| Известия Российской академии наук. Серия математическая |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Погружение открытых римановых поверхностей в сферу Римана Ф. Форстнеричab a Faculty of Mathematics and Physics, University of Ljubljana, Ljubljana, Slovenia b Institute of Mathematics, Physics and Mechanics, Ljubljana, Slovenia
Англоязычная версия:
Izvestiya: Mathematics, 2021, Volume 85, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/IM8980 
Реферативные базы данных:
    § 1. Основной результатВ настоящей работе $M$ всегда означает открытую риманову поверхность. Наша цель – найти слабый гомотопический тип пространства $\mathscr{I}(M,\mathbb{CP}^1)$ голоморфных погружений $M\to\mathbb{CP}^1$ в сферу Римана $\mathbb{CP}^1=\mathbb{C}\cup\{\infty\}$. Сначала опишем пространство формальных погружений $M$ в $\mathbb{CP}^1$. Обозначим через $E=T\mathbb{CP}^1\setminus\{0\}\xrightarrow{\pi}\mathbb{CP}^1$ касательное расслоение $\mathbb{CP}^1$ с удаленным нулевым сечением. Это голоморфное $\mathbb{C}^*$-расслоение над $\mathbb{CP}^1$. Здесь $\mathbb{C}^*=\mathbb{C}\setminus\{0\}$. Выберем нигде не обращающееся в нуль голоморфное векторное поле $V$ на $M$. (Напомним, что все голоморфные векторные расслоения над открытой римановой поверхностью голоморфно тривиальны [7; теорема 5.3.1]. Выбор $V$ отвечает тривиализации касательного расслоения римановой поверхности $M$.) Любое голоморфное погружение $f\colon M\to \mathbb{CP}^1$ поднимается до голоморфного отображения $\widetilde f\colon M\to E$ с $\pi\circ \widetilde f=f$, заданного формулой
$$
\begin{equation}
\widetilde f(x)=df_x(V_x)\in T_{f(x)}\mathbb{CP}^1\setminus \{0\} = E_{f(x)},\qquad x\in M.
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
Обозначим через $\Phi$ отображение
$$
\begin{equation}
\mathscr{I}(M,\mathbb{CP}^1) \xrightarrow{\Phi} \mathscr{O}(M,E)\subset \mathscr{C}(M,E),
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
переводящее $f\in \mathscr{I}(M,\mathbb{CP}^1)$ в $\Phi(f)=\widetilde f\in \mathscr{O}(M,E)\subset \mathscr{C}(M,E)$. Мы называем $\mathscr{C}(M,E)$ пространством формальных погружений $M$ в $\mathbb{CP}^1$. Все эти пространства отображений снабжены компактно открытой топологией. Наш основной результат таков (см. также его более точную версию в теореме 5.1). Теорема 1.1. Для любой открытой римановой поверхности $M$ отображение $\Phi$ (1.2) из пространства голоморфных погружений $M\to\mathbb{CP}^1$ в пространство формальных погружений удовлетворяет параметрическому $\mathrm{h}$-принципу и, следовательно, является слабой гомотопической эквивалентностью. Слабая гомотопическая эквивалентность означает, что $\Phi$ индуцирует биекцию
$$
\begin{equation*}
\pi_0(\mathscr{I}(M,\mathbb{CP}^1))\to \pi_0(\mathscr{C}(M,E))=[M,E]
\end{equation*}
\notag
$$
между множествами компонент линейной связности этих пространств, а также, при каждом $k\in\mathbb{N}=\{1,2,3,\dots\}$ и для любой отмеченной точки $f_0\in \mathscr{I}(M,\mathbb{CP}^1)$, изоморфизм
$$
\begin{equation*}
\pi_k(\Phi)\colon \pi_k(\mathscr{I}(M,\mathbb{CP}^1),f_0) \xrightarrow{\cong} \pi_k(\mathscr{C}(M,E),\Phi(f_0))
\end{equation*}
\notag
$$
соответствующих гомотопических групп. Здесь $[M,E]$ означает множество гомотопических классов непрерывных отображений $M\to E$. Так как слой $\mathbb{C}^*$ и база $\mathbb{CP}^1$ расслоения $E$ – многообразия Ока, то и $E$ – многообразие Ока (см. [7; теорема 5.6.5]), так что естественное включение $\mathscr{O}(M,E)\hookrightarrow \mathscr{C}(M,E)$ является слабой гомотопической эквивалентностью по принципу Ока. Поэтому можно рассматривать $\Phi$ как отображение либо в $\mathscr{O}(M,E)$, либо в $\mathscr{C}(M,E)$. Опишем компоненты линейной связности пространств $\mathscr{I}(M,\mathbb{CP}^1)$ и $\mathscr{C}(M,E)$. Пусть $\mathbb{Z}$ – кольцо целых чисел. Фундаментальная группа расслоения $E$ равна $\pi_1(E)\cong\mathbb Z_2=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ и порождается любой простой петлей в слое $E_x\cong\mathbb{C}^*$ (см. лемму 2.1). Первая группа гомологий римановой поверхности $M$ равна $H_1(M,\mathbb{Z})=\mathbb{Z}^k$ для некоторого $k\in\mathbb{Z}_+\cup\{\infty\}=\{0,1,2,\dots,\infty\}$, причем сама $M$ гомотопически эквивалентна букету $k$ окружностей. Отсюда вытекает, что пространство $\mathscr{C}(M, E)$ имеет $2^k$ компонент линейной связности, каждая из которых задается набором чисел оборотов (по модулю два) данного отображения вдоль петель, составляющих базис $H_1(M,\mathbb{Z})$ (см. следствие 2.2). Вместе с теоремой 1.1 это дает следующий результат. Следствие 1.2. Для любой открытой римановой поверхности $M$ пространство голоморфных погружений $M\to \mathbb{CP}^1$ имеет $2^k$ компонент линейной связности, где $H_1(M,\mathbb{Z})=\mathbb{Z}^k$. Каждая компонента задается набором чисел оборотов по модулю два производной погружения $M\to\mathbb{CP}^1$ вдоль базиса группы гомологий $H_1(M,\mathbb{Z})$. Более точная информация извлекается из коммутативной диаграммы индуцированной включением $\mathbb{C}\hookrightarrow\mathbb{CP}^1$. Заметим, что $E|_\mathbb{C}\cong \mathbb{C}\times \mathbb{C}^*\simeq S^1$, поскольку включение окружности $S^1$ в $\mathbb{C}^*$ является гомотопической эквивалентностью. Поэтому пространства $\mathscr{C}(M,E|_\mathbb{C})$ и $\mathscr{C}(M, S^1)$ гомотопически эквивалентны, так что можно взять $\mathscr{C}(M, S^1)$ в качестве пространства формальных погружений $M\to \mathbb{C}$.Первая конструкция голоморфных погружений произвольной открытой римановой поверхности $M$ в $\mathbb{C}$ была дана Р. Ганнингом и Р. Нарасимханом в 1967 г., см. [15]. Гораздо позднее, в 2018 г., Ф. Форстнерич и Ф. Ларуссон показали (см. [9; теорема 1.5]), что для любой такой римановой поверхности $M$ голоморфные погружения $M\to\mathbb{C}^n$ при любом $n\geqslant 1$ удовлетворяют параметрическому $\mathrm{h}$-принципу. Точнее, для любого нигде не обращающегося в нуль голоморфного векторного поля $V$ на $M$, отображение $\Phi\colon \mathscr{I}(M,\mathbb{C}^n)\to \mathscr{C}(M, S^{2n-1})$, заданное формулой
$$
\begin{equation*}
\Phi(f)(x)= \frac{df_x(V_x)}{\|df_x(V_x)\|} \in S^{2n-1} \subset \mathbb{C}^n,\qquad x\in M,
\end{equation*}
\notag
$$
удовлетворяет параметрическому $\mathrm{h}$-принципу и, следовательно, является слабой гомотопической эквивалентностью. (Здесь $S^{2n-1}$ – это единичная сфера пространства $\mathbb{C}^n=\mathbb{R}^{2n}$.) Оно является и настоящей гомотопической эквивалентностью, если $M$ – конечного топологического типа; см. [9; замечание 6.3]. При $n=1$ этот результат показывает, что вертикальное отображение в левом столбце приведенной выше диаграммы является слабой гомотопической эквивалентностью, а если $M$ – конечного топологического типа, то и гомотопической эквивалентностью. Вертикальное отображение в правом столбце также является слабой гомотопической эквивалентностью по теореме 1.1. Поэтому из теоремы 1.1 и следствия 2.2 вытекает следующее утверждение. Следствие 1.3. Естественное включение $\mathscr{I}(M,\mathbb{C}) \hookrightarrow \mathscr{I}(M,\mathbb{CP}^1)$ индуцирует сюръективное отображение $\pi_0(\mathscr{I}(M,\mathbb{C})) \to \pi_0(\mathscr{I}(M,\mathbb{CP}^1))$ пространств компонент линейной связности. Это отображение сопоставляет числам оборотов производной погружения $f\in \mathscr{I}(M,\mathbb{C})$ вдоль базиса группы гомологий $H_1(M,\mathbb{Z})$ их редукции по модулю $2$. В частности, любое голоморфное погружение $M\to\mathbb{CP}^1$ можно продеформировать в классе голоморфных погружений в некоторое голоморфное погружение $M\to\mathbb{C}$. Пример 1.4. Пусть $M$ – область в $\mathbb{C}$ с координатой $z$. Фиксируем стандартную тривиализацию $T\mathbb{C}\cong \mathbb{C}\times \mathbb{C}$ с помощью векторного поля $\partial/\partial z$. Тогда отвечающая слою компонента отображения $\Phi$ (1.2) переводит погружение $f\colon M\to\mathbb{C}$ в его комплексную производную $f'\colon M\to\mathbb{C}^*$. Рассмотрим простейший нетривиальный случай, когда $M$ является кольцом в $\mathbb{C}$, и допустим для простоты, что $M$ содержит единичную окружность $\mathbb{T}=\{|z|=1\}$. Компоненты линейной связности пространства $\mathscr{I}(M,\mathbb{C})$ тогда представлены погружениями $z\mapsto z^d$ при $d\in\mathbb{Z}\setminus \{0\}$ и погружением в виде восьмерки при $d=0$. Действительно, производная $(z^d)'=dz^{d-1}$ имеет число оборотов $d-1\ne -1$ вдоль $\mathbb{T}$, что покрывает все целые числа, кроме $-1$. Пусть $f\colon \mathbb{T}\to \mathbb{C}$ – вещественно аналитическое погружение в виде восьмерки, отображение касательных векторов которого имеет число оборотов нуль. Тогда $f$ комплексифицируется до голоморфного погружения, охватывающего данную окружность кольца, и число оборотов отображения $z\mapsto f'(z)$ вдоль окружности $z=e^{\mathfrak{i} t}$ равно $-1$. Два погружения $M\to \mathbb{C}$ с числами оборотов $d_1,d_2$ изотопны как погружения в $\mathbb{CP}^1$ тогда и только тогда, когда число $d_1-d_2$ четно. Поэтому две компоненты линейной связности пространства $\mathscr{I}(M,\mathbb{CP}^1)$ можно представить любой парой погружений $M\to\mathbb{C}$ с нечетной разностью $d_1-d_2$.Укажем место теоремы 1.1 в контексте известных результатов. Как уже было сказано, погружения открытых римановых поверхностей в $\mathbb{C}^n$ удовлетворяют параметрическому $\mathrm{h}$-принципу (см. [9; теорема 1.5]). Гораздо раньше Я. Элиашберг и М. Громов установили основной $\mathrm{h}$-принцип для голоморфных погружений многообразий Штейна любой размерности $n$ в евклидовы пространства $\mathbb{C}^N$ при $N>n$ (см. [14], [12; п. 2.1.5], и обзор в [7; разд. 9.6]). Параметрический $\mathrm{h}$-принцип был получен в этом контексте Д. Коларичем [17]; однако из этого результата, поскольку он не относится к парам пространств параметров, не вытекает ни слабая гомотопическая эквивалентность, ни даже биекция между множествами компонент линейной связности настоящих и формальных погружений. Напомним, что одномерное многообразие Штейна – это то же самое, что и открытая риманова поверхность (результат Х. Бенке и К. Штейна [2]). Основной открытый вопрос состоит в том, выполняется ли $\mathrm{h}$-принцип для погружений $M^n\to\mathbb{C}^n$ многообразий Штейна размерности $n>1$. Формальное погружение задается тривиализацией касательного расслоения $TM$, но неизвестно, вытекает ли из тривиальности $TM$ существование голоморфного погружения $M\to \mathbb{C}^n$ (см. [7; задача 9.13.3]). Известно лишь, что существует такая штейнова структура $J'$ на $M$, гомотопная исходной штейновой структуре $J$ в классе штейновых структур, что $(M,J')$ допускает голоморфное погружение в $\mathbb{C}^n$ (см. работы Ф. Форстнерича и М. Слапара [10] и К. Цилебака и Я. Элиашберга [4; теорема 8.43 и замечание 8.44]). Основной $\mathrm{h}$-принцип для голоморфных субмерсий $M\to\mathbb{C}^q$ многообразий Штейна при $\dim M >q\geqslant 1$ был доказан автором [6]. Параметрический $\mathrm{h}$-принцип справедлив также для направленных голоморфных погружений открытых римановых поверхностей в $\mathbb{C}^n$, если направляющее подмногообразие $A\subset \mathbb{C}^n$ является комплексным конусом, а $A\setminus \{0\}$ – многообразие Ока (см. работу Ф. Форстнерича и Ф. Ларуссона [9]); заметим, что погружения в $\mathbb{C}^n$ при любом $n\geqslant 1$ содержатся здесь в качестве частного случая. Основной случай был получен А. Аларсоном и Ф. Форстнеричем [1]. Автору неизвестны какие-либо другие результаты в литературе о справедливости $\mathrm{h}$-принципа для голоморфных погружений многообразий Штейна в комплексные многообразия. Обычно $\mathrm{h}$-принцип не имеет места для отображений из нештейновых многообразий, в частности, из компактных комплексных многообразий. Он также в общем случае не выполняется для погружений в многообразия, не являющиеся многообразиями Ока, например, в многообразия, гиперболические по Кобаяши, из-за препятствий, связанных с голоморфной жесткостью. В гладком мире $\mathrm{h}$-принцип для погружений $M\to N$ между парой гладких или вещественно аналитических многообразий всегда выполнен при $\dim M<\dim N$, или если $\dim M=\dim N$ и $M$ – открытое многообразие (см. работы С. Смейла [21], М. Хирша [16] и М. Громова [12]). Однако методов, используемых в гладком случае, недостаточно для изучения голоморфного случая, причем часто бывают и настоящие препятствия из-за свойств голоморфной жесткости комплексных многообразий. § 2. Предварительные сведения из топологииНапомним, что через $E=T\mathbb{CP}^1\setminus\{0\}\xrightarrow{\pi}\mathbb{CP}^1$ обозначается касательное расслоение $\mathbb{CP}^1$ с удаленным нулевым сечением. Заметим, что $E|_\mathbb{C}=\mathbb{C}\times \mathbb{C}^*$. Линейное расслоение $T\mathbb{CP}^1 \to\mathbb{CP}^1$ имеет степень (эйлерову характеристику) $2$. Действительно, координатное векторное поле ${\partial}/{\partial z}$ не имеет нулей на $\mathbb{C}$, но в координате $w=1/z$ с центром в точке $\infty=\mathbb{CP}^1\setminus \mathbb{C}$ оно равно $-w^2{\partial}/{\partial w}$, т. е. имеет нуль второго порядка в точке $\infty$. Лемма 2.1. Фундаментальная группа пространства $E$ равна $\pi_1(E)\cong\mathbb Z_2$. При этом гомоморфизм индуцированный включением $E|_\mathbb{C}\hookrightarrow E$, имеет вид $\mathbb{Z}\ni m\mapsto (m\ \operatorname{mod} 2) \in \mathbb{Z}_2$. Доказательство. Имеем коммутативную диаграмму Точная последовательность гомотопических групп, ассоциированная с этими расслоениями, выглядит так: где вертикальные отображения индуцированы горизонтальными включениями из предыдущей диаграммы. В верхней строке имеем $\pi_2(\mathbb{C})=0=\pi_1(\mathbb{C})$, а $\alpha$ является изоморфизмом $\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$. В нижней строке имеем так что $\pi_1(E)$ – это коядро граничного отображения $\pi_2(\mathbb{CP}^1)=\mathbb{Z} \xrightarrow{\delta} \mathbb{Z}=\pi_1(\mathbb{C}^*)$. Выберем образующую $\pi_2(\mathbb{CP}^1)$ в виде непрерывного отображения замкнутого круга $D$ на $\mathbb{CP}^1$, стягивающего границу круга $D$ в некоторую точку $p$ из $\mathbb{CP}^1$. Поднимем это отображение на $E$ с помощью нигде не обращающегося в нуль голоморфного векторного поля $V$ на $\mathbb{CP}^1\setminus\{p\}$ с нулем второго порядка в точке $p$. (Как мы видели выше, при $p=\infty$ можно взять $V={\partial}/{\partial z}$.) Тогда граница круга $D$ поднимается до петли в слое $E_p$, обходящей дважды вокруг нуля. Поэтому отображение $\delta\colon \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ имеет вид $m\mapsto 2m$, откуда $\pi_1(E)\cong\mathbb Z_2$ и $\beta\colon \mathbb{Z}\to\mathbb{Z}_2$ задается формулой $m\mapsto m\ \operatorname{mod} 2$. Из диаграммы также вытекает, что отображение $\gamma\colon \mathbb{Z}\to \mathbb{Z}_2$ сюръективно, так что оно имеет вид $m\mapsto m\ \operatorname{mod} 2$. Лемма доказана. Следствие 2.2. Для любой открытой римановой поверхности $M$, пространство непрерывных отображений $M\to E$ имеет $2^k$ компонент линейной связности, где $H_1(M,\mathbb{Z})=\mathbb{Z}^k$, $k\in\{0,1,2,\dots,\infty\}$. Отображение $\mathscr{C}(M, S^1) \hookrightarrow \mathscr{C}(M,E)$, индуцированное включением окружности $S^1$ в слой $E_z\cong \mathbb{C}^*$, определяет сюръективное отображение действующее на каждой образующей по формуле $\mathbb{Z}\ni m\mapsto (m\ \operatorname{mod} 2)\in\mathbb{Z}_2$. Доказательство. Утверждение вытекает из леммы 2.1 и того, что $M$ имеет гомотопический тип букета $k$ окружностей, где $H_1(M,\mathbb{Z})=\mathbb{Z}^k$. Заметим, что $\pi_0(\mathscr{C}(M, S^1))=[M,S^1] = H^1(M,\mathbb{Z})=\mathbb{Z}^k$, и аналогично для $\pi_0(\mathscr{C}(M,E))$. Следствие доказано.
§ 3. Параметрическая аппроксимационная теорема для погружений дисков в $\mathbb{CP}^1$В этом параграфе доказывается теорема о гомотопической аппроксимации для голоморфных погружений пары дисков из $\mathbb{C}$ в $\mathbb{CP}^1$; см. предложение 3.1. Это утверждение является одним из главных ингредиентов доказательства теоремы 1.1. Пусть $Q\subset P$ – компактные хаусдорфовы пространства, которые будут использоваться в качестве пространств параметров. (Для доказательства слабой гомотопической эквивалентности в теореме 1.1 достаточно двух частных случаев: либо $P= S^k$ ($k$-мерная сфера) при любом $k\in \mathbb{N}$ и $Q=\varnothing$, либо $P=\mathbb{B}^k$ (замкнутый шар в $\mathbb{R}^k$) при любом $k\in\mathbb{Z}_+$ и $Q=bP= S^{k-1}$.) Условимся о следующей терминологии. 1) Голоморфное отображение на компактном подмножестве $K$ комплексного многообразия $M$ – это отображение, голоморфное на некоторой (заранее не фиксированной) открытой окрестности множества $K$. 2) Гомотопия таких отображений голоморфна на $K$, если все отображения задающего ее семейства голоморфны на одной и той же открытой окрестности множества $K$ в $M$. 3) Голоморфное отображение $f$ обладает некоторым свойством на $K$, если оно обладает этим свойством в окрестности множества $K$. 4) При выполнении стандартных процедур, таких как (равномерная) аппроксимация семейства голоморфных отображений на компактном множестве $K$, их области определения могут сжиматься вокруг $K$. Предложение 3.1. Пусть $Q\subset P$ – как выше, а $\Delta_0\subset \Delta_1$ – пара компактных гладко ограниченных дисков в $\mathbb{C}$ (диффеоморфных образов замкнутого единичного круга). Пусть $f_p\colon \Delta_0\to\mathbb{CP}^1$ – семейство голоморфных погружений, непрерывно зависящих от параметра $p\in P$, причем при каждом $p\in Q$ отображение $f_p$ продолжается до голоморфного погружения $f_p\colon \Delta_1\to \mathbb{CP}^1$. Обозначим через $\operatorname{dist}$ сферическое расстояние на $\mathbb{CP}^1$. Тогда для любого $\epsilon>0$ существует непрерывное семейство голоморфных погружений $\widetilde f_p\colon \Delta_1\to \mathbb{CP}^1$ $(p\in P)$ такое, что (a) $\operatorname{dist}(f_p(z),\widetilde f_p(z)) <\epsilon$ для всех $z\in \Delta_0$ и $p\in P$, (b) $\widetilde f_p=f_p$ для всех $p\in Q$. Доказательство. Любое голоморфное погружение $U\to \mathbb{CP}^1$ открытого множества $U\subset \mathbb{C}$ осуществляется мероморфной функцией $f$ на $U$, имеющей только простые полюсы и удовлетворяющей неравенству $f'(z)\ne 0$ во всех точках $z\in U$, отличных от полюсов $f$. В каждом полюсе $a\in U$ функции $f$ имеем Поэтому $f'$ имеет полюс второго порядка с вычетом нуль в точке $a$. Обратно, любая мероморфная функция на односвязной области $U$, не имеющая нулей и все полюсы которой (если они есть) – второго порядка с вычетом нуль, является производной некоторого голоморфного погружения $U\to\mathbb{CP}^1$.
Рассмотрим сначала случай, когда функции $f_p$ не имеют полюсов на своих областях определения. Возьмем точку $z_0\in\Delta_0$. Так как производные $f'_p$ являются голоморфными функциями без нулей, то существует непрерывное семейство голоморфных логарифмов
$$
\begin{equation*}
\xi_p=\log \bigl(f'_p/f'_p(z_0)\bigr)\in \mathscr{O}(\Delta_0),\qquad p\in P
\end{equation*}
\notag
$$
(причем $\xi_p\in \mathscr{O}(\Delta_1)$ при $p\in Q$), с условием $\xi_p(z_0)=0$ для всех $p\in P$. Согласно параметрической теореме Ока–Вейля [7; теорема 2.8.4], это семейство можно аппроксимировать равномерно на $(P\times \Delta_0)\cup (Q\times \Delta_1)$ непрерывным семейством голоморфных функций $\{\widetilde \xi_p\in \mathscr{O}(\Delta_1)\}_{p\in P}$ с $\widetilde \xi_p(z_0)=0$ для всех $p\in P$ и $\widetilde\xi_p=\xi_p$ для всех $p\in Q$. Тогда семейство голоморфных функций
$$
\begin{equation*}
\widetilde f_p(z) = f_p(z_0) + f'_p(z_0) \int_{z_0}^z e^{\widetilde \xi_p(\zeta)} \, d\zeta, \qquad z\in \Delta_1,\quad p\in P,
\end{equation*}
\notag
$$
удовлетворяет заключению предложения.
В случае наличия полюсов доказательство усложняется. Нам потребуется следующая лемма. Лемма 3.2 (условия как в предложении 3.1). Запишем $P_0=P$. Тогда найдутся целое число $k\in \mathbb{N}$, окрестность $P_1\subset P_0$ множества $Q$ и, при каждом $p\in P$, набор $k$ не обязательно различных точек $A(p)=\{a_1(p),\dots, a_k(p)\}$ из $\mathbb{C}$, непрерывно зависящий от $p\in P$, со следующими свойствами. (a) При любом $p\in P$ точки из $A(p)\cap \Delta_1$ попарно различны. (b) При любом $p\in P_j$ $(j\in \{0,1\})$, $A(p)\cap \Delta_j$ совпадает с множеством полюсов функции $f_p$ на $\Delta_j$. Точнее, мы рассматриваем $A$ как отображение $A\colon P\to\mathrm{Sym}^k(\mathbb{C})$ в $k$-ю симметрическую степень комплексной плоскости $\mathbb{C}$, и непрерывность $A$ понимается именно в этом смысле. Точка $a_i(p)\in A(p)$ такая, что $a_i(p)=a_j(p)$ для некоторых $i\ne j$, называется кратной точкой набора $A(p)$, а точки, не являющиеся кратными, называются простыми. Доказательство леммы 3.2. Согласно параметрическому принципу Ока для отображений в комплексное однородное многообразие $\mathbb{CP}^1$ (см. [7; теорема 5.4.4 и предложение 5.6.1]), семейство погружений $\{f_p\}_{p\in P}$ можно аппроксимировать равномерно на окрестности множества $(P\times \Delta_0)\cup (Q\times \Delta_1)$ в $P\times \mathbb{C}$ непрерывным семейством рациональных функций $\{\widetilde f_p\}_{p\in P}$. Заменяя $\widetilde f_p$ на $\widetilde f_p(z)+cz^N$ при малом $c>0$ и большом $N\in \mathbb{N}$, мы можем считать, что при каждом $p\in P$ функция $\widetilde f_p$ имеет полюс порядка $N$ в точке $\infty=\mathbb{CP}^1\setminus \mathbb{C}$. При каждом $p\in P$ обозначим через $B(p)=\{b_1(p),\dots,b_k(p)\}$ набор всех полюсов функции $\widetilde f_p$ на $\mathbb{C}$ (т. е. всех ее полюсов, кроме полюса на $\infty$), в котором каждая точка перечислена столько раз, какова кратность соответствующего ей полюса. Так как $\infty$ – изолированный полюс каждой из функций $\widetilde f_p$, то существует круг в $\mathbb{C}$, содержащий $B(p)$ для всех $p\in P$. Можно считать, что $\widetilde f_p$ аппроксимирует $f_p$ настолько близко при каждом $p$, что найдутся открытые окрестности $P_1\subset P_0=P$ множества $Q$ и $\Delta'_j\subset \mathbb{C}$ множества $\Delta_j$ при $j=0,1$, для которых $B(p)$ имеет только простые точки в $\Delta'_j$ при каждом $p\in P_j$ $(j\in \{0,1\})$. Это означает, что $\widetilde f_p$, как отображение в $\mathbb{CP}^1$, является погружением на $\Delta'_j$ при всех $p\in P_j$, $j\in \{0,1\}$. Остальные полюсы функции $\widetilde f_p$ могут быть более высокого порядка.
При достаточной близости аппроксимации погружения $f_p$ отображением $\widetilde f_p$ для каждого $p\in P$ на соответствующей области, существует непрерывное семейство инъективных голоморфных отображений $\phi_p$ $(p\in P=P_0)$, определенных и близких к тождественному отображению на окрестности множества $\Delta_j$, если $p\in P_j$ $(j\in \{0,1\})$, такое, что Это выполнено в силу параметрической версии леммы 9.12.6 из [7] или леммы 5.1 из [6], легко устанавливаемой с тем же доказательством. Таким образом, при $p\in P_j$ $(j\in \{0,1\})$, $\phi_p$ отображает множество полюсов функции $\widetilde f_p$ вблизи диска $\Delta_j$ биективно на множество полюсов функции $f_p$ вблизи $\Delta_j$. Теперь продолжим $\phi_p$ до непрерывного семейства гладких диффеоморфизмов $\phi_p\colon \mathbb{CP}^1\to \mathbb{CP}^1$ $(p\in P)$, тождественных вблизи $\infty$ и таких, что наборы точек $A(p) := \phi_p(B(p)) = \{\phi_p(b_j(p))\}_{j=1}^k$ для $p\in P$ удовлетворяют заключению леммы. Это осуществляется таким выбором $\phi_p$ для $p\in P\setminus Q$, при котором все кратные точки наборов $B(p)$ выталкиваются наружу большого круга $\Delta_1$. Лемма доказана.Продолжим доказательство предложения 3.1. При каждом $p\in P$ пусть $A(p)$ – множество, построенное в лемме 3.2. Рассмотрим следующее семейство голоморфных полиномов на $\mathbb{C}$, непрерывно зависящих от параметра $p\in P$:
$$
\begin{equation*}
\Theta_p(z)=\prod_{j=1}^k (z-a_j(p))^2, \qquad z\in\mathbb{C}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда функция голоморфна и не имеет нулей на $\Delta_0$ при каждом $p\in P$, а также на $\Delta_1$ при $p$, лежащем в малой окрестности $P_1\subset P$ множества $Q$. Фиксируем $p\in P$ и точку $a\in A(p)\cap \Delta_0$ (соответственно $a\in A(p)\cap \Delta_1$ при $p\in P_1$). Положим
$$
\begin{equation*}
g_{p,a}(z):=\frac{\Theta_p(z)}{(z-a)^2} = \prod_{b\in A(p)\setminus \{a\}} (z-b)^2,\qquad z\in\mathbb{C}.
\end{equation*}
\notag
$$
Вычисление показывает, что для любой голоморфной вблизи $z=a$ функции $h(z)$ выполнено равенство
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Res}_{z=a} \frac{h(z)}{\Theta_p(z)} = \lim_{z\to a} \biggl(\frac{h(z)}{g_{p,a}(z)} \biggr)' = \frac{g_{p,a}(a)h'(a)-g'_{p,a}(a)h(a)}{g_{p,a}(a)^2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Функция $h/\Theta_p$ имеет мероморфную первообразную в точке $a$ тогда и только тогда, когда этот вычет равен нулю, что эквивалентно условию
$$
\begin{equation}
\frac{h'(a)}{h(a)} = \frac{g'_{p,a}(a)}{g_{p,a}(a)}=:c_{p,a}.
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
Это условие выполнено для функции $h_p/\Theta_p=f'_p$, имеющей первообразную $f_p$. Поэтому чтобы аппроксимировать функцию $h_p$ (3.3) на $\Delta_0$ функцией $\widetilde h_p\in \mathscr{O}(\Delta_1)$, мы должны гарантировать, что
$$
\begin{equation}
\frac{\widetilde h'_p(a)}{\widetilde h_p(a)} = c_{p,a}, \qquad a\in A(p) \cap \Delta_1.
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
Покажем, как сделать это. Фиксируем точку $z_0\in \Delta_0$. Семейство логарифмов
$$
\begin{equation}
\xi_p(z) = \log\frac{h_p(z)}{h_p(z_0)},\qquad \xi_p(z_0)=0,
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
корректно определено и голоморфно на $\Delta_j$ при $p\in P_j$ $(j=0,1)$. Заметим, что поэтому условия (3.4) для функций $h=h_p$ эквивалентны равенствам
$$
\begin{equation}
\eta_p(a) = c_{p,a}\text{ для всех }a\in A(p)\cap\Delta_j,\qquad p\in P_j,\quad j=0,1.
\end{equation}
\tag{3.8}
$$
(Напомним, что $P_0=P$.) Для завершения доказательства надо найти непрерывное семейство голоморфных функций $\widetilde \eta_p\in\mathscr{O}(\Delta_1)$, $p\in P$, таких, что (i) $\widetilde \eta_p$ аппроксимирует $\eta_p$ равномерно на $\Delta_0$ для всех $p\in P$; (ii) $\widetilde \eta_p=\eta_p$ для всех $p\in Q$; (iii) $\widetilde \eta_p(a) = c_{p,a}$ для всех $a\in A(p)\cap\Delta_1$ и $p\in P$. Действительно, имея такую функцию $\widetilde \eta_p$, мы возвращаемся назад, полагая для всех $z$ в окрестности множества $\Delta_1$ и всех $p\in P$:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \widetilde \xi_p(z) = \xi_p(z_0) + \int_{z_0}^z \widetilde \eta_p(\zeta)\, d\zeta, \qquad \widetilde h_p(z) = h_p(z_0) \exp{\widetilde \xi_p(z)}, \\ \widetilde f_p(z)= f_p(z_0) + \int_{z_0}^z \frac{\widetilde h_p(\zeta)}{\Theta_p(\zeta)} \, d\zeta \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
(см. (3.3), (3.6) и (3.7)). Интегралы для $\widetilde f_p$ корректно определены и не зависят от выбора пути интегрирования в круге $\Delta_1$, так как функция $\widetilde h_p/\Theta_p$ по построению имеет нулевые вычеты во всех точках множества $A(p)\cap\Delta_1$. Осталось построить семейство функций $\widetilde \eta_p$, удовлетворяющее приведенным выше условиям (i)–(iii). Это линейная задача интерполяции в конечном числе точек, зависящих непрерывно от $p\in P$. Поскольку выпуклая комбинация решений также является решением, можно воспользоваться разбиением единицы на пространстве параметров $P$. Действуем так. Фиксируем точку $p_0\in P$. Если $p_0$ лежит в окрестности $P_1$ множества $Q$, то ничего делать не надо, так как функция $h_p$ уже голоморфна на большом круге $\Delta_1$ при $p\in P_1$, и мы будем использовать именно это семейство в дальнейшем. Пусть теперь $p_0\in P\setminus P_1$. При $j=0,1$ выберем открытые окрестности $D_j\subset \mathbb{C}$ множеств $\Delta_j$ так, что $\Delta_j\subset D_j\subset \Delta'_j$ и $A(p_0) \cap bD_j=\varnothing$. В силу непрерывности отображения $p\mapsto A(p)$ найдется открытая окрестность $U=U_{p_0}\subset P\setminus Q$ точки $p_0$ такая, что $A(p) \cap bD_j=\varnothing$ при $j=0,1$ и $p\in U$. Отсюда вытекает, что при $j=0,1$ число точек в наборе $A(p) \cap D_j$ не зависит от $p\in U$. Пусть
$$
\begin{equation*}
A(p) \cap D_1 = \{a_1(p),\dots,a_m(p)\}, \qquad p\in U,
\end{equation*}
\notag
$$
где все точки $a_j(p)$ различны и непрерывно зависят от $p\in U$. Рассмотрим полиномы
$$
\begin{equation*}
\phi_{p,i}(z) = \frac{\prod_{j\ne i} (z-a_j)}{\prod_{j\ne i} (a_i-a_j)}, \qquad p\in U,\quad i=1,\dots,m.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда $\phi_{p,i}(a_j)=\delta_{i,j}$. При $p\in U$ любая функция $\eta_p$, удовлетворяющая условию (3.8), имеет вид
$$
\begin{equation*}
\eta_p(z) = \sum_{i=1}^m c_{p,a_i} \phi_{p,i}(z) + \sigma_p(z) \prod_{i=1}^m (z-a_i)
\end{equation*}
\notag
$$
для некоторой функции $\sigma_p\in \mathscr{O}(\Delta_0)$. Аппроксимируя $\sigma_p$ равномерно на $\Delta_0$ функцией $\widetilde \sigma_p\in\mathscr{O}(\Delta_1)$, непрерывно зависящей от $p\in U$, получаем, что функции $\widetilde \eta_p\in \mathscr{O}(\Delta_1)$, заданные формулой
$$
\begin{equation*}
\widetilde \eta_p(z) = \sum_{i=1}^m c_{p,a_i} \phi_{p,i}(z) + \widetilde \sigma_p(z) \prod_{i=1}^m (z-a_i),
\end{equation*}
\notag
$$
непрерывно зависят от $p\in U$ и удовлетворяют условиям (i) и (iii). С другой стороны, условие (ii) здесь ничего не требует, поскольку $U\cap Q=\varnothing$. Для завершения доказательства покроем компакт $P\setminus P_1$ конечным числом открытых множеств $U_1,\dots, U_l\subset P\setminus Q$ приведенного выше типа, добавим к этому набору множество $U_0=P_1$ и выберем разбиение единицы $\{\chi_i\}_{i=0}^l$ на $P$, подчиненное открытому покрытию $\{U_0,\dots, U_l\}$ множества $P$. С его помощью составим из полученных семейств решений $\widetilde \eta_{p,i}$ для $p\in U_i$ $(i=0,\dots,l)$ глобальное семейство решений
$$
\begin{equation*}
\widetilde \eta_p = \sum_{i=0}^l \chi_i(p) \widetilde \eta_{p,i}, \qquad p\in P.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку ни одно из множеств $U_1,\dots, U_l$ не пересекает $Q$, это семейство $\widetilde \eta_p$ также удовлетворяет условию (ii) при $p\in Q$. Предложение доказано.
§ 4. Параметрическая теорема Мергеляна для отображений в многообразияОсновной результат этого параграфа, теорема 4.3, представляет собой параметрическую версию аппроксимационной теоремы Мергеляна для отображений из некоторых компактных подмножеств римановых поверхностей в произвольные комплексные многообразия. Хотя это довольно непосредственное обобщение непараметрического случая (см. [8; теорема 1.4] и [5; теорема 16]), нам не удалось найти этот результат в литературе, и мы пользуемся данной возможностью, чтобы привести его доказательство. Оно применимо также к семействам отображений, заданных на некоторых компактных подмножествах многомерных комплексных многообразий; см. замечание 4.4. Пусть даны комплексные многообразия $M$ и $X$ и компактное подмножество $S$ многообразия $M$. Обозначим через $\mathscr{A}(S,X)$ пространство непрерывных отображений $S\to X$, голоморфных на внутренности множества $S$. Положим $\mathscr{A}(S,\mathbb{C})=\mathscr{A}(S)$. Определение 4.1. Компактное подмножество $S$ римановой поверхности обладает свойством Мергеляна (или свойством Витушкина), если любую функцию из $\mathscr{A}(S)$ можно аппроксимировать равномерно на $S$ функциями, голоморфными на окрестностях множества $S$. Обозначим через $\overline{\mathscr{O}}(S)$ равномерное замыкание множества $\{f|_S\colon f\in\mathscr{O}(S)\}$ в $\mathscr{C}(S)$. Тогда $S$ обладает свойством Мергеляна в том и только том случае, когда $\mathscr{A}(S)=\overline{\mathscr{O}}(S)$. Если $S$ – плоский компакт, то по теореме Рунге [20] множество $\overline{\mathscr{O}}(S)$ совпадает с рациональной алгеброй $\mathscr{R}(S)$, т. е. с равномерным замыканием в $\mathscr{C}(S)$ пространства рациональных функций на $\mathbb{C}$ с полюсами вне $S$. Характеризация этого класса плоских компактов в терминах непрерывной аналитической емкости была дана А. Г. Витушкиным в 1966 г. [22], [23], см. также изложение в книге Т. Гамелина [11]. Определение 4.2 (допустимые множества на римановых поверхностях). Компактное подмножество $S$ римановой поверхности $M$ называется допустимым, если оно имеет вид $S=K\cup \Lambda$, где $K$ – объединение конечного числа попарно непересекающихся компактных областей в $M$ с кусочно $\mathscr{C}^1$-границами, а $\Lambda= \overline{S \setminus K}$ – объединение конечного числа попарно непересекающихся гладких жордановых дуг и замкнутых жордановых кривых, пересекающих $K$ только в своих концевых точках (или совсем не пересекающих), причем их пересечения с границей $bK$ множества $K$ трансверсальны. В [8; теорема 1.4] было доказано, что если компактное подмножество $S$ римановой поверхности обладает свойством Мергеляна для функций, то оно обладает им и для отображений в произвольное комплексное многообразие $X$. При этом если $S$ допустимо, то аппроксимационная теорема Мергеляна в $\mathscr{C}^r(S,X)$-топологии справедлива для отображений класса $\mathscr{A}^r(S,X)\,{=}\,\mathscr{A}(S,X)\,{\cap}\, \mathscr{C}^r(S,X)$ (см. [5; теорема 16]). Докажем следующую параметрическую версию этого результата. Теорема 4.3. Если $M$ – риманова поверхность и $S$ – компактное подмножество в $M$ со свойством Мергеляна, то $S$ обладает параметрическим свойством Мергеляна для отображений в произвольное комплексное многообразие $X$. Точнее, пусть заданы семейство отображений $f_p\in \mathscr{A}(S,X)$, непрерывно зависящих от параметра $p$ в компактном хаусдорфовом пространстве $P$, риманова функция расстояния $\operatorname{dist}$ на $X$ и число $\epsilon>0$. Тогда существуют окрестность $U\subset M$ множества $S$ и семейство голоморфных отображений $\widetilde f_p\colon U\to X$, непрерывно зависящих от $p\in P$, такие, что $\operatorname{dist}(\widetilde f_p(x),f_p(x)) <\epsilon$ для всех $x\in S$ и $p\in P$. Если $S=K\cup \Lambda$ является допустимым множеством на $M$ и отображения $f_p\in\mathscr{A}^r(S,X)$ для некоторого $r\in\mathbb{N}$ непрерывно зависят от $p\in P$, то семейство $f_p$ можно аппроксимировать в $\mathscr{C}^r(S,X)$-топологии семейством голоморфных отображений $\widetilde f_p\in \mathscr{O}(S,X)$ некоторой открытой окрестности множества $S$, непрерывно зависящих от $p\in P$. Если, кроме того, существует компактное подмножество $Q$ пространства $P$ такое, что $f_p\in \mathscr{O}(S)$ для всех $p\in Q$, то семейство $\widetilde f_p$ можно выбрать таким образом, что $\widetilde f_p=f_p$ для всех $p\in Q$. Если $M$ – открытая риманова поверхность, $S$ не имеет дыр в $M$, $X$ – многообразие Ока и $f_p\in \mathscr{O}(M,X)$ для всех $p\in Q$, то аппроксимирующее семейство отображений $\widetilde f_p$ $(p\in P)$ в этих результатах может быть выбрано голоморфным на всей $M$. Последнее утверждение непосредственно вытекает из предыдущих и параметрического принципа Ока для отображений из многообразий Штейна (в частности, из открытых римановых поверхностей) в многообразие Ока; см. [7; теорема 5.4.4]. Доказательство теоремы 4.3. Напомним, что компактное подмножество $S$ комплексного многообразия $M$ называется штейновым компактом, если $S$ обладает базисом открытых штейновых окрестностей. Каждое собственное компактное подмножество связной римановой поверхности очевидно является штейновым компактом.
Напомним для мотивировки доказательство теоремы 1.4 из [8] в непараметрическом случае. Пусть $S$ обладает свойством Мергеляна, т. е. $\mathscr{A}(S)=\overline{\mathscr{O}}(S)$, и пусть $f\in\mathscr{A}(S,X)$. Возьмем точку $s_0\in S$ и выберем замкнутый диск $D\subset M$ вокруг $s_0$. По теореме Буавена и Дзяна [3; теорема 1], из предположения $\mathscr{A}(S)=\overline{\mathscr{O}}(S)$ вытекает, что $\mathscr{A}(S\cap D)=\overline{\mathscr{O}}(S\cap D)$. Если диск $D$ достаточно мал, то его образ $f(S\cap D)$ лежит в некоторой координатной карте многообразия $X$ и, следовательно (по свойству Мергеляна для функций), отображение $f$ можно аппроксимировать равномерно на $S \cap D$ отображениями в $X$, голоморфными на окрестностях множества $S\cap D$. Тем самым, $f$ можно аппроксимировать локально на $S$ голоморфными отображениями. По теореме Е. Полецкого [19] (см. также [5; теорема 32]) получаем, что график $G_f=\{(s,f(s))\colon s\in S\}$ является штейновым компактом в $M\times X$. Отсюда уже нетрудно вывести, что $S$ обладает свойством Мергеляна для отображений $S\to X$ (см. [5; лемма 3]); приведем набросок доказательства. Пусть $V\subset M\times X$ – штейнова окрестность графика $G_f$. По теореме Реммерта–Бишопа–Нарасимхана (см. [7; теорема 2.4.1]) существует собственное голоморфное вложение $\phi \colon V\hookrightarrow\mathbb{C}^N$ в комплексное евклидово пространство. По теореме Докье–Грауэрта (см. [7; теорема 3.3.3]) для некоторой окрестности $\Omega\subset \mathbb{C}^N$ множества $\phi(V)$ существует голоморфная ретракция $\rho\colon \Omega \to \phi(V)$. Предполагая, что $\overline{\mathscr{O}}(S) = \mathscr{A}(S)$, мы можем сколь угодно близко аппроксимировать отображение $\phi\circ f \colon S \to \mathbb{C}^N$ равномерно на $S$ голоморфным отображением $G\colon U\to \Omega\subset\mathbb{C}^N$ некоторой открытой окрестности $U\subset M$ множества $S$. Тогда голоморфное отображение
$$
\begin{equation*}
g = \operatorname{pr}_X \circ \phi^{-1} \circ \rho \circ G \colon U \to X
\end{equation*}
\notag
$$
аппроксимирует $f$ равномерно на $S$.
Рассмотрим теперь параметрический случай. Если $X=\mathbb{C}$, то доказательство получается простым применением непараметрического случая с помощью непрерывного разбиения единицы на $P$. Действительно, существуют конечное множество $\{p_1,\dots,p_k\}\subset P$ и открытые множества $P_j\subset P$, $p_j\in P_j$ для каждого $j=1,\dots, k$ такие, что
$$
\begin{equation}
\|f_p-f_{p_j}\|_S:=\max_{s\in S}|f_p(s)-f_{p_j}(s)|\,{<}\,\frac{\epsilon}{4}\quad\text{для всех}\quad p\,{\in}\, P_j,\qquad j\,{=}\,1,\dots,k.
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
Поскольку $S$ обладает свойством Мергеляна, найдутся функции $g_j\in\mathscr{O}(S)$ такие, что
$$
\begin{equation}
\|g_j-f_{p_j}\|_S<\frac{\epsilon}{4} \quad \text{при}\quad j=1,\dots, k.
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
Пусть $\{\chi_j\}_{j=1}^k$ – разбиение единицы на $P$, подчиненное покрытию $\{P_j\}_{j=1}^k$. Положим
$$
\begin{equation*}
\widetilde f_p=\sum_{j=1}^k \chi_j(p) g_j\in \mathscr{O}(S), \qquad p\in P.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда при любом $p\in P$ имеем $\widetilde f_p-f_p=\sum_{j=1}^k \chi_j(p) (g_j-f_p)$. Если $p\in P_j$, то
$$
\begin{equation*}
\|g_j-f_p\|_S \leqslant \|g_j-f_{p_j}\|_S+\|f_{p_j}-f_p\|_S <\frac{\epsilon}{2}
\end{equation*}
\notag
$$
согласно (4.1) и (4.2). Если же $p\notin P_j$ , то $\chi_j(p)=0$, так что это слагаемое отсутствует в приведенной выше сумме для $\widetilde f_p$. Отсюда вытекает, что
$$
\begin{equation*}
\|\widetilde f_p-f_p\|_S \leqslant \sum_{j=1}^k \chi_j(p) \|g_j-f_p\|_S < \frac{\epsilon}{2} \quad\text{для всех}\quad p\in P.
\end{equation*}
\notag
$$
Наконец, чтобы удовлетворить последнему условию теоремы (неизменность отображений $f_p\in\mathscr{O}(S)$ для значений параметров $p\in Q$), рассуждаем так. Выберем компактную окрестность $K \subset M$ множества $S$ так, что $f_p\in\mathscr{A}(K)$ для всех $p\in Q$. Поскольку $\mathscr{A}(K)$ является банаховым пространством, теорема Майкла о продолжении [18] (см. также [7; теорема 2.8.2]) дает непрерывное продолжение семейства $\{f_p\in\mathscr{A}(K)\}_{p\in Q}$ до непрерывного семейства $\{\xi_p\in\mathscr{A}(K)\}_{p\in P}$, при котором $\xi_p=f_p$ для $p\in Q$. Пусть $\{\widetilde f_p\}_{p\in P}$ – построенное выше семейство. Выберем малую окрестность $P_0\subset P$ множества $Q$ так, что $\|\xi_p-f_p\|_S<\epsilon/2$ для всех $p\in P_0$. Возьмем непрерывную функцию $\chi\colon P\to [0,1]$ с носителем на $P_0$ такую, что $\chi =1$ на $Q$, и заменим $\widetilde f_p$ на $\chi(p)\xi_p+(1-\chi(p) \widetilde f_p$. Это семейство обладает всеми требуемыми свойствами.
Рассмотрим теперь общий случай отображений в комплексное многообразие $X$. Пусть дано непрерывное семейство $\{f_p\}_{p\in P} \in \mathscr{A}(S,X)$. Доказательство основного случая и компактность $P$ дают открытое покрытие $\{P_j\}_{j=1}^k$ пространства $P$ и штейновы области $V_j$ в $M\times X$ при $j=1,\dots,k$ такие, что
$$
\begin{equation*}
\overline{\bigcup_{p\in P_j} G_{f_{p}}} \subset V_j,\qquad j=1,\dots,k.
\end{equation*}
\notag
$$
После вложения $V_j$ в евклидово пространство $\mathbb{C}^N$, доказательство частного случая и параметрическая аппроксимационная теорема для функций (и, следовательно, для отображений в $\mathbb{C}^N$) позволяют нам сколь угодно близко аппроксимировать каждое семейство $\{f_p\}_{p\in P_j}$ равномерно на $S$ непрерывным семейством $\{g_{p,j}\}_{p\in P_j}\in \mathscr{O}(U,X)$, где $U\subset M$ – открытая окрестность множества $S$. При этом можно добиться того, что $g_{p,j}=f_p$ для $p\in P_j\cap Q$. Считая аппроксимацию достаточно близкой и уменьшая $U$ вокруг $S$ при необходимости, можно склеить семейства $\{g_{p,j}\}_{p\in P_j}$ в одно семейство $\{\widetilde f_p\}_{p\in P}\in \mathscr{O}(U)$, удовлетворяющее заключению теоремы, с помощью метода последовательного приклеивания; см. [7; с. 78]. Это означает, что мы приклеиваем пару семейств за один раз, пользуясь вложением $V_j\hookrightarrow \mathbb{C}^N$ той штейновой области, которая содержит образы отображений обоих семейств на множестве приклейки.
Если $S$ – допустимое множество, то приведенное выше доказательство применимо к непрерывным семействам отображений из $\mathscr{A}^r(S,X)$ при любом $r\in\mathbb{N}$. Для аппроксимации отдельных отображений пользуемся теоремой 16 из [5], а остальная процедура в точности такая же, как выше. Теорема доказана. Замечание 4.4. Теорема 4.3 и ее доказательство обобщаются на случай, когда $M$ – многообразие более высокой размерности, а $S$ – сильно допустимое множество на $M$ в смысле [5; определение 5]. Это означает, что $S$ – штейнов компакт вида $S=K\cup \Lambda$, где $K=\overline D$ есть замыкание некоторой строго псевдовыпуклой штейновой области, а $\Lambda=\overline{S\setminus K}$ есть вполне вещественное подмногообразие в $M$. Обсуждение этого можно найти в [5; разд. 7.2]; см. в частности [5; следствие 9], дающее основной (непараметрический) случай аппроксимационной теоремы Мергеляна в этой ситуации. Чуть менее точный результат в этом направлении (с некоторой потерей производных), применимый однако к более общей геометрической ситуации сечений голоморфных субмерсий на многообразия Штейна, содержится в [7; теорема 3.8.1]. Его параметрические обобщения используются в цитируемой книге с ad hoc доказательствами, подобными доказательству теоремы 4.3 выше. § 5. Доказательство теоремы 1.1Напомним, что $E$ означает касательное расслоение $\mathbb{CP}^1$ с удаленным нулевым сечением, а непрерывные отображения $M\to E$ открытой римановой поверхности $M$ называются формальными погружениями $M$ в $\mathbb{CP}^1$. Пусть $V$ – нигде не обращающееся в нуль голоморфное векторное поле на $M$. Оно используется для тривиализации касательного расслоения $TM$, а его конкретный выбор не важен. Каждое настоящее голоморфное погружение $f\colon M\to \mathbb{CP}^1$ задает формальное погружение $\Phi(f)=df(V)\colon M\to E$ (см. (1.1)). Утверждаемая в теореме 1.1 слабая гомотопическая эквивалентность вытекает из следующего параметрического $\mathrm{h}$-принципа, по существу гласящего, что всякое непрерывное семейство формальных погружений $M\to E$ можно продеформировать в непрерывное семейство настоящих голоморфных погружений $M\to\mathbb{CP}^1$, причем эту гомотопию можно считать неподвижной на любом компактном подмножестве пространства параметров, на котором данное семейство уже состоит из настоящих погружений. Теорема 5.1 (параметрический $\mathrm{h}$-принцип для погружений $M\to\mathbb{CP}^1$). Пусть $M$ – открытая риманова поверхность, $V$ – нигде не обращающееся в нуль голоморфное векторное поле на $M$, а $Q\subset P$ – хаусдорфовы компактные пространства. Пусть непрерывное семейство голоморфных погружений $f_p\colon M\to\mathbb{CP}^1$, $p\in Q$, и непрерывное семейство отображений (формальных погружений) $\sigma_p\colon M\to E$, $p\in P$, таковы, что $\sigma_p=\Phi(f_p):=df_p(V)$ для всех $p\in Q$. Тогда семейство $\{f_p\}_{p\in Q}$ продолжается до непрерывного семейства голоморфных погружений $f_p\colon M\to\mathbb{CP}^1$, $p\in P$, для которого существует гомотопия $\sigma^t_{p}\colon M\to E$ $(p\in P,\, t\in [0,1])$, неподвижная при $p\in Q$ и удовлетворяющая равенствам $\sigma^0_p=\sigma_p$ и $\sigma^1_p=\Phi(f_p)$ для всех $p\in P$. Действительно, теорема 1.1 вытекает из теоремы 5.1 для пары пространств параметров $P= S^k$ ($k$-мерная сфера) и $Q=\varnothing$ или $P=\mathbb{B}^k$ (замкнутый шар в $\mathbb{R}^k$) и $Q=bP= S^{k-1}$ (см. [7; доказательство следствия 5.5.6]). Доказательство теоремы 5.1. Основные ингредиенты уже установлены: это параметрическая аппроксимационная теорема для голоморфных погружений пары дисков в $\mathbb{CP}^1$ (см. предложение 3.1), параметрическая аппроксимационная теорема Мергеляна на допустимых множествах (см. теорему 4.3) и параметрический $\mathrm{h}$-принцип Смейла [21] и Хирша [16] для гладких погружений (см. также работы Громова [13], [12]). Доказательство теоремы сводится к индукции, комбинирующей эти ингредиенты. Эта конструкция вполне стандартна и аналогична тем, которые применялись в [7; доказательство теоремы 5.4.4], а также в [1], [9] и многих других работах, но по предложению рецензента и для удобства читателей, которые могут быть не знакомы с $\mathrm{h}$-принципом, мы все же приведем ее детали.
Исчерпаем $M$ возрастающей последовательностью
$$
\begin{equation*}
\varnothing = D_0\subset D_1\subset D_2\subset \cdots \subset \bigcup_{j=1}^\infty D_j =M
\end{equation*}
\notag
$$
компактных гладко ограниченных не обязательно связных областей без дыр (т. е. таких, что $M\setminus D_j$ не имеет относительно компактных связных компонент ни при каком $j$), где $D_1$ – это диск, а каждая пара $D_j\subset \mathring D_{j+1}$ принадлежит одному из следующих двух типов.
(i) Некритический случай: $D_{j+1}$ есть дизъюнктное объединение $D'_{j+1}\cup D''_{j+1}$ гладко ограниченных областей, причем $\overline{D'_{j+1}\setminus D_j}$ диффеоморфно $bD_j\times [0,1]$ (и, тем самым, является объединением конечного числа попарно непересекающихся колец), а $D''_{j+1}$ – либо диск, либо пустое множество. (ii) Критический случай: $D_{j+1}$ допускает деформационную ретракцию на допустимое множество $S=D_j\cup \Lambda\subset \mathring D_{j+1}$ (см. определение 4.2), где $\Lambda$ – гладкая дуга в $\mathring D_{j+1}\setminus D_j$, приклеенная своими концевыми точками к $bD_j$. (Эта подклейка ручки имеет место только для одной связной компоненты множества $D_{j+1}$, а остальные компоненты являются некритическими расширениями соответствующих компонент множества $D_j$, как в случае (i).) Критический случай (ii) имеет три топологически различных подслучая. (ii$_1$) Концевые точки дуги $\Lambda$ приклеены к одной и той же связной компоненте множества $bD_j$. В этом случае для топологического рода выполнено равенство $g(D_{j+1})=g(D_j)$ и число связных компонент множества $bD_{j+1}$ на единицу больше, чем у $bD_j$. (ii$_2$) Концевые точки дуги $\Lambda$ приклеены к разным связным компонентам границы одной и той же связной компоненты множества $D_j$. В этом случае, $g(D_{j+1})=g(D_j)+1$ и число граничных кривых не меняется. Область $\overline{D_{j+1}\setminus D_j}$ состоит из штанов (т. е. компактной поверхности рода один с тремя граничными компонентами) и конечного числа попарно непересекающихся компактных колец. (ii$_3$) Концевые точки дуги $\Lambda$ приклеены к разным связным компонентам множества $D_j$. В этом случае, $g(D_{j+1})=g(D_j)$ и число граничных кривых уменьшается на единицу. Во всех трех случаях (ii$_1$)–(ii$_3$) для эйлеровых характеристик имеем равенство $\chi(D_{j+1})=\chi(D_j)-1$. Исчерпание такого вида получается взятием регулярных множеств подуровня строго субгармонической исчерпывающей функции Морса $\rho\colon M\to\mathbb{R}_+$, имеющей не более одной критической точки в $\mathring D_{j+1}\setminus D_{j}$ при каждом $j=0,1,2,\dots$ . Случай (i) с $D''_{j+1}\ne \varnothing$ обычно причисляют к критическому случаю, так как он отвечает прохождению локального минимума функции $\rho$, при котором возникает новая связная компонента множества подуровня $\{\rho<c\}$, но требуемая в этом случае процедура аналогична проводимой в некритическом случае. Для любого открытого подмножества $U$ в $M$ обозначим через пространство непрерывных отображений $f\colon P\times U\to \mathbb{CP}^1$ таких, что при каждом $p\in P$ отображение $f_p=f(p,{\cdot}\,)\colon U\to\mathbb{CP}^1$ является голоморфным погружением. Пусть $\operatorname{dist}$ означает сферическую функцию расстояния на $\mathbb{CP}^1$, а $f^0=f\in \mathscr{I}(Q\times M,\mathbb{CP}^1)$ – как в теореме. Выберем число $\epsilon>0$ и положим $\epsilon_0=\epsilon$.Построим по индукции последовательности отображений $f^j\,{\in}\,\mathscr{I}(P\times U_j,\mathbb{CP}^1)$, где $U_j\,{\subset}\,M$ – маленькая открытая окрестность множества $D_j$, положительных чисел $\epsilon_j$ и гомотопий $\sigma^{j,t}\colon P\,{\times}\,M\,{\to}\, E$ $(t\,{\in}\,[0,1])$ таких, что $\sigma^{1,0}=\sigma\colon P\times M\to E$ есть отображение из формулировки теоремы и следующие условия выполнены при каждом $j\in\mathbb{N}$, причем условия (ii) и (v)–(vii) пусты при $j=1$. (i) $f^j_p=f_p|_{U_j}$ для всех $p\in Q$. (ii) $\operatorname{dist}(f^j, f^{j-1})<\epsilon_{j-1}$ на $P\times D_{j-1}$. (iii) $\epsilon_j<\epsilon_{j-1}/2$, и если отображение $h\colon P\times D_{j} \to\mathbb{CP}^1$ таково, что $\operatorname{dist}(h,f^j)<2\epsilon_j$ на $P\times D_{j}$, причем отображение $h_p=h(p,{\cdot}\,)$ голоморфно на $\mathring D_j$ при каждом $p\in P$, то $h_p\colon D_{j-1} \to\mathbb{CP}^1$ является погружением при каждом $p\in P$. (iv) $\sigma^{j,t}_{p}=\sigma_p$ для всех $p\in Q$ и $t\in [0,1]$. (v) $\sigma^{j,0}=\sigma^{j-1,1}$. (vi) $\sigma^{j,0}_p = \Phi(f^{j-1}_p)$ на $D_{j-1}$ и $\sigma^{j,1}_p = \Phi(f^{j}_p)$ на $D_{j}$ для всех $p\in P$. (vii) $\sigma^{j,t}_p = \Phi(f^{j-1,t}_p)$ на $D_{j-1}$ для всех $p\in P$, где гомотопия $f^{j-1,t}\in\mathscr{I}(P\times D_{j-1},\mathbb{CP}^1)$ $(t\in [0,1])$ такова, что $f^{j-1,0}=f^{j-1}$, $f^{j-1,1}=f^j|_{P\times D_{j-1}}$ и $\operatorname{dist}(f^{j-1,t},f^{j-1})<\epsilon_{j-1}$ на $P\times D_{j-1}$. Допустим на минуту, что такие последовательности существуют. Условия (i)–(iii) гарантируют равномерную на компактах в $P\times M$ сходимость последовательности $f^j$ к отображению $f\in \mathscr{I}(P\times M,\mathbb{CP}^1)$, являющемуся продолжением отображения $f\in \mathscr{I}(Q\times M,\mathbb{CP}^1)$ из условия теоремы. Определим гомотопию $\sigma^t\colon P\times M\to E$ для $0\leqslant t<1$ формулой
$$
\begin{equation*}
\sigma^t = \sigma^{j,\tau_j(t)}\quad \text{при}\quad t\in [1-2^{-j+1},1-2^{-j}],\qquad j\in\mathbb{N},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\tau_j(t)= 2^j(t-1+2^{-j+1})$. (Заметим, что $\tau_j$ линейно отображает отрезок $[1-2^{-j+1},1-2^{j}]$ на $[0,1]$.) Условие (v) обеспечивает совместимость определения в точках $t=1-2^{-j}$ и, следовательно, непрерывность $\sigma^t$ по $t\in[0,1)$, тогда как (iv) показывает, что $\sigma^t=\sigma$ на $Q\times M$ для всех $t\in[0,1)$. Условия (vi) и (vii) обеспечивают существование предельного отображения $\lim_{t\to 1}\sigma^t\,{=}\, \sigma^1\colon P\,{\times}\,M\,{\to}\, E$ такого, что $\sigma^1_p=\Phi(f_p)$ на $M$ для всех $p\in P$. Этим завершается доказательство теоремы в предположении существования последовательностей с указанными свойствами.
Покажем теперь, как получаются такие последовательности. Поучительно взглянуть на начальный шаг индукции, тем более что те же рассуждения будут применяться и на некоторых последующих шагах. 0) Начальный шаг. Область $D_1$ представляет собой замкнутый диск и наша задача состоит в продолжении заданного семейства голоморфных погружений $f_p|_{D_1}\colon D_1\to \mathbb{CP}^1$, $p\in Q$, до такого непрерывного семейства голоморфных погружений $f^1_p\colon D_1\to \mathbb{CP}^1$, $p\in P$, что семейство $\Phi(f_p)\colon D_1\to E$, $p\in P$, гомотопно заданному семейству формальных погружений $\sigma_p$ на $D_1$. (Мы придерживаемся соглашений § 3, относящихся к понятию голоморфного семейства отображений компактных подмножеств $M$.) Фиксируем точку $x_1\in \mathring D_1$. Существует голоморфная координата $z\colon U_1\to \mathbb{C}$ на окрестности диска $D_1$ в $M$, для которой $z(D_1)=\overline{\mathbb D}\subset \mathbb{C}$ – это замкнутый единичный круг и $z(x_1)=0$. Обозначим через $\pi\colon E\to \mathbb{CP}^1$ проекцию на базу. Формальные погружения $\sigma_p\colon M\to E$ задают отображение $a(p)=\pi\circ \sigma_p(x_1)\in \mathbb{CP}^1$, $p\in P$, и мы выбираем диски $f^1_p$ таким образом, что $f^1_p(x_1)=a(p)$ для всех $p$. Формальные погружения определяют также производную отображения $f^1_p$ в точке $x_1$ следующим образом. Запишем $\mathbb{CP}^1=\mathbb{C}\cup\{\infty\}$ и введем множества
$$
\begin{equation*}
P_0=\bigl\{p\in P\colon a(p)\in \mathbb{CP}^1\setminus \{\infty\}\bigr\}, \qquad P_1=\bigl\{p\in P\colon a(p)\in \mathbb{CP}^1\setminus \{0\}\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Ясно, что они образуют открытое покрытие пространства $P$. Выберем комплексную координату $w$ на $\mathbb{C}=\mathbb{CP}^1\setminus \{\infty\}$ и тривиализацию $E|_\mathbb{C}\cong\mathbb{C}\times \mathbb{C}^*$ $\mathbb{C}^*$-расслоения $E\to\mathbb{CP}^1$ над $\mathbb{C}$. Отвечающая слою компонента точки $\sigma_p(x_1)\in E$ при каждом $p\in P_0$ является числом $v(p) \in \mathbb{C}^*$, непрерывно зависящим от $p\in P_0$. Пусть $V$ – нигде не обращающееся в нуль голоморфное векторное поле на $M$, как в формулировке теоремы. В координате $z$ на $D_1$ имеем $V(x_1)=c{\partial}/{\partial z}\big|_{x_1}$ при некотором $c\ne 0$. Вложенные голоморфные диски $g_p\colon D_1\to\mathbb{CP}^1$, $p\in P_0$, заданные в паре координат $z$ и $w$ формулой
$$
\begin{equation*}
w=a(p)+c^{-1}v(p) z \in \mathbb{C}\subset \mathbb{CP}^1,
\end{equation*}
\notag
$$
удовлетворяют тогда равенствам
$$
\begin{equation*}
d(g_p)_{x_1} (V(x_1)) = (a(p),v(p)) = \sigma_p(x_1),\qquad p\in P_0.
\end{equation*}
\notag
$$
Повторяя это построение для $p\,{\in}\, P_1$ относительно голоморфной координаты $\zeta=1/w$ на $\mathbb{CP}^1\setminus \{0\}$ и соответствующей тривиализации расслоения $E\to \mathbb{CP}^1\setminus \{0\}$, получим другое семейство вложенных дисков $h_p\colon D_1\to\mathbb{CP}^1\setminus \{0\}$, для которого
$$
\begin{equation*}
d(h_p)_{x_1} (V(x_1)) = \sigma_p(x_1),\qquad p\in P_1.
\end{equation*}
\notag
$$
Выберем непрерывную функцию $\chi\colon P\to [0,1]$ с носителем в $P_0$ и рассмотрим семейство голоморфных дисков
$$
\begin{equation*}
f^1_p = \chi(p) g_p + (1-\chi(p))h_p \colon D_1\to\mathbb{CP}^1, \qquad p\in P.
\end{equation*}
\notag
$$
(Эта выпуклая комбинация нетривиальна только на множестве $\{0\,{<}\,\chi\,{<}\,1\}\subset P_0\cap P_1$, причем для $p$ из этого множества центр $g_p(x_1)=h_p(x_1)$ лежит в $\mathbb{C}^*=\mathbb{CP}^1\setminus\{0,1\}$.) Ясно, что $d(f^1_p)_{x_1}(V(x_1))=\sigma_p(x_1)$ для всех $p\in P$. Следовательно, найдется меньший диск $D'_1\subset D_1$ вокруг $x_1$ такой, что $f^1_p\colon D'_1\to\mathbb{CP}^1$ $(p\in P)$ – непрерывное семейство вложенных голоморфных дисков. Легко найти гомотопию формальных погружений $\sigma^{1,t}\colon P\times M\to E$ между начальным погружением $\sigma^{1,0}=\sigma$ и таким $\sigma^{1,1}$, что $\sigma^{1,1}_p=d(f^1_p)(V)=\Phi(f^1_p)$ на $D'_1$ при каждом $p\in P$. Вопрос о продолжении этих погружений и гомотопий (с помощью аппроксимации) с множества $D'_1$ на $D_1$ является частью следующего шага, где речь идет о некритическом случае.
Опишем теперь шаг индукции $j\to j+1$ в каждом из двух случаев. 1) Некритический случай. В этом случае $\overline{D_{j+1}\setminus_j}$ является конечным объединением компактных попарно непересекающихся колец и, может быть, еще одного диска $D''_{j+1}$, не пересекающегося с $D_j$. Продолжая семейство погружений $f^j_p\colon U_j\to \mathbb{CP}^1$ на маленький диск в $D''_{j+1}$, как это делалось в данном выше описании начального шага, мы сведем дело к случаю, когда $\overline{D_{j+1}\setminus D_j}$ состоит только из колец. Следовательно, $D_{j+1}$ получается из $D_j$ последовательной подклейкой конечного числа дисков, образующих пару Картана на каждом шаге; это частный случай леммы 5.10.3 из [7], относящейся к более общей ситуации некритических строго псевдовыпуклых кобордизмов. Фактически можно восстановить данный цилиндр подклейкой двух правильно выбранных дисков. Шаг индукции получается применением предложения 3.1 конечное число раз, по одному для каждой подклейки диска. Опишем эту процедуру на каждом шаге. Итак, мы подклеили компактный гладко ограниченный диск $B\subset M$ к компактной гладко ограниченной области $A\subset M$ так, что множество $C\,{=}\,A\,{\cap}\, B$ также является диском, множество $A\cup B$ гладко ограничено и $(A,B)$ – пара Картана: $\overline{A\setminus B}\,{\cap}\, \overline{B\setminus A}=\varnothing$. В координатной карте $z\colon U\to U'\subset \mathbb{C}$ на окрестности $U\subset M$ множества $B$, пара $C\subset B$ отвечает паре компактных кругов $\Delta_0\subset\Delta_1$ в $\mathbb{C}$. По предложению 3.1 можно аппроксимировать непрерывное семейство погружений $f_p\colon A\to \mathbb{CP}^1$ $(p\in P)$ сколь угодно близко на окрестности множества $C$ непрерывным семейством погружений $g_p\colon B\to\mathbb{CP}^1$ $(p\in P)$, оставляя неизменными погружения с $p\in Q$, которые уже определены на $M$. Тогда найдется такая меньшая открытая окрестность $U$ множества $C$, что
$$
\begin{equation}
f_p=g_p\circ \gamma_p \quad \text{на } U\text{ для всех }p\in P,
\end{equation}
\tag{5.1}
$$
где $\gamma_p\colon U\to M$ $(p\in P)$ – непрерывное семейство инъективных голоморфных отображений, близких к тождественному, причем отображение $\gamma_p$ тождественно для $p\in Q$. Как уже говорилось в связи с (5.1), такие функции перехода $\gamma_p$ задаются параметрической версией леммы 9.12.6 из [7] или леммы 5.1 из [6].
По лемме о расщеплении биголоморфных отображений, близких к тождественному на паре Картана (см. [6; теорема 4.1] или [7; теорема 9.7.1]), имеем равенство где $\alpha_p\colon A\to M$ и $\beta_p\colon B\to M$ – инъективные голоморфные отображения, близкие к тождественному на паре открытых окрестностей $\widetilde A\supset A$, $\widetilde B\supset B$ соответствующих областей, непрерывно зависящие от $p\in P$ и равные тождественному отображению для $p\in Q$. Поэтому, для всех $p\in P$,
$$
\begin{equation*}
f_p\circ \alpha_p = g_p\circ \beta_p\quad \text{на окрестности множества }C.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, обе части этого равенства сливаются в одно непрерывное семейство голоморфных погружений $\widetilde f_p\colon A\cup B\to \mathbb{CP}^1$, $p\in P$, причем $\widetilde f_p=f_p$ для $p\in Q$.
Применение этой процедуры к $f^j\in \mathscr{I}(U_j,\mathbb{CP}^1)$ приводит за конечное число шагов к отображению $f^{j+1}\in \mathscr{I}(U_{j+1},\mathbb{CP}^1)$ на некоторой окрестности $U_{j+1}$ множества $D_{j+1}$, аппроксимирующему $f^j$ с любой заданной точностью на фиксированной окрестности множества $D_j$ и такому, что $f^{j+1}_p=f^j_p$ для всех $p\in Q$. Можно считать эту аппроксимацию настолько близкой, что существует гомотопия голоморфных погружений $f^{j,t}_p\colon U_j\to\mathbb{CP}^1$ $(p\in P,\, t\in [0,1])$ окрестности $U_j$ множества $D_j$, удовлетворяющая условию (vii). Это видно из записи $f^{j+1}_p=f^{j}_p \circ \gamma_p$, где $\gamma_p\colon U'_j\to M$ $(p\in P)$ — непрерывное семейство инъективных голоморфных отображений, определенных и близких к тождественному отображению на некоторой окрестности множества $D_j$ и равных тождественному отображению для $p\in Q$ (см. (3.2) и данные там ссылки). Согласно [7; предложение 3.3.1] найдется окрестность $\Omega\subset TM=M\times \mathbb{C}$ множества $D_j\subset M$ с выпуклыми слоями в (тривиальном) касательном расслоении поверхности $M$ и голоморфное отображение $s\colon \Omega\to M$, биголоморфно переводящее слой $\Omega$ над каждой точкой $x\in \Omega\cap M$ на некоторую окрестность $x$ в $M$, причем $s(x,0)=x$. Можно считать отображение $\gamma_p$ настолько близким к тождественному, что $\gamma_p=s\circ \lambda_p$, где $\lambda_p$ – некоторое голоморфное сечение $\Omega$ над окрестностью множества $D_j$. Радиально стягивая $\lambda_p$ к нулевому сечению (напомним, что $\Omega$ имеет выпуклые слои), мы получаем при каждом $p\in P$ гомотопию $\gamma^t_p$ $(t\in [0,1])$ между отображениями $\gamma^1_p=\gamma_p$ и $\gamma^0_p=\mathrm{Id}$. Тогда
$$
\begin{equation*}
f^{j,t}_p:=f^j_p\circ \gamma^t_p, \qquad\ p\in P,\quad t\in [0,1],
\end{equation*}
\notag
$$
есть гомотопия погружений, удовлетворяющая условию (vii).
Поскольку топология не менялась, легко продеформировать семейство формальных погружений так, чтобы выполнялись условия (iv)–(vii). Условие (iii) выполнено для любого достаточно малого числа $\epsilon_{j+1}>0$, которое мы и выбираем в этот момент. Этим завершено описание шага индукции для некритического случая. 2) Критический случай. Достаточно дать описание этой процедуры в единственной связной компоненте множества $D_{j+1}$, содержащей некоторую компоненту множества $D_j$ (или пару таких компонент в подслучае (ii$_3$)) как топологически нетривиальное расширение. Остальные пары компонент образуют некритические расширения и к ним применим метод, описанный в предыдущем случае. Поэтому для простоты изложения можно, не теряя общности, считать множество $D_{j+1}$ связным. Начнем с отображения $f^j\in\mathscr{I}(U_j,\mathbb{CP}^1)$, где $U_j$ – открытая окрестность множества $D_j$. Выберем компактную гладко ограниченную область $D'_j \subset U_j$, внутренность которой содержит $D_j$, а сама она диффеоморфна $D_j$. Тогда $D_{j+1}$ допускает деформационную ретракцию на допустимое множество $S=D'_j\cup \Lambda \subset \mathring D_{j+1}$, где $\Lambda$ – гладкая дуга в $\mathring D_{j+1}\setminus D'_j$, приклеенная своими граничными точками к $bD'_j$. На первом этапе продолжим погружения $f^j_p\colon D'_j\to\mathbb{CP}^1$, $p\in P$, через дугу $\Lambda$ до непрерывного семейства гладких погружений $f^j_p\colon S\to\mathbb{CP}^1$, голоморфных на внутренности $S$, оставляя неизменными отображения $f^j_p$ при $p\in Q$, таким образом, что семейство отображений $\Phi(f^j_p)\colon S\to E$, $p\in P$, гомотопно на $S$ данному семейству $\sigma_p\colon M\to E$ формальных погружений, причем эта гомотопия неподвижна при $p\in Q$. Такие продолжения существуют по параметрическому $\mathrm{h}$-принципу Смейла–Хирша–Громова для гладких погружений (см. [21], [16], [13], [12]); здесь речь идет о погружениях дуги $\Lambda$ в сферу Римана $\mathbb{CP}^1$ с фиксированными значениями самого погружения и его производной в концевых точках дуги $\Lambda$. На втором этапе мы применяем параметрическую теорему Мергеляна (теорему 4.3), чтобы аппроксимировать новое семейство погружений $S\to \mathbb{CP}^1$ в $\mathscr{C}^1(S)$-топологии непрерывным семейством голоморфных погружений некоторой окрестности $B \subset M$ множества $S$ в сферу $\mathbb{CP}^1$. Так как $D'_j\cup\Lambda$ является деформационным ретрактом множества $D_{j+1}$, то можно выбрать в качестве $B$ такую гладко ограниченную область, что $D_{j+1}$ является некритическим расширением $B$, т. е. $\overline{D_{j+1}\setminus B}$ является объединением колец. Тогда, применяя уже установленный выше некритический случай, мы можем продолжить это семейство погружений (посредством аппроксимации на $B$) на $D_{j+1}$. Выберем число $\epsilon_{j+1}$, удовлетворяющее условию (iii). Оставшиеся этапы конструкции (нахождение гомотопии $f^{j+1,t}$, удовлетворяющей условию (vii), и подправление гомотопии формальных погружений таким образом, чтобы выполнялись условия (iv)–(vi)) проводятся так же, как и в некритическом случае. Этим завершено описание шага индукции. Теорема доказана. БлагодарностиЧасть работы была сделана во время визита в университет Гранады в сентябре 2019 г. Я благодарен этой организации и, в частности, А. Аларсону за любезное приглашение и частичную поддержку. Я также благодарен Финнару Ларуссону за постановку задачи и полезные обсуждения топологических вопросов в § 2.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{For21} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|