|u; L_1(\mathbb{B}_j)\| \leqslant N k C \|u; L(\Omega_0)\|. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема доказана. Следствие. Пусть $\omega$, $\Omega_0$ – области в $\mathbb{R}^n$ и $\omega \Subset \Omega_0 \Subset \Omega$ . Тогда справедливо неравенство в котором $\delta_n=1-1/n$, постоянная $C_1(\omega, \Omega_0)$ не зависит от функции $u \in \mathscr{K}_1(A)$. Следствие вытекает из теоремы 8 и теорем вложения пространств Никольского в пространства Марцинкевича–Соболева (см., например, [13]). По аналогии с клином $\mathscr{K}_1(A)$ можно ввести и клин
$$
\begin{equation*}
\mathscr{K}_p(A)=\{ u \in \mathscr{K}(A), \, A u \in L_p(\Omega, \mathrm{loc})\},
\end{equation*}
\notag
$$
где $1<p<\infty$. Этот клин составляет часть клина $\mathscr{K}_1(A)$, однако существенного усиления внутренних оценок не происходит. Вместе с тем теория эллиптических уравнений в пространствах $L_p$, $1 <p<\infty$, хорошо развита. В частности, известны внутренние оценки вида
$$
\begin{equation}
\|u;W_p^{2 m}(\omega)\| \leqslant c(p,\omega,\Omega_0) ( \|A u; L_p(\Omega_0)\| +\|u; L_p(\Omega_0)\|).
\end{equation}
\tag{40}
$$
В этой оценке $u$ – произвольная функция класса $W_p^{2 m}(\Omega, \mathrm{loc})$, условие $ A u \geqslant 0$ не требуется. Принципиальное отличие оценок (21), (32) от (40) обусловлено тем, что в правой части соответствующих неравенств отсутствует слагаемое $\|Au; L_1(\Omega_0)\|$. Подобный эффект достигается в предположении $A u \geqslant 0$, имеющем качественный характер. В заключение остановимся на некоторых потенциальных обобщениях. Здесь следует отметить возможности смягчения предположения (5). Основной резерв связан с применением оценок функции Грина, установленных в работах [6], [7] при достаточно необременительных предположениях относительно гладкости коэффициентов. Линейная оболочка клина $\mathscr{K}_1(A)$ есть пространство
$$
\begin{equation*}
V(A)=\{ u \in \mathscr{D}'(\Omega),\, A u \in L_1(\Omega, \mathrm{loc})\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Для функций из $V(A)$ верен следующий вариант неравенства (32):
$$
\begin{equation}
\|u;H_1^{2 m}(\omega)\| \leqslant C_1 (\omega,\Omega_0) ( \| f^-; L(\Omega_0)\|+ \|u;L_1(\Omega_0)\|),
\end{equation}
\tag{41}
$$
где $f^- (x)= (|f(x)|-f(x))/2$ – отрицательная часть функции $f(x)=(Au)(x)$. Доказательство проводится с помощью методов, примененных выше. Остановимся на выводе аналога неравенства (34). Пусть $u \in V(A)$, $f=A u$, $f^-$ и $f^+$ – отрицательная и положительная части функции $f$, $\varphi$ – функция, введенная при доказательстве леммы 1. Справедливы соотношения
$$
\begin{equation*}
u(A^*\varphi)=\int_\Omega \varphi(x) f(x) \, dx=\int_{B_R} \varphi(x) f(x)\,dx \geqslant \int_{B_\rho}f^+(x)\,dx -\int_{B_R} \varphi(x) f^-(x) \,dx,
\end{equation*}
\notag
$$
влекущие за собой аналогичное (34) неравенство
$$
\begin{equation*}
\int_{B_\rho}|f(x)| \,dx \leqslant C \biggl(\int_{B_R} |u(x)|\,dx +\int_{B_R} f^-(x)\,dx \biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
В последующих оценках появляется дополнительное слагаемое, содержащее $f^-(x)$. Аналогичное (41) неравенство имеет место и при замене отрицательной части функции $(Au)(x)$ положительной частью. Это влечет за собой вариант (40) для класса суммируемых функций
$$
\begin{equation}
\|u; H_1^{2 m}(\omega)\|\leqslant c(\omega, \Omega_0)\|\leqslant \|Au;L_1(\Omega_0)\| +\|u;L_1(\Omega_0)\|.
\end{equation}
\tag{42}
$$
Неравенство (42) представляет определенный самостоятельный интерес. Возможно (и более просто) непосредственное его доказательство, основанное на оценках функции Грина и соотношениях (9), (35). Внутренние оценки можно дополнить оценками вплоть до границы. Такого рода результаты устанавливались в работах автора для функций, удовлетворяющих граничным условиям [14], [15]. Они нашли применения к нелинейным краевым задачам. Предположение $ n >1$ связано лишь с тем, что для обыкновенных дифференциальных уравнений все результаты могут быть существенно усилены. В случае одномерных краевых задач общая теория применима и для пространства $L_1$ суммируемых функций. Например, внутренняя оценка (40) справедлива и для $p=1$. Более того, пространство $L_1$ можно заменить пространством $C^*$, сопряженным к пространству $C$ непрерывных функций. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Kli21} |
|
||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|