| Известия Российской академии наук. Серия математическая |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 4 научных статьях (всего в 4 статьях) Общие коэффициенты Фурье и сходимость почти всюду Л. Д. Гоголадзе, Г. Цагареишвили Тбилисский государственный университет им. Ив. Джавахишвили
Англоязычная версия:
Izvestiya: Mathematics, 2021, Volume 85, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/IM8985 
Реферативные базы данных:
   § 1. Некоторые обозначения, вспомогательные леммы и теоремыЧерез $V$ обозначим множество всех функций ограниченной вариации на $[0,1]$. $V(f)$ означает полную вариацию функции $f\in V$ на $[0,1]$. Пусть $\mathcal{A}$ – банахово пространство всех абсолютно непрерывных функций на $[0,1]$. Как известно, норма в пространстве $\mathcal{A}$ определяется следующим образом: Введем следующие обозначения. Пусть $(\varphi_n)$ – ОНС на $[0,1]$ и – коэффициенты Фурье функции $f\in L_2$.Положим
$$
\begin{equation}
P_n (a,x)=\sum_{k=1}^n a_k \log_2 (k+1)\varphi_k (x),
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
где $a=(a_n )\in \ell_2$ – любая последовательность действительных чисел, а
$$
\begin{equation}
D_n (a)=\max_{1\leqslant i\leqslant n} \biggl|\int_0^{i/n} P_n (a,x)\, dx\biggr|.
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
Лемма 1. Для любого $i=1,\dots,n$ и для любой последовательности чисел $(a_n )\in \ell_2$ справедлива оценка1 где $A_a$ – некоторая положительная константа, зависящая лишь от $a=(a_n)\in \ell_2$. Доказательство. Используя неравенство Гёльдера, получаем для всех $i=1,\dots,n$ оценки
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_{(i-1)/n}^{i/n} |P_n (a,x)|\, dx \leqslant \frac{1}{\sqrt{n}} \biggl(\int_0^1 \biggl(\sum_{k=1}^n a_k \log_2 (k+1)\varphi_k (x) \biggr)^2 \, dx\biggr)^{1/2} \\ &\qquad=\frac{1}{\sqrt{n}} \biggl(\sum_{k=1}^n a_k^2 \log_2^2 (k+1) \biggr)^{1/2}\leqslant \frac{\log_2 (n+1)}{\sqrt{n}} \biggl(\sum_{k=1}^n a_k^2 \biggr)^{1/2}\leqslant A_a. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 1 доказана. Лемма 2. Пусть $(\varphi_n)$ – ОНС на $[0,1]$ и $(a_n )\in \ell_2$, тогда справедливо неравенство Доказательство. Применяя неравенство Коши, получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\biggl|\int_0^1 \sum_{k=1}^n a_k \log_2 (k+1) \varphi_k (x) \, dx\biggr| =\biggl|\sum_{k=1}^n a_k \log_2 (k+1) \int_0^1 \varphi_k (x)\, dx\biggr| \\ &\qquad\leqslant \biggl(\sum_{k=1}^n a_k^2 \biggr)^{1/2} \biggl(\sum_{k=1}^n \biggl(\int_0^1 \varphi_k (x)\, dx\biggr)^2 \log_2^2 (k+1) \biggr)^{1/2}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 2 доказана. Теорема Банаха (см. [2; с. 106] и [3]). Пусть $f\,{\in}\, L_2$ $(f\,{\nsim}\, 0)$ – любая функция. Тогда существует ОНС $(\varphi_n)$, определенная на $[0, 1]$, такая, что п.в. на $[0, 1]$. Теорема Меньшова–Радемахера (см. [2; с. 87]). Если $(\varphi_n )$ – ОНС на $[0, 1]$ и тогда почти всюду на $[0, 1]$ сходится ряд Справедливы следующие теоремы (см. [1]). Теорема A. Пусть $(\varphi_n)$ – ОНС на $[0, 1]$ и $\int_0^1 \varphi_n (x)\, dx=0$ $(n=1,2,\dots)$. Если для любой последовательности $(a_n )\in \ell_2$ выполняется соотношение где то коэффициенты Фурье каждой функции ограниченной вариации будут удовлетворять условию Теорема B. Пусть $(\varphi_n)$ – ОНС на $[0, 1]$ и $\int_0^1 \varphi_n (x)\, dx=0$ $(n=1,2,\dots)$. Если для некоторой последовательности $(b_n)\in \ell_2$ выполняется условие то существует функция $g\in \mathcal{A}$ такая, что Теорема C (см. [4; гл. 2, с. 40]). Последовательность чисел $(a_n)$ принадлежит к $\ell_p$ для $p>1$ тогда и только тогда, когда для любой последовательности $(b_n)\in \ell_q$, где $1/p+1/q=1$ сходится ряд Заметим, что подобные результаты рассмотрены в работах [5]–[8]. § 2. Основные результатыТеорема 1. Пусть $(\varphi_n)$ – ОНС на $[0, 1]$ и Если для любой последовательности $(a_n )\in \ell_2$ выполняется соотношение то коэффициенты Фурье каждой функции $f$ ограниченной вариации удовлетворяют условию Доказательство. Пусть $(a_n)\in \ell_2$ – любая последователность, тогда, см. (1.1), справедливы равенства
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \sum_{k=1}^n a_k C_k (f)\log_2 (k+1)& =\int_0^1 f(x)\biggl(\sum_{k=1}^n a_k \log_2 (k+1) \varphi_k (x)\biggr) \, dx \notag \\ & =\int_0^1 f(x) P_n (a,x)\, dx. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
Справедливо равенство (см. [5])
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\int_0^1 f(x)F(x)\, dx =\sum_{i=1}^{n-1} \biggl(f\biggl(\frac{i}{n}\biggr)-f\biggl(\frac{i+1}{n}\biggr)\biggr)\int_0^{i/n} F(x)\, dx \nonumber \\ &\qquad+\sum_{i=1}^n \int_{(i-1)/n}^{i/n} \biggl(f(x)-f\biggl(\frac{i}{n}\biggr)\biggr)F(x)\, dx+f(1) \int_0^1 F(x)\, dx, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
где $f,F\in L_2$ и функция $f$ принимает лишь конечные значения на $[0,1]$.
В равенстве (2.3) положим $f\in V$ и $F(x)=P_n (a,x)$. Будем иметь
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\int_0^1 f(x) P_n (a,x)\, dx=\sum_{i=1}^{n-1} \biggl(f\biggl(\frac{i}{n}\biggr)-f\biggl(\frac{i+1}{n}\biggr)\biggr)\int_0^{i/n} P_n (a,x)\, dx \nonumber \\ &\qquad\qquad+\sum_{i=1}^n \int_{(i-1)/n}^{i/n} \biggl(f(x)-f\biggl(\frac{i}{n}\biggr)\biggr) P_n (a,x)\, dx+f(1) \int_0^1 P_n (a,x)\, dx \nonumber \\ &\qquad= I_1+I_2+I_3. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
Оценим $I_1$, $I_2$ и $I_3$.
Поскольку $f\in V$, согласно (2.1) (см. (1.2)) получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, |I_1 | & \leqslant \sum_{i=1}^{n-1} \biggl|f\biggl(\frac{i}{n}\biggr)-f\biggl(\frac{i+1}{n}\biggr)\biggr|\,\biggl|\int_0^{i/n} P_n (a,x)\, dx\biggr| \nonumber \\ &\leqslant V(f) \max_{1\leqslant i\leqslant n} \biggl|\int_0^{i/n} P_n (a,x)\, dx\biggr| \leqslant A_f D_n (a)\leqslant A_{a,f}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
Используя лемму 1, имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, |I_2 | & \leqslant \biggl|\sum_{i=1}^n \int_{(i-1)/n}^{i/n} \biggl(f(x)-f\biggl(\frac{i}{n}\biggr)\biggr)P_n (a,x)\, dx\biggr| \nonumber \\ & \leqslant \sum_{i=1}^n \sup_{x\in [(i-1)/n,i/n]} \biggl|f(x)-f\biggl(\frac{i}{n}\biggr)\biggr| \int_{(i-1)/n}^{i/n} |P_n (a,x)|\, dx \leqslant A_{a,f}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
Принимая во внимание условия леммы 2 и теоремы 1,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |I_3 | & =|f(1)|\biggl|\int_0^1 P_n (a,x)\, dx\biggr| \\ & \leqslant A_f \biggl(\sum_{k=1}^n a_k^2 \biggr)^{1/2} \biggl(\sum_{k=1}^n \biggl(\int_0^1 \varphi_k (x)\, dx\biggr)^2 \log_2^2 (k+1) \biggr)^{1/2}\leqslant A_{a,f}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Учитывая в равенстве (2.4) оценки (2.5) и (2.6), а также последнюю оценку, заключаем
$$
\begin{equation*}
\biggl|\int_0^1 f(x) P_n (a,x)\, dx\biggr|\leqslant A_f.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда и из (2.2) находим
$$
\begin{equation*}
\biggl|\sum_{k=1}^n a_k C_k (f)\log_2 (k+1) \biggr|\leqslant A_{a,f}.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, для любой последовательности $(a_n )\in \ell_2$ сходится ряд Стало быть, согласно теореме C получаем, что $(C_k (f) \log_2 (k+1))\in \ell_2$, т. е. для любой функции $f\in V$ Теорема 1 доказана. Теорема 2. Пусть $(\varphi_n )$ – ОНС на $[0, 1]$ и Если для любой последовательности $(a_n )\in \ell_2$ выполняется соотношение то ряд Фурье каждой функции $f$ ограниченной вариацией сходится п.в. на $[0, 1]$. Справедливость теоремы 2 вытекает из теоремы 1 и теоремы Меньшова–Радемахера. Теорема 3. Пусть $(\varphi_n)$ – ОНС на $[0,1]$. Если для некоторой последовательности $(b_n )\in \ell_2$ выполняется соотношение то существует функция $h\in \mathcal{A}$ такая, что Доказательство. Пусть где $1\leqslant i_n<n$.
Рассмотрим последовательность функций
$$
\begin{equation}
f_n (x)= \begin{cases} 0 & \text{при } x\in \biggl[0,\dfrac{i_n}{n}\biggr], \\ 1 & \text{при } x\in \biggl[\dfrac{i_n+1}{n},1\biggr], \\ \text{линейная и непрерывная} & \text{при } x\in \biggl[\dfrac{i_n}{n},\dfrac{i_n+1}{n}\biggr]. \end{cases}
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
В равенстве (2.3) положим, что $f(x)=f_n (x)$ и $F(x)=P_n (b,x)$. Будем иметь
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\int_0^1 f_n (x) P_n (b,x)\, dx=\sum_{i=1}^{n-1} \biggl(f_n \biggl(\frac{i}{n}\biggr)-f_n \biggl(\frac{i+1}{n}\biggr)\biggr) \int_0^{i/n} P_n (b,x)\, dx \nonumber \\ &\qquad\qquad+\sum_{i=1}^n \int_{(i-1)/n}^{i/n} \biggl(f_n (x)-f_n \biggl(\frac{i}{n}\biggr)\biggr) P_n (b,x)\, dx+f_n (1) \int_0^1 P_n (b,x)\, dx \nonumber \\ &\qquad= J_1+J_2+J_3. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
Используя (2.7) и (2.8), получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, |J_1 | & =\biggl|\sum_{i=1}^{n-1} \biggl(f_n \biggl(\frac{i}{n}\biggr)-f_n \biggl(\frac{i+1}{n}\biggr)\biggr)\int_0^{i/n} P_n (b,x)\, dx \biggr| \notag \\ & =\biggl|\int_0^{i_n/n} P_n (b,x)\, dx \biggr|=D_n (b). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.10}
$$
С другой стороны, согласно (2.8) и лемме 1 имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, |J_2 | & =\biggl|\sum_{i=1}^n \int_{(i-1)/n}^{i/n} \biggl(f_n (x)-f_n \biggl(\frac{i}{n}\biggr)\biggr) P_n (b,x)\, dx\biggr| \notag \\ & \leqslant \int_{i_n/n}^{(i_n+1)/n} |P_n (b,x)|\, dx\leqslant A_{b}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.11}
$$
Затем, принимая во внимание лемму 2, получаем следующую оценку:
$$
\begin{equation*}
|J_3 |=|f_n (1)|\,\biggl|\int_0^1 P_n (b,x)\, dx\biggr|\leqslant \biggl(\sum_{k=1}^n b_k^2 \biggr)^{1/2} \biggl(\sum_{k=1}^n \biggl(\int_0^1 \varphi_k (x)\, dx\biggr)^2 \log_2^2 (k+1) \biggr)^{1/2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь если
$$
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^\infty \biggl(\int_0^1 \varphi_k (x)\, dx\biggr)^2 \log_2^2 (k+1) =+\infty,
\end{equation*}
\notag
$$
то теорема 3 доказана, так как $\int_0^1 \varphi_n (x)\, dx$ есть коэффициенты Фурье функции, тождественно равной $1$.
В случае, если
$$
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^\infty \biggl(\int_0^1 \varphi_k (x)\, dx\biggr)^2 \log_2^2 (k+1) <+\infty,
\end{equation*}
\notag
$$
то, так как $(b_n )\in \ell_2$, получим Принимая во внимание (2.10), (2.11) и оценку $J_3$ в равенстве (2.9), заключаем, что
$$
\begin{equation*}
\biggl|\int_0^1 f_n (x) P_n (b,x)\, dx\biggr| \geqslant D_n (b)-A.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда в силу условия теоремы 3 получаем
$$
\begin{equation}
\varlimsup_{n\to \infty} \biggl|\int_0^1 f_n (x) P_n (b,x)\, dx\biggr|=\lim_{n\to \infty} D_n (b)=+\infty.
\end{equation}
\tag{2.12}
$$
Рассмотрим определенную на пространстве $\mathcal{A}$ последовательность линейных и ограниченных функционалов Согласно (2.12) будем иметь Поскольку (см. (2.8))
$$
\begin{equation*}
\|f_n \|_{\mathcal{A}}=\|f_n \|_C+\int_0^1 |f_n' (x)|\, dx=2,
\end{equation*}
\notag
$$
то в силу теоремы Банаха–Штейнгауза, см. (2.13), существует функция $h\in \mathcal{A}$ такая, что Отсюда
$$
\begin{equation}
\varlimsup_{n\to \infty} \biggl|\int_0^1 h(x) P_n (b,x)\, dx\biggr|=+\infty.
\end{equation}
\tag{2.14}
$$
Наконец, так как $(b_n)\in \ell_2$, то, используя неравенство Коши, получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\biggl|\int_0^1 h(x) P_n (b,x)\, dx\biggr| =\biggl|\sum_{k=1}^n b_k \log_2 (k+1) \int_0^1 h(x) \varphi_k (x)\, dx\biggr| \\ &\qquad =\biggl|\sum_{k=1}^n b_k \log_2 (k+1)C_k (h)\biggr| \leqslant \biggl(\sum_{k=1}^n b_k^2 \biggr)^{1/2} \biggl(\sum_{k=1}^n C_k^2 (h)\log_2^2 (k+1) \biggr)^{1/2} \\ &\qquad \leqslant A \biggl(\sum_{k=1}^n C_k^2 (h)\log_2^2 (k+1) \biggr)^{1/2}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда согласно (2.14) заключаем
$$
\begin{equation*}
\lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n C_k^2 (h)\log_2^2 (k+1) =\varlimsup_{n\to \infty} \biggl|\int_0^1 h(x) P_n (b,x)\, dx\biggr|=+\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 3 доказана. Определение 1. Через $B$ обозначим множество всех неубывающих последовательностей положительных чисел $(d_n)\in B$, которые удовлетворяют условию Теорема 4. Каждая ОНС $(\varphi_n )$, где $\int_0^1 \varphi_n (x)\, dx=0$, $n=1,2,\dots$, содержит подсистему $(\varphi_{n_k})$ такую, что для любой последовательности $(d_n)\in B$ и для произвольной функции $f\in V$ справедлива оценка Доказательство. Пусть $\chi(u)$ – характеристическая функция сегмента $[0,x]$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\int_0^x \varphi_n (u)\, du=\int_0^1 \chi(u) \varphi_n (u)\, du=C_n (\chi).
\end{equation*}
\notag
$$
Если $(\varphi_n )$ полная в $L_2$ система, то в силу равенства Парсеваля для любого $x\in [0,1]$ находим
$$
\begin{equation*}
\sum_{n=1}^\infty \biggl(\int_0^x \varphi_n (u)\, du\biggr)^2=\sum_{n=1}^\infty \biggl(\int_0^1 \chi(u) \varphi_n (u)\, du\biggr)^2 =\sum_{n=1}^\infty C_n^2 (\chi)=\int_0^1 \chi^2 (u)\, du=x.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда согласно теореме Дини существует возрастающая последовательность натуральных чисел $(n_k )$ такая, что равномерно относительно $x\in [0,1]$
$$
\begin{equation*}
\sum_{n=n_k}^\infty \biggl(\int_0^x \varphi_n (u)\, du\biggr)^2 <k^{-3}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда, равномерно относительно $x\in [0,1]$,
$$
\begin{equation}
\biggl|\int_0^x \varphi_{n_k} (u)\, du\biggr|<k^{-3/2}.
\end{equation}
\tag{2.16}
$$
Если $(\varphi_n)$ не является полной, то, рассмотрев систему $(g_n)$, являющуюся пополнением $(\varphi_n)$, и повторяя вышеприведенное рассуждение, получим Отсюда следует справедливость оценки (2.16).
Рассмотрим ОНС $(\varphi_{n_k})$ и положим, что $f\in V$ – любая функция, тогда
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \sum_{k=1}^m a_kd_k C_{n_k} (f)\log_2 (k+1) & =\int_0^1 f(x)\biggl( \sum_{k=1}^m d_k a_k \log_2 (k+1) \varphi_{n_k} (x)\biggr) \, dx \notag \\ & =\int_0^1 f(x) Q_m (d,a,x)\, dx, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.17}
$$
где $(d_k )\in B$ и $(a_n )\in \ell_2$ – произвольные последовательности и
$$
\begin{equation*}
Q_m (d,a,x)=\sum_{k=1}^m d_k a_k \log_2 (k+1)\varphi_{n_k} (x).
\end{equation*}
\notag
$$
Полагая в равенстве (2.3), что $f\in V$, $F(x)=Q_m (d,a,x)$ и $n=m$, получим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\int_0^1 f(x) Q_m (d,a,x) =\sum_{i=1}^{m-1} \biggl(f\biggl(\frac{i}{m}\biggr)-f\biggl(\frac{i+1}{m}\biggr)\biggr) \int_0^{i/m} Q_m (d,a,x)\, dx \nonumber \\ &\qquad+\sum_{i=1}^m \int_{(i-1)/m}^{i/m} \biggl(f(x)-f\biggl(\frac{i}{m}\biggr)\biggr) Q_m (d,a,x)\, dx=S_1+S_2. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.18}
$$
Поскольку $f\in V$ и $(d_n)\in B$, то, учитывая (2.16), применяя неравенство Коши, имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, |S_1 | & =\biggl|\sum_{i=1}^{m-1} \biggl(f\biggl(\frac{i}{m}\biggr)-f\biggl(\frac{i+1}{m}\biggr)\biggr) \int_0^{i/m} Q_m (d,a,x)\, dx\biggr| \notag \\ & \leqslant V(f) \max_{1\leqslant i\leqslant m} \biggl|\int_0^{i/m} \biggl(\sum_{k=1}^m d_k a_k \log_2 (k+1)\varphi_{n_k} (x)\biggr) \, dx\biggr| \notag \\ & \leqslant A_{f} \max_{1\leqslant i\leqslant m} \biggl|\sum_{k=1}^m d_k a_k \log_2 (k+1) \int_0^{i/m} \varphi_{n_k} (x)\, dx\biggr| \notag \\ & \leqslant A_{f} \sum_{k=1}^m d_k |a_k | k^{-3/2} \log_2 (k+1) \leqslant A_{f} \biggl(\sum_{k=1}^m a_k^2 \biggr)^{1/2} \biggl(\sum_{k=1}^m d_k^2 k^{-3} \log_2^2 (k+1) \biggr)^{1/2} \notag \\ & \leqslant A_{f} \biggl(\sum_{k=1}^m \frac{k}{\log_2^2 (k+1)} k^{-3} \log_2^2 (k+1) \biggr)^{1/2}\leqslant A_{f} \biggl(\sum_{k=1}^m k^{-2} \biggr)^{1/2}\leqslant A_{f}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.19}
$$
Затем, так как $(d_n)\in B$ и $f\in V$, в силу неравенства Гёльдера справедливы соотношения
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, |S_2 | & =\biggl|\sum_{i=1}^m \int_{(i-1)/m}^{i/m} \biggl(f(x)-f\biggl(\frac{i}{m}\biggr)\biggr) Q_m (d,a,x)\, dx\biggr| \notag \\ & \leqslant \sum_{i=1}^m \sup_{x\in [(i-1)/m,i/m]} \biggl|f(x)-f\biggl(\frac{i}{m}\biggr)\biggr| \int_{(i-1)/m}^{i/m} |Q_m (d,a,x)|\, dx \notag \\ & \leqslant V(f) \max_{1\leqslant i\leqslant m} \int_{(i-1)/m}^{i/m} |P_m (d,a,x)|\, dx \notag \\ & \leqslant \frac{A_{a,f}}{\sqrt{m}} \biggl(\int_0^1 \biggl(\sum_{k=1}^m d_k a_k \log_2 (k+1) \varphi_{n_k} (x) \biggr)^2 \, dx\biggr)^{1/2} \notag \\ & \leqslant \frac{A_{a,f}}{\sqrt{m}} \biggl(\sum_{k=1}^m d_k^2 a_k^2 \log_2^2 (k+1) \biggr)^{1/2} \leqslant A_{a,f} \frac{d_m \log_2 (m+1)}{\sqrt{m}} \biggl(\sum_{k=1}^m a_k^2 \biggr)^{1/2}\leqslant A_{a,f}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.20}
$$
Если (2.19) и (2.20) учтем в (2.18), убедимся, что для любой последовательности $(a_n )\in \ell_2$ справедлива оценка На основании последнего условия из (2.17) заключаем, что для любой последовательности $(a_n )\in \ell_2$ сходится ряд Стало быть, для каждой функции $f\in V$ (см. теорему C)
$$
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^\infty d_k^2 C_{n_k}^2 (f)\log_2^2 (k+1) <+\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 4 доказана. Этот результат, когда $d_n=1$ $(n=1,2,\dots)$, был получен в работе [1]. Теорема 5. Пусть $(d_n)\in B$ – произвольная последовательность чисел, $(\varphi_n)$ – любая ОНС на $[0,1]$ и Тогда она содержит подсистему $(\varphi_{n_k})$ такую, что для любой функции $f\in V$ почти всюду на $[0,1]$ сходится ряд Справедливость теоремы 5 вытекает из теоремы 4 и теоремы Меньшова–Радемахера. § 3. Эффективность условия (2.1)Теорема 6. Если ОНС $(\varphi_n)$ такая, что равномерно относительно $x\in [0,1]$ соблюдается условие то для такой системы выполняется (2.1). Доказательство. В самом деле, пусть $(a_n )\in \ell_2$ – любая последовательность чисел. Учитывая (3.1) и используя неравенство Коши, будем иметь
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, M_n (a) & =\max_{1\leqslant i\leqslant n} \biggl|\int_0^{i/n} P_n (a,x)\, dx\biggr|=\max_{1\leqslant i\leqslant n} \biggl|\sum_{k=1}^n a_k \log_2 (k+1) \int_0^{i/n} \varphi_k (x)\, dx\biggr| \\ & \leqslant A_{a} \sum_{k=1}^n |a_k | \frac{\log_2 (k+1)}{k}\leqslant A_{a} \biggl(\sum_{k=1}^n a_k^2 \biggr)^{1/2} \biggl(\sum_{k=1}^n \frac{\log_2^2 (k+1)}{k^2} \biggr)^{1/2}\leqslant A_{a}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 6 доказана. Замечание 1. Из теоремы 6 следует, что так как система и система Уолша (см. [9]) удовлетворяют условию (3.1), то для них соблюдается условие (2.1). Доказательство. Из определения системы Хаара (см. [10]) следует, что если $m=2^k+l$ $(1\leqslant l\leqslant 2^k )$, то для любого $x\in [0,1]$ Отсюда, если $(a_m )$ – некоторая последовательность чисел, то справедливо неравенство где $x\in [0,1]$ и $2^k\leqslant m(k)< 2^{k+1}$.
Теперь положим $n=2^s-1$ и $(a_n )\in \ell_2$ – любая последовательность. Если используем предыдущее неравенство и неравенство Коши, получим ($i\,{=}\,1,\dots,n$)
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\biggl|\int_0^{i/n} \biggl(\sum_{k=1}^n a_k \log_2 (k+1)X_k (t)\biggr)\,dt\biggr| =\biggl|\int_0^{i/n}\biggl( \sum_{m=1}^{2^s-1} a_m \log_2 (m+1)X_m (t)\biggr) \,dt\biggr| \\ &\qquad=\biggl|\int_0^{i/n}\biggl( \sum_{k=0}^{s-1} \sum_{m=2^k}^{2^{k+1}-1} a_m \log_2 (m+1) X_m (t)\biggr) \,dt\biggr| \\ &\qquad\leqslant \sum_{k=0}^{s-1} \biggl|\int_0^{i/n} \biggl( \sum_{m=2^k}^{2^{k+1}-1} a_m \log_2 (m+1)X_m (t)\biggr) \,dt\biggr| \\ &\qquad\leqslant \sum_{k=0}^{s-1} 2^{-k/2} |a_{m(k)} | \log_2 (m(k)+1) \leqslant A \sum_{k=0}^{s-1} \biggl(\sum_{m=2^k}^{2^{k+1}-1} a_m^2 \biggr)^{1/2} \cdot k\cdot 2^{-k/2} \\ &\qquad\leqslant A \biggl(\sum_{k=0}^{s-1} \sum_{m=2^k}^{2^{k+1}-1} a_m^2 \biggr)^{1/2} \biggl(\sum_{k=0}^{s-1} k\cdot 2^{-k/2} \biggr)^{1/2}\leqslant A_a. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогичное неравенство будет иметь место и тогда, когда $n\,{=}\,2^s\,{+}\,p$ ($1\,{\leqslant}\, p\,{\leqslant}\, 2^s$). Теорема 7 доказана. Замечание 2. Заметим, что теоремы 1 и 3 справедливы и в том случае, когда $\int_0^1 \varphi_n (x)\, dx=0$ ($n=1,2,\dots$). Теорема 8. Пусть $(\varphi_n)$ – ОНС на $[0, 1]$ и $\int_0^1 \varphi_n (x)\, dx=0$ $(n=1,2,\dots)$. Тогда для любой последовательности $(a_n)\in \ell_2$ следующие два условия эквивалентны: a) $B_n (a)\leqslant A e_n (a)$ (см. теорему A); b) $D_n (a)\leqslant A_{a}$ (см. (2.1)). Доказательство. Пусть выполняется а). Тогда согласно теореме A, для любой функции $f\in V$ справедливо Допустим противное и положим, что не выполняется условие b), тогда в силу теоремы 3 существует функция $h\in \mathcal{A}$ такая, что Это противоречит (3.2).
Аналогично доказывается, что если выполняется b), то выполняется и a). Теорема 8 доказана. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{GogCag21} |
|
||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|