| Известия Российской академии наук. Серия математическая |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Представление решения задачи Коши для одномерного уравнения Шрёдингера с ограниченным гладким потенциалом в виде квазифейнмановских формул Д. В. Гришинa, Я. Ю. Павловскийb a Московский технический университет связи и информатики b Московский государственный технический университет имени Н. Э. Баумана
Англоязычная версия:
Izvestiya: Mathematics, 2021, Volume 85, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/IM8975 
Реферативные базы данных:
     § 1. Введение1.1. Квантовая механика и уравнение ШрёдингераУравнение Шрёдингера – одно из основных уравнений квантовой механики [1]. Оно описывает эволюцию квантовой системы, т. е. изменение системы во времени при условии того, что не происходит обратного влияния системы на внешние для нее частицы или поля. Если квантовая система получена путем квантования некоторой классической системы, то под чистым состоянием квантовой системы понимается имеющий единичную норму вектор комплексного гильбертова пространства $L^2(Q)$, где $Q$ – конфигурационное пространство исходной классической системы. В ходе эволюции замкнутой системы чистые состояния переходят в чистые состояния. Поэтому эволюцию системы из начального состояния $\psi(0)=\psi_0\in L^2(Q)$ в состояние $\psi(t)\in L^2(Q)$ можно описать как результат действия некоторого унитарного оператора $U(t)$ на состояние $\psi_0$ (унитарность следует из сохранения нормы вектора, которая в ходе эволюции не меняется и равна $1$), т. е. $\psi(t)=U(t)\psi_0$. Оператор эволюции $U(t)$ связан с гамильтонианом системы соотношением $U(t)=e^{-it\mathcal{H}}$. Здесь $\mathcal{H}$ – гамильтониан системы, описывающий состояние $\psi(t)$ с помощью задачи Коши для уравнения Шрёдингера
$$
\begin{equation*}
i\psi'_t(t)=\mathcal{H}\psi(t),\qquad \psi(0)=\psi_0.
\end{equation*}
\notag
$$
Гамильтониан $\mathcal{H}$ в общем случае представляет собой самосопряженный оператор в $L^2(Q)$, имеющий плотную область определения. Таким образом, для того, чтобы однозначно задать эволюцию системы, надо знать или гамильтониан $\mathcal{H}$, или (при каждом $t\in\mathbb{R}$) оператор эволюции $U(t)$. Обычно гамильтониан известен, а оператор эволюции – нет. К сожалению, формула $U(t)=e^{-it\mathcal{H}}$ непригодна для непосредственного вычисления $U(t)$ при известном $\mathcal{H}$ в случае, если оператор $\mathcal{H}$ неограничен, а в содержательных примерах это именно так. Поэтому выражение $U(t)=e^{-it\mathcal{H}}$ через $\mathcal{H}$ равносильно решению для каждого $\psi_0\in L^2(Q)$ задачи Коши
$$
\begin{equation*}
i\psi'_t(t)=\mathcal{H}\psi(t),\qquad \psi(0)=\psi_0.
\end{equation*}
\notag
$$
Известно несколько случаев, когда гамильтониан $\mathcal{H}$ системы настолько прост, что решение задачи Коши можно описать небольшой явной формулой. Например, это так для атома водорода. В общем же случае такие формулы неизвестны. Однако, если удалось построить сильно непрерывное семейство ограниченных самосопряженных операторов, касательное по Чернову к оператору $\mathcal{H}$, то можно применить приводимую далее в тексте теорему 3 и получить $U(t)$ в виде квазифейнмановской формулы. Именно это и делается в настоящей статье для простого модельного случая. 1.2. Фейнмановские и квазифейнмановские формулыФормула Фейнмана или фейнмановская формула – это равенство следующего вида: слева стоит определяемая равенством функция, а справа – предел кратного интеграла при стремящейся к бесконечности кратности (и только он). Такое определение было впервые введено О. Г. Смоляновым [2] и восходит к пионерским работам Р. Ф. Фейнмана [3], [4], который использовал равенства такого вида на физическом уровне строгости. Подробнее о формулах Фейнмана см. обзоры [5]–[8]. Научной группой О. Г. Смолянова в 2002–2018 гг. в виде фейнмановских формул были построены решения задачи Коши для многих уравнений вида $u'_t(t,x)=Lu(t,x)$, называемых эволюционными уравнениями, или уравнениями эволюции, или уравнениями эволюционного типа. К этому типу относятся уравнение теплопроводности, простой одномерный пример такого уравнения – это
$$
\begin{equation*}
u'_t(t,x)=u''_{xx}(t,x) - V(x)u(t,x),\quad\text{где}\quad L=\frac{\partial^2}{\partial x^2} - V,
\end{equation*}
\notag
$$
и уравнение Шрёдингера, простой одномерный пример такого уравнения – это
$$
\begin{equation*}
\psi'_t(t,x)=-i\psi''_{xx}(t,x) +iV(x)u(t,x),\quad\text{где}\quad L=-i\biggl(\frac{\partial^2}{\partial x^2} -V\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Ключевым моментом в этой деятельности было использование теоремы Чернова (теорема 1 ниже), а также построение для каждого уравнения специального семейства операторов. А именно, требовалось предъявить семейство линейных ограниченных операторов, эквивалентное по Чернову $C_0$-полугруппе с генератором $L$, об этом подробнее будет сказано ниже. Известно, что строить такие семейства для уравнения Шрёдингера много труднее, чем для уравнения теплопроводности. Приведем два примера. Для уравнений теплопроводности и Шрёдингера с $x\in\mathbb{R}^n$ формулы Фейнмана были в 2012–2013 гг. построены А. С. Пляшечником, причем в рассмотренном им случае коэффициенты уравнений могли зависеть от времени; решение уравнения Шрёдингера потребовало регуляризации с помощью малого $\varepsilon$, см. [9], [10]. Для не зависящей от времени правой части И. Д. Ремизовым [11]–[13] было построено решение уравнения теплопроводности с бесконечномерным гильбертовым пространством координат в виде формулы Фейнмана, а для соответствующего уравнения Шрёдингера сделать это не удалось, и тому есть причины, связанные с бесконечномерной спецификой задачи. Тогда была предпринята попытка найти какие-либо пути решения бесконечномерного уравнения Шрёдингера, для которых бесконечномерность не была бы центральным местом. В 2014 г. И. Д. Ремизов [14] заметил, что если несколько расширить класс допустимых представлений решения, то семейства, построенные для уравнения теплопроводности, можно использовать после некоторой модификации для решения уравнения Шрёдингера. Так возникло следующее определение. Квазифейнмановская формула – это равенство следующего вида: слева стоит определяемая равенством функция, а справа – выражение, содержащее кратные интегралы сколь угодно большой кратности. В отличие от фейнмановских, квазифейнмановские формулы в правой части могут содержать суммирование или другие операции. Предложенный метод модификации семейств оказался достаточно общим и гибким, чтобы применять его не только для той задачи, для решения которой он был придуман. Метод работает на уровне полугрупп операторов, поэтому решаемое уравнение Шрёдингера может иметь произвольный самосопряженный гамильтониан и произвольное конфигурационное пространство, лишь бы существовали семейства для соответствующего уравнения теплопроводности, точную формулировку см. в теореме 3 ниже. Развитие метода см. в [15]–[21]. Забегая вперед, скажем, что способ модификации дается короткой формулой Ремизова в которой $S(t)$ соответствует уравнению теплопроводности $u'_t=Hu$, а задаваемое формулой семейство $R(t)$ соответствует уравнению Шрёдингера $\psi'_t=iH\psi$. Тем не менее, окончательные выражения для решения задачи Коши, получающиеся на основе формулы Ремизова, оказываются достаточно длинными.В недавних работах В. Ж. Сакбаева [22], [23] была построена мера на гильбертовом пространстве, с помощью которой удалось записать решение уравнения теплопроводности в гильбертовом пространстве, а затем (с помощью формулы Ремизова) – и решение соответствующего уравнения Шрёдингера, см. также [24]–[27]. 1.3. Постановка задачи и ее решениеГлавным содержанием настоящей статьи является доказательство того, что задача Коши для уравнения Шрёдингера на прямой
$$
\begin{equation}
\begin{cases} \dfrac{i}{a}\dfrac{\partial}{\partial t}\psi(t,x)=-\dfrac{1}{2}\dfrac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}\psi(t,x)+V(x)\psi(t,x), \\ \psi(0,x)=\psi_{0}(x), \end{cases}
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
имеет единственное в $L^2(\mathbb{R})$ решение, задаваемое справедливым для почти всех $x\in\mathbb{R}$ равенством (квазифейнмановской формулой)
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\psi(t,x)=\lim_{n\to\infty}\lim_{k\to\infty}\sum_{m=0}^k\sum_{q=0}^m \frac{(-1)^{m-q}i^ma^mn^m(\operatorname{sign}(t))^m}{q!\,(m-q)!}\biggl(\frac{n}{2\pi |t|}\biggr)^{q/2} \\ &\ \times \underbrace{\int_\mathbb{R} \dots \int_\mathbb{R}}_q \exp\biggl\{- \frac{|t|}{n}\biggl[\frac{1}{2}V(x)+\sum_{p=2}^qV\biggl(x+\sum_{j=p}^qy_j\biggr) + \frac{1}{2}V\biggl(x+\sum_{j=1}^qy_j\biggr) \biggr] \\ &\ \ -\frac{n}{2|t|}\sum_{j=1}^q y_j^2\biggr\}\psi_0\biggl(x+\sum_{j=1}^q y_j\biggr)\prod_{p=1}^q dy_p, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $0 \neq a \in \mathbb{R}$, $x,t \in \mathbb{R}$, $\psi_0\in L^2(\mathbb{R})$ и функция $V\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ ограничена и имеет ограниченную первую производную. 1.4. Актуальность поставленной задачи и метода ее решенияВ общем случае задача о выражении решения дифференциального уравнения через его коэффициенты во многих случаях представляет значительную сложность, и это хорошо известно. В зависимости от уравнения и того, что понимается под словами “выразить решение уравнения через его коэффициенты”, эта задача либо полностью решена (эти простые случаи изучаются в университетском курсе дифференциальных уравнений), либо неразрешима, либо до сих пор привлекает внимание ученых. В связи с этим для каждого важного дифференциального уравнения представляет большой интерес каждая новая нетривиальная формула, дающая его решение. Одномерное уравнение Шрёдингера может в зависимости от выбора потенциала $V$ описывать многие квантовые системы, например, квантовый (ан)гармонический осциллятор или частицу в кулоновском поле. Рассматриваемый нами гладкий ограниченный потенциал $V$ возникает в задаче о преодолении гладкого ограниченного потенциального барьера, а также в задачах, связанных с квантовыми свойствами кристаллов, поскольку потенциал может быть периодическим (пример: $V(x)=\sin(kx)$), лишь бы он вместе со своей первой производной был ограничен. Вопрос о соответствующих уравнению физических системах в статье умышленно не рассмотрен. Для авторов главное достоинство этого уравнения лежит не в поле его физических применений, а в том, что с математической точки зрения задача свободна от специфических деталей и сравнительно проста. Она решалась и решается многими методами, каждый из которых имеет свои сильные и слабые стороны, которые часто бывают видны уже на примере этого модельного уравнения. Цель настоящей статьи – дать (с полными доказательствами, в отличие от [28]) пример применения нового подхода, возникшего в 2014 г. и основанного на теореме 3, подробное ее обсуждение см. в статье [14], из которой взят этот результат. Поясним, почему есть смысл уделять внимание этой теореме. Во-первых, выводить и доказывать фейнмановские формулы заведомо сложнее, чем получать квазифейнмановские формулы описываемым в статье способом. Во-вторых, есть надежда, что этот метод может обеспечить более высокую скорость сходимости к решению, чем дает обычно формула Фейнмана. В-третьих, возможно, с помощью этого метода можно находить решения для более широкого класса потенциалов $V$, чем это на данный момент сделано (в работах [21], [15], [16] есть продвижения в этом направлении, но там используются операторы сдвига, а не интегральные операторы, поэтому в итоговых формулах нет кратных интегралов). В приведенном выше уравнении Шрёдингера потенциал $V$ зависит только от переменной $x$, поэтому решение временн\’ого уравнения Шрёдингера сводится к решению стационарного уравнения Шрёдингера, что является стандартным подходом для подобного рода задач. Авторы же ставят целью продемонстрировать альтернативный метод, позволяющий находить решение задачи Коши (т. е. неизвестную волновую функцию $\psi$) без решения задачи о собственных функциях и собственных числах. Также следует отметить, что настоящая работа носит теоретический характер и написана скорее с позиции математика, чем физика, что и объясняет выбор методов. В статье не подлежит обсуждению физический смысл коэффициента $a$, не ищется энергетический спектр частицы, не решаются связанные с исследуемым уравнением физические задачи (как, например, в [29]). Во взгляде на нормировку волновой функции используется стандартный квантово-механический подход. В самом деле, оператор $U(t)$ унитарный, поэтому при каждом $t$ справедливо равенство $\|\psi_0\|=\|U(t)\psi_0\|=\|\psi(t,{\cdot}\,)\|$, однако один содержательный вопрос все же может быть поставлен. А именно, неизвестно, имеет ли место для стоящих под знаком предела выражений это же свойство. Основным результатом статьи следует считать доказанную теорему 4. § 2. Сильно непрерывные (полу)группы и эволюционные уравненияВ настоящем параграфе приводится набор сведений о сильно непрерывных (полу)группах, или, короче, $C_0$-(полу)группах операторов, необходимый для понимания их роли в теории эволюционных уравнений с частными производными. Все приводимые классические определения и утверждения могут быть найдены, например, в учебниках [30]–[32]. Из неклассических фактов в этом параграфе излагается только теорема, предложенная И. Д. Ремизовым в 2014 г. Определение 1. Пусть $\mathcal{F}$ – банахово пространство над полем $\mathbb{C}$. Пусть $\mathcal{L}(\mathcal{F})$ – пространство всех линейных ограниченных операторов в $\mathcal{F}$. Пусть дано отображение т. е. $U(t)$ – это линейный ограниченный оператор $U(t)\colon \mathcal{F}\to \mathcal{F}$ при каждом $t\geqslant 0.$ Отображение $U$ называется $C_0$-полугруппой, или, что то же самое, сильно непрерывной однопараметрической полугруппой операторов, если оно удовлетворяет трем условиям: 1) $U(0)$ есть тождественный оператор $I$, т. е. $\forall\, \varphi\in \mathcal{F}\colon U(0)\varphi=\varphi$; 2) $U$ сопоставляет сложению чисел в $[0,+\infty)$ композицию операторов в $\mathcal{L}(\mathcal{F})$, т. е. $\forall\, t\geqslant 0$, $\forall\, s\geqslant 0$: $U(t+s)=U(t)\circ U(s),$ где использовано обозначение $(A\circ B)(\varphi)=A(B(\varphi))$ для каждого $\varphi\in\mathcal{F}$; 3) $U$ непрерывно при наделении $\mathcal{L}(\mathcal{F})$ сильной операторной топологией, т. е. $\forall\, \varphi\in \mathcal{F}$ функция $t\mapsto U(t)\varphi$ непрерывна как отображение $[0,+\infty)\to \mathcal{F}$. Определение $C_0$-группы получается заменой выше всюду $[0,+\infty)$ на $\mathbb{R}$ . Если $(U(t))_{t\geqslant 0}$ – $C_0$-полугруппа в банаховом пространстве $\mathcal{F}$, то множество
$$
\begin{equation*}
\Bigl\{\varphi\in \mathcal{F}\colon \exists \lim_{t\to +0}\frac{U(t)\varphi-\varphi}{t}\Bigr\}\stackrel{\mathrm{def}}{=}\operatorname{Dom} (L)
\end{equation*}
\notag
$$
плотно в $\mathcal{F}$. Оператор $L$, определенный на $\operatorname{Dom}(L)$ равенством
$$
\begin{equation*}
L\varphi=\lim_{t\to +0}\frac{V(t)\varphi-\varphi}{t},
\end{equation*}
\notag
$$
называется инфинитезимальным генератором (или, короче, генератором) $C_0$-полугруппы $(U(t))_{t\geqslant 0}$. Генератор является замкнутым линейным оператором, который однозначно определяет $C_0$-полугруппу, и используется обозначение Если $L$ – ограниченный оператор, и $\operatorname{Dom}(L)=\mathcal{F}$, то оператор $e^{tL}$, на самом деле, является экспонентой, определяемой степенным рядом сходящимся по норме в $\mathcal{L}(\mathcal{F})$. В более интересных случаях генератор представляет собой неограниченный дифференциальный оператор, например, лапласиан $\Delta$. Одна из причин для изучения $C_0$-полугрупп – это их связь с дифференциальными уравнениями. Если $Q$ – это множество, то функцию $u\colon [0,+\infty)\times Q\to \mathbb{C}$, $u\colon (t,x)\mapsto u(t,x)$ от двух переменных $t$, $x$ можно представить в виде функции $u\colon t\mapsto [x\mapsto u(t,x)]$ от одной переменной $t$ со значениями в пространстве функций от переменной $x$. Если $u(t,{\cdot}\,)\in\mathcal{F}$, то можно определить $Lu(t,x)=(Lu(t,{\cdot}\,))(x)$. Если существует $C_0$-полугруппа $(e^{tL})_{t\geqslant 0}$, то тогда задача Коши
$$
\begin{equation*}
\begin{cases} u'_t(t,x)=Lu(t,x) &\text{для }t>0,\, x\in Q, \\ u(0,x)=u_0(x) &\text{для }x\in Q, \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
имеет единственное (в смысле $\mathcal{F}$, где $u(t,{\cdot}\,)\in\mathcal{F}$ для каждого $t\geqslant 0$) решение $u(t,x)=(e^{tL}u_0)(x)$, непрерывно зависящее от $u_0$. Если же существует сильно непрерывная группа $(e^{tL})_{t\in\mathbb{R}}$, то в задаче Коши уравнение $u'_t(t,x)=Lu(t,x)$ можно рассматривать не только для $t>0$, но и для $t\in\mathbb{R}$, и решение представляется тоже формулой $u(t,x)=(e^{tL}u_0)(x)$. Подробнее о полугруппах и их связи с дифференциальными уравнениями см. [30], [31]. Теорема 1 (теорема Чернова1, см. оригинальную статью [33] или теорему 10.7.21 в учебнике [34]). Пусть $\mathcal{F}$ – банахово пространство и $\mathcal{L}(\mathcal{F})$ – пространство всех линейных ограниченных операторов в $\mathcal{F}$, наделенное операторной нормой. Пусть дана функция $ G\colon [0,+\infty)\to \mathcal{L}(\mathcal{F}),$ непрерывная на каждом векторе, $G(0)=I$, $\|G(t)\|\leqslant e^{\omega t}$ с некоторой постоянной $\omega\in\mathbb{R}$. Пусть есть такое плотное подпространство $\mathcal{D}\subset \mathcal{F}$, что при всех $f\in \mathcal{D}$ существует предел Предположим, что $G'(0)$ на $\mathcal{D}$ обладает замыканием $C$, и что $C$ является генератором сильно непрерывной полугруппы $(T_t)_{t\geqslant 0}$. Тогда для всякого $f\in \mathcal{F}$ имеем при $n\to \infty$ равномерно по $t$ из каждого отрезка $[0,t_0]$ при каждом $t_0>0$. Следуя [14], чуть позже будет изложена теорема Чернова в удобной для дальнейшего форме. Содержание теоремы остается то же, но условие теоремы разбивается на блоки: (E)xistence – существование полугруппы, (C)hernoff (T)angency – касание по Чернову и (N)orm bound – оценка сверху на рост нормы. Сперва определим касание по Чернову. Определение 2. Пусть $\mathcal{F}$ – банахово пространство и $\mathcal{L}(\mathcal{F})$ – пространство всех линейных ограниченных операторов в $\mathcal{F}$, наделенное операторной нормой. Пусть даны функция $G\colon [0, +\infty) \to \mathcal{L}(\mathcal{F})$ (или, что то же самое, семейство $(G(t))_{t \geqslant 0}$) и замкнутый линейный оператор $L\colon \operatorname{Dom}(L) \to \mathcal{F}$ с областью определения $\operatorname{Dom}(L)\subset\mathcal{F}$. Будем говорить, что функция $G$ касается по Чернову оператора $L$, если выполняются следующие условия: (CT1) функция $G$ сильно непрерывна ($=$ непрерывна при наделении $\mathcal{L}(\mathcal{F})$ сильной операторной топологией), т. е. отображение $t \mapsto G(t)f\in\mathcal{F}$ непрерывно на $[0, +\infty)$ для каждого $f \in \mathcal{F}$; (CT2) $G(0) = I,$ т. е. $G(0)f=f$ для каждого $f \in \mathcal{F}$; (CT3) существует такое плотное в $\mathcal{F}$ линейное подпространство $\mathcal{D} \subset \mathcal{F}$, что при всех $f \in \mathcal{D}$ существует $\lim_{t \to 0}(G(t)f-f)/t =: G'(0)f$; (CT4) замыкание оператора $(G'(0), \mathcal{D})$ существует и равно $(L,\operatorname{Dom}(L))$. Используя это определение, сформулируем теорему Чернова в следующей форме, впервые появившейся в работах И. Д. Ремизова. Теорема 2 (П. Р. Чернов, 1968). Пусть $\mathcal{F}$ – некоторое банахово пространство и $\mathcal{L}(\mathcal{F})$ – пространство всех линейных ограниченных операторов в $\mathcal{F}$, наделенное операторной нормой. Пусть даны функция $G\colon [0, +\infty) \to \mathcal{L}(\mathcal{F})$ (или, что то же самое, семейство $(G(t))_{t \geqslant 0}$) и замкнутый линейный оператор $L\colon \operatorname{Dom}(L) \to \mathcal{F}$ с областью определения $\operatorname{Dom}(L)\subset\mathcal{F}$. Пусть выполнены следующие условия: (E) полугруппа $(e^{tL})_{t \geqslant 0}$ существует, обладает свойством сильной непрерывности, и ее генератор есть $(L, \operatorname{Dom}(L))$; (CT) функция $G$ касается по Чернову оператора $L$; (N) существует такое число $\omega \in \mathbb{R}$, что $\|G(t)\| \leqslant e^{\omega t}$ при всех $t\geqslant 0$. Тогда для каждого $f \in \mathcal{F}$ справедливо, что при $n \to \infty$, где предел равномерен по $t \in [0, t_0]$ при каждом фиксированном $t_0>0$.Определение 3. Пусть $\mathcal{F}$ и $\mathcal{L}(\mathcal{F})$ такие же, как и выше. Две функции $G_1$ и $G_2$, определенные обе на $[0, +\infty)$ или обе на $\mathbb{R}$, со значениями в $\mathcal{L}(\mathcal{F})$ называются эквивалентными по Чернову (см. [35]), если $G_1(0)=G_2(0)=I$ и при всех $f\in\mathcal{F}$ и всех $T>0$ Замечание 1. Существует несколько близких определений эквивалентности по Чернову [5], [35], [36]. Не углубляясь в их сравнение, авторы следуют [35]. Единственное, что нам нужно от этого определения, состоит в следующем: если $G_1$ и $L$ удовлетворяют всем условиям теоремы Чернова, то по теореме Чернова функция $G_1$ эквивалентна по Чернову функции $G_2(t)=e^{tL}$. Другими словами, предел выражения $(G_1(t/n))^n$ при стремлении $n$ к бесконечности дает сильно непрерывную полугруппу $(e^{tL})_{t\geqslant 0}$ (или группу $(e^{tL})_{t\in\mathbb{R}}$ соответственно). Замечание 2. В случае, когда при каждом $t$ оператор $G(t)$ интегральный, равенство является формулой Фейнмана. В самом деле, $(G(t/2))^2f$ – это двойной интеграл, $(G(t/3))^3f$ – тройной и так далее. Теорема 3 (И. Д. Ремизов, 2014, см. [14]). Пусть $\mathcal{F}$ – комплексное гильбертово пространство, а $\operatorname{Dom}(H)\subset\mathcal{F}$ – его плотное линейное подпространство. Пусть оператор $H\colon \operatorname{Dom}(H) \to \mathcal{F}$ линеен и самосопряжен. Пусть ненулевое число $a\in\mathbb{R}$ (положительное или отрицательное) фиксировано. Пусть функция $S$ касается по Чернову оператора $H$, и $(S(t))^*=S(t)$ для каждого $t \geqslant 0$. Для каждого $t\in\mathbb{R}$ положим $R(t) = \exp[ia(S(|t|)-I)\operatorname{sign}(t)]$. (Такое определение корректно, потому что при каждом $t\in\mathbb{R}$ в показателе экспоненты стоят линейные ограниченные операторы в $\mathcal{F}$.) Тогда функция $R$ эквивалентна по Чернову группе $(e^{iatH})_{t \in \mathbb{R}}$ и для каждого фиксированного $f \in \mathcal{F}$ верны следующие равенства:
$$
\begin{equation}
e^{iatH}f =\Bigl(\lim_{n\to\infty}(e^{ia(S(|t/n|)-I)\operatorname{sign}(t)})^n\Bigr)f, \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
e^{iatH}f =\Bigl(\lim_{n\to\infty}e^{ian(S(|t/n|)-I)\operatorname{sign}(t)}\Bigr)f,
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
$$
\begin{equation}
e^{iatH}f =\biggl(\lim_{n\to\infty}\lim_{k\to\infty}\sum_{m=0}^k\frac{(ian \operatorname{sign}(t))^m}{m!}(S(|t/n|)-I)^m \biggr)f,
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
$$
\begin{equation}
e^{iatH}f =\biggl(\lim_{n\to\infty}\lim_{k\to\infty}\sum_{m=0}^k\sum_{q=0}^m\frac{(-1)^{m-q}(ian \operatorname{sign}(t))^m}{q!\,(m-q)!} (S(|t/n|))^q \biggr)f,
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
$$
\begin{equation}
e^{iatH}f =\biggl(\lim_{n\to\infty}\lim_{k\to\infty}\biggl[\biggl(1-\frac{ian \operatorname{sign}(t)}{k}\biggr)I+\frac{ian\operatorname{sign}(t)}{k} S(|t/n|)\biggr]^k \biggr)f,
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
$$
\begin{equation}
e^{iatH}f =\biggl(\lim_{n\to\infty}\lim_{k\to\infty}\sum_{q=0}^k\frac{k!\,[k-ian \operatorname{sign}(t)]^{k-q}[ian\operatorname{sign}(t)]^q}{q!\,(k-q)!\,k^k} (S(|t/n|))^q \biggr)f,
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
$$
\begin{equation}
e^{iatH}f =\biggl(\lim_{n\to\infty}\lim_{k\to\infty}\sum_{m=0}^k \sum_{q=0}^{k-m}\frac{(-1)^{k-m-q}k!\,(ian\operatorname{sign}(t))^{k-q}}{m!\,q!\,(k-m-q)!\,k^{k-q}} (S(|t/n|))^m \biggr)f.
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
Пределы выше рассматриваются по норме в $\mathcal{F}$. Замечание 3. Если оператор $S(t)$ – интегральный, то равенства (2.2)–(2.6) – квазифейнмановские формулы. § 3. Решение задачи Коши в виде квазифейнмановских формулВ этом параграфе описывается предложенный А. С. Пляшечником модельный пример, который показывает, какие конкретно квазифейнмановские формулы получаются в результате использования теоремы 3. В качестве гильбертова пространства $\mathcal{F}$ берется пространство $L^2(\mathbb{R})=L^2(\mathbb{R}, \mathbb{C}, \mu_L)$ – пространство всех квадратично интегрируемых по Лебегу функций, определенных на $\mathbb{R}$ и принимающих значения в $\mathbb{C}$, факторизованное по отношению равенства функций почти всюду относительно меры Лебега. Также будем рассматривать пространство $\mathcal{L}(L^2(\mathbb{R})) = L_b(L^2(\mathbb{R}),L^2(\mathbb{R}))$ всех линейных ограниченных операторов, действующих из $L^2(\mathbb{R})$ в $L^2(\mathbb{R})$. В качестве оператора $H$ берется оператор с областью определения ${W_2^2(\mathbb{R})}$, задаваемый следующей формулой (оператор Гамильтона с обратным знаком): где $V \in C_b^1(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ – вещественнозначная ограниченная функция с непрерывной ограниченной производной.Функция $S$ строится следующим образом: определим функцию $F\colon [0, +\infty) \to \mathcal{L}(L^2(\mathbb{R}))$ равенством а функцию $B\colon [0, +\infty) \to \mathcal{L}(L^2(\mathbb{R}))$ равенством
$$
\begin{equation*}
(B(t)f)(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{\sqrt{2\pi t}} {\displaystyle\int_{\mathbb{R}} \exp\biggl(\frac{-(x-y)^2}{2t}\biggr)f(y)\,dy}, &\text{если }t > 0, \\ f(x), &\text{если }t = 0. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Наконец, определим функцию $S\colon [0, +\infty) \to \mathcal{L}(L^2(\mathbb{R}))$ через функции $F$ и $B$: Обратим внимание на то, что композиция в этой формуле рассматривается как композиция линейных операторов из $\mathcal{L}(L^2(\mathbb{R}))$. Полученное таким образом семейство операторов в явном виде запишется так:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &(S(t)f)(x) \nonumber \\ &=\begin{cases} \dfrac{1}{\sqrt{2\pi t}}{\displaystyle\int_\mathbb{R}\exp\biggl(- \frac{t(V(x)+V(x+y))}{2} - \frac{y^2}{2t}\biggr)f(x+y)\, dy}, &\text{если }t > 0, \\ f(x), &\text{если }t = 0. \end{cases} \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
Главный результат настоящей статьи заключается в следующем. Теорема 4 (основная). Для функции $S$ и оператора $H$ верна предполагающая часть теоремы 3, т. е. функция $S$ касается по Чернову оператора $H$, и $\forall\, t \geqslant 0$ операторы $S(t)$ и $H$ являются самосопряженными линейными операторами. Теорема доказывается в следующем параграфе. Она позволяет применить теорему 3 к нашему случаю и получить квазифейнмановские формулы для $e^{itaH}$. Следствие 1. Для задачи Коши (1.1) решение представляется единственным в $L^2(\mathbb{R})$ образом в виде § 4. Сведения, на которые опирается доказательство основной теоремыВ настоящем параграфе структурированно изложены утверждения, которые в той или иной мере будут использоваться в § 5 с доказательствами. В этом случае в тексте доказательства будет ссылка на соответствующее предложение из этого параграфа. Предложения в этом параграфе не доказываются, дается лишь ссылка на соответствующий литературный источник. Читателю предлагается переходить к § 5, содержащему доказательство основной теоремы 4, а к настоящему параграфу обращаться по мере необходимости. 4.1. Некоторые свойства пространства $L^2(\mathbb{R})$Кратко опишем, что представляет собой пространство $L^2(\mathbb{R})$ и упомянем некоторые из его свойств. За систематическим изложением этих вопросов можно обратиться, например, к главам 2 и 3 в [34]. Рассмотрим множество всех таких функций $f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{C}$, что интеграл Лебега от функции $x\mapsto|f(x)|^2$ существует (конечен). Объявим две такие функции эквивалентными, если они совпадают почти всюду по мере Лебега на $\mathbb{R}$, и будем называть их версиями друг друга, а также представителями класса эквивалентности, которому они принадлежат. Множество $L^2(\mathbb{R})$ полученных классов эквивалентности является линейным пространством относительно поточечного сложения функций и умножения функции на число. В $L^2(\mathbb{R})$ вводятся скалярное произведение
$$
\begin{equation*}
\langle f,g\rangle = \int_\mathbb{R}f(x)\overline{g(x)}\, dx
\end{equation*}
\notag
$$
и норма
$$
\begin{equation*}
\|f\| = \biggl(\int_\mathbb{R}|f(x)|^2\, dx\biggr)^{1/2},
\end{equation*}
\notag
$$
причем записанные интегралы не зависят от выбора версий функций $f$ и $g$, а аксиомы скалярного произведения и нормы действительно выполняются. Относительно введенного скалярного произведения пространство $L^2(\mathbb{R})$ гильбертово, т. е. оно полно по метрике $\rho(f,g)=\|f-g\|$. Далее для самого класса и его представителя будет использоваться одна и та же буква, и лишь иногда, где это существенно, подчеркиваться различие между представителем и классом. Замечание 4. Из верного для каждого $x\in\mathbb{R}$ неравенства следует, что произведение двух функций из $L^2(\mathbb{R})$ есть функция из $L^1(\mathbb{R})$. Предложение 1 (теорема Фубини, см. [34; с. 160]). Пусть $\mu$ и $\nu$ – $\sigma$-конечные неотрицательные меры и функция $f$ интегрируема относительно $\mu\otimes\nu$. Тогда i) для почти всех $x$ относительно меры $\mu$ функция $y\mapsto f(x,y)$ интегрируема относительно $\nu$; ii) для почти всех $y$ относительно меры $\nu$ функция $x\mapsto f(x,y)$ интегрируема относительно $\mu$; iii) функции интегрируемы на соответствующих пространствах, причемПредложение 2 (теорема Тонелли, см. [34; с. 161]). Пусть $f$ – неотрицательная $\mu\otimes\nu$-измеримая функция на $X \times Y$, где $\mu$ и $\nu$ – $\sigma$-конечные меры на $X$ и $Y$ соответственно. Тогда Предложение 3 (теорема Лебега о мажорируемой сходимости, см. [34; с. 138]). Пусть $\mu$-интегрируемые функции $f_n$ сходятся почти всюду к функции $f$. Если существует такая $\mu$-интегрируемая функция $F$, что Предложение 4. Пусть $(X, \Sigma, \mu)$ – пространство с мерой, $f\,{\in}\,L^\infty(X, \Sigma, \mu)$. Тогда оператор определенный как $(M_fg)(x)=f(x)g(x)$, ограничен и $\|M_f\|=\|f\|_\infty$. 4.2. Унитарное преобразование Фурье в $L^2(\mathbb{R})$Оператор преобразования Фурье задается следующей формулой (см. [37; c. 490]):
$$
\begin{equation*}
(\mathfrak{F}f)(x) := \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{\mathbb{R}}f(p)e^{-ixp}\, dp.
\end{equation*}
\notag
$$
Оператор обратного преобразования Фурье задается следующей формулой (см. [37; c. 498]):
$$
\begin{equation*}
(\mathfrak{F}^{-1}f)(x) := \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{\mathbb{R}}f(p)e^{ixp}\, dp.
\end{equation*}
\notag
$$
Замечание 5. Написанные выше формулы корректны для функций $f$ из $L^1(\mathbb{R})$, однако, определяемые ими операторы $\mathfrak{F}$ и $\mathfrak{F}^{-1}$ продолжаются до операторов, действующих из $L^2(\mathbb{R})$ в $L^2(\mathbb{R})$. Обоснование этого факта опирается на теорему Планшереля и равенство Парсеваля. Доказательство этого и двух следующих ниже утверждений можно найти в [37; гл. 7, § 4] или в [34; п. 9.2]. Предложение 5. Каждый из операторов $\mathfrak{F}$ и $\mathfrak{F}^{-1}$ отображает пространство $L^2(\mathbb{R})$ на пространство $L^2(\mathbb{R})$ биективно. Предложение 6. Каждый из операторов $\mathfrak{F}$ и $\mathfrak{F}^{-1}$ является унитарным в $L^2(\mathbb{R})$, и, следовательно, Предложение 7. Верна теорема о свертке (см. [34; с. 535, 9.10.17$^\circ$]), т. е. $\forall\, f, g \in L^2(\mathbb{R})$ 4.3. Пространства Соболева и слабая производнаяЗамечание 6. Каждой дифференцируемой функции $f$ с интегрируемым квадратом (по Лебегу на $\mathbb{R}$) однозначно соответствует дифференцируемая функция $F\in L^2(\mathbb{R})$. Таким образом, например, пространство $C_0^{\infty}(\mathbb{R})$ можно рассматривать как подпространство в $L^2(\mathbb{R})$. Приведем несколько эквивалентных определений обобщенной (слабой, соболевской) производной, см. [38]–[40]. Пусть $f,g\in L^2(\mathbb{R})$. Говорят, что функция $g$ является обобщенной производной функции $f$, если выполняется одно из следующих (эквивалентных) условий: 1) $g$ является прообразом производной образа $f$ при вложении $L^2(\mathbb{R})$ в $\mathscr{D}'(\mathbb{R})$, т. е. $(J(f))'=J(g)$, если обозначить символом $J$ каноническое вложение
$$
\begin{equation*}
J\colon L^2(\mathbb{R})\to \mathscr{D}'(\mathbb{R}),\qquad J(w)=\biggl[C_0^\infty(\mathbb{R})\ni\varphi \mapsto \int_{\mathbb{R}}w(x)\varphi(x)\, dx\in\mathbb{R} \biggr];
\end{equation*}
\notag
$$
в силу определения дифференцирования в пространстве $\mathscr{D}'(\mathbb{R})$ это условие равносильно равенству из следующего пункта. 2) $\int_{\mathbb{R}} g \varphi\,d\mu = -\int_{\mathbb{R}} f \varphi'\,d\mu$ для любой функции $\varphi\in C_0^\infty(\mathbb{R})$; 3) существует версия $\tilde{f}$ функции $f$ такая, что для всех $x,y \in \mathbb{R}$;4) $(\mathfrak{F}g)(\xi) = i \xi\cdot (\mathfrak{F}{f})(\xi)$; 5) для любой последовательности $\{\varphi_n\in C_0^\infty(\mathbb{R})\}_{n\in\mathbb{N}}$
$$
\begin{equation*}
\lim_{n\to\infty}\|\varphi_n-f\|_{L^2}=0 \implies \lim_{n\to\infty}\|\varphi_n'-g\|_{L^2}=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Предложение 8 (о плотных подпространствах $L^2(\mathbb{R})$). Пусть $L^2(\mathbb{R}, \mathbb{C})$ – пространство квадратично интегрируемых по Лебегу функций на $\mathbb{R}$, – пространство Соболева (производные понимаются в обобщенном смысле), а – пространство бесконечно гладких финитных функций на $\mathbb{R}$. Тогда 1) $C_0^{\infty}(\mathbb{R})$ плотно в $L^2(\mathbb{R})$; 2) ${W_2^2(\mathbb{R})}$ плотно в $L^2(\mathbb{R})$; 3) $C_0^{\infty}(\mathbb{R})$ плотно в ${W_2^2(\mathbb{R})}$ по метрике в ${W_2^2(\mathbb{R})}$. 4.4. Некоторые свойства неограниченных операторовВ параграфе с доказательствами будут использовать приведенные далее факты теории неограниченных операторов. В этом пункте речь пойдет о свойствах оператора $\mathcal{A}$ в произвольном гильбертовом пространстве $X$. Следует обратить внимание на то, что оператор $\mathcal{A}$ в общем случае не является всюду определенным, и его область определения $\operatorname{Dom}\,\mathcal{A}$ является подпространством в $X$. При этом предполагается, что $\operatorname{Dom}\,\mathcal{A}$ плотно в $X$, это требуется для существования оператора $\mathcal{A}^*$, сопряженного к $\mathcal{A}$. Соответствующие определения и доказательства можно найти в [41; § 3]. Предложение 12. Пусть $\mathcal{A}\colon \operatorname{Dom}(\mathcal{A}) \subset X \to X$ – замыкаемый линейный оператор на гильбертовом пространстве $X$, а $\mathcal{B}$ – ограниченный линейный оператор на $X$. Тогда оператор $\mathcal{A}+\mathcal{B}$ замыкаем, $\operatorname{Dom}(\overline{\mathcal{A}+\mathcal{B}}) = \operatorname{Dom}(\overline{\mathcal{A}})$ и $\overline{\mathcal{A}+\mathcal{B}} = \overline{\mathcal{A}}+\mathcal{B}$. 4.5. Вспомогательные равенстваПредложение 13 (явный вид некоторых гауссовских интегралов). Справедливы следующие утверждения. 1) Функция $z\mapsto \exp[-(z+b)^2/t]$ интегрируема на $\mathbb{R}$ и
$$
\begin{equation}
\int_{\mathbb{R}}\exp\biggl(\frac{-(z+b)^2}{t}\biggr)\, dz=\sqrt{\pi t},\qquad b\in\mathbb{R},\quad t>0.
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
2) Функция $z\mapsto |z^n|\exp(-z^2/2)$ интегрируема на $\mathbb{R}$ при всех целых $n\geqslant 0$ и
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \int_{\mathbb{R}}|z^n|\exp\biggl(-\frac{z^2}{2}\biggr)\, dz &= 2^{(n+1)/2}\Gamma\biggl(\frac{n+1}{2}\biggr) \nonumber \\ &= \begin{cases} \biggl(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\biggr)^{n-1}\dfrac{n!}{(n/2)!}\sqrt{\pi}, &\textit{если }n\textit{ - четное}, \\ 2^{(n+1)/2}\biggl(\dfrac{n+1}{2}\biggr)!, &\textit{если }n\textit{ - нечетное}. \end{cases} \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
В частности,
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \int_\mathbb{R}\exp\biggl(-\frac{z^2}{2}\biggr)\, dz = \int_\mathbb{R}z^2\exp\biggl(-\frac{z^2}{2}\biggr)\, dz = \sqrt{2\pi}, \qquad \int_\mathbb{R}z\exp\biggl(-\frac{z^2}{2}\biggr)\, dz = 0, \nonumber \\ \int_\mathbb{R}|z|\exp\biggl(-\frac{z^2}{2}\biggr)\, dz = 2,\qquad \int_\mathbb{R}|z^3|\exp\biggl(-\frac{z^2}{2}\biggr)\, dz = 4, \nonumber \\ \int_\mathbb{R}z^4\exp\biggl(-\frac{z^2}{2}\biggr)\, dz = 3\sqrt{2\pi},\qquad \int_\mathbb{R}|z^5|\exp\biggl(-\frac{z^2}{2}\biggr)\, dz = 16. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
§ 5. Доказательство основной теоремыДля удобства восприятия в этом параграфе будем придерживаться следующих обозначений: греческими буквами ($\varphi$, $\psi$ и так далее) будем обозначать функции из $C_0^{\infty}(\mathbb{R})$, латинскими буквами $f$, $g$, $h$ – функции из $L^2(\mathbb{R})$, a буквами $u$, $v$ и $w$ – функции из ${W_2^2(\mathbb{R})}$. Основная линия доказательств состоит из серии предложений, суммарно составляющих утверждающую часть теоремы 4. Предложение 14. Функция $S\colon [0,+\infty)\to \mathcal{L}(L^2(\mathbb{R}))$, заданная формулой определена корректно, в том смысле, что она действительно отображает полуинтервал $[0, +\infty)$ в пространство $\mathcal{L}(L^2(\mathbb{R}))$ всех линейных ограниченных операторов в $L^2(\mathbb{R})$. Доказательство. При каждом $t\in[0,+\infty)$ оператор $S(t)$ представляется в виде композиции операторов $F(t)$ и $B(t)$, заданных формулами
$$
\begin{equation}
(F(t)f)(x) = \exp\biggl(-\frac{t}{2}V(x)\biggr)f(x),
\end{equation}
\tag{5.1}
$$
$$
\begin{equation}
(B(t)f)(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{\sqrt{2\pi t}}{\displaystyle\int_{\mathbb{R}} \exp\biggl(\frac{-(x-y)^2}{2t}\biggr)f(y)\, dy}, &\text{если }t > 0, \\ f(x), &\text{если }t = 0, \end{cases}
\end{equation}
\tag{5.2}
$$
а именно, для каждого $t\in[0,+\infty)$ справедливо $S(t)=F(t)\circ B(t)\circ F(t)$. Формулы (5.1) и (5.2) естественным образом задают семейства операторов, определенных на некотором подмножестве множества обычных функций из $\mathbb{R}$ в $\mathbb{C}$. Рассмотрим две равные почти всюду на $\mathbb{R}$ функции $f_1$ и $f_2$. Тогда $S(t)f_1$ и $S(t)f_2$ равны почти всюду на $\mathbb{R}$. Это позволяет корректным образом перенести (поднять) действие операторов уже на классы равных почти всюду функций, т. е. на объекты той же природы, что и элементы $L^2(\mathbb{R})$. Таким образом, необходимо показать, что при каждом $t \in [0, +\infty)$ оператор $S(t)$ определен на всем $L^2(\mathbb{R})$, а также является линейным и ограниченным.
Подынтегральное выражение состоит из произведения гауссовской функции, принадлежащей $L^2(\mathbb{R})$, и функции $f$, поэтому для всех $f\in L^2(\mathbb{R})$ это произведение интегрируемо на $\mathbb{R}$, и значение $(S(t)f)(x)$ определено для всех $x\in\mathbb{R}$, $f\in L^2(\mathbb{R})$ и $t\in[0,+\infty)$. Линейность оператора $S(t)$ для каждого $t \in [0, +\infty)$ очевидна в силу линейности интеграла Лебега. Ограниченность оператора $S(t)$ для каждого $t \in [0, +\infty)$ следует из ограниченности операторов $F(t)$ и $B(t)$. Последнее сформулируем и докажем в виде отдельных утверждений (см. леммы 1 и 2). Из ограниченности $S(t)$ также следует, что для любой функции $f\in L^2(\mathbb{R})$ квадрат образа $S(t)f$ этой функции интегрируем на $\mathbb{R}$, а следовательно, функция $S(t)f$ также принадлежит $L^2(\mathbb{R})$. Лемма 1. При любом $t\in[0,+\infty)$ оператор $F(t)$, заданный в $L^2(\mathbb{R})$ формулой (5.1), ограничен. Доказательство. Функция $V$ ограничена по определению, поэтому такова же и функция Следовательно, оператор $F(t)$ – это оператор умножения на ограниченную функцию, и, значит, $F(t)$ ограничен. В самом деле, при каждом $t>0$ поэтому $\|F(t)\|\leqslant \exp\bigl(t\cdot\sup_{x\in\mathbb{R}}|V(x)|/2\bigr)$. Лемма 2. При любом $t\in[0,+\infty)$ оператор $B(t)$, заданный в $L^2(\mathbb{R})$ формулой (5.1), ограничен. Для $t=0$ по определению $B(0) = I$, следовательно, $B(0)f = f \in L^2(\mathbb{R})$ и $\|B(0)\|=1$. Для $t>0$ приведем два технически разных доказательства этого утверждения, что может быть поучительно. Первый способ основан на непосредственных вычислениях и оценках интегралов, а второй – на использовании свойств свертки и преобразования Фурье. Оба варианта доказательства устанавливают, что $\|B(t)\|\leqslant 1$, а в замечании 7 уточняется, что $\|B(t)\| = 1$. Доказательство (первый способ). Проверим для $t>0$, что $B(t)f \in L^2(\mathbb{R})$, т. е. что $K = \int_\mathbb{R}|(B(t)f)(x)|^2\, dx<\infty$.
Справедливы соотношения
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, K &= \int_\mathbb{R}\biggl|\frac{1}{\sqrt{2\pi t}}\int_\mathbb{R}\exp\biggl(\frac{-(x-y)^2}{2t}\biggr)f(y)\, dy\biggr|^2\, dx \\ &\leqslant \frac{1}{2\pi t} \int_\mathbb{R}\biggl(\int_\mathbb{R}\exp\biggl(\frac{-(x-y)^2}{2t}\biggr)|f(y)|\, dy\biggr)^2\, dx. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Заменяем возведение в квадрат произведением двух интегралов по разным переменным:
$$
\begin{equation*}
K \leqslant \frac{1}{2\pi t} \int_\mathbb{R}\biggl(\int_\mathbb{R}\exp\biggl(\frac{-(x-y_1)^2}{2t}\biggr)|f(y_1)| \, dy_1\cdot\int_\mathbb{R}\exp\biggl(\frac{-(x-y_2)^2}{2t}\biggr)|f(y_2)|\, dy_2\biggr)\, dx.
\end{equation*}
\notag
$$
Перенесем константу (левый внутренний интеграл) под знак правого внутреннего интеграла:
$$
\begin{equation*}
K \leqslant \frac{1}{2\pi t} \int_\mathbb{R}\biggl(\int_\mathbb{R}\int_\mathbb{R}\exp\biggl(\frac{-(x-y_1)^2}{2t}\biggr)|f(y_1)| \, dy_1\cdot\exp\biggl(\frac{-(x-y_2)^2}{2t}\biggr)|f(y_2)|\, dy_2\biggr)\, dx.
\end{equation*}
\notag
$$
Внесем функцию $\exp[-(x-y_2)^2/(2t)]|f(y_2)|$ в интеграле по $dy_2$ под знак интеграла по $dy_1$:
$$
\begin{equation*}
K \leqslant \frac{1}{2\pi t} \int_\mathbb{R}\biggl(\int_\mathbb{R}\int_\mathbb{R}\exp\biggl(\frac{-(x-y_1)^2}{2t}\biggr)|f(y_1)| \exp\biggl(\frac{-(x-y_2)^2}{2t}\biggr)|f(y_2)|\, dy_1\, dy_2\biggr)\, dx.
\end{equation*}
\notag
$$
Объединяем эти два интеграла в один двойной по теореме Тонелли (предложение 2):
$$
\begin{equation*}
K \leqslant \frac{1}{2\pi t} \int_\mathbb{R}\biggl(\int_{\mathbb{R}^2}\exp\biggl(\frac{-(x-y_1)^2}{2t}\biggr)|f(y_1)| \exp\biggl(\frac{-(x-y_2)^2}{2t}\biggr)|f(y_2)|\, dy_1\, dy_2\biggr)\, dx.
\end{equation*}
\notag
$$
Меняем порядок интегрирования по теореме Тонелли (предложение 2) и по теореме Фубини (предложение 1):
$$
\begin{equation*}
K \leqslant \frac{1}{2\pi t} \int_{\mathbb{R}^2}\biggl(\int_{\mathbb{R}}\exp\biggl(-\frac{(x-y_1)^2+(x-y_2)^2}{2t}\biggr) |f(y_1)||f(y_2)|\, dx\biggr)\, dy_1\, dy_2.
\end{equation*}
\notag
$$
Используя тождество $(x-a)^2+(x-b)^2=(\sqrt{2}\, x-\sqrt{2}\, (a+b)/2)^2+(a-b)^2/2$, преобразуем показатель экспоненты:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, K &\leqslant \frac{1}{2\pi t} \int_{\mathbb{R}^2}\biggl(\int_{\mathbb{R}}\exp\biggl(-\frac{(\sqrt{2}\, x-\sqrt{2}\, (y_1+y_2)/2)^2+(y_1-y_2)^2/2}{2t}\biggr) \\ &\qquad\qquad\qquad\times |f(y_1)||f(y_2)|\, dx\biggr)\, dy_1\, dy_2. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Сомножители, не зависящие от $x$, выносим за знак внутреннего интеграла:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, K &\leqslant \frac{1}{2\pi t} \int_{\mathbb{R}^2}\exp\biggl(-\frac{(y_1-y_2)^2}{4t}\biggr)|f(y_1)||f(y_2)| \\ &\qquad\qquad\qquad\times \biggl(\int_{\mathbb{R}}\exp\biggl(-\frac{(x-(y_1+y_2)/2)^2}{t}\biggr)\, dx\biggr)\, dy_1\, dy_2. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Вычисляем внутренний интеграл, пользуясь формулой (4.2):
$$
\begin{equation*}
K \leqslant \frac{\sqrt{\pi t}}{2\pi t} \int_{\mathbb{R}^2}\exp\biggl(-\frac{(y_1-y_2)^2}{4t}\biggr)|f(y_1)||f(y_2)|\, dy_1\, dy_2.
\end{equation*}
\notag
$$
Оценивая интеграл, пользуясь формулой (4.1) и соотношением $|f(y_1)||f(y_2)|\leqslant(1/2)(|f(y_1)|^2+|f(y_2)|^2)$, находим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, K &\leqslant \frac{\sqrt{\pi t}}{4\pi t} \biggl(\int_{\mathbb{R}^2}\exp\biggl(-\frac{(y_1-y_2)^2}{4t}\biggr)|f(y_1)|^2\, dy_1\, dy_2 \\ &\qquad\qquad+\int_{\mathbb{R}^2}\exp\biggl(-\frac{(y_1-y_2)^2}{4t}\biggr)|f(y_2)|^2\, dy_1\, dy_2\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Переходим от двойных интегралов к повторным:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, K &\leqslant \frac{\sqrt{\pi t}}{4\pi t} \biggl(\int_{\mathbb{R}}\biggl(\int_{\mathbb{R}}\exp\biggl(-\frac{(y_1-y_2)^2}{4t}\biggr)|f(y_1)|^2 \, dy_2\biggr)\, dy_1 \\ &\qquad\qquad+\int_{\mathbb{R}}\biggl(\int_{\mathbb{R}}\exp\biggl(-\frac{(y_1-y_2)^2}{4t}\biggr) |f(y_2)|^2\, dy_1\biggr)\, dy_2\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Вычисляем внутренние интегралы по формуле (4.2) следующим образом:
$$
\begin{equation*}
K \leqslant \frac{\sqrt{\pi t}}{4\pi t}\biggl(2\sqrt{\pi t}\int_{\mathbb{R}}|f(y_1)|^2\, dy_1+2\sqrt{\pi t}\int_{\mathbb{R}}|f(y_2)|^2\, dy_2\biggr) = \int_{\mathbb{R}}|f(y)|^2\, dy < \infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, получаем, что
$$
\begin{equation*}
\int_\mathbb{R}|(B(t)f)(x)|^2\, dx \leqslant \int_{\mathbb{R}}|f(x)|^2\, dx < \infty,
\end{equation*}
\notag
$$
т. e. для каждых $t\geqslant 0$ и $f\in L^2(\mathbb{R})$ функция $B(t)f$ действительно принадлежит $L^2(\mathbb{R})$. Более того, из последнего неравенства следует, что $\|B(t)f\|\leqslant\|f\|$, значит, при всех $t\geqslant 0$ оператор $B(t)$ ограничен и $\|B(t)\| \leqslant 1$.
Лемма доказана. Доказательство (второй способ). Так как оператор Фурье $\mathfrak{F}$ унитарен в $L^2(\mathbb{R})$ (предложение 6), он сохраняет норму функции и, следовательно, $\|B(t)\|=\|\mathfrak{F} B(t)\|$. Заметим, что $B(t)f$ представляет собой домноженную на $1/\sqrt{2\pi t}$ свертку (см. [37; с. 501]) функции $f$ с функцией $h_t\colon x \mapsto \exp(-x^2/2t)$, т. е. Тогда по теореме о свертке (предложение 7) справедливо равенство
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{F}B(t)f = \frac{1}{\sqrt{t}}(\mathfrak{F}f)(\mathfrak{F}h_t).
\end{equation*}
\notag
$$
Нетрудно проверить, что преобразованием Фурье функции $x\mapsto \exp(-ax^2)$ является функция $x\mapsto \exp(-x^2/4a)/\sqrt{2a}$. Поэтому $(\mathfrak{F}h_t)(x) = \sqrt{t} \exp(-tx^2/2)$ и
$$
\begin{equation}
(\mathfrak{F}B(t)f)(x) = \exp\biggl(-\frac{tx^2}{2}\biggr)\cdot(\mathfrak{F}f)(x).
\end{equation}
\tag{5.3}
$$
Согласно равенству (5.3) оператор $\mathfrak{F} B(t)$ – это композиция преобразования Фурье и оператора $M_{g_t}$ умножения на функцию $g_t\colon x\mapsto \exp(-tx^2/2)$: Норма в $L^2(\mathbb{R})$ оператора $M_{g_t}$ равна $1$, так как для любого $t>0$. Доказательство завершает оценка
Лемма доказана. Замечание 7. Можно показать, что $\|B(t)\| = 1$. В самом деле, рассмотрим множество Доказательство. Так как по доказанному выше оператор $S(t)$ ограничен, достаточно доказать его симметричность. Оператор $F(t)$ симметричен в силу того, что является оператором умножения на вещественнозначную функцию:
Докажем симметричность оператора $B(t)$ двумя способами. Первый способ доказательства симметричности $B(t)$. Пусть $f, g \in L^2(\mathbb{R})$. Проверим, что $\langle B(t)f, g \rangle = \langle f, B(t)g \rangle$:
$$
\begin{equation*}
\langle B(t)f, g \rangle = \int_\mathbb{R}\biggl( \frac{1}{\sqrt{2\pi t}} \int_{\mathbb{R}} \exp\biggl(\frac{-(x-y)^2}{2t}\biggr)f(y)\, dy \biggr)\overline{g(x)}\, dx.
\end{equation*}
\notag
$$
Вынесем константу за знак внешнего интеграла, а сомножитель $\overline{g(x)}$ внесем под знак внутреннего интеграла:
$$
\begin{equation*}
\langle B(t)f, g \rangle = \frac{1}{\sqrt{2\pi t}} \int_\mathbb{R} \int_{\mathbb{R}} \exp\biggl(\frac{-(x-y)^2}{2t}\biggr)f(y)\overline{g(x)}\, dy \,dx.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как подынтегральная функция измерима, а ее модуль интегрируем на $\mathbb{R}^2$, можем воспользоваться теоремами Тонелли и Фубини (см. предложения 2 и 1) и поменять порядок интегрирования:
$$
\begin{equation*}
\langle B(t)f, g \rangle = \frac{1}{\sqrt{2\pi t}} \int_\mathbb{R} \int_{\mathbb{R}} \exp\biggl(\frac{-(x-y)^2}{2t}\biggr)f(y)\overline{g(x)}\, dx\,dy.
\end{equation*}
\notag
$$
Вещественнозначную функцию и вещественную константу занесем под сопряжение, а функцию, не зависящую от $x$, вынесем за знак внутреннего интеграла:
$$
\begin{equation*}
\langle B(t)f, g \rangle = \int_\mathbb{R} f(y)\int_{\mathbb{R}} \overline{\frac{1}{\sqrt{2\pi t}}\exp\biggl(\frac{-(x-y)^2}{2t}\biggr)g(x)}\,dx\,dy.
\end{equation*}
\notag
$$
Вынесем сопряжение из-под знака интеграла
$$
\begin{equation*}
\langle B(t)f, g \rangle = \int_\mathbb{R} f(y)\biggl(\overline{\int_{\mathbb{R}} \frac{1}{\sqrt{2\pi t}}\exp\biggl(\frac{-(x-y)^2}{2t}\biggr)g(x)\, dx}\biggr)\, dy = \langle f, B(t)g \rangle.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, для любого $t \geqslant 0$ оператор $B(t)$ является самосопряженным.
Второй способ доказательства симметричности $B(t)$. Воспользуемся унитарным преобразованием Фурье $\mathfrak{F}$ в $L^2(\mathbb{R})$ и тем свойством, что $\forall\, f,g \in L^2(\mathbb{R})$ справедливо равенство $\langle f, g \rangle = \langle \mathfrak{F}f, \mathfrak{F}g \rangle$ (см. предложение 6). Тогда получим, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \langle B(t)f, g \rangle &= \langle \mathfrak{F}B(t)f, \mathfrak{F}g \rangle \stackrel{(5.3)}{=} \biggl\langle \exp\biggl(-\frac{tx^2}{2}\biggr)(\mathfrak{F}f), \mathfrak{F}g \biggr\rangle \\ &= \biggl\langle \mathfrak{F}f, \exp\biggl(-\frac{tx^2}{2}\biggr)(\mathfrak{F}g) \biggr\rangle \stackrel{(5.3)}{=} \langle \mathfrak{F}f, \mathfrak{F}B(t)g \rangle = \langle f, B(t)g \rangle, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
следовательно, оператор $B(t)$ симметричен.
Из доказанной выше симметричности операторов $B(t)$ и $F(t)$ следует, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \langle S(t) f,g\rangle&=\langle F(t)\circ B(t)\circ F(t) f,g\rangle=\langle B(t)\circ F(t)f,F(t)g\rangle \\ &=\langle F(t) f,B(t)\circ F(t)g\rangle=\langle f,F(t) \circ B(t)\circ F(t)g\rangle=\langle f,S(t) g\rangle, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
а значит, оператор $S(t)$ симметричен. Симметричность и ограниченность влекут самосопряженность оператора $S(t)$.
Лемма доказана. Доказательство. Заменим возведение в квадрат на произведение двух интегралов:
$$
\begin{equation*}
K = \int_0^{+\infty}\int_x^{+\infty}\int_x^{+\infty}z^n e^{-z^2/2}u^n e^{-u^2/2}\,du\,dz\,dx.
\end{equation*}
\notag
$$
Избавимся от переменного нижнего предела, домножив подынтегральное выражение на характеристические функции:
$$
\begin{equation*}
K = \int_0^{+\infty}\int_0^{+\infty}\int_0^{+\infty}\mathcal{X}_{[x,+\infty)}(z) \mathcal{X}_{[x,+\infty)}(u) z^n e^{-z^2/2}u^n e^{-u^2/2}\,du\,dz\,dx.
\end{equation*}
\notag
$$
Заменим произведение характеристических функций одной характеристической функцией:
$$
\begin{equation*}
K = \int_0^{+\infty}\int_0^{+\infty}\int_0^{+\infty}\mathcal{X}_{[x,+\infty)}(\min\{u,z\}) z^n e^{-z^2/2}u^n e^{-u^2/2}\,du\,dz\,dx.
\end{equation*}
\notag
$$
Сменим порядок интегрирования и вынесем за знак внутреннего интеграла величины, не зависящие от переменной интегрирования:
$$
\begin{equation*}
K = \int_0^{+\infty}\int_0^{+\infty} \biggl(\int_0^{+\infty}\mathcal{X}_{[x,+\infty)}(\min\{u,z\}) \,dx\biggr) z^n e^{-z^2/2}u^n e^{-u^2/2}\,du\,dz.
\end{equation*}
\notag
$$
Вычислим интеграл, находящийся внутри скобок:
$$
\begin{equation*}
K = \int_0^{+\infty}\int_0^{+\infty}\min\{u,z\} z^n e^{-z^2/2}u^n e^{-u^2/2}\,du\,dz.
\end{equation*}
\notag
$$
Оценим интеграл сверху, воспользовавшись тем, что $\min\{u,z\}\leqslant z$:
$$
\begin{equation*}
K \leqslant \int_0^{+\infty}\int_0^{+\infty}z^{n+1} e^{-z^2/2}u^n e^{-u^2/2}\,du\,dz.
\end{equation*}
\notag
$$
Представим полученный повторный интеграл в виде произведения двух однократных интегралов, последовательно вынося за знаки интегралов величины, не зависящие от переменных интегрирования:
$$
\begin{equation*}
K \leqslant \int_0^{+\infty}z^{n+1} e^{-z^2/2}\, dz \int_0^{+\infty}u^n e^{-u^2/2}\, du.
\end{equation*}
\notag
$$
В силу предложения 13 интегралы в этом произведении сходятся, поэтому $K\,{<}\,\infty$. Лемма доказана. Предложение 16. Семейство операторов $(S(t))_{t \geqslant 0}$ удовлетворяет первому условию касания по Чернову оператора $H$, т. е. для любого фиксированного $f \in L^2(\mathbb{R})$ функция $t \mapsto S(t)f$ непрерывна на полуинтервале $[0, +\infty)$. Доказательство. Для проверки непрерывности функции $t \mapsto \mathcal{A}(t)f$ при любом фиксированном $f \in L^2(\mathbb{R})$ (где $\mathcal{A}$ в нашем случае – это $S,\ B$ или $F$), будем проверять эквивалентную ей секвенциальную непрерывность, т. е. что $\forall\, t_0 \in [0, +\infty)$ при любом фиксированном $f \in L^2(\mathbb{R})$. Условие в правой части импликации можно записать как $\lim_{n\to\infty}\|\mathcal{A}(t_n)f -\mathcal{A}(t_0)f\|=0$, что эквивалентно $\lim_{n\to\infty}\|\mathcal{A}(t_n)f -\mathcal{A}(t_0)f\|^2=0$. При этом последний вариант рассматривать удобнее, так как при раскрытии нормы не приходится извлекать квадратный корень из больших выражений.
Доказательство предложения проведем в пять шагов, каждый из которых заключается в проверке непрерывности: 1) функции $t \mapsto F(t)f$ на полуинтервале $[0, +\infty)$ при фиксированном $f \in L^2(\mathbb{R})$; 2) функции $t \mapsto B(t)f$ на интервале $(0, +\infty)$ при фиксированном $f \in L^2(\mathbb{R})$; 3) функции $t \mapsto B(t)\varphi$ в нуле при фиксированном $\varphi \in C_0^{\infty}(\mathbb{R})$; 4) функции $t \mapsto B(t)f$ в нуле при фиксированном $f \in L^2(\mathbb{R})$; 5) функции $t \mapsto S(t)f$ на полуинтервале $[0, +\infty)$ при фиксированном $f \in L^2(\mathbb{R})$, на основе уже доказанной непрерывности функций $t \mapsto F(t)f$ и $t \mapsto B(t)f$ на $[0, +\infty)$. Шаг 1. Зафиксируем $f\in L^2(\mathbb{R})$, $t_0\in [0, +\infty)$ и $\lim_{n\to\infty}t_n = t_0$. Хотим показать, что $\lim_{n\to\infty}\|F(t_n)f-F(t_0)f\|^2= 0$. Рассмотрим
$$
\begin{equation}
\lim_{n\to\infty}\|F(t_n)f-F(t_0)f\|^2 = \lim_{n\to\infty}\int_{\mathbb{R}}|(F(t_n)f)(x) - (F(t_0)f)(x)|^2\, dx.
\end{equation}
\tag{5.5}
$$
Для вычисления этого предела воспользуемся теоремой Лебега о мажорируемой сходимости (предложение 3). Для этого достаточно проверить два условия:
(i) функции $\{F(t_n)f\}_{n=1}^\infty$ сходятся почти всюду на $\mathbb{R}$ к функции $F(t_0)f$; (ii) функции $\{|F(t_n)f-F(t_0)f|^2\}_{n=1}^\infty$ мажорируются одной интегрируемой функцией. Из выполнения этих условий следует, что подынтегральные функции в выражении (5.5) сходятся почти всюду к нулю и мажорируются интегрируемой функцией, что по теореме Лебега о мажорируемой сходимости влечет равенство нулю самого предела. Проверка условия (i). Для любого фиксированного $x\,{\in}\,\mathbb{R}$ и при любом выборе версии функции $f\,{\in}\,L^2(\mathbb{R})$ в силу непрерывности функции $t\,{\mapsto}\exp[-(t/2)V(x)]$ верно
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \lim_{n\to\infty}(F(t_n)f)(x) &= \lim_{n\to\infty}\exp\biggl(-\frac{t_n}{2}V(x)\biggr)f(x) \\ &=\exp\biggl(-\frac{t_0}{2}V(x)\biggr)f(x)=(F(t_0)f)(x). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Это означает, что существует предел п.в. последовательности $\{F(t_n)f\}_{n=1}^\infty$ функций из $L^2(\mathbb{R})$, который равен $F(t_0)f\in L^2(\mathbb{R})$.
Проверка условия (ii). Функция $V$ по условию ограничена, т. е. существует такая константа $A_V\in\mathbb{R}$, что $\forall\, x\in\mathbb{R}\colon |V(x)|<A_V$. Это позволяет оценить сверху функции $\{|F(t_n)f-F(t_0)f|^2\}_{n=1}^\infty$ одной интегрируемой функцией следующим образом: для любого $x\in\mathbb{R}$ при любом выборе версии функции $f$ верно
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &|(F(t_n)f)(x) - (F(t_0)f)(x)|^2=\biggl|\exp\biggl(-\frac{t_n}{2}V(x)\biggr) - \exp\biggl(-\frac{t_0}{2}V(x)\biggr)\biggr|^2|f(x)|^2 \\ &\ \leqslant \biggl(\exp\biggl(-\frac{t_n}{2}V(x)\biggr)^2 - 2\exp\biggl(-\frac{t_n}{2}V(x)-\frac{t_0}{2}V(x)\biggr) + \exp\biggl(-\frac{t_0}{2}V(x)\biggr)^2\biggr)|f(x)|^2 \\ &\ \leqslant \bigl(\exp(-t_nV(x)) + \exp(-t_0V(x))\bigr)|f(x)|^2 \\ &\ \leqslant \Bigl(\exp\Bigl(\sup_{k\in\mathbb{N}}t_kA_V\Bigr) + \exp(t_0A_V)\Bigr)|f(x)|^2 = \alpha|f(x)|^2, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\alpha\in\mathbb{R}$. Следовательно, функции $\{|F(t_n)f-F(t_0)f|^2\}_{n=1}^\infty$ мажорируются функцией $\alpha|f|^2$. Последняя интегрируема в силу того, что квадрат функции из $L^2(\mathbb{R})$ есть интегрируемая функция (замечание 4).
Получили, что значит, отображение $t \mapsto F(t)f$ непрерывно на промежутке $[0, +\infty)$ при любой фиксированной $f\in L^2(\mathbb{R})$.Шаг 2. Теперь покажем непрерывность отображения $t \mapsto B(t)f$ на интервале $(0, +\infty)$. Пусть $t_0 > 0$ и $\lim_{n\to\infty} t_n = t_0$. Покажем, что для любой функции $f\in L^2(\mathbb{R})$ последовательность функций $\{B(t_n)f\}_{n=0}^\infty$ стремится в $L^2(\mathbb{R})$ к функции $B(t_0)f$, т. е. что $\lim_{n\to\infty}\|B(t_0)f-B(t_n)f\| = 0$. Как и раньше, будем доказывать эквивалентное утверждение: Рассмотрим
$$
\begin{equation}
\lim_{n\to\infty}\|B(t_n)f-B(t_0)f\|^2 = \lim_{n\to\infty}\int_{\mathbb{R}}|(B(t_n)f)(x) - (B(t_0)f)(x)|^2\, dx.
\end{equation}
\tag{5.6}
$$
Для вычисления этого предела воспользуемся теоремой Лебега о мажорируемой сходимости (предложение 3). Для этого достаточно проверить следующие два условия:
(iii) функции $\{|B(t_n)f-B(t_0)f|^2\}_{n=1}^\infty$ мажорируются одной интегрируемой функцией; (iv) функции $\{B(t_n)f\}_{n=1}^\infty$ сходятся почти всюду на $\mathbb{R}$ к функции $B(t_0)f$. Из выполнения этих условий следует, что подынтегральные функции в выражении (5.6) сходятся почти всюду к нулю и мажорируются интегрируемой функцией, что по теореме Лебега о мажорируемой сходимости влечет равенство нулю самого предела. Проверка условия (iii). Начиная с какого-то номера все $t_n$ попадут в промежуток $(t_0/2, 2t_0)$, поэтому без ограничения общности можно считать, что $t_n\in(t_0/2, 2t_0)$ для всех $n\in\mathbb{N}$. Это позволяет сделать следующую оценку на модуль функции $B(t_n)f\in L^2(\mathbb{R})$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &|(B(t_n)f)(x)| = \biggl|\frac{1}{\sqrt{2\pi t_n}} \int_{\mathbb{R}} \exp\biggl(\frac{-(x-y)^2}{2t_n}\biggr)f(y)\, dy\biggr| \\ &\qquad\leqslant \frac{1}{\sqrt{2\pi t_n}} \int_{\mathbb{R}} \exp\biggl(\frac{-(x-y)^2}{2t_n}\biggr)|f(y)|\, dy \leqslant \frac{1}{\sqrt{\pi t_0}} \int_{\mathbb{R}} \exp\biggl(\frac{-(x-y)^2}{4t_0}\biggr)|f(y)|\, dy \\ &\qquad= \frac{2}{\sqrt{2\pi (2t_0)}} \int_{\mathbb{R}} \exp\biggl(\frac{-(x-y)^2}{2(2t_0)}\biggr)|f(y)|\, dy = 2(B(2t_0)|f|)(x). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, для каждой функции $f\in L^2(\mathbb{R})$ и любого $n\in\mathbb{N}$ верно неравенство $|B(t_n)f|\leqslant 2B(2t_0)|f|$. Поэтому функции $\{|B(t_n)f-B(t_0)f|^2\}_{n=1}^\infty$ мажорируются одной интегрируемой функцией:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |B(t_n)f - B(t_0)f|^2 &\leqslant \bigl(|B(t_n)f|+|B(t_0)f|\bigr)^2 \\ &\leqslant \bigl(\,\underbrace{2B(2t_0)|f| + |B(t_0)f|}_{\in L^2(\mathbb{R})}\,\bigr)^2 \in L^1(\mathbb{R}). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Проверка условия (iv). Отметим, что функции
$$
\begin{equation*}
\biggl\{y\mapsto\exp\biggl(\frac{-(x-y)^2}{2t_n}\biggr)f(y)\biggr\}_{n\in\mathbb{N}}
\end{equation*}
\notag
$$
мажорируются функцией
$$
\begin{equation*}
y\mapsto\exp\biggl(\frac{-(x-y)^2}{4t_{0}}\biggr)|f(y)|.
\end{equation*}
\notag
$$
Последняя интегрируема, так как представляет собой произведение двух функций из $L^2(\mathbb{R})$. Поэтому по теореме Лебега о мажорируемой сходимости имеем
$$
\begin{equation*}
\lim_{n\to+\infty}\int_{\mathbb{R}} \exp\biggl(\frac{-(x-y)^2}{2t_n}\biggr)|f(y)|\, dy=\int_{\mathbb{R}} \exp\biggl(\frac{-(x-y)^2}{2t_0}\biggr)|f(y)|\, dy,
\end{equation*}
\notag
$$
откуда следует, что при каждом $x\in\mathbb{R}$ верно
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \lim_{n\to+\infty}(B(t_n)f)(x) &= \lim_{n\to+\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi t_n}} \int_{\mathbb{R}} \exp\biggl(\frac{-(x-y)^2}{2t_n}\biggr)|f(y)|\, dy \\ &= \frac{1}{\sqrt{2\pi t_0}}\lim_{n\to+\infty}\int_{\mathbb{R}} \exp\biggl(\frac{-(x-y)^2}{2t_n}\biggr)|f(y)|\, dy \\ &= \frac{1}{\sqrt{2\pi t_0}}\int_{\mathbb{R}} \exp\biggl(\frac{-(x-y)^2}{2t_0}\biggr)|f(y)|\, dy = (B(t_0)f)(x). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Оба условия (iii) и (iv) выполняются, следовательно, что и требовалось доказать.Шаг 3. Покажем теперь, что для любой фиксированной функции $\varphi \in C_0^\infty(\mathbb{R})$ отображение $t \mapsto B(t)\varphi$ непрерывно в точке $0$. Итак, пусть $\varphi \in C_0^\infty(\mathbb{R})$. Хотим показать, что т. е. что
$$
\begin{equation*}
\lim_{t\to 0+}\int_{\mathbb{R}}\biggl| \varphi(x)- \frac{1}{\sqrt{2\pi t}} \int_{\mathbb{R}}\varphi(y) \exp\biggl(\frac{-(x-y)^2}{2t}\biggr)\, dy \biggr|^2\, dx = 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Сделаем замену $y = x + \sqrt{t}\, z$:
$$
\begin{equation}
\lim_{t\to 0+}\int_{\mathbb{R}}\biggl| \varphi(x)- \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{\mathbb{R}}\varphi(x+\sqrt{t}\,z)\exp\biggl(-\frac{z^2}{2}\biggr)\, dz \biggr|^2\, dx = 0.
\end{equation}
\tag{5.7}
$$
Рассмотрим подробнее внутренний интеграл, обозначив его как $Q(t, x)$:
$$
\begin{equation*}
Q(t, x) = \int_{\mathbb{R}}\varphi(x+\sqrt{t}\,z)\exp\biggl(-\frac{z^2}{2}\biggr)\, dz.
\end{equation*}
\notag
$$
Разложим функцию $\varphi$ по формуле Тейлора с центром в точке $x$ с остаточным членом в форме Лагранжа:
$$
\begin{equation*}
\varphi(x+\sqrt{t}\, z) = \varphi(x) + \sqrt{t}\, z\varphi'(x)+\frac{tz^2}{2}\varphi''(\theta), \qquad \theta=\theta_{xtz} \in (x, x+\sqrt{t}\, z).
\end{equation*}
\notag
$$
Перепишем $Q(t, x)$ с учетом этого разложения, в виде
$$
\begin{equation*}
Q(t, x) = \int_{\mathbb{R}}\biggl( \varphi(x) + \sqrt{t}\, z\varphi'(x)+\frac{tz^2}{2}\varphi''(\theta) \biggr) \exp\biggl(-\frac{z^2}{2}\biggr)\, dz.
\end{equation*}
\notag
$$
Воспользуемся линейностью интеграла и вынесем за знак интеграла сомножители, не зависящие от $z$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, Q(t, x) &= \varphi(x)\int_{\mathbb{R}}\exp\biggl(-\frac{z^2}{2}\biggr)\, dz \\ &\qquad+ \underbrace{\sqrt{t}\,\varphi'(x)\int_{\mathbb{R}}z\exp\biggl(-\frac{z^2}{2}\biggr)\, dz}_{0}+ \frac{t}{2}\int_{\mathbb{R}}z^2\varphi''(\theta) \exp\biggl(-\frac{z^2}{2}\biggr)\, dz. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Первый интеграл вычислим, пользуясь формулой (4.4). Второй интеграл равен нулю, так как подынтегральная функция нечетна, а интеграл берется по всей прямой. Получаем:
$$
\begin{equation*}
Q(t, x) = \sqrt{2\pi}\,\varphi(x) + \frac{t}{2}\int_{\mathbb{R}}z^2\varphi''(\theta) \exp\biggl(-\frac{z^2}{2}\biggr)\, dz.
\end{equation*}
\notag
$$
Подставим в (5.7) полученное выражение для $Q(t,x)$:
$$
\begin{equation*}
\lim_{t\to 0+}\|\varphi-B(t)\varphi\|^2 = \lim_{t\to 0+} \int_{\mathbb{R}}\biggl|\frac{t}{2\sqrt{2\pi}}\int_{\mathbb{R}}z^2\varphi''(\theta) \exp\biggl(-\frac{z^2}{2}\biggr)\, dz \biggr|^2\, dx.
\end{equation*}
\notag
$$
Вынесем за знак интеграла независимые величины:
$$
\begin{equation*}
\lim_{t\to 0+}\|\varphi-B(t)\varphi\|^2 = \lim_{t\to 0+} \frac{t^2}{8\pi}\int_{\mathbb{R}}\biggl|\int_{\mathbb{R}}z^2 \varphi''(\theta) \exp\biggl(-\frac{z^2}{2}\biggr)\, dz \biggr|^2\, dx.
\end{equation*}
\notag
$$
Оценим этот предел сверху, воспользовавшись тем, что модуль интеграла не превосходит интеграла модуля, а также тем фактом, что $1/(8\pi)<1$:
$$
\begin{equation}
\lim_{t\to 0+}\|\varphi-B(t)\varphi\|^2 \leqslant \lim_{t\to 0+} t^2\underbrace{\int_{\mathbb{R}}\biggl(\int_{\mathbb{R}}|\varphi''(\theta)| z^2 \exp\biggl(-\frac{z^2}{2}\biggr)\, dz \biggr)^2\, dx}_{J(t)}.
\end{equation}
\tag{5.8}
$$
Обозначим внешний интеграл через $J(t)$:
$$
\begin{equation}
J(t) := \int_{\mathbb{R}}\biggl(\int_{\mathbb{R}}|\varphi''(\theta)| z^2 \exp\biggl(-\frac{z^2}{2}\biggr)\, dz \biggr)^2\, dx.
\end{equation}
\tag{5.9}
$$
Покажем, что присутствующие в этом выражении интегралы сходятся, и что предел $\lim_{t\to 0+}J(t)$ существует и конечен. Для это сделаем следующие наблюдения. i) Так как функция $\varphi \in C_0^{\infty}(\mathbb{R})$ финитна, то существует такой интервал $(a,b) \subset \mathbb{R}$, вне которого функция $\varphi$ всюду равна нулю. Функция $\varphi$ имеет на отрезке $[a,b]$ непрерывные производные, поэтому по теореме Вейерштрасса $\varphi$ ограничена со своими производными: существует такое $A_{\varphi}\in\mathbb{R}$, что $\forall\, x \in \mathbb{R}$: $\max_{k=0,1,2}|\varphi^{(k)}(x)|<\varphi_{\max}$. ii) Нужно оценить внутренний интеграл сверху функцией от $x$. Заметим, что мало показать, что функция ограничена абсолютно, так как после этого она интегрируется по всей прямой $\mathbb{R}$, а интеграл от постоянной функции расходится. Заметим также, что так как $\theta \in (x, x+\sqrt{t}\, z)$, если $x<a$, то $x+\sqrt{t}\,z$ должен быть больше $a$, т. е. $z>(a-x)/\sqrt{t}$. В противном случае $(x, x+\sqrt{t}\,z)\cap (a,b)=\varnothing$ и $\theta$ принадлежит интервалу, всюду на котором $\varphi=0$. Таким образом, когда $x<a$, внутренний интеграл можно считать не по всей прямой $\mathbb{R}$, а по интервалу $((a-x)/\sqrt{t},+\infty)$. Аналогичным образом получаем, что когда $x>b$, внутренний интеграл можно считать по интервалу $(-\infty, (b-x)/\sqrt{t})$. С учетом этих замечаний, разложим интеграл $J(t)$ по аддитивности:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, J(t) &= \int_{-\infty}^a \biggl(\int_{(a-x)/\sqrt{t}}^{+\infty} |\varphi''(\theta)| z^2 \exp\biggl(-\frac{z^2}{2}\biggr)\, dz\biggr)^2\, dx \\ &\qquad+ \int_{a}^b \biggl(\int_{\mathbb{R}} |\varphi''(\theta)| z^2 \exp\biggl(-\frac{z^2}{2}\biggr)\, dz\biggr)^2\, dx \\ &\qquad + \int_{b}^{+\infty} \biggl(\int_{-\infty}^{(b-x)/\sqrt{t}} |\varphi''(\theta)| z^2 \exp\biggl(-\frac{z^2}{2}\biggr) \biggr)^2\, dx. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Слагаемые в этой сумме обозначим через $J_1(t)$, $J_2(t)$ и $J_3(t)$ соответственно, таким образом $J(t) = J_1(t)+J_2(t)+J_3(t)$. Сначала рассмотрим $J_2(t)$, как более простой случай:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, J_2(t) &= \int_{a}^{b} \biggl(\int_{\mathbb{R}} |\varphi''(\theta)| z^2 \exp\biggl(-\frac{z^2}{2}\biggr)\, dz\biggr)^2\, dx \\ &\leqslant A_{\varphi}^2 \int_{a}^{b} \biggl(\int_{\mathbb{R}} z^2 \exp\biggl(-\frac{z^2}{2}\biggr)\, dz\biggr)^2\, dx \stackrel{(4.4)}{=} A_{\varphi}^2(b-a)2\pi. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, предел $\lim_{t\to 0+}J_2(t)$ существует и конечен.
Теперь рассмотрим $\lim_{t\to 0+}J_1(t)$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \lim_{t\to 0+}J_1(t) &= \lim_{t\to 0+}\int_{-\infty}^{a} \biggl(\int_{(a-x)/\sqrt{t}}^{+\infty} |\varphi''(\theta)| z^2 \exp\biggl(-\frac{z^2}{2}\biggr)\, dz\biggr)^2\, dx \\ &\leqslant A_{\varphi}^2\lim_{t\to 0+}\int_{-\infty}^{a} \biggl(\int_{(a-x)/\sqrt{t}}^{+\infty} z^2 \exp\biggl(-\frac{z^2}{2}\biggr)\, dz\biggr)^2\, dx. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Во внешнем интеграле правой части неравенства сделаем замену $p=-x/\sqrt{t}+a/\sqrt{t}$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \lim_{t\to 0+}J_1(t) &\leqslant A_{\varphi}^2\lim_{t\to 0+} \int_{-\infty}^{0} \biggl(\int_{p}^{+\infty}z^2\exp\biggl(-\frac{z^2}{2}\biggr)\, dz\biggr)^2(-\sqrt{t})\,dp \\ &= A_{\varphi}^2\lim_{t\to 0+} \sqrt{t}\int_{0}^{+\infty} \biggl(\int_{p}^{+\infty}z^2\exp\biggl(-\frac{z^2}{2}\biggr)\, dz\biggr)^2\, dp. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Интеграл по переменной $p$ существует и конечен по лемме 3, а кроме того, не зависит от $t$. Поэтому предел $\lim_{t\to 0+}J_1(t)$ равен нулю в силу того, что $\lim_{t\to 0+}\sqrt{t}=0$.
Аналогичными рассуждениями, учитывая, что при фиксированном $x>b$, $\lim_{t\to 0+}(b-x)/\sqrt{t}=-\infty$, можно показать, что $\lim_{t\to 0+}J_3(t) = 0$. Таким образом, мы показали, что
$$
\begin{equation*}
\exists\,\lim_{t\to 0+}J(t)=\lim_{t\to 0+}J_2(t) < \infty\quad\Longrightarrow\quad \lim_{t\to 0+} t^2J(t) = 0.
\end{equation*}
\notag
$$
А поскольку, согласно равенству (5.8), значение $\lim_{t\to 0+}\|\varphi-B(t)\varphi\|^2$ не превосходит значения $\lim_{t\to 0+}t^2J(t)$, то получаем: и, следовательно, что и требовалось доказать.
Шаг 4. Теперь докажем, что для любого фиксированного $f \in L^2(\mathbb{R})$ отображение $t \mapsto B(t)f$ непрерывно в точке $0$. Фиксируем произвольную функцию $f\in L^2(\mathbb{R})$ и пусть $\forall\, n\in \mathbb{N}\colon \varphi_n\in C_0^{\infty}(\mathbb{R})$ и $\lim_{n\to\infty}\varphi_n = f$ в $L^2(\mathbb{R})$. Фиксируем произвольное $\varepsilon > 0$. Существует такое $n \in \mathbb{N}$, что Так как $\varphi_n\in C_0^{\infty}(\mathbb{R})$, то согласно доказанному на предыдущем шаге существует такое $\delta > 0$, что $\forall\, t\in [0, \delta)$ справедлива оценка Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|f-B(t)f\|&=\|f-\varphi_n+\varphi_n-B(t)\varphi_n+B(t)\varphi_n-B(t)f\| \\ &\leqslant \underbrace{\|f-\varphi_n\|}_{< \varepsilon/3} + \underbrace{\|\varphi_n-B(t)\varphi_n\|}_{< \varepsilon/3} + \|B(t)\varphi_n-B(t)f\|. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Последнее слагаемое оценивается следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\|B(t)\varphi_n-B(t)f\| = \|B(t)(\varphi_n-f)\| \leqslant \underbrace{\|B(t)\|}_{= 1}\underbrace{\|\varphi_n-f\|}_{< \varepsilon/3} < \frac{\varepsilon}{3}.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, мы получили, что для любого $\varepsilon > 0$ существует такое $\delta > 0$, что $\forall\, t\in [0, \delta)$:
$$
\begin{equation*}
\|f-B(t)f\| < \frac{\varepsilon}{3}+\frac{\varepsilon}{3}+\frac{\varepsilon}{3} = \varepsilon,
\end{equation*}
\notag
$$
т. е. что и требовалось доказать.
Шаг 5. На предыдущих шагах мы доказали непрерывность функций $t\mapsto B(t)f$ и $t\mapsto F(t)f$. В предложении же утверждается непрерывность функции $t\mapsto S(t)f=(F(t)\circ B(t)\circ F(t))f$. Покажем, что непрерывность $t\mapsto S(t)$ следует из непрерывности $t\mapsto F(t)$ и $t\mapsto B(t)$, доказав следующее утверждение. Определим по аналогии с функциями $B$ и $F$ функции $\mathcal{A}, \mathcal{B}\colon [0, +\infty) \to \mathcal{L}(L^2(\mathbb{R}))$ и пусть $\forall\, t\in [0,+\infty):$ $\mathcal{C}(t) = \mathcal{A}(t)\circ\mathcal{B}(t)$. Пусть отображения $t\mapsto\mathcal{A}(t)f$ и $t\mapsto\mathcal{B}(t)f$ непрерывны на $[0,+\infty)$ для каждого фиксированного $f\in L^2(\mathbb{R})$. Докажем, что функция $t\mapsto\mathcal{C}(t)f$ также непрерывна на $[0,+\infty)$. Пусть $t_n\to t_0\in [0, +\infty)$. Рассмотрим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\|\mathcal{C}(t_n)f-\mathcal{C}(t_0)f\| = \|\mathcal{A}(t_n)\mathcal{B}(t_n)f-\mathcal{A}(t_0)\mathcal{B}(t_0)f\| \\ &\qquad= \|\mathcal{A}(t_n)\mathcal{B}(t_n)f-\mathcal{A}(t_n)\mathcal{B}(t_0)f +\mathcal{A}(t_n)\mathcal{B}(t_0)f-\mathcal{A}(t_0)\mathcal{B}(t_0)f\| \\ &\qquad\leqslant \|\mathcal{A}(t_n)\mathcal{B}(t_n)f-\mathcal{A}(t_n)\mathcal{B}(t_0)f\| +\|\mathcal{A}(t_n)\mathcal{B}(t_0)f-\mathcal{A}(t_0)\mathcal{B}(t_0)f\| \\ &\qquad= \|\mathcal{A}(t_n)(\mathcal{B}(t_n)f-\mathcal{B}(t_0)f)\| +\|\mathcal{A}(t_n)(\mathcal{B}(t_0)f)-\mathcal{A}(t_0)(\mathcal{B}(t_0)f)\| \\ &\qquad\leqslant \|\mathcal{A}(t_n)\|\|\mathcal{B}(t_n)f-\mathcal{B}(t_0)f\| +\|\mathcal{A}(t_n)(\mathcal{B}(t_0)f)-\mathcal{A}(t_0)(\mathcal{B}(t_0)f)\|. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Норма $\|\mathcal{A}(t_n)\|$ стремится к $\|\mathcal{A}(t_0)\|<\infty$, $\|\mathcal{B}(t_n)f-\mathcal{B}(t_0)f\|$ стремится к $0$, $\|\mathcal{A}(t_n)(\mathcal{B}(t_0)f)-\mathcal{A}(t_0)(\mathcal{B}(t_0)f)\|$ тоже стремится к $0$, так как $\mathcal{B}(t_0)f$ – фиксированная при меняющемся $n$ функция из $L^2(\mathbb{R})$. Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\lim_{n\to\infty}\bigl(\|\mathcal{A}(t_n)\|\|\mathcal{B}(t_n)f-\mathcal{B}(t_0)f\| +\|\mathcal{A}(t_n)(\mathcal{B}(t_0)f)-\mathcal{A}(t_0)(\mathcal{B}(t_0)f)\|\bigr) = 0,
\end{equation*}
\notag
$$
откуда получаем, что
$$
\begin{equation*}
\lim_{n\to\infty}\|\mathcal{C}(t_n)f-\mathcal{C}(t_0)f\| = 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Итак, если функции $t\mapsto\mathcal{A}(t)f$ и $t\mapsto\mathcal{B}(t)f$ непрерывны, то непрерывна функция $t\mapsto\mathcal{A}(t)\mathcal{B}(t)f$. Таким образом, из доказанной в шагах 1–4 непрерывности функций $t\mapsto F(t)f$ и $t\mapsto B(t)f$ следует непрерывность функции $t\mapsto S(t)f$. Предложение 16 доказано. Предложение 17. Семейство операторов $S(t)_{t \geqslant 0}$ удовлетворяет второму условию касания по Чернову оператора $H$, т. е. $S(0) = I$. Предложение 18. Семейство операторов $S(t)_{t \geqslant 0}$ удовлетворяет третьему условию касания по Чернову оператора $H$, т. е. для любого $\varphi \in C_0^{\infty}(\mathbb{R})$ существует Доказательство. Запишем, пользуясь формулой (3.2), оператор $S(t)$ (для $t>0$) в следующем виде:
$$
\begin{equation*}
(S(t)\varphi)(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi t}}\exp\biggl(-\frac{t}{2}V(x)\biggr) \int_\mathbb{R}\varphi(x+y)\exp\biggl(-\frac{t}{2}V(x+y)\biggr) \exp\biggl(-\frac{y^2}{2t}\biggr)\, dy.
\end{equation*}
\notag
$$
Выполняя замену $y=\sqrt{t}\,z$, получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, (S(t)\varphi)(x) &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\biggl(-\frac{t}{2}V(x)\biggr) \\ &\qquad\times \int_\mathbb{R}\varphi(x+\sqrt{t}\, z)\exp\biggl(-\frac{t}{2}V(x+\sqrt{t}\, z)\biggr) \exp\biggl(-\frac{z^2}{2}\biggr)\, dz. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Интеграл в правой части обозначим через $P$, т. е.
$$
\begin{equation*}
P=P(t,x) = \int_\mathbb{R}\varphi(x+\sqrt{t}\, z)\exp\biggl(-\frac{t}{2}V(x+\sqrt{t}\, z)\biggr) \exp\biggl(-\frac{z^2}{2}\biggr)\, dz,
\end{equation*}
\notag
$$
и оператор $S(t)$ запишется так:
$$
\begin{equation*}
(S(t)\varphi)(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\biggl(-\frac{t}{2}V(x)\biggr) P(t,x).
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $\varphi \in C_0^{\infty}(\mathbb{R})$, можем разложить $\varphi(x+\sqrt{t}\, z)$ по формуле Тейлора:
$$
\begin{equation}
\varphi(x+\sqrt{t}\, z) = \varphi(x) + \sqrt{t}\, z\varphi'(x)+\frac{tz^2}{2}\varphi''(x)+\frac{t\sqrt{t}\, z^3}{6}\varphi'''(\theta), \qquad \theta \in (x, x+\sqrt{t}\, z).
\end{equation}
\tag{5.10}
$$
Разложим остальные функции по формуле Тейлора
$$
\begin{equation*}
V(x+\sqrt{t}\, z)=V(x)+\sqrt{t}\, zV'(\eta), \qquad \eta \in (x, x+\sqrt{t}\, z),
\end{equation*}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \exp\biggl(-\frac{t}{2}V(x)\biggr) &= 1 - \frac{t}{2}V(x)+\frac{t^2}{8}V^2(x)e^{\xi_1}, \qquad \xi_1 \in \biggl(0, -\frac{t}{2}V(x)\biggr), \\ \exp\biggl(-\frac{t}{2}V(x+\sqrt{t}\, z)\biggr) &= 1 - \frac{t}{2}V(x+\sqrt{t}\, z) \nonumber \\ &\qquad + \frac{t^2}{8} V^2(x+\sqrt{t}\, z) e^{\xi_2}, \qquad \xi_2 \in \biggl(0, -\frac{t}{2}V(x+\sqrt{t}\, z)\biggr), \nonumber \\ \exp\biggl(-\frac{t}{2}V(x+\sqrt{t}\, z)\biggr) &= 1 - \frac{t}{2}V(x)-\frac{t\sqrt{t}}{2}zV'(\eta) + \frac{t^2}{8} V^2(x)e^{\xi_2} \nonumber \\ &\qquad + \frac{t^2\sqrt{t}}{4}zV(x)V'(\eta)e^{\xi_2} + \frac{t^3}{8}z^2V'(\eta)^2e^{\xi_2}. \nonumber \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.11}
$$
Используя полученные разложения, интеграл $P$ можно переписать следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, P(t, x) &= \int_\mathbb{R}\biggl(\varphi(x) + \sqrt{t}\,\varphi'(x)z +\frac{t}{2}\varphi''(x)z^2+\frac{t\sqrt{t}}{6}\varphi'''(\theta)z^3\biggr) \\ &\qquad\times \biggl(1 - \frac{t}{2}V(x)- \frac{t\sqrt{t}}{2}zV'(\eta) + \frac{t^2}{8} V^2(x)e^{\xi_2} + \frac{t^2\sqrt{t}}{4}zV(x)V'(\eta)e^{\xi_2} \\ &\qquad\qquad + \frac{t^3}{8}z^2V'(\eta)^2e^{\xi_2}\biggr) \exp\biggl(-\frac{z^2}{2}\biggr)\, dz. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Раскроем скобки под знаком интеграла и воспользуемся линейностью интеграла. Сгруппируем полученные слагаемые по следующему принципу: в первую группу отнесем слагаемые, интегралы в которых вычисляются точно, во вторую группу отнесем слагаемые, содержащие множитель $\varphi'''(\theta)$ под знаком интеграла, а к третьей группе отнесем оставшиеся слагаемые. Тогда получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &P(t, x) = \biggl(\varphi(x)\int_\mathbb{R}\exp\biggl(-\frac{z^2}{2}\biggr)\, dz + \sqrt{t}\,\varphi'(x)\int_\mathbb{R}z\exp\biggl(-\frac{z^2}{2}\biggr)\, dz \\ &\ \ + \frac{t}{2}\varphi''(x)\int_\mathbb{R}z^2\exp\biggl(-\frac{z^2}{2}\biggr)\, dz - \frac{t}{2}V(x)\varphi(x)\int_\mathbb{R}\exp\biggl(-\frac{z^2}{2}\biggr)\, dz \\ &\ \ - \frac{t\sqrt{t}}{2}V(x)\varphi'(x)\int_\mathbb{R}z\exp\biggl(-\frac{z^2}{2}\biggr)\, dz - \frac{t^2}{4}V(x)\varphi''(x)\int_\mathbb{R}z^2\exp\biggl(-\frac{z^2}{2}\biggr)\, dz\biggr) \\ &+\biggl( \frac{t\sqrt{t}}{6}\int_\mathbb{R}z^3\varphi'''(\theta)\exp\biggl(-\frac{z^2}{2}\biggr)\, dz - \frac{t^2\sqrt{t}}{12}V(x)\int_\mathbb{R}z^3\varphi'''(\theta) \exp\biggl(-\frac{z^2}{2}\biggr)\, dz \\ &\ \ - \frac{t^3}{12}\int_\mathbb{R}z^4V'(\eta)\varphi'''(\theta)\exp\biggl(-\frac{z^2}{2}\biggr)\, dz+ \frac{t^3\sqrt{t}}{48}V^2(x)\int_\mathbb{R}z^3e^{\xi_2}\varphi'''(\theta) \exp\biggl(-\frac{z^2}{2}\biggr)\, dz \\ &\ \ + \frac{t^4}{24}V(x)\int_\mathbb{R}z^4V'(\eta)e^{\xi_2}\varphi'''(\theta)\exp\biggl(-\frac{z^2}{2}\biggr)\, dz \\ &\ \ + \frac{t^4\sqrt{t}}{48} \int_\mathbb{R}z^5V'(\eta)^2e^{\xi_2}\varphi'''(\theta)\exp\biggl(-\frac{z^2}{2}\biggr)\, dz \biggr) \\ &+\biggl( - \frac{t\sqrt{t}}{2}\varphi(x)\int_\mathbb{R}zV'(\eta)\exp\biggl(-\frac{z^2}{2}\biggr)\, dz - \frac{t^2}{2}\varphi'(x)\int_\mathbb{R}z^2V'(\eta)\exp\biggl(-\frac{z^2}{2}\biggr)\, dz \\ &\ \ - \frac{t^2\sqrt{t}}{4}\varphi''(x)\int_\mathbb{R}z^3V'(\eta)\exp\biggl(-\frac{z^2}{2}\biggr)\, dz + \frac{t^2}{8}V^2(x)\varphi(x)\int_\mathbb{R}e^{\xi_2}\exp\biggl(-\frac{z^2}{2}\biggr)\, dz \\ &\ \ + \frac{t^2\sqrt{t}}{8} V^2(x)\varphi'(x)\int_\mathbb{R}ze^{\xi_2}\exp\biggl(-\frac{z^2}{2}\biggr)\, dz \\ &\ \ + \frac{t^3}{16}V^2(x)\varphi''(x)\int_\mathbb{R}z^2e^{\xi_2}\exp\biggl(-\frac{z^2}{2}\biggr)\, dz \\ &\ \ + \frac{t^2\sqrt{t}}{4}V(x)\varphi(x)\int_\mathbb{R}zV'(\eta)e^{\xi_2} \exp\biggl(-\frac{z^2}{2}\biggr)\, dz \\ &\ \ + \frac{t^3}{4}V(x)\varphi'(x)\int_\mathbb{R}z^2V'(\eta)e^{\xi_2}\exp\biggl(-\frac{z^2}{2}\biggr)\, dz \\ &\ \ + \frac{t^3\sqrt{t}}{8}V(x)\varphi''(x)\int_\mathbb{R}z^3V'(\eta)e^{\xi_2} \exp\biggl(-\frac{z^2}{2}\biggr)\, dz \\ &\ \ +\frac{t^3}{8}\varphi(x)\int_\mathbb{R}\!z^2V'(\eta)^2e^{\xi_2} \exp\biggl(-\frac{z^2}{2}\biggr)\, dz \,{+}\, \frac{t^3\sqrt{t}}{8} \varphi'(x)\int_\mathbb{R}z^3V'(\eta)^2e^{\xi_2}\exp\biggl(-\frac{z^2}{2}\biggr)\, dz \\ &\ \ + \frac{t^4}{16}\varphi''(x)\int_\mathbb{R} z^4V'(\eta)^2e^{\xi_2}\exp\biggl(-\frac{z^2}{2}\biggr)\, dz \biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Сумму слагаемых, в которых присутствуют величины $\eta$, $\theta$, $\xi_1$, $\xi_2$ (вторая и третья группы), обозначим через $R(t, x)$. Учтем, что интегралы от нечетных функций равны нулю. Остальные интегралы вычислим, пользуясь формулой (4.4). Выражение для $P(t, x)$ примет следующий вид:
$$
\begin{equation}
P(t, x) = \sqrt{2\pi}\biggl(\varphi(x) + \frac{t}{2}\varphi''(x) - \frac{t}{2}V(x)\varphi(x) - \frac{t^2}{4}V(x)\varphi''(x)\biggr) + R(t,x).
\end{equation}
\tag{5.12}
$$
Покажем, что $R(t, x) = o_{L^2}(t)$, т. е. что
$$
\begin{equation*}
\lim_{t\to 0}\frac{1}{t^2}\int_{\mathbb{R}}|R(t,x)|^2\, dx = 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Отметим, что если функции $\mathcal{A}(t, x) = o_{L^2}(t)$ и $\mathcal{B}(t, x) = o_{L^2}(t)$, то их сумма $\mathcal{A}(t, x)+\mathcal{B}(t, x)$ тоже есть $o_{L^2}(t)$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \frac{1}{t^2}\int_{\mathbb{R}}|\mathcal{A}(t, x)+\mathcal{B}(t, x)|^2\, dx &\leqslant \frac{1}{t^2}\int_{\mathbb{R}}\bigl(|\mathcal{A}(t, x)|^2+|\mathcal{B}(t, x)|^2 + 2|\mathcal{A}(t, x)||\mathcal{B}(t, x)| \bigr)\, dx \\ &\!\!\!\stackrel{(4.1)}{\leqslant} \frac{1}{t^2}\int_{\mathbb{R}}\bigl(2|\mathcal{A}(t, x)|^2+2|\mathcal{B}(t, x)|^2 \bigr)\, dx \\ &= \frac{2}{t^2}\int_{\mathbb{R}}|\mathcal{A}(t, x)|^2dx + \frac{2}{t^2}\int_{\mathbb{R}}|\mathcal{B}(t, x)|^2dx \xrightarrow[t\to 0]{} 0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Составляющая $R(t,x)$ представляет собой сумму слагаемых вида
$$
\begin{equation*}
\mathcal{R}_1(t, x) = t^\beta\int_{\mathbb{R}}h(x,t,z)|\varphi^{(k)}(\theta) |z^n\exp\biggl(-\frac{z^2}{2}\biggr)\, dz
\end{equation*}
\notag
$$
и слагаемых вида
$$
\begin{equation*}
\mathcal{R}_2(t, x) = \varphi^{(k)}(x)t^\beta\int_{\mathbb{R}}h(x,t,z)z^n \exp\biggl(-\frac{z^2}{2}\biggr)\, dz,
\end{equation*}
\notag
$$
где $1<\beta \in \mathbb{R}$, $3\geqslant k\in\mathbb{N}$, $5\geqslant n\in\mathbb{N}$, $\theta\in (x, x\,{+}\,\sqrt{t}\, z)$, $h$ – ограниченная некоторой константой $A_h\,{\in}\,\mathbb{R}$ измеримая функция, $\forall\, (x,t,z)\,{\in}\,\operatorname{Dom}(h)\colon |h(x,t,z)|\,{<}\,A_h$.
Так как $\varphi \in C_0^\infty(\mathbb{R})$, существует такое $A_{\varphi}\in\mathbb{R}$, что $\forall\, x\in\mathbb{R}$, $\forall\, n\in\{0,1,2,3\}$: $|\varphi^{(n)}(x)|<A_{\varphi}$. Также, согласно выбору $V$, существует такое $A_V \in \mathbb{R}$, что $\forall\, x \in \mathbb{R}$: $|V(x)|<A_V$, $|V'(x)|<A_V$. Поскольку $\xi_2 \in (0, -(t/2)V(x+\sqrt{t}\, z))$, то $|\xi_2|<(t/2)A_V$ и $e^{\xi_2} = \exp[\xi_2] < \exp((t/2)A_V)$. Покажем, что $\mathcal{R}_1(t, x) = o_{L^2}(t)$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \lim_{t\to 0}\frac{1}{t^2}\|\mathcal{R}_1(t, x)\|^2&= \lim_{t\to 0} \frac{1}{t^2}\int_{\mathbb{R}} \biggl(t^\beta\int_{\mathbb{R}}h(x,t,z) |\varphi^{(k)}(\theta)|z^n\exp\biggl(-\frac{z^2}{2}\biggr)\, dz\biggr)^2\, dx \\ &=\lim_{t\to 0} t^{2(\beta-1)}\int_{\mathbb{R}} \biggl(\int_{\mathbb{R}}h(x,t,z) |\varphi^{(k)}(\theta)|z^n\exp\biggl(-\frac{z^2}{2}\biggr)\, dz\biggr)^2\, dx \\ &\leqslant A_h^2\lim_{t\to 0} t^{2(\beta-1)} \underbrace{\int_{\mathbb{R}} \biggl(\int_{\mathbb{R}}|\varphi^{(k)}(\theta)|z^n\exp\biggl(-\frac{z^2}{2}\biggr)\, dz\biggr)^2\, dx}_{J(t)} \\ &=A_h^2\lim_{t\to 0}t^{2(\beta-1)}\lim_{t\to 0}J(t). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Предел $\lim_{t\to 0}J(t)$ существует и конечен, как было показано в доказательстве шага 3 предложения 16, следовательно, Таким образом, $\mathcal{R}_1(t, x) = o_{L^2}(t)$.Покажем, что $\mathcal{R}_2(t, x) = o_{L^2}(t)$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \lim_{t\to 0}\frac{1}{t}\|\mathcal{R}_2(t, x)\| &=\lim_{t\to 0}\frac{1}{t} \biggl(\int_{\mathbb{R}}\biggl|\varphi^{(k)}(x)t^\beta \int_{\mathbb{R}}h(x,t,z)z^n\exp\biggl(-\frac{z^2}{2}\biggr)\, dz\biggr|^2\, dx\biggr)^{1/2} \\ &= \lim_{t\to 0} t^{\beta-1} \biggl(\int_{[a,b]}\biggl|\varphi^{(k)}(x)\int_{\mathbb{R}}h(x,t,z)z^n \exp\biggl(-\frac{z^2}{2}\biggr)\, dz\biggr|^2\, dx\biggr)^{1/2} \\ &\leqslant \lim_{t\to 0}t^{\beta-1}A_{\varphi}A_hG_n\sqrt{(b-a)}=0, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $G_n \in \mathbb{R}$ – значение интеграла
$$
\begin{equation*}
\int_{\mathbb{R}}|z^n|\exp\biggl(-\frac{z^2}{2}\biggr)\, dz
\end{equation*}
\notag
$$
(см. формулу (4.4), следствие из предложения 13). Таким образом, получили, что $R(t,x) = o_{L^2}(t)$.
Выпишем еще раз оператор $S(t)$ (для $t>0$):
$$
\begin{equation*}
(S(t)\varphi)(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\biggl(-\frac{t}{2}V(x)\biggr) P(t,x).
\end{equation*}
\notag
$$
Подставим выражение (5.12) для $P(t,x)$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, (S(t)\varphi)(x)&=\exp\biggl(-\frac{t}{2}V(x)\biggr) \\ &\qquad\times\biggl(\varphi(x) + \frac{t}{2}\varphi''(x) - \frac{t}{2}V(x)\varphi(x) - \frac{t^2}{4}V(x)\varphi''(x) + \frac{R(t,x)}{\sqrt{2\pi}}\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Подставим разложение (5.11) по формуле Тейлора для $\exp(-(t/2)V(x))$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, (S(t)\varphi)(x) &= \biggl(1 - \frac{t}{2}V(x)+\frac{t^2}{8}V^2(x)e^{\xi_1}\biggr) \\ &\qquad\times\biggl(\varphi(x) + \frac{t}{2}\varphi''(x) - \frac{t}{2}V(x)\varphi(x) - \frac{t^2}{4}V(x)\varphi''(x) + \frac{R(t,x)}{\sqrt{2\pi}}\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &(S(t)\varphi)(x) = \varphi(x) + \frac{t}{2}\varphi''(x) - tV(x)\varphi(x) - \frac{t^2}{2}V(x)\varphi''(x) + \frac{t^2}{4}V^2(x)\varphi(x) \\ &\qquad+\frac{t^3}{8}V^2(x)\varphi''(x) + \frac{t^2}{8}V^2(x)e^{\xi_1}\varphi(x) + \frac{t^3}{16}V^2(x)e^{\xi_1}\varphi''(x) - \frac{t^3}{16}V^3(x)e^{\xi_1}\varphi(x) \\ &\qquad -\frac{t^4}{32}V^3(x)e^{\xi_1}\varphi''(x) + \frac{R(t,x)}{\sqrt{2\pi}} -\frac{tR(t,x)}{2\sqrt{2\pi}}V(x) + \frac{t^2R(t,x)}{8\sqrt{2\pi}}V^2(x)e^{\xi_1}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Наконец, рассмотрим $S'(0)$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\lim_{t\to 0}\frac{(S(t)\varphi)(x)-\varphi(x)}{t}= \lim_{t\to 0}\biggl[\frac{1}{2}\varphi''(x) - V(x)\varphi(x) - \frac{t}{2}V(x)\varphi''(x) + \frac{t}{4}V^2(x)\varphi(x) \\ &\quad\quad+ \frac{t^2}{8}V^2(x)\varphi''(x) + \frac{t}{8}V^2(x)e^{\xi_1}\varphi(x) + \frac{t^2}{16}V^2(x)e^{\xi_1}\varphi''(x) - \frac{t^2}{16}V^3(x)e^{\xi_1}\varphi(x) \\ &\quad\quad - \frac{t^3}{32}V^3(x)e^{\xi_1}\varphi''(x) + \underbrace{\frac{R(t,x)}{t\sqrt{2\pi}} -\frac{R(t,x)}{2\sqrt{2\pi}}V(x) + \frac{tR(t,x)}{8\sqrt{2\pi}}V^2(x)e^{\xi_1}}_{\to\, 0, \text{ так как } R(t,x) = o_{L^2}(t)} \biggr] \\ &\quad= \frac{1}{2}\varphi''(x) - V(x)\varphi(x) = (H\varphi)(x). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, для любого $\varphi \in C_0^{\infty}(\mathbb{R})$ существует
$$
\begin{equation*}
\lim_{t \to 0}\frac{S(t)\varphi-\varphi}{t} = H\varphi,
\end{equation*}
\notag
$$
что и требовалось доказать. Предложение 18 доказано. Предложение 19. Оператор $H\colon u \mapsto \frac{1}{2}u''-Vu$ отображает пространство ${W_2^2(\mathbb{R})}$ в пространство $L^2(\mathbb{R})$. Доказательство. Так как $u\in{W_2^2(\mathbb{R})}$, то по определению $u,u''\in L^2(\mathbb{R})$. Функция $Vu$ представляет собой произведение ограниченной измеримой функции $V$ и функции $u$ из $L^2(\mathbb{R})$, поэтому $Vu\in L^2(\mathbb{R})$. В самом деле, так как для всех $x\in\mathbb{R}$ верно $|V(x)| \leqslant A_V$, то: Итак, для любой функции $u\in{W_2^2(\mathbb{R})}$ функции $u''$ и $Vu$ лежат в $L^2(\mathbb{R})$, следовательно, их линейная комбинация $(1/2)u''-Vu=Hu$ также лежит в $L^2(\mathbb{R})$, что и требовалось доказать. Предложение 20. Семейство операторов $(S(t))_{t \geqslant 0}$ удовлетворяет четвертому условию касания по Чернову оператора $H$, т. е. оператор $(S'(0), C_0^{\infty}(\mathbb{R}))$ является замыкаемым и верно равенство $\overline{(S'(0), C_0^{\infty}(\mathbb{R}))}=(H, {W_2^2(\mathbb{R})})$. Доказательство. Согласно предложению 18 оператор $S'(0)$ равен оператору $H\colon f \mapsto (1/2)f''-Vf$, следовательно, надо показать, что оператор $(H, C_0^\infty(\mathbb{R}))$ является замыкаемым и $\overline{(H, C_0^\infty(\mathbb{R}))} = (H, {W_2^2(\mathbb{R})})$.
Рассмотрим оператор $H_0$ такой, что $H_0f = f''$. Этот оператор симметричен на $C_0^{\infty}(\mathbb{R})$, поскольку для любых $\varphi, \psi \in C_0^{\infty}(\mathbb{R})$ выполняются соотношения
$$
\begin{equation*}
\langle H_0\varphi, \psi \rangle = \int_{\mathbb{R}}\varphi''(x)\overline{\psi(x)}\, dx = -\int_{\mathbb{R}}\varphi'(x)\overline{\psi'(x)}\, dx = \int_{\mathbb{R}}\varphi(x)\overline{\psi''(x)}\, dx = \langle \varphi, H_0\psi \rangle.
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь мы воспользовались тем фактом, что комплексное сопряжение производной от функции равно производной от комплексного сопряжения этой функции, т. е. $\overline{f'(x)}=(\overline{f(x)})'$, а также правилом интегрирования по частям финитных дифференцируемых функций. Симметричность оператора $H_0$ влечет его замыкаемость (см. предложение 9). Аналогичное верно и для оператора $(1/2)H_0$.
Заметим, что оператор $H\colon f \mapsto (1/2)f''-Vf$ является суммой замыкаемого оператора $(1/2)H_0$ и ограниченного оператора $f \mapsto -V(x)f(x)$, в силу того, что последний является оператором умножения на ограниченную функцию (см. предложение 4). По предложению 12 это влечет замыкаемость оператора $H$ и равенство
$$
\begin{equation}
\operatorname{Dom}(\overline{H}) = \operatorname{Dom}\bigl(\overline{(1/2)H_0}\bigr) = \operatorname{Dom}(\overline{H_0}).
\end{equation}
\tag{5.13}
$$
Функция $g$ принадлежит $\operatorname{Dom}\left(H_0^*\right)$ тогда и только тогда, когда существует функция $h\in L^2(\mathbb{R})$ такая, что для любой $\varphi\in C_0^\infty(\mathbb{R})$ справедливо $\langle H_0\varphi, g \rangle = \langle \varphi, h \rangle$. Таким образом, $h$ является второй обобщенной производной от $g$. При этом, $\langle H_0g, g \rangle = \|g'\|_{L^2}^2 < \infty$, следовательно, $\operatorname{Dom}(H_0^*)$ состоит из таких функций $f\in L^2(\mathbb{R})$, что обобщенные производные $f'$ и $f''$ также принадлежат $L^2(\mathbb{R})$. Получили, что Поскольку оператор $H_0$ симметричен, верно включение $H_0\subseteq H_0^*$; также верно включение $\overline{H_0}\subseteq H_0^*$ в силу замкнутости оператора $H_0^*$ (см. предложение 10). Оператор $H_0^*$ также является симметричным, так как $\langle f'', g\rangle=\langle f, g''\rangle$ для любых $f,g\in{W_2^2(\mathbb{R})}$. Следовательно, справедливо включение $H_0^*\subseteq (H_0^*)^*$, откуда $H_0^*\subseteq \overline{H_0}$ по предложению 11. Двойное включение влечет равенство операторов $H_0^* = \overline{H_0}$ и, следовательно, их областей определения
$$
\begin{equation}
\operatorname{Dom}(H_0^*)=\operatorname{Dom}(\overline{H_0}).
\end{equation}
\tag{5.15}
$$
Получаем, что $\operatorname{Dom}(\overline{H}) = \operatorname{Dom}(\overline{H_0}) = \operatorname{Dom}(H_0^*) = {W_2^2(\mathbb{R})}$, что и требовалось доказать. Предложение 20 доказано. Доказательство. Как было показано в доказательстве предыдущего утверждения, оператор $(H_0, {W_2^2(\mathbb{R})})$ самосопряжен, где $H_{0}f=f''$. Оператор $\varphi\mapsto V\varphi$ определен всюду в $L^2(\mathbb{R})$ и самосопряжен, так как функция $V$ ограничена и принимает лишь вещественные значения. Следовательно, и оператор $(H,{W_2^2(\mathbb{R})})$ самосопряжен, поскольку $H\varphi=(1/2)H_0\varphi-V\varphi$. Предложение доказано. Предложение 22. Справедливо следующее выражение для произвольной степени $n\in\mathbb{N}$ оператора $S(t)$ при $t>0$: Доказательство. Поскольку случай $t=0$ не требует отдельного рассмотрения – степень тождественного оператора является тождественным оператором – будем рассматривать только случай $t>0$. Воспользуемся индукцией по показателю степени $n$.
Базу индукции составляет случай $n=1$. Нетрудно проверить, что при $n=1$ выражение для $(S(t)^nf)(x)$ принимает вид:
$$
\begin{equation*}
(S^1(t)f)(x)= \biggl(\frac{1}{2\pi t}\biggr)^{1/2} \int_\mathbb{R}\exp\biggl\{- t\biggl[\frac{1}{2}V(x)+\frac{1}{2}V(x+y_1) \biggr] -\frac{1}{2t}y_1^2\biggr\} f(x+y_1)\, dy_1,
\end{equation*}
\notag
$$
что соответствует виду, определенному выражением (3.2). Здесь следует отметить, что при $n=1$ слагаемое обращается в нуль.
Предположение индукции формулируется в следующем виде:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &(S(t)^{n-1}f)(x) = \biggl(\frac{1}{2\pi t}\biggr)^{(n-1)/2} \\ &\qquad\times \underbrace{\int_\mathbb{R} \dots \int_\mathbb{R}}_{n-1} \exp\biggl\{- t\biggl[\frac{1}{2}V(x)+\sum_{p=2}^{n-1}V\biggl(x+\sum_{j=p}^{n-1}y_j\biggr) + \frac{1}{2}V\biggl(x+\sum_{j=1}^{n-1}y_j\biggr) \biggr] \\ &\qquad\qquad-\frac{1}{2t}\sum_{j=1}^{n-1} y_j^2\biggr\} f\biggl(x+\sum_{j=1}^{n-1} y_j\biggr)\prod_{p=1}^{n-1} dy_p. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Шаг индукции заключается в том, что функция $S(t)^nf = S(t)S(t)^{n-1}f$ имеет вид, указанный в формулировке настоящего предложения. Покажем это, путем применения оператора $S(t)$ к функции вида, записанного в предположении индукции. Для удобства восприятия разобьем действие оператора $S(t)$ на четыре последовательных действия: 1) сдвиг на величину $y_n$; 2) умножение на величину $\exp[- t(V(x)+V(x+y_n))/2 - y_n^2/(2t)]$; 3) взятие интеграла по переменной $y_n$ на прямой $\mathbb{R}$; 4) умножение на $1/\sqrt{2\pi t}$. Выполним последовательно эти действия для функции $S(t)^{n-1}f$, вид которой был определен предположением индукции. Результат выполнения первого действия:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\biggl(\frac{1}{2\pi t}\biggr)^{(n-1)/2} \!\!\!\underbrace{\int_\mathbb{R} \dots \int_\mathbb{R}}_{n-1} \!\exp\biggl\{- t\biggl[\frac{1}{2}V(x\,{+}\,y_n)\,{+}\sum_{p=2}^{n-1}V\biggl(x\,{+}\!\sum_{j=p}^{n}y_j\biggr) {+}\, \frac{1}{2}V\biggl(x\,{+}\!\sum_{j=1}^{n}y_j\biggr) \biggr] \\ &\qquad- \frac{1}{2t}\sum_{j=1}^{n-1} y_j^2\biggr\} f\biggl(x+\sum_{j=1}^{n} y_j\biggr) \prod_{p=1}^{n-1} dy_p. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Результат выполнения второго действия следующий:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\biggl(\frac{1}{2\pi t}\biggr)^{(n-1)/2} \exp\biggl(- \frac{t(V(x)+V(x+y_n))}{2} - \frac{y_n^2}{2t}\biggr) \\ &\qquad\times \underbrace{\int_\mathbb{R} \dots \int_\mathbb{R}}_{n-1} \exp\biggl\{- t\biggl[\frac{1}{2}V(x+y_n)+\sum_{p=2}^{n-1}V\biggl(x+\sum_{j=p}^{n}y_j\biggr) + \frac{1}{2}V\biggl(x+\sum_{j=1}^{n}y_j\biggr) \biggr] \\ &\qquad\qquad-\frac{1}{2t}\sum_{j=1}^{n-1} y_j^2\biggr\} f\biggl(x+\sum_{j=1}^{n} y_j\biggr) \prod_{p=1}^{n-1} dy_p. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Занесем добавленный множитель (экспоненту) под знак интеграла и получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\biggl(\frac{1}{2\pi t}\biggr)^{(n-1)/2}\underbrace{\int_\mathbb{R} \dots \int_\mathbb{R}}_{n-1} \exp\biggl\{- t\biggl[\frac{1}{2}V(x)+\sum_{p=2}^{n}V\biggl(x+\sum_{j=p}^{n}y_j\biggr) + \frac{1}{2}V\biggl(x+\sum_{j=1}^{n}y_j\biggr) \biggr] \\ &\qquad-\frac{1}{2t}\sum_{j=1}^{n} y_j^2\biggr\} f\biggl(x+\sum_{j=1}^{n} y_j\biggr)\prod_{p=1}^{n-1} dy_p. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Результат выполнения третьего и четвертого действий:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\biggl(\frac{1}{2\pi t}\biggr)^{n/2}\underbrace{\int_\mathbb{R} \dots \int_\mathbb{R}}_{n} \exp\biggl\{- t\biggl[\frac{1}{2}V(x)+\sum_{p=2}^{n}V\biggl(x+\sum_{j=p}^{n}y_j\biggr) + \frac{1}{2}V\biggl(x+\sum_{j=1}^{n}y_j\biggr) \biggr] \\ &\qquad -\frac{1}{2t}\sum_{j=1}^{n} y_j^2\biggr\} f\biggl(x+\sum_{j=1}^{n} y_j\biggr) \prod_{p=1}^{n} dy_p. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Полученный вид совпадает с общим видом $(S(t)^nf)(x)$, что завершает доказательство шага индукции и предложения в целом. БлагодарностиАвторам посчастливилось работать с И. Д. Ремизовым в МГТУ им. Н. Э. Баумана в 2014–2016 годах, и настоящая статья написана под влиянием воспоминаний от этого сотрудничества. Авторы выражают благодарность И. Д. Ремизову за доброжелательную и гостеприимную атмосферу проводимых научных семинаров, постоянную готовность обсуждать, обучать и отвечать на вопросы, за мотивацию и поддержку в сложные периоды времени, когда труд казался непосильным, за привитый вкус к математике и нешаблонный подход к процессу математической работы. Авторы также выражают благодарность Л. А. Ганиевой, П. С. Клочкову, Е. С. Рожковой, Д. А. Самсонову и А. В. Смирнову за помощь в поиске ошибок и полезные замечания по рукописи. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{GriPav21} |
|
||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|