| Известия Российской академии наук. Серия математическая |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Колмогоровские поперечники пересечений весовых классов Соболева на отрезке с ограничениями на нулевую и первую производные А. А. Васильева Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, Московский центр фундаментальной и прикладной математики
Англоязычная версия:
Izvestiya: Mathematics, 2021, Volume 85, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/IM8969 
Реферативные базы данных:
      § 1. ВведениеВ работах [1]–[5] изучалась задача об оценках колмогоровских поперечников, аппроксимативных и энтропийных чисел для вложений весовых классов Соболева
$$
\begin{equation*}
W^r_{p,g}(I) = \{ f\colon f^{(j)} \in AC^{\mathrm{loc}}(I), \, 0\leqslant j\leqslant r-1,\, \|gf^{(r)}\|_{L_p(I)}\leqslant 1\}
\end{equation*}
\notag
$$
в весовое пространство Лебега
$$
\begin{equation*}
L_{q,v}(I)=\{f\colon \|vf\|_{L_q(I)}<\infty\}, \qquad \|f\|_{L_{q,v}(I)} := \|vf\|_{L_q(I)},
\end{equation*}
\notag
$$
где $I$ – конечный или бесконечный промежуток; в ряде случаев еще добавлялись граничные условия на функции из $W^r_{p,g}(I)$. Естественным образом возникает задача об оценке поперечников пересечений весовых классов Соболева. В данной работе будет исследоваться задача о колмогоровских поперечниках пересечения весового класса Соболева $W^1_{p_1,g}[0,1]$ и единичного шара пространства $L_{p_0,w}[0,1]$ в пространстве $L_q[0,1]$, где $g$ и $w$ – степенные веса. Обозначим
$$
\begin{equation}
M = M_{p_0,p_1,g,w} = \{ f\in AC[0,1]\colon \|gf'\|_{L_{p_1}[0,1]}\leqslant 1, \, \|wf\|_{L_{p_0}[0,1]}\leqslant 1\}.
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
Для $p_0=p_1$ в работе Р. Ойнарова [6] была получена точная двусторонняя оценка для наименьшей константы $C>0$ в неравенстве
$$
\begin{equation*}
\|vf\|_{L_q[0,1]} \leqslant C(\|gf'\|_{L_p[0,1]}+\|wf\|_{L_p[0,1]})
\end{equation*}
\notag
$$
(она же давала критерий вложения множества $M$ в пространство $L_{q,v}[0,1]$). Этот результат был обобщен В. Д. Степановым и Е. П. Ушаковой [7] на случаи $0<p_0\leqslant q$, $1<p_1\leqslant q<\infty$ и $0<q<p_1<\infty$, $p_0=p_1>1$. Задача о колмогоровских и линейных поперечниках пересечений весовых классов Соболева (весовых классов, заданных ограничениями на производные разных порядков) изучалась в [8]–[16]. В этих работах рассматривался случай, когда функции определены на многомерных областях, но при этом всюду, кроме [13], нормы производных с весами брались в $L_p$ с одним и тем же $p$. В [13] были найдены порядковые оценки для колмогоровских поперечников классов $\bigcap_{k=0}^r W^k_{p_k,g_k}(K)$, где $p_k=\infty$ для $0\leqslant k\leqslant l$, $p_k=p$ для $l+1\leqslant k\leqslant r$, $K$ – куб, $g_i$ – степени расстояния до границы $K$. При этом условия на параметры, задающие веса, были такими, что ограничения, принятые для младших производных, не влияли на порядки поперечников (как и в работах [11], [12]). В данной работе рассматривается случай, когда функции определены на отрезке и веса имеют степенной вид1, но при этом $p_0$ может не совпадать с $p_1$. Как будет видно ниже, в формулы для порядков поперечников будет входить зависимость от $p_0$ и $w$. Напомним, что колмогоровский поперечник порядка $n\in \mathbb{Z}_+$ подмножества $C$ в линейном нормированном пространстве $X$ определяется как
$$
\begin{equation*}
d_n(C,X) = \inf_{L\in \mathcal{L}_n(X)} \sup_{x\in C} \inf_{y\in L}\|x-y\|,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\mathcal{L}_n(X)$ – совокупность подпространств в $X$ размерности не выше $n$ (см. [18]–[20]). Оценки поперечников классов Соболева в $L_q$ и конечномерных шаров получены в статьях [21]–[28]. Мы будем использовать следующее обозначение для порядковых неравенств. Пусть $X$, $Y$ – множества, $f_1,f_2\colon X\times Y\to \mathbb{R}_+$. Обозначим $f_1(x,y)\underset{y}{\lesssim} f_2(x,y)$ (или $f_2(x,y)\underset{y}{\gtrsim} f_1(x,y)$), если для любого $y\in Y$ существует $c(y)>0$ такое, что $f_1(x,y)\leqslant c(y)f_2(x,y)$ для любого $x\in X$; $f_1(x,y)\underset{y}{\asymp} f_2(x,y)$, если $f_1(x,y) \underset{y}{\lesssim} f_2(x,y)$ и $f_2(x,y)\underset{y}{\lesssim} f_1(x,y)$. Пусть $g$, $w\colon [0,1]\to (0,\infty)$ заданы по формулам $\beta,\sigma\in \mathbb{R}$, $1\leqslant p_0$, $p_1\leqslant \infty$, $1\leqslant q \leqslant\infty$. Рассмотрим задачу об оценке поперечников $d_n(M_{p_0,p_1,g,w}, L_q[0,1])$.Если $\beta < 1+1/q-1/p_1$, то В. Н. Коновалов и Д. Левиатан [3] показали, что
$$
\begin{equation*}
d_n(W^1_{p_1,g}[0,1],L_q[0,1]) \underset{p_1,q,\beta}{\asymp} d_n(W^1_{p_1}[0,1],L_q[0,1]).
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда нетрудно получить, что
$$
\begin{equation*}
d_n(M,L_q[0,1])\underset{p_1,p_0,q,\beta,\sigma}{\asymp} d_n(W^1_{p_1}[0,1],L_q[0,1]).
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому интерес представляет ситуация, когда $\beta > 1+1/q-1/p_1$. Отметим также, что при $\beta+\sigma <1+1/p_0-1/p_1$ есть компактное вложение $W^1_{p_1,g}[0,1]$ в $L_{p_0,w}[0,1]$. Далее мы рассматриваем случай, когда $\beta+\sigma >1+1/p_0-1/p_1$. Для $1\leqslant p\leqslant\infty$ будем обозначать $p'=p/(p-1)$. Пусть $\mathfrak{Z}=(p_0,p_1,q,\beta,\sigma)$,
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \theta =\frac{\sigma(1/q+1/p_1') +\beta(1/q-1/p_0)}{\beta + \sigma-1 -1/p_0+1/p_1}, \qquad \widetilde \theta = \frac{\sigma + 1/q-1/p_0}{\beta+\sigma -1-1/p_0+1/p_1}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
Теорема 1. Пусть Предполагаем, что $\widetilde\theta>0$ при $p_0\geqslant q$, $\theta>0$ при $p_0<q$. Определим число $\theta_0$ следующим образом.
При $q>2$ остались не рассмотренными случаи 1) $p_0=q$, $p_1<2$; 2) $p_1\,{=}\,1$. Кроме того, открытым остается вопрос о порядковой оценке для $\theta\,{=}\,\widetilde \theta$ (случай 3), $\theta =1/q$ (случай 4, a)), $\widetilde \theta =q\theta/2$ (случай 4, b)), а в случае 4, c) – если минимум у $\theta_1$, $\theta_2$, $\theta_3$ достигается хотя бы на двух индексах. Если повторить рассуждения из приведенного в статье доказательства для этих случаев, то между оценками сверху и снизу получится логарифмический зазор. Структура работы следующая. В § 2 получены оценки сверху для поперечников. В § 3 получены оценки снизу. При дискретизации задачи возникают поперечники пересечений двух конечномерных шаров пространств $l_{p_0}^N$ и $l_{p_1}^N$ различных радиусов. Задача об оценке поперечников пересечений и произведений конечномерных шаров изучалась в работах Э. М. Галеева [29]–[32], Е. Д. Глускина [33], А. Д. Изаака [34], [35], К. С. Рютина, Ю. В. Малыхина [36] и др., но в них рассматривались либо частные случаи $p_i$, либо отношение размерностей объемлющего пространства и приближающего подпространства не превосходило некоторой константы; поэтому доказательство теоремы 1 не сводится к применению этих результатов. В данной работе задачу о порядковых оценках поперечников пересечений конечномерных шаров мы не рассматриваем; нам будет достаточно оценок через поперечники вписанных и описанных шаров пространства $l^N_s$ с подходящими $s$. § 2. Оценки сверхуПусть $T =\{\Delta_j\}_{j=1}^l$ – разбиение отрезка $\Delta =\bigsqcup_{j=1}^l \Delta_j \subset [0,1]$ на попарно неперекрывающиеся отрезки. Обозначим
$$
\begin{equation*}
\mathcal{S}_T =\biggl\{ \sum_{j=1}^l c_j\chi_{\Delta_j}\colon c_j\in \mathbb{R}\biggr\};
\end{equation*}
\notag
$$
для $f\in L_q[0,1]$ положим $\|f\|_{p,q,T} =\bigl(\sum_{j=1}^l \|f\|^p_{L_q(\Delta_j)}\bigr)^{1/p}$. Пусть $k\in \mathbb{N}$, $m\in \mathbb{Z}_+$. Разобьем отрезок $[2^{-k},2^{-k+1}]$ на $2^m$ одинаковых отрезков $\Delta_j^{k,m}$ (обозначим это разбиение через $T_{k,m}$). Положим
$$
\begin{equation*}
P_{\Delta_j^{k,m}} f = \frac{1}{|\Delta_j^{k,m}|} \int_{\Delta_j^{k,m}} f(x)\, dx.
\end{equation*}
\notag
$$
Отметим, что $P_{\Delta_j^{k,m}}$ – проектор в $L_q(\Delta_j^{k,m})$ на подпространство констант. Пусть $f\in M$. Тогда при $(p_1,q)\ne (1,\infty)$
$$
\begin{equation}
\|f-P_{\Delta_j^{k,m}}f\|_{L_q(\Delta_j^{k,m})} \stackrel{(1.1),(1.2)}{\underset{\mathfrak{Z}}{\lesssim}} 2^{\beta k} \cdot 2^{-(k+m)(1+1/q-1/p_1)} \|gf'\|_{L_{p_1}(\Delta_j^{k,m})},
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
$$
\begin{equation}
\|P_{\Delta_j^{k,m}}f\|_{L_q(\Delta_j^{k,m})} = |\Delta_j^{k,m}|^{-1+1/q} \biggl| \int_{\Delta_j^{k,m}} \!f(x)\, dx\biggr| \,{\leqslant}\, |\Delta_j^{k,m}|^{1/q-1/p_0} \|f\|_{L_{p_0}(\Delta_j^{k,m})} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\!\!\!\!\!\!\!\!\stackrel{(1.1), (1.2)}{\underset{\mathfrak{Z}}{\asymp}} 2^{-\sigma k}\cdot 2^{-(k+m)(1/q-1/p_0)} \|wf\|_{L_{p_0}(\Delta_j^{k,m})}.
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
Определим оператор $P_{k,m}\colon f \mapsto \sum_{j=1} ^{2^m} P_{\Delta_j^{k,m}}f\cdot \chi_{\Delta_j^{k,m}}$. Тогда
$$
\begin{equation}
\dim {\rm Im}\, P_{k,m}=\dim \mathcal{S}_{T_{k,m}} = 2^m,
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
и для $f\in M$ выполнены оценки
$$
\begin{equation}
\|f- P_{k,m}f\|_{L_q([2^{-k},2^{-k+1}])} \stackrel{(2.1)}{\underset{\mathfrak{Z}}{\lesssim}} 2^{k(\beta-1-1/q +1/p_1)}\cdot 2^{-m}, \qquad p_1>q,
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
$$
\begin{equation}
\|f- P_{k,m}f\|_{L_q([2^{-k},2^{-k+1}])} \stackrel{(2.1)}{\underset{\mathfrak{Z}}{\lesssim}} 2^{k(\beta-1-1/q +1/p_1)}\cdot 2^{-m(1+1/q-1/p_1)}, \qquad p_1\leqslant q,
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
$$
\begin{equation}
\|P_{k,m}f -P_{k,m-1}f\|_{p_1,q,T_{k,m}} \stackrel{(2.1)}{\underset{\mathfrak{Z}}{\lesssim}} 2^{k(\beta-1-1/q +1/p_1)}\cdot 2^{-m(1+1/q-1/p_1)}, \qquad m\in \mathbb{N},
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
$$
\begin{equation}
\|P_{k,m}f -P_{k,m-1}f\|_{p_0,q,T_{k,m}} \stackrel{(2.2)}{\underset{\mathfrak{Z}}{\lesssim}} 2^{-k(\sigma +1/q-1/p_0)}\cdot 2^{-m(1/q-1/p_0)}, \qquad m\in \mathbb{N}.
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
Покажем, что существует изоморфизм $A_{k,m}\colon \mathcal{S}_{T_{k,m}}\to \mathbb{R}^{2^m}$ такой, что
$$
\begin{equation}
\|A_{k,m}f\|_{l_{p_1}^{2^m}} = \|f\|_{p_1,q,T_{k,m}},\quad \|A_{k,m}f\|_{l_{p_0}^{2^m}} = \|f\|_{p_0,q,T_{k,m}}, \qquad f\in \mathcal{S}_{T_{k,m}},
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
$$
\begin{equation}
\|A_{k,m}^{-1}(c_j)_{j=1}^{2^m}\|_{L_q[0,1]} = \|(c_j)_{j=1}^{2^m}\|_{l_q^{2^m}}.
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
В самом деле, для любого $j=1,\dots,m$ существует линейное отображение $A_{\Delta_j^{k,m}}\colon \mathcal{S}_{\{\Delta_j^{k,m}\}} \to \mathbb{R}$ такое, что $|A_{\Delta_j^{k,m}}f|=\|f\|_{L_q(\Delta_j^{k,m})}$ для любой функции $f \in \mathcal{S}_{\{\Delta_j^{k,m}\}}$. Положим $A_{k,m}\varphi = (A_{\Delta_j^{k,m}}\varphi)_{j=1}^{2^m}$, $\varphi\in \mathcal{S}_{T_{k,m}}$. Тогда получаем (2.8) и (2.9). Пусть $W_{k,m}$ – множество последовательностей $(c_j)_{j=1}^{2^m}$ таких, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \biggl(\sum_{j=1}^{2^m}|c_j|^{p_1}\biggr)^{1/p_1} &\leqslant 2^{k(\beta-1-1/q+1/p_1)}\cdot 2^{-m(1+1/q-1/p_1)}, \\ \biggl(\sum_{j=1}^{2^m}|c_j|^{p_0}\biggr)^{1/p_0} &\leqslant 2^{-k(\sigma+1/q-1/p_0)}\cdot 2^{-m(1/q-1/p_0)}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.10}
$$
Тогда для любого $l\in \mathbb{Z}_+$, $k,m\in \mathbb{N}$
$$
\begin{equation}
d_l((P_{k,m}-P_{k,m-1})M,L_q[0,1]) \underset{\mathfrak{Z}}{\lesssim} d_l(W_{k,m},l_q^{2^m}).
\end{equation}
\tag{2.11}
$$
В самом деле, из (2.6)–(2.8) следует, что
$$
\begin{equation}
A_{k,m}(P_{k,m}-P_{k,m-1})M \subset c(\mathfrak{Z})W_{k,m}
\end{equation}
\tag{2.12}
$$
для некоторого $c(\mathfrak{Z})>0$. Отсюда, из (2.9) и из свойств поперечников получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &d_l((P_{k,m}-P_{k,m-1})M,L_q[0,1]) \\ &\qquad \leqslant d_l(A_{k,m}(P_{k,m}-P_{k,m-1})M,l_q^{2^m}) \stackrel{(2.12)}{\underset{\mathfrak{Z}}{\lesssim}} d_l(W_{k,m},l_q^{2^m}). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Для чисел $\alpha \in \mathbb{R}$ и $1\leqslant p\leqslant \infty$ положим
$$
\begin{equation*}
Bl^\nu(1/p,\alpha) =\{x\in \mathbb{R}^\nu\colon \|x\|_{l_p^\nu}\leqslant \nu^{-\alpha}\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Из результата Э. М. Галеева [29; теорема 2] следует, что если $(1/\widetilde q,\rho) \in [(1/p_0,\gamma), (1/p_1,\alpha)]$, то
$$
\begin{equation}
Bl^\nu\biggl(\frac1{p_0},\gamma\biggr)\cap Bl^\nu\biggl(\frac1{p_1},\alpha\biggr) \subset Bl^\nu\biggl(\frac1{\widetilde q},\rho\biggr)
\end{equation}
\tag{2.13}
$$
(отметим, что это включение можно доказать и непосредственно, применяя неравенство Гёльдера). Пусть $1/q=(1-\lambda)/p_1+\lambda/p_0$, $\lambda\in (0,1)$. Тогда из (2.10) и (2.13) следует, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, W_{k,m} &\subset 2^{k[(1-\lambda) (\beta-1-1/q+1/p_1)-\lambda (\sigma+1/q-1/p_0)]} \nonumber \\ &\qquad\times 2^{-m[(1-\lambda)(1+1/q-1/p_1)+\lambda(1/q-1/p_0)]} B_q^{2^m} \nonumber \\ &= 2^{k[(1-\lambda) (\beta-1-1/q+1/p_1)-\lambda (\sigma+1/q-1/p_0)]}\cdot 2^{-(1-\lambda)m} B_q^{2^m}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.14}
$$
Отсюда и из (2.9), (2.12) получаем, что для $f\in M$ выполнено
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\|P_{k,m}f-P_{k,m-1}f\|_{L_q[2^{-k},2^{-k+1}]} \nonumber \\ &\qquad\underset{\mathfrak{Z}}{\lesssim} 2^{k[(1-\lambda)(\beta-1-1/q+1/p_1)-\lambda(\sigma+1/q-1/p_0)]}\cdot 2^{-(1-\lambda)m}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.15}
$$
Докажем утверждения о вложениях множества $M$ в пространство $L_q[0,1]$. Предложение 1. Пусть $p_0\geqslant q$, $\sigma> 1/p_0-1/q$. Тогда $M\subset L_q[0,1]$, при этом для любой функции $f\in M$ выполнено $\|f\|_{L_q[0,2^{-l}]} \underset{p_0,q}{\lesssim} 2^{-l(\sigma+1/q-1/p_0)}$. Предложение непосредственно следует из неравенства Гёльдера. Теперь рассмотрим случай $p_0<q$. Отметим, что при $1<p_1\leqslant q<\infty$ предложение 2 можно также вывести из результатов Р. Ойнарова [6] (при $p_0\,{=}\,p_1$), В. Д. Степанова и Е. П. Ушаковой [7]. Предложение 2. Пусть $p_0< q$, $\sigma(1/p_1'+1/q)+\beta(1/q-1/p_0)>0$, $(p_1,q)\ne (1,\infty)$. Тогда для любой функции $f\in M$ выполнено Доказательство. Имеем для $f\in M$
Пусть $p_1\leqslant q$. Тогда
$$
\begin{equation}
\|P_{k,m}f\,{-}\,P_{k,m-1}f\|_{L_q[2^{-k},2^{-k+1}]} \stackrel{(2.6)}{\underset{\mathfrak{Z}}{\lesssim}} 2^{k(\beta-1-1/q+1/p_1)}\cdot 2^{-m(1+1/q-1/p_1)}, \qquad f\,{\in}\, M.
\end{equation}
\tag{2.18}
$$
Пусть
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, m_k &= \max \{ m\in \mathbb{Z}_+\colon 2^{-(\sigma +1/q-1/p_0)k}\cdot 2^{-m(1/q-1/p_0)} \nonumber \\ &\qquad\qquad\qquad\qquad \leqslant 2^{k(\beta-1-1/q+1/p_1)}\cdot 2^{-m(1+1/q-1/p_1)}\}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.19}
$$
Тогда
$$
\begin{equation}
2^{k(\beta+\sigma-1-1/p_0+1/p_1)} \underset{\mathfrak{Z}}{\asymp} 2^{m_k(1+1/p_0-1/p_1)}.
\end{equation}
\tag{2.20}
$$
Имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|f\|_{L_q[0,2^{-l}]} &\leqslant \sum_{k>l} \sum_{m> m_k} \|P_{k,m}f-P_{k,m-1}f\|_{L_q[2^{-k},2^{-k+1}]} \\ &\qquad + \sum_{k>l} \|P_{k,m_k}f\|_{L_q[2^{-k},2^{-k+1}]} \\ &\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\stackrel{(2.17), (2.18)} {\underset{\mathfrak{Z}}{\lesssim}} \sum_{k>l} \sum_{m> m_k} 2^{k(\beta-1-1/q+1/p_1)}\cdot 2^{-m(1+1/q-1/p_1)} \\ &\qquad + \sum_{k>l}2^{-(\sigma +1/q-1/p_0)k}\cdot 2^{-m_k(1/q-1/p_0)} \\ &\!\!\!\!\stackrel{(2.19)}{\underset{\mathfrak{Z}}{\lesssim}} \sum_{k>l} 2^{-(\sigma+1/q-1/p_0)k}\cdot 2^{m_k(1/p_0-1/q)} \stackrel{(2.20)}{\underset{\mathfrak{Z}}{\asymp}} \sum_{k>l} 2^{-\mu k} \underset{\mathfrak{Z}}{\lesssim}2^{-\mu l}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь рассмотрим случай $p_1>q$. Тогда для $f\in M$
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|f\|_{L_q[0,2^{-l}]} &\leqslant \sum_{k>l} \sum_{m> m_k} \|P_{k,m}f-P_{k,m-1}f\|_{L_q[2^{-k},2^{-k+1}]} \\ &\qquad+ \sum_{k>l} \|P_{k,m_k}f\|_{L_q[2^{-k},2^{-k+1}]} \\ &\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\stackrel{(2.15),(2.17)}{\underset{\mathfrak{Z}}{\lesssim}} \sum_{k>l} \sum_{m> m_k} 2^{k[(1-\lambda) (\beta-1-1/q+1/p_1)-\lambda (\sigma+1/q-1/p_0)]}\cdot 2^{-(1-\lambda)m} \\ &\qquad +\sum_{k>l}2^{-(\sigma+1/q-1/p_0)k}\cdot 2^{-m_k(1/q-1/p_0)} \\ &\underset{\mathfrak{Z}}{\lesssim} \sum_{k>l} 2^{-(\sigma+1/q-1/p_0)k}\cdot 2^{-m_k(1/q-1/p_0)} \\ &\qquad + \sum_{k>l} 2^{k[(1-\lambda)(\beta-1-1/q+1/p_1)-\lambda (\sigma+1/q-1/p_0)]}\cdot 2^{-(1-\lambda)m_k}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Учитывая равенство
$$
\begin{equation*}
1-\lambda = (1-\lambda)\biggl(1+\frac 1q-\frac{1}{p_1}\biggr)+\lambda\biggl(\frac 1q- \frac{1}{p_0}\biggr)
\end{equation*}
\notag
$$
и (2.19), получаем, что последняя сумма оценивается по порядку величиной Предложение доказано. Перейдем к доказательству оценок сверху колмогоровских поперечников. Сначала сформулируем следствие из теорем Е. Д. Глускина, А. Ю. Гарнаева (случай $p<q$), А. Пича и М. И. Стесина (случай $p\geqslant q$). Теорема A (см. [24], [27], [21], [22]). Если выполнены соотношения При $1\leqslant q\leqslant p\leqslant \infty$ для поперечников выполнено точное равенство: При $1\leqslant p<2$ порядковые оценки поперечников $d_n(B_p^N,l_\infty^N)$ неизвестны. Из (2.23) и оценки поперечников октаэдров [28] следуют соотношения
$$
\begin{equation}
d_n(B_p^N,l_\infty^N) \underset{p}{\lesssim} \min\biggl\{1,n^{-1/2}\log^{1/2}\biggl(1+\frac{N}{n}\biggr)\biggr\}, \quad d_n(B_p^{2n}, l_\infty^{2n})\underset{p}{\gtrsim} n^{-1/2}, \quad 1\,{\leqslant}\,p\,{<}\,2.
\end{equation}
\tag{2.25}
$$
Для $n\in \mathbb{N}$ определим числа $k_n$ из равенств
$$
\begin{equation}
2^{\widetilde k_n(\beta+\sigma-1-1/p_0+1/p_1)}= n^{1+1/p_0-1/p_1}.
\end{equation}
\tag{2.27}
$$
При $q>2$ определим числа $k_n^*$, $\widehat m=\widehat m(n)$ равенствами
$$
\begin{equation}
2^{k_n^*(\beta+\sigma-1-1/p_0+1/p_1)}=n^{(q/2)(1+1/p_0-1/p_1)},
\end{equation}
\tag{2.28}
$$
В силу предложения 1, (1.3), (2.16), (2.26)–(2.28), для $f\in M$ при $(p_1,q)\ne (1,\infty)$ выполнено
$$
\begin{equation}
\|f\|_{L_q[0,2^{-k_n}]} \!\underset{p_0,q}{\lesssim} n^{-\widetilde \theta}, \quad \text{если } p_0\geqslant q,
\end{equation}
\tag{2.30}
$$
$$
\begin{equation}
\|f\|_{L_q[0,2^{-\widetilde k_n}]} \,\underset{\mathfrak{Z}}{\lesssim} n^{-\theta}, \quad \text{если }p_0\leqslant q,
\end{equation}
\tag{2.31}
$$
$$
\begin{equation}
\|f\|_{L_q[0,2^{-k_n^*}]} \,\underset{\mathfrak{Z}}{\lesssim} n^{-q\theta/2}, \quad \text{если } p_0\leqslant q,q>2.
\end{equation}
\tag{2.32}
$$
Всюду далее $\varepsilon >0$, $m_1(n)$, $k_1(n)$ – числа, которые будут выбираться позже в зависимости от $\mathfrak{Z}$. При $q\leqslant 2$ всегда $k_1(n)\leqslant \max\{k_n,\widetilde k_n\}$; при $q>2$ всегда $k_1(n)\leqslant \max\{k_n,k_n^*\}$, $m_1(n)\leqslant \widehat m(n)$. Начнем оценки поперечников с более простых случаев, когда приближающий оператор имеет явный вид. Случай $p_0\geqslant q$, $p_1\geqslant q$. Для $k\leqslant k_n$ определим числа $m_k$ равенством Положим $Pf|_{[2^{-k},2^{-k+1}]} = P_{k,[m_k]}f$, $1\leqslant k\leqslant [k_n]$; $Pf|_{[0,2^{-[k_n]}]}=0$. В силу (2.3), $P(M)$ содержится в подпространстве размерности не выше
$$
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^{[k_n]} 2^{m_k} \stackrel{(2.33)}{=} \sum_{k=1}^{[k_n]} n\cdot 2^{-\varepsilon(k_n-k)} \underset{\mathfrak{Z},\varepsilon}{\asymp} n.
\end{equation*}
\notag
$$
Далее,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|f-Pf\|_{L_q[0,1]} &\leqslant \|f\|_{L_q[0,2^{-[k_n]}]} + \sum_{k=1}^{[k_n]} \|f-P_{k,[m_k]}f\|_{L_q[2^{-k},2^{-k+1}]} \\ &\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\stackrel{(2.4), (2.5),(2.30)}{\underset{\mathfrak{Z}}{\lesssim}} n^{-\widetilde \theta} + \sum_{k=1}^{[k_n]}2^{k(\beta-1-1/q +1/p_1)}\cdot 2^{-m_k}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Учитывая (2.33) и условие $\beta >1+1/q-1/p_1$, получаем, что при достаточно малых $\varepsilon>0$ последняя сумма оценивается по порядку величиной
$$
\begin{equation*}
n^{-\widetilde \theta} + 2^{k_n(\beta-1-1/q+1/p_1)} \cdot n^{-1} \stackrel{(1.3),(2.26)}{\underset{\mathfrak{Z}}{\asymp}} n^{-\widetilde \theta}.
\end{equation*}
\notag
$$
Случай $p_0\leqslant q\leqslant 2$, $p_1\leqslant q$ рассматривается аналогично, с заменой $k_n$ на $\widetilde k_n$, применением соотношений (2.5), (2.27) и (2.31). В итоге получаем
$$
\begin{equation*}
\|f-Pf\|_{L_q[0,1]}\underset{\mathfrak{Z}}{\asymp} n^{-\theta} + \sum_{k=1}^{[\widetilde k_n]}2^{k(\beta-1-1/q+1/p_1)} \cdot 2^{-m_k(1+1/q-1/p_1)} \underset{\mathfrak{Z}}{\asymp} n^{-\theta}.
\end{equation*}
\notag
$$
Случай $p_0>q$, $p_1<q\leqslant 2$. Существует $\lambda\in (0,1)$ такое, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \frac 1q=\frac{1-\lambda}{p_1}+\frac{\lambda}{p_0}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.34}
$$
Так как $p_0>p_1$, то из (2.26) и (2.27) следует, что $\widetilde k_n\leqslant k_n$. Определим числа $m_k$ равенством
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, 2^{m_k} = n\cdot 2^{-\varepsilon|k-k_1(n)|}, \qquad 1\leqslant k\leqslant [k_n]. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.35}
$$
Положим $Pf|_{[2^{-k},2^{-k+1}]} = P_{k,[m_k]}f$, $1\leqslant k\leqslant [k_n]$, $Pf|_{[0,2^{-[k_n]}]}=0$. В силу (2.3) и (2.35), $P(M)$ содержится в подпространстве, размерность которого не превосходит по порядку $n$. Для $f\in M$ получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\|f-Pf\|_{L_q[0,1]}\leqslant \|f\|_{[0,2^{-[k_n]}]} + \sum_{k=1}^{[\widetilde k_n]} \|f-P_{k,[m_k]}f\|_{L_q[2^{-k},2^{-k+1}]} \\ &\qquad\qquad+\sum_{k=[\widetilde k_n]+1}^{[k_n]}\sum_{m=[m_k]}^\infty \|P_{k,m+1}f -P_{k,m}f\|_{L_q[2^{-k}, 2^{-k+1}]} \\ &\stackrel{ (2.5), (2.15), (2.30)}{\underset{\mathfrak{Z}}{\lesssim}} n^{-\widetilde \theta} +\sum_{k=1}^{[\widetilde k_n]} 2^{k(\beta-1-1/q+1/p_1)}\cdot 2^{-m_k(1+1/q-1/p_1)} \\ &\qquad\qquad+\sum_{k=[\widetilde k_n]+1}^{[k_n]} \sum_{m=[m_k]}^\infty 2^{k[(1-\lambda) (\beta-1-1/q+1/p_1)-\lambda (\sigma+1/q-1/p_0)]}\cdot 2^{-(1-\lambda)m}=:S. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $\beta > 1 +1/q-1/p_1$ и $1-\lambda>0$, то
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &S \stackrel{ (2.35)}{\underset{\mathfrak{Z}}{\lesssim}} n^{-\widetilde \theta} +2^{\widetilde k_n(\beta-1-1/q+1/p_1)}\cdot n^{-1-1/q+1/p_1}\cdot 2^{\varepsilon(1+1/q-1/p_1)|\widetilde k_n-k_1(n)|} \\ &\quad+ \sum_{k=[\widetilde k_n]+1}^{[k_n]}2^{k[(1-\lambda) (\beta-1-1/q+1/p_1)-\lambda (\sigma+1/q-1/p_0)]}\cdot n^{-1+\lambda}\cdot 2^{(1-\lambda)\varepsilon|k-k_1(n)|}=:S'. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Из (1.3) и (2.27) следует, что $2^{\widetilde k_n(\beta-1-1/q+1/p_1)}\cdot n^{-1-1/q+1/p_1} \underset{\mathfrak{Z}}{\asymp} n^{-\theta}$. Кроме того,
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, 2^{k_n[(1-\lambda) (\beta-1-1/q+1/p_1)-\lambda (\sigma+1/q-1/p_0)]}\cdot n^{-1+\lambda}\stackrel{(1.3), (2.26)}{\underset{\mathfrak{Z}}{\lesssim}} n^{-\widetilde \theta}, \\ 2^{\widetilde k_n[(1-\lambda) (\beta-1-1/q+1/p_1)-\lambda (\sigma+1/q-1/p_0)]}\cdot n^{-1+\lambda}\stackrel{(1.3), (2.27), (2.34)}{\underset{\mathfrak{Z}}{\asymp}} n^{-\theta}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Если
$$
\begin{equation*}
(1-\lambda)\biggl(\beta-1- \frac1{q}+\frac1{p_1}\biggr)-\lambda\biggl(\sigma+\frac1{q}-\frac1{p_0}\biggr)>0,
\end{equation*}
\notag
$$
то полагаем $k_1(n)=k_n$ и при малых $\varepsilon>0$ получаем $S'\underset{\mathfrak{Z}}{\lesssim} n^{-\widetilde \theta}$. Если
$$
\begin{equation*}
(1-\lambda)\biggl(\beta-1- \frac1{q}+\frac1{p_1}\biggr)-\lambda\biggl(\sigma+\frac1{q}-\frac1{p_0}\biggr)<0,
\end{equation*}
\notag
$$
то полагаем $k_1(n)=\widetilde k_n$ и при малых $\varepsilon>0$ получаем $S' \underset{\mathfrak{Z}}{\lesssim} n^{-\theta}$. Если
$$
\begin{equation*}
(1-\lambda)\biggl(\beta-1- \frac1{q}+\frac1{p_1}\biggr)-\lambda \biggl(\sigma+\frac1{q}-\frac1{p_0}\biggr)=0,
\end{equation*}
\notag
$$
то $\theta=\widetilde \theta$; этот случай в теореме не рассматривается. Случай $p_0<q\leqslant 2$, $p_1>q$ рассматривается аналогично предыдущему, с учетом неравенства $k_n\leqslant \widetilde k_n$ и соотношений (2.4), (2.5), (2.31). В итоге задача сводится к оценке суммы
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, S'&:=n^{-\theta} +2^{k_n(\beta-1-1/q+1/p_1)}\cdot n^{-1}\cdot 2^{\varepsilon|k_n-k_1(n)|} \\ &\qquad+\sum_{k= [k_n]+1}^{[\widetilde k_n]}2^{k[(1-\lambda) (\beta-1-1/q+1/p_1)-\lambda (\sigma+1/q-1/p_0)]}\cdot n^{-1+\lambda}\cdot 2^{(1-\lambda)\varepsilon|k-k_1(n)|}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $\theta\ne \widetilde \theta$, то при подходящем выборе $k_1(n)$ и малых $\varepsilon>0$ получаем $S'\underset{\mathfrak{Z}}{\lesssim} n^{-\theta}$ или $S'\underset{\mathfrak{Z}}{\lesssim} n^{-\widetilde\theta}$. Теперь рассмотрим случаи, когда $2<q<\infty$, $p_1>1$, при этом $p_0$ или $p_1$ строго меньше $q$. Пусть $\widehat k_n\leqslant \max\{k_n,k^*_n\}$,
$$
\begin{equation}
2^{m^*_k}=n\cdot2^{-\varepsilon|k-k_1(n)|}, \qquad k\leqslant \widehat k_n,
\end{equation}
\tag{2.36}
$$
$$
\begin{equation}
l_{k,m} = \begin{cases} \lceil n\cdot 2^{-\varepsilon(|k-k_1(n)|+|m-m_1(n)|)}\rceil , &1\leqslant k\leqslant [\widehat{k}_n], \, \lceil m_k^*\rceil\leqslant m\leqslant \widehat m(n), \\ 0 &\text{иначе}. \end{cases}
\end{equation}
\tag{2.37}
$$
Так как $k_1(n)$, $\widehat k_n\leqslant \max\{k_n,k_n^*\}$, $m_1(n)\leqslant \widehat m(n)$, то при малых $\varepsilon>0$ выполнено $2^{\lceil m^*_k\rceil}\underset{\mathfrak{Z}}{\asymp} 2^{m_k^*}$ и при $1\leqslant k\leqslant [\widehat{k}_n]$, $\lceil m_k^*\rceil\leqslant m\leqslant \widehat m(n)$ выполнено $l_{k,m}\underset{\mathfrak{Z}}{\asymp} n\cdot 2^{-\varepsilon(|k-k_1(n)|+|m-m_1(n)|)}$. Пусть $f\in M$. Тогда
$$
\begin{equation*}
f=f\cdot \chi_{[0,2^{-[\widehat k_n]}]} + \sum_{k=1}^{[\widehat k_n]} \sum_{m=\lceil m_k^*\rceil}^\infty (P_{k,m+1}f-P_{k,m}f) + \sum_{k=1}^{[\widehat k_n]} P_{k,\lceil m_k^*\rceil}f.
\end{equation*}
\notag
$$
В силу (2.3), (2.11), (2.36) и (2.37), задача о поперечниках множества $M$ сводится к оценке суммы
$$
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^{[\widehat k_n]} \sum_{m=\lceil m_k^*\rceil}^\infty d_{l_{k,m}}(W_{k,m+1},l_q^{2^{m+1}}) + \|f\|_{L_q[0,2^{-[\widehat k_n]}]}=:S_*.
\end{equation*}
\notag
$$
Случай $p_0\geqslant q>2$, $2\leqslant p_1<q$. Полагаем $\widehat k_n=k_n$, применяем (2.10) и (2.30) и получаем
$$
\begin{equation*}
S_*\underset{\mathfrak{Z}}{\lesssim} n^{-\widetilde \theta} + \sum_{k=1}^{[k_n]} \sum_{m=\lceil m_k^*\rceil}^\infty 2^{k(\beta-1-1/q+1/p_1)} \cdot 2^{-m(1+1/q-1/p_1)}d_{l_{k,m}}(B_{p_1}^{2^{m+1}},l_q^{2^{m+1}}) = :S.
\end{equation*}
\notag
$$
Используя (2.21) и (2.37), получаем, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, S &\underset{\mathfrak{Z}}{\lesssim} n^{-\widetilde \theta} + \sum_{k=1}^{[k_n]} \sum_{m=\lceil m_k^*\rceil}^{[\widehat m]}2^{k(\beta-1-1/q+1/p_1)} \cdot 2^{-m(1+1/q-1/p_1)} \\ &\qquad\qquad\times \bigl(2^{m/q}\cdot n^{-1/2}\cdot 2^{(\varepsilon/2)(|k-k_1(n)|+|m-m_1(n)|)}\bigr)^{\frac{1/p_1-1/q}{1/2-1/q}} \\ &\qquad+\sum_{k=1}^{[k_n]} \sum_{m=[\widehat m]+1}^{\infty}2^{k(\beta-1-1/q+1/p_1)} \cdot 2^{-m(1+1/q-1/p_1)}=:S'. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В сумме стоит убывающая геометрическая прогрессия по $m$ и возрастающая геометрическая прогрессия по $k$, так как $p_1>1$ и $\beta>1+1/q-1/p_1$. Полагая $k_1(n)=k_n$, $m_1(n)= m_{k_n}^*$ и используя (1.3), (2.26), (2.29), (2.36), при достаточно малых $\varepsilon>0$ получаем $S' \underset{\mathfrak{Z}}{\lesssim} n^{-\widetilde{\theta}}$. Случай $1<p_1<2<q<p_0$. Тогда $\widetilde k_n\leqslant k_n$, $\widetilde k_n\leqslant k_n^*$. Определим $\lambda\in (0,1)$, $\widetilde \lambda\in (0,1)$ из равенств
$$
\begin{equation}
\frac 1q =\frac{1-\lambda}{p_1}+\frac{\lambda}{p_0}, \qquad \frac 12 =\frac{1-\widetilde \lambda}{p_1} +\frac{\widetilde \lambda}{p_0}.
\end{equation}
\tag{2.38}
$$
Тогда в силу (2.10), (2.13)
$$
\begin{equation}
W_{k,m+1} \subset 2^{k((1-\lambda)(\beta-1-1/q+1/p_1)-\lambda(\sigma+1/q-1/p_0))} \nonumber
\end{equation}
\tag{2.39}
$$
$$
\begin{equation}
\qquad\times 2^{-m((1-\lambda)(1+1/q-1/p_1)+\lambda(1/q-1/p_0))} B_q^{2^{m+1}},
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
W_{k,m+1} \subset 2^{k((1-\widetilde\lambda)(\beta-1-1/q+1/p_1)-\widetilde\lambda(\sigma+1/q-1/p_0))} \nonumber
\end{equation}
\tag{2.40}
$$
$$
\begin{equation}
\qquad\times 2^{-m((1-\widetilde\lambda)(1+1/q-1/p_1)+\widetilde\lambda(1/q-1/p_0))} B_2^{2^{m+1}}.
\end{equation}
\notag
$$
Полагаем $\widehat k_n=k_n$. Как и в предыдущем случае,
$$
\begin{equation}
\|f\|_{L_q[0,2^{-[\widehat k_n]}]}\underset{\mathfrak{Z}}{\lesssim} n^{-\widetilde \theta}.
\end{equation}
\tag{2.41}
$$
Числа $\widetilde m_k$ определяем из равенства
$$
\begin{equation}
2^{k(\beta-1-1/q+1/p_1)}\cdot 2^{-\widetilde m_k(1+1/q-1/p_1)} = 2^{-k(\sigma+1/q-1/p_0)}\cdot 2^{\widetilde m_k(1/p_0-1/q)}.
\end{equation}
\tag{2.42}
$$
Тогда
$$
\begin{equation}
2^{k(\beta+\sigma-1-1/p_0+1/p_1)}=2^{\widetilde m_k(1+1/p_0-1/p_1)}.
\end{equation}
\tag{2.43}
$$
Отсюда и из (2.27), (2.28) следует, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, 2^{\widetilde m_{\widetilde k_n}} = n, \qquad 2^{\widetilde m_{k_n^*}} = n^{q/2}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.44}
$$
Для $k_n^*<k\leqslant k_n$ определим числа $m_k$ из равенства
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &2^{k((1-\lambda)(\beta-1-1/q +1/p_1)-\lambda(\sigma+1/q-1/p_0))}\cdot 2^{-m_k((1-\lambda)(1+1/q-1/p_1)+\lambda(1/q-1/p_0))} \nonumber \\ &\qquad=2^{k((1-\widetilde\lambda)(\beta-1-1/q +1/p_1)-\widetilde\lambda(\sigma+1/q-1/p_0))} \nonumber \\ &\qquad\qquad\times 2^{-m_k((1-\widetilde\lambda) (1+1/q-1/p_1)+\widetilde\lambda(1/q-1/p_0))} \cdot 2^{m_k/q}\cdot n^{-1/2}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.45}
$$
Тогда
$$
\begin{equation}
2^{k(\widetilde \lambda-\lambda)(\beta+\sigma-1-1/p_0+1/p_1)}= 2^{m_k(\widetilde \lambda-\lambda)(1+1/p_0-1/p_1)}\cdot 2^{m_k/q}\cdot n^{-1/2}.
\end{equation}
\tag{2.46}
$$
Подставляя $2^{m_k}:=n$ и $2^{m_k}:=n^{q/2}$ в (2.46) и учитывая (2.26), (2.28), получаем Разобьем множество $\{(k,m)\colon 1\leqslant k\leqslant k_n, \, m\geqslant m_k^*\}$ на области
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathrm{I}&=\{(k,m)\colon 1\leqslant k\leqslant k_n, \, m\geqslant \widetilde m_k, \, m_k^*\leqslant m\leqslant \widehat m\}, \\ \mathrm{II}&=\{(k,m)\colon 1\leqslant k\leqslant \min\{k_n,k_n^*\}, \, m\geqslant \widehat m\}, \\ \mathrm{III} &=\{(k,m)\colon 1\leqslant k\leqslant k_n, \, m_k^*\leqslant m\leqslant \widetilde m_k; \,m\leqslant m_k\text{ при }k_n^*< k\leqslant k_n\}, \\ \mathrm{IV}&=\{(k,m)\colon k_n^*< k\leqslant k_n, \, m\geqslant m_k\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В $\mathrm{I}\,{\cup}\,\mathrm{II}$ используем включение $W_{k,m+1} \subset 2^{k(\beta-1-1/q+1/p_1)}\cdot 2^{-m(1+1/q-1/p_1)} B_{p_1}^{2^{m+1}}$, в $\mathrm{III}$ – включение (2.40), в $\mathrm{IV}$ – включение (2.39). Используя (2.21), (2.37) и (2.41), получаем, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &S_*\underset{\mathfrak{Z}}{\lesssim} n^{-\widetilde \theta} + \sum_{(k,m)\in \mathrm{I}} 2^{k(\beta-1-1/q+1/p_1)}\cdot 2^{-m(1+1/q-1/p_1)} \\ &\qquad\times 2^{m/q}\cdot n^{-1/2}\cdot 2^{(\varepsilon/2)(|k-k_1(n)|+|m-m_1(n)|)} \\ &+\sum_{(k,m)\in \mathrm{II}} 2^{k(\beta-1-1/q+1/p_1)}\cdot 2^{-m(1+1/q-1/p_1)} \\ &+ \sum_{(k,m)\in \mathrm{III}} \!\!\!2^{k((1-\widetilde\lambda)(\beta-1-1/q+1/p_1)-\widetilde\lambda(\sigma+1/q-1/p_0))} \cdot 2^{-m((1-\widetilde\lambda) (1+1/q-1/p_1)+\widetilde\lambda(1/q-1/p_0))} \\ &\qquad\times 2^{m/q}\cdot n^{-1/2}\cdot 2^{(\varepsilon/2)(|k-k_1(n)|+|m-m_1(n)|)} \\ &+ \sum_{(k,m)\in \mathrm{IV}} 2^{k((1-\lambda)(\beta-1-1/q+1/p_1)-\lambda(\sigma+1/q-1/p_0))} \\ &\qquad\times 2^{-m((1-\lambda) (1+1/q-1/p_1)+\lambda(1/q-1/p_0))}=:S. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В первой и второй суммах стоит убывающая геометрическая прогрессия по $m$ и возрастающая геометрическая прогрессия по $k$; так как $p_0>q$, то $\lambda<1$, поэтому в последней сумме стоит убывающая геометрическая прогрессия по $m$. Осталось вычислить сумму по области $\mathrm{III}$. Отметим, что при $\varepsilon=0$ эта область является треугольником с вершинами $A_1=(\widetilde k_n,\widetilde m_{\widetilde k_n})$, $A_2=(k_n^*,\widetilde m_{k_n^*})$, $A_3=(k_n,m_{k_n})$ или содержится в нем (здесь использовались равенства (2.44) и (2.47)). Сначала вычислим значения слагаемых из третьей суммы в точках $A_j$ при $\varepsilon=0$; обозначим их через $S_j(n)$. В силу (2.42) и (2.45),
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, S_1(n) &= 2^{\widetilde k_n(\beta-1-1/q+1/p_1)}\cdot 2^{-\widetilde m_{\widetilde k_n}(1+1/q-1/p_1)}\cdot 2^{\widetilde m_{\widetilde k_n}/q}\cdot n^{-1/2} \\ &\!\!\!\!\stackrel{(2.44)}{\underset{\mathfrak{Z}}{\asymp}} 2^{\widetilde k_n(\beta-1-1/q+1/p_1)}n^{-1-1/q+1/p_1}\cdot n^{1/q-1/2} \stackrel{(1.3),(2.27)}{\underset{\mathfrak{Z}}{\asymp}} n^{-\theta+1/q-1/2}, \\ S_2(n) &= 2^{k_n^*(\beta-1-1/q+1/p_1)}\cdot 2^{-\widetilde m_{k_n^*}(1+1/q -1/p_1)}\cdot 2^{\widetilde m_{k_n^*}/q}\cdot n^{-1/2} \\ &\!\!\!\!\stackrel{(2.44)}{\underset{\mathfrak{Z}}{\asymp}} 2^{k_n^*(\beta-1-1/q+1/p_1)} \cdot n^{-(q/2)(1+1/q-1/p_1)} \stackrel{(1.3),(2.28)}{\underset{\mathfrak{Z}}{\asymp}} n^{-q\theta/2}, \\ S_3(n) &= 2^{k_n((1-\lambda)(\beta-1-1/q +1/p_1)-\lambda(\sigma+1/q-1/p_0))} \\ &\qquad\times 2^{-m_{k_n}((1-\lambda)(1+1/q-1/p_1)+\lambda(1/q-1/p_0))} \\ &\!\!\!\!\stackrel{(2.47)}{\underset{\mathfrak{Z}}{\asymp}} 2^{k_n((1-\lambda)(\beta-1-1/q +1/p_1)-\lambda(\sigma+1/q-1/p_0))}\,{\cdot}\, n^{-((1-\lambda)(1 + 1/q-1/p_1)+\lambda(1/q-1/p_0))} \\ &\underset{\mathfrak{Z}}{\asymp} 2^{k_n(\beta-1-1/q+1/p_1)}\,{\cdot}\, n^{-1-1/q+1/p_1}\,{\cdot}\, 2^{-k_n\lambda(\beta +\sigma-1-1/p_0+1/p_1)}\,{\cdot}\, n^{\lambda(1+1/p_0-1/p_1)} \\ &\!\!\!\!\!\!\!\!\!\stackrel{(1.3),(2.26)}{\underset{\mathfrak{Z}}{\asymp}} n^{-\widetilde \theta}\cdot n^{-1/q+1/p_1} \cdot n^{\lambda(1/p_0-1/p_1)}\stackrel{(2.38)}{=} n^{-\widetilde \theta}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
По условию теоремы $\theta_{j_*}<\min_{j\ne j_*}\theta_j$. Снова учитывая (2.42) и (2.45), получаем, что при достаточно малом $\varepsilon>0$ и $(k_1(n),m_1(n))=A_{j_*}$ выполнено $S\underset{\mathfrak{Z}}{\lesssim} n^{-\theta_{j_*}}$. Случай $p_0<q$, $q>2$. Пусть сначала $q<\infty$. Полагаем $\widehat k_n=k_n^*$. Тогда выполнено (2.32). 1) Пусть $p_1\leqslant 2$, $p_0\leqslant 2$. Определим числа $m_k$ равенством
$$
\begin{equation}
2^{-(\sigma+1/q-1/p_0)k}\cdot 2^{-m_k(1/q-1/p_0)} = 2^{k(\beta-1-1/q+1/p_1)}\cdot 2^{-m_k(1+1/q-1/p_1)}.
\end{equation}
\tag{2.48}
$$
Тогда
$$
\begin{equation}
2^{k(\beta+\sigma-1-1/p_0+1/p_1)}= 2^{m_k(1+1/p_0-1/p_1)}, \qquad 2^{m_{\widetilde k_n}} \stackrel{(2.27)}{=} n, \qquad 2^{m_{k_n^*}}\stackrel{(2.28)}{=} n^{q/2}.
\end{equation}
\tag{2.49}
$$
В силу (2.10) справедливы соотношения
$$
\begin{equation}
W_{k,m+1} \subset 2^{k(\beta-1-1/q+1/p_1)} \cdot 2^{-(m+1)(1+1/q-1/p_1)} B_{p_1}^{2^{m+1}},
\end{equation}
\tag{2.50}
$$
$$
\begin{equation}
W_{k,m+1} \subset 2^{-k (\sigma+1/q-1/p_0)} \cdot 2^{-(m+1)(1/q-1/p_0)}B_{p_0}^{2^{m+1}}.
\end{equation}
\tag{2.51}
$$
Разобьем множество $\{(k,m)\colon 1\leqslant k\leqslant k_n^*, \, m\geqslant m_k^*\}$ на области
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathrm{I}&=\{(k,m)\colon 1\leqslant k\leqslant k_n^*, \, m_k^*\leqslant m\leqslant \widehat m, \, m\geqslant m_k\}, \\ \mathrm{II}&=\{(k,m)\colon 1\leqslant k\leqslant k_n^*, \, m\geqslant \widehat m\}, \\ \mathrm{III}& =\{(k,m)\colon 1\leqslant k\leqslant k_n^*, \, m_k^*\leqslant m\leqslant m_k\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В $\mathrm{I}\cup \mathrm{II}$ используем включение (2.50), в $\mathrm{III}$ – включение (2.51). Применяя (2.21) и (2.32), получаем, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, S_*&\underset{\mathfrak{Z}}{\lesssim} n^{-q\theta/2} + \sum_{(k,m)\in \mathrm{I}} 2^{k(\beta-1-1/q+1/p_1)} \cdot 2^{-m(1+1/q-1/p_1)} \\ &\qquad\qquad\times 2^{m/q} \cdot n^{-1/2}\cdot 2^{(\varepsilon/2)(|k-k_1(n)|+|m-m_1(n)|)} \\ &\qquad+\sum_{(k,m)\in \mathrm{II}} 2^{k(\beta-1-1/q+1/p_1)} \cdot 2^{-m(1+1/q-1/p_1)} \\ &\qquad+\sum_{(k,m)\in \mathrm{III}} 2^{-k (\sigma+1/q-1/p_0)} \cdot 2^{-m(1/q-1/p_0)} \cdot 2^{m/q}n^{-1/2} \\ &\qquad\qquad\times 2^{(\varepsilon/2)(|k-k_1(n)|+|m-m_1(n)|)}=:S. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В первых двух суммах стоит убывающая по $m$ геометрическая прогрессия, в третьей – возрастающая. Учитывая (2.48), получаем, что при малых $\varepsilon>0$ и подходящем выборе $k_1(n)$, $m_1(n)$ выполнено соотношение
$$
\begin{equation*}
S\underset{\mathfrak{Z}}{\lesssim} S_1(n)+S_2(n)+n^{-q\theta/2},
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, S_1(n)&=2^{\widetilde k_n(\beta-1-1/q+1/p_1)} \cdot 2^{-m_{\widetilde k_n}(1+1/q-1/p_1)}\cdot 2^{m_{\widetilde k_n}/q} \cdot n^{-1/2} \\ &\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\stackrel{(2.27), (2.49)}{\underset{\mathfrak{Z}}{\lesssim}} n^{-\theta-1/2+1/q}, \\ S_2(n)&=2^{k_n^*(\beta-1-1/q+1/p_1)} \cdot 2^{-m_{k^*_n}(1+1/q-1/p_1)}\cdot 2^{m_{k^*_n}/q} \cdot n^{-1/2} \\ &\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\stackrel{(2.28), (2.49)}{\underset{\mathfrak{Z}}{\lesssim}} n^{-q\theta/2}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
2) Пусть $q\geqslant p_1\geqslant 2$, $q>p_0\geqslant 2$. Определим $m_k$ из равенства
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &2^{k(\beta-1-1/q+1/p_1)}\cdot 2^{-m_k(1+1/q-1/p_1)} (n^{-1/2}\cdot 2^{m_k/q})^{\frac{1/p_1-1/q}{1/2-1/q}} \\ &\qquad= 2^{k(-\sigma-1/q+1/p_0)}\cdot 2^{m_k(1/p_0-1/q)} (n^{-1/2}\cdot 2^{m_k/q})^{\frac{1/p_0-1/q}{1/2-1/q}}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда
$$
\begin{equation}
2^{(\beta+\sigma-1-1/p_0-1/p_1)k} \cdot 2^{-m_k(1+1/p_0-1/p_1)} (n^{-1/2}\cdot 2^{m_k/q})^{\frac{1/p_1-1/p_0}{1/2-1/q}} = 1,
\end{equation}
\tag{2.52}
$$
(для проверки достаточно подставить $2^{m_k}:=n$ и $2^{m_k}:=n^{q/2}$ в (2.52)). Области $\mathrm{I}$, $\mathrm{II}$, $\mathrm{III}$ определяем так же, как в предыдущем случае; в $\mathrm{I}\cup \mathrm{II}$ используем (2.50), в $\mathrm{III}$ используем (2.51). Применяя (2.21) и (2.32), получаем, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, S_* &\underset{\mathfrak{Z}}{\lesssim} \sum_{(k,m)\in \mathrm{I}} 2^{k(\beta-1-1/q+1/p_1)}\cdot 2^{-m(1+1/q-1/p_1)} \\ &\qquad\qquad\times (n^{-1/2}\cdot 2^{m/q}\cdot 2^{(\varepsilon/2)(|k-k_1(n)|+|m-m_1(n)|)} )^{\frac{1/p_1-1/q}{1/2-1/q}} \\ &\qquad+\sum_{(k,m)\in \mathrm{III}} 2^{k(-\sigma-1/q+1/p_0)}\cdot 2^{m(1/p_0-1/q)} \\ &\qquad\qquad\times (n^{-1/2}\cdot 2^{m/q} \cdot 2^{(\varepsilon/2)(|k-k_1(n)|+|m-m_1(n)|)})^{\frac{1/p_0-1/q}{1/2-1/q}} \\ &\qquad+\sum_{(k,m)\in \mathrm{II}} 2^{k(\beta-1-1/q+1/p_1)} \cdot 2^{-m(1+1/q-1/p_1)}+n^{-q\theta/2}=:S. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Рассуждая так же, как в предыдущем случае, получаем, что при подходящих $\varepsilon>0$, $k_1(n)$, $m_1(n)$ выполнено $S\underset{\mathfrak{Z}}{\lesssim} S_1(n)+S_2(n)+n^{-q\theta/2}$, где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, S_1(n)&=2^{k_n(\beta-1-1/q+1/p_1)}\cdot 2^{-m_{k_n}(1+1/q-1/p_1)} (n^{-1/2}\cdot 2^{m_{k_n}/q})^{\frac{1/p_1-1/q}{1/2-1/q}} \\ &\!\!\!\!\!\!\!\!\stackrel{(2.26),(2.53)}{\underset{\mathfrak{Z}}{\lesssim}} n^{-\widetilde \theta}, \\ S_2(n)&=2^{k_n^*(\beta-1-1/q+1/p_1)}\cdot 2^{-m_{k^*_n}(1+1/q-1/p_1)}(n^{-1/2}\cdot 2^{m_{k^*_n}/q})^{\frac{1/p_1-1/q}{1/2-1/q}} \\ &\!\!\!\!\!\!\!\!\stackrel{(2.28),(2.53)}{\underset{\mathfrak{Z}}{\lesssim}} n^{-q\theta/2}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
3) Пусть $p_0<2<p_1\leqslant q$ или $1<p_1<2<p_0$. Пусть $\lambda \in (0,1)$ таково, что
$$
\begin{equation}
\frac 12 =\frac{1-\lambda}{p_1} +\frac{\lambda}{p_0}.
\end{equation}
\tag{2.54}
$$
Из (2.10) и (2.13) следует, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, W_{k,m}&\subset 2^{k((1-\lambda)(\beta -1-1/q+1/p_1) -\lambda (\sigma + 1/q -1/p_0))} \nonumber \\ &\qquad\times 2^{-m((1-\lambda)(1+1/q-1/p_1) + \lambda(1/q-1/p_0))} B_2^{2^m}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.55}
$$
a) Пусть $p_0<2<p_1\leqslant q$. Тогда числа $m_k$ определяем из равенства
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &2^{k((1-\lambda) (\beta - 1-1/q+1/p_1)-\lambda(\sigma +1/q-1/p_0))}2^{-m_k((1-\lambda)(1+1/q-1/p_1)+\lambda(1/q-1/p_0))} \nonumber \\ &\qquad= 2^{k(-\sigma - 1/q+1/p_0)}\cdot 2^{m_k(1/p_0-1/q)}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.56}
$$
числа $\widetilde m_k$ – из равенства
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &2^{k((1-\lambda)(\beta-1-1/q+1/p_1)-\lambda(\sigma +1/q-1/p_0))} \nonumber \\ &\qquad\qquad \times 2^{-\widetilde m_k((1-\lambda)(1+1/q-1/p_1)+ \lambda(1/q-1/p_0))}\cdot 2^{\widetilde m_k/q}n^{-1/2} \nonumber \\ &\qquad= 2^{k(\beta-1-1/q+1/p_1)}\cdot 2^{-\widetilde m_k(1+1/q-1/p_1)}\cdot (2^{\widetilde m_k/q}n^{-1/2})^{\frac{1/p_1-1/q}{1/2-1/q}}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.57}
$$
Тогда из (2.26)–(2.28), (2.54), (2.56), (2.57) следует, что
$$
\begin{equation}
2^{\widetilde{m}_{k_n}} = n, \quad 2^{m_{\widetilde k_n}} = n, \quad 2^{\widetilde m_{k_n^*}} = n^{q/2}, \quad 2^{m_{k_n^*}}= n^{q/2}.
\end{equation}
\tag{2.58}
$$
Отметим также, что $k_n\leqslant \widetilde k_n\leqslant k_n^*$. Разобьем множество $\{(k,m)\colon 1\leqslant k\leqslant k_n^*, m\geqslant m_k^*\}$ на области
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathrm{I} &= \{(k,m)\colon 1\leqslant k\leqslant k_n^*,\, m_k^*\leqslant m\leqslant \widehat m, \, m\geqslant \widetilde m_k\}, \\ \mathrm{II} &= \{(k,m)\colon 1\leqslant k\leqslant k_n^*,\, m\geqslant \widehat m\}, \\ \mathrm{III} &= \{ (k,m)\colon 1\leqslant k\leqslant k_n^*, \, m\geqslant m_k, \, m_k^*\leqslant m\leqslant \widetilde m_k\}, \\ \mathrm{IV} &= \{ (k,m)\colon 1\leqslant k\leqslant k_n^*, \, m_k^*\leqslant m\leqslant m_k\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В $\mathrm{I}\cup \mathrm{II}$ применяем включение (2.50), в $\mathrm{III}$ – включение (2.55), в $\mathrm{IV}$ – включение (2.51). Получаем, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, S_* &\underset{\mathfrak{Z}}{\lesssim} n^{-q\theta/2}+\sum_{(k,m)\in \mathrm{II}} 2^{k(\beta-1-1/q+1/p_1)} \cdot 2^{-m(1+1/q-1/p_1)} \\ &\qquad+\sum_{(k,m)\in \mathrm{I}} 2^{k(\beta-1-1/q+1/p_1)} \cdot 2^{-m(1+1/q-1/p_1)} \\ &\qquad\qquad\times(n^{-1/2}\cdot 2^{m/q}\cdot 2^{(\varepsilon/2)(|k-k_1(n)|+|m-m_1(n)|)})^{\frac{1/p_1-1/q}{1/2-1/q}} \\ &\qquad+\sum_{(k,m)\in \mathrm{III}} 2^{k((1-\lambda)(\beta-1-1/q+1/p_1) -\lambda (\sigma+1/q-1/p_0))} \\ &\qquad\qquad\times 2^{-m((1-\lambda)(1+1/q-1/p_1) + \lambda(1/q-1/p_0))} \\ &\qquad\qquad\times n^{-1/2}\cdot 2^{m/q}\cdot 2^{(\varepsilon/2)(|k-k_1(n)|+|m-m_1(n)|)} \\ &\qquad +\sum_{(k,m)\in \mathrm{IV}} 2^{-k (\sigma+1/q-1/p_0)} \cdot 2^{-m(1/q-1/p_0)}n^{-1/2}\cdot 2^{m/q} \\ &\qquad\qquad\times 2^{(\varepsilon/2)(|k-k_1(n)|+|m-m_1(n)|)}=:S. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Рассуждая так же, как в случае $1<p_1<2<q<p_0$, получаем, что $S$ оценивается суммой значений величины
$$
\begin{equation*}
2^{k((1-\lambda)(\beta-1-1/q+1/p_1) -\lambda (\sigma+1/q-1/p_0))} \cdot 2^{-m((1-\lambda)(1+1/q-1/p_1) + \lambda(1/q-1/p_0))}n^{-1/2} \cdot 2^{m/q}
\end{equation*}
\notag
$$
в точках $(k_n,\widetilde m_{k_n})$, $(\widetilde k_n,m_{\widetilde k_n})$, $(k_n^*,m_{k_n^*})$, являющихся вершинами треугольника, задающего область $\mathrm{III}$; здесь используются соотношения (2.56)–(2.58). Снова учитывая эти равенства, получаем, что $S\underset{\mathfrak{Z}}{\lesssim} n^{-q\theta/2}+S_1(n)+S_2(n)+ S_3(n)$, где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, S_1(n)&=2^{k_n(\beta-1-1/q+1/p_1)} \cdot 2^{-\widetilde m_{k_n}(1+1/q-1/p_1)}(n^{-1/2}\cdot 2^{\widetilde m_{k_n}/q})^{\frac{1/p_1-1/q}{1/2-1/q}} \underset{\mathfrak{Z}}{\asymp} n^{-\widetilde \theta}, \\ S_2(n) &=2^{k_n^*(\beta-1-1/q+1/p_1)} \cdot 2^{-\widetilde m_{k_n^*}(1+1/q-1/p_1)}(n^{-1/2}\cdot 2^{\widetilde m_{k_n^*}/q})^{\frac{1/p_1-1/q}{1/2-1/q}} \underset{\mathfrak{Z}}{\asymp} n^{-q\theta/2}, \\ S_3(n)&=2^{-\widetilde k_n (\sigma+1/q-1/p_0)} \cdot 2^{-m_{\widetilde k_n}(1/q-1/p_0)}n^{-1/2}\cdot 2^{m_{\widetilde k_n}/q} \underset{\mathfrak{Z}}{\asymp} n^{-\theta-1/2+1/q}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
b) Пусть $1<p_1<2<p_0$. Определим числа $m_k$ и $\widetilde m_k$ из равенств
$$
\begin{equation}
2^{k(-\sigma-1/q+1/p_0)}\cdot 2^{m_k(1/p_0-1/q)} \cdot (2^{m_k/q}n^{-1/2})^{(1/p_0-1/q)/(1/2-1/q)} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad= 2^{k((1-\lambda)(\beta-1 -1/q+1/p_1) -\lambda(\sigma +1/q-1/p_0))} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad\qquad \times 2^{-m_k((1-\lambda)(1+1/q -1/p_1)+\lambda (1/q-1/p_0))} \cdot 2^{m_k/q}\cdot n^{-1/2},
\end{equation}
\tag{2.59}
$$
$$
\begin{equation}
2^{k((1-\lambda)(\beta-1 -1/q+1/p_1) -\lambda(\sigma +1/q-1/p_0))} \cdot 2^{-\widetilde m_k((1-\lambda)(1+1/q -1/p_1) +\lambda (1/q-1/p_0))} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad= 2^{k(\beta-1-1/q+1/p_1)}\cdot 2^{-\widetilde m_k(1+1/q-1/p_1)}.
\end{equation}
\tag{2.60}
$$
Тогда из (2.26)–(2.28), (2.54), (2.59), (2.60) следует, что
$$
\begin{equation}
2^{\widetilde m_{\widetilde k_n}} = n, \quad 2^{m_{k_n}} =n, \quad 2^{\widetilde m_{k_n^*}} = n^{q/2}, \quad 2^{m_{k_n^*}} = n^{q/2}.
\end{equation}
\tag{2.61}
$$
Отметим также, что $\widetilde k_n\leqslant k_n$, $\widetilde k_n\leqslant k_n^*$. Области $\mathrm{I}$ и $\mathrm{II}$ определяем так же, как в предыдущем случае, а кроме того,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathrm{III} &= \{ (k,m)\colon 1\leqslant k\leqslant k_n^*, \, m_k^*\leqslant m\leqslant \widetilde m_k; \,m\geqslant m_k \text{ при }k_n<k\leqslant k_n^*\}, \\ \mathrm{IV} &= \{ (k,m)\colon k_n< k\leqslant k_n^*, \, m_k^*\leqslant m\leqslant m_k\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В $\mathrm{I}\,{\cup}\,\mathrm{II}$ применяем включение (2.50), в $\mathrm{III}$ – включение (2.55), в $\mathrm{IV}$ – включение (2.51). Далее рассуждаем как в предыдущем случае и, учитывая (2.61), получаем, что $S_*\underset{\mathfrak{Z}}{\lesssim} n^{-q\theta/2} + S_1(n)+S_2(n)+S_3(n)$, где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, S_1(n)&=2^{\widetilde k_n(\beta-1-1/q+1/p_1)} \cdot 2^{-\widetilde m_{\widetilde k_n}(1+1/q-1/p_1)}n^{-1/2}\cdot 2^{\widetilde m_{\widetilde k_n}/q} \underset{\mathfrak{Z}}{\asymp} n^{-\theta-1/2+1/q}, \\ S_2(n) &=2^{k_n^*(\beta-1-1/q+1/p_1)} \cdot 2^{-\widetilde m_{k_n^*}(1+1/q-1/p_1)}n^{-1/2}\cdot 2^{\widetilde m_{k_n^*}/q} \underset{\mathfrak{Z}}{\asymp} n^{-q\theta/2}, \\ S_3(n) &=2^{-k_n (\sigma+1/q-1/p_0)} \cdot 2^{-m_{k_n}(1/q-1/p_0)} (n^{-1/2}\cdot 2^{m_{k_n}/q})^{\frac{1/p_0-1/q}{1/2-1/q}} \underset{\mathfrak{Z}}{\asymp} n^{-\widetilde\theta}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
4) Пусть $2\leqslant p_0<q$, $p_1> q$. Определим $\lambda\in (0,1)$ из равенства Тогда выполнено (2.14).Определим числа $m_k$ равенством
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &2^{-k(\sigma+1/q-1/p_0)} \cdot 2^{m_k(1/p_0-1/q)} \cdot (n^{-1/2}\cdot 2^{m_k/q})^{\frac{1/p_0-1/q}{1/2 - 1/q}} \nonumber \\ &\qquad= 2^{k((1-\lambda)(\beta -1-1/q+1/p_1) -\lambda (\sigma +1/q-1/p_0))}\cdot 2^{-m_k(1-\lambda)}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.62}
$$
Тогда из (2.26), (2.28), (2.62) следует, что
$$
\begin{equation}
\begin{split} &2^{k_n((1-\lambda)(\beta -1-1/q+1/p_1) -\lambda(\sigma +1/q-1/p_0))}\cdot 2^{-m_{k_n}(1-\lambda)} \\ &\qquad= 2^{k_n(\beta -1-1/q+1/p_1)}\cdot 2^{-m_{k_n}}. \end{split}
\end{equation}
\tag{2.64}
$$
Отметим, что $k_n<k_n^*$. При $k\leqslant k_n$, $m\geqslant m_k^*$ применяем включение (2.50), при $k_n<k\leqslant k_n^*$, $m\,{\geqslant}\,m_k$ – включение (2.14), при $k_n<k\leqslant k_n^*$, $m_k^*\leqslant m\leqslant m_k$ – включение (2.51). Учитывая (2.21), (2.24), (2.64), в итоге получаем $S_*\underset{\mathfrak{Z}}{\lesssim} n^{-q\theta/2}+S_1(n)+S_2(n)$, где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, S_1(n)&=2^{k_n(\beta -1-1/q+1/p_1)}\cdot 2^{-m_{k_n}} \stackrel{(2.63)}{\underset{\mathfrak{Z}}{\asymp}} n^{-\widetilde \theta}, \\ S_2(n) &= 2^{-k_n^*(\sigma +1/q-1/p_0)} \cdot 2^{m_{k_n^*}(1/p_0-1/q)} \cdot (n^{-1/2}\cdot 2^{m_{k_n^*}/q})^{\frac{1/p_0-1/q} {1/2 - 1/q}} \stackrel{(2.63)}{\underset{\mathfrak{Z}}{\asymp}} n^{-q\theta/2}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
5) Пусть $p_0<2<q<p_1$. Определим $\lambda\in (0,1)$ и $\widetilde \lambda \in (0,1)$ из равенств
$$
\begin{equation}
\frac 1q = \frac{1-\lambda}{p_1}+\frac{\lambda}{p_0}, \qquad \frac 12 = \frac{1-\widetilde\lambda}{p_1}+\frac{\widetilde\lambda}{p_0}.
\end{equation}
\tag{2.65}
$$
Из (2.10) и (2.13) следует, что выполнено (2.14) и
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, W_{k,m} &\subset 2^{k((1-\widetilde\lambda)(\beta-1-1/q+1/p_1) -\widetilde\lambda (\sigma+1/q-1/p_0))} \nonumber \\ &\qquad\qquad\times 2^{-m((1-\widetilde\lambda)(1+1/q-1/p_1) + \widetilde\lambda(1/q-1/p_0))} B_2^{2^m}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.66}
$$
Определим числа $\widetilde m_k$ и $m_k$ из равенств
$$
\begin{equation}
2^{-k(\sigma+1/q-1/p_0)} \cdot 2^{\widetilde m_k(1/p_0-1/q)} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad= 2^{k((1-\widetilde \lambda)(\beta-1-1/q+1/p_1)-\widetilde \lambda (\sigma+1/q-1/p_0))}\cdot 2^{-\widetilde m_k((1-\widetilde \lambda)(1+1/q-1/p_1)+\widetilde \lambda(1/q-1/p_0))},
\end{equation}
\tag{2.67}
$$
$$
\begin{equation}
2^{k((1-\widetilde \lambda)(\beta-1-1/q+1/p_1)-\widetilde \lambda (\sigma+1/q-1/p_0))} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad\qquad\times 2^{-m_k((1-\widetilde \lambda)(1+1/q-1/p_1)+\widetilde \lambda(1/q-1/p_0))} \cdot n^{-1/2}\cdot 2^{m_k/q} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad = 2^{k((1- \lambda)(\beta-1-1/q+1/p_1)- \lambda (\sigma+1/q-1/p_0))}\cdot 2^{-m_k(1-\lambda)}.
\end{equation}
\tag{2.68}
$$
Тогда в силу (2.26)–(2.28), (2.65), (2.67), (2.68) выполнено
$$
\begin{equation}
2^{m_{k_n}} = n, \quad 2^{\widetilde m_{\widetilde k_n}} = n,\quad 2^{m_{k_n^*}} = n^{q/2}, \quad 2^{\widetilde m_{k_n^*}} = n^{q/2},
\end{equation}
\tag{2.69}
$$
а также (2.64). Разобьем множество $\{(k,m)\colon 1\leqslant k\leqslant k_n^*, \, m\geqslant m_k^*\}$ на области
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathrm{I} &=\{(k,m)\colon 1\leqslant k\leqslant k_n, \, m\geqslant m_k^*\}, \\ \mathrm{II} &=\{(k,m)\colon k_n\leqslant k\leqslant k_n^*, \, m\geqslant m_k\}, \\ \mathrm{III} &=\{(k,m)\colon k_n\leqslant k\leqslant k_n^*, \, m\geqslant m_k^*, \, \widetilde m_k\leqslant m\leqslant m_k\}, \\ \mathrm{IV} &=\{(k,m)\colon k_n\leqslant k\leqslant k_n^*, \, m_k^*\leqslant m\leqslant \widetilde m_k\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В $\mathrm{I}$ используем включение (2.50), в $\mathrm{II}$ – включение (2.14), в $\mathrm{III}$ – включение (2.66), в $\mathrm{IV}$ – включение (2.51). В итоге получаем соотношение
$$
\begin{equation*}
S_* \underset{\mathfrak{Z}}{\lesssim} n^{-q\theta/2}+S_1(n)+S_2(n)+S_3(n),
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, S_1(n)&=2^{k_n(\beta -1-1/q+1/p_1)}\cdot 2^{-m_{k_n}} \stackrel{(2.69)}{\underset{\mathfrak{Z}}{\asymp}} n^{-\widetilde \theta}, \\ S_2(n)&=2^{-\widetilde k_n(\sigma +1/q-1/p_0)} \cdot 2^{\widetilde m_{\widetilde k_n}(1/p_0-1/q)} \cdot n^{-1/2}\cdot 2^{\widetilde m_{\widetilde k_n}/q}\stackrel{(2.69)}{\underset{\mathfrak{Z}}{\asymp}} n^{-\theta-1/2+1/q}, \\ S_3(n) &= 2^{-k_n^*(\sigma +1/q-1/p_0)} \cdot 2^{\widetilde m_{k_n^*}(1/p_0-1/q)} \cdot n^{-1/2}\cdot 2^{\widetilde m_{k_n^*}/q} \stackrel{(2.69)}{\underset{\mathfrak{Z}}{\asymp}} n^{-q\theta/2}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
При $q=\infty$, $p_1>1$, $p_0<\infty$ оценка доказывается аналогично рассмотренным случаям 1)–3) с использованием (2.23), (2.25); при этом вместо $\widehat m= n^{q/2}$ берется $\widehat m = n^{\widetilde q/2}$, $k_n^*$ задается равенством
$$
\begin{equation*}
2^{k_n^*(\beta+\sigma-1-1/p_0+1/p_1)}=n^{\widetilde q(1+1/p_0-1/p_1)/2},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\widetilde q$ – достаточно большое число. Последовательности $m_k$ и $\widetilde m_k$ определяются точно так же, как при $q<\infty$. В итоге получится оценка $S_*\underset{\mathfrak{Z}}{\lesssim} n^{-\theta-1/2}$ в случае 1) и оценка $S_* \underset{\mathfrak{Z}}{\lesssim} n^{-\widetilde\theta}$ в случае 2). В случае 3) по условию теоремы предполагается, что $\theta+1/2\ne \widetilde \theta$, и получается оценка $S_*\underset{\mathfrak{Z}}{\lesssim} n^{-\min\{\theta+1/2,\widetilde \theta\}}$.
§ 3. Оценка снизуРазобьем отрезок $[2^{-k},2^{-k+1}]$ на $2^m$ одинаковых отрезков $\Delta_j=[t_{j-1},t_j]$, $1\leqslant j\leqslant 2^m$. Пусть
$$
\begin{equation*}
\varphi_j(t)=\varkappa \cdot \max \biggl\{ 0,\,\frac{t_j-t_{j-1}}{2} -\biggl|t-\frac{t_j+t_{j-1}}{2}\biggr|\biggr\},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\varkappa>0$ выбирается так, что $\|\varphi_j\|_{L_q[0,1]} = 1$. Тогда
$$
\begin{equation}
\varphi_j\biggl(\frac{t_j+t_{j-1}}{2}\biggr) \underset{\mathfrak{Z}}{\asymp} 2^{(k+m)/q}.
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
Рассмотрим функции вида $f=\sum_{j=1}^{2^m} c_j\varphi_j$ и найдем условия на $c_j$, при которых $f\in M$. Имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|gf'\|^{p_1}_{L_{p_1}([0,1])} &= \sum_{j=1}^{2^m} |c_j|^{p_1} \|g\varphi_j'\|^{p_1}_{L_{p_1}(\Delta_j)} \!\!\!\stackrel{(1.2),(3.1)}{\underset{\mathfrak{Z}}{\asymp}}\! \sum_{j=1}^{2^m} |c_j|^{p_1}\,{\cdot}\,2^{-p_1\beta k}\,{\cdot}\, 2^{(k+m)(p_1+p_1/q-1)}, \\ \|wf\|^{p_0}_{L_{p_0}([0,1])} &= \sum_{j=1}^{2^m} |c_j|^{p_0} \|w\varphi_j\|^{p_0}_{L_{p_0}(\Delta_j)} \stackrel{(1.2),(3.1)}{\underset{\mathfrak{Z}}{\asymp}} \sum_{j=1} ^{2^m} |c_j|^{p_0}\cdot 2^{p_0\sigma k}\cdot 2^{(k+m)(p_0/q-1)}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В силу (2.10), существует $c(\mathfrak{Z})>0$ такое, что если $(c_j)_{j=1}^{2^m}\in W_{k,m}$, то $f\in c(\mathfrak{Z})M$. Пусть
$$
\begin{equation*}
\Lambda =\biggl\{ \sum_{j=1}^{2^m}c_j\varphi_j\colon (c_j)_{j=1}^{2^m}\in W_{k,m}\biggr\},\qquad L=\operatorname{span}\{\varphi_j\}_{j=1}^{2^m} \subset L_q[0,1],
\end{equation*}
\notag
$$
оператор $A\colon L\to l_q^{2^m}$ определен равенством
$$
\begin{equation*}
A\biggl(\sum_{j=1}^{2^m}c_j\varphi_j\biggr)=(c_j)_{j=1}^{2^m}.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $\|\varphi_j\|_{L_q[0,1]}=1$, то $A$ – изометрический изоморфизм. Так как носители функций $\varphi$ попарно не перекрываются, то существует проектор $P\colon L_q[0,1] \to L$, $\|P\|=1$. Из свойств поперечников получаем для $l\in \mathbb{Z}_+$ оценки
$$
\begin{equation}
d_l(M,L_q[0,1])\underset{\mathfrak{Z}}{\gtrsim} d_l(\Lambda,L_q[0,1]) = d_l(\Lambda,L) \geqslant d_l(A(\Lambda),l_q^{2^m})= d_l(W_{k,m},l_q^{2^m}).
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
Из (2.24) следует, что Пусть $2^m = 2n$. Выберем $a_{k,m}>0$ такие, что
$$
\begin{equation*}
\Bigl\{(c_1,\dots,c_{2^m})\colon \max_{1\leqslant j\leqslant 2^m} |c_j| \leqslant a_{k,m}\Bigr\} \subset W_{k,m}.
\end{equation*}
\notag
$$
В силу (2.10), для этого достаточно, чтобы
$$
\begin{equation*}
a_{k,m}\cdot 2^{m/p_1} \leqslant 2^{\beta k}\cdot 2^{-(k+m) (1+1/q-1/p_1)}, \quad a_{k,m}\cdot 2^{m/p_0} \leqslant 2^{-\sigma k} \cdot 2^{-(k+m) (1/q-1/p_0)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Выберем $m_k'\in \mathbb{R}$ так, чтобы
$$
\begin{equation*}
2^{-m_k'/p_1}\cdot 2^{\beta k}\cdot 2^{-(k+m'_k) (1+1/q-1/p_1)} = 2^{-m_k'/p_0}\cdot2^{-\sigma k} \cdot 2^{-(k+m'_k) (1/q-1/p_0)}
\end{equation*}
\notag
$$
и положим $m_k=[m_k']$. Отсюда получаем
$$
\begin{equation}
2^{m_k} \underset{\mathfrak{Z}}{\asymp} 2^{k(\beta+\sigma-1-1/p_0+1/p_1)}.
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
Положим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, a_{k,m_k} &= \min\{ 2^{-m_k/p_1}\cdot 2^{\beta k}\cdot 2^{-(k+m_k) (1+1/q-1/p_1)}, \\ &\qquad\qquad 2^{-m_k/p_0}\cdot 2^{-\sigma k} \cdot 2^{-(k+m_k) (1/q-1/p_0)}\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Если $2^{m_k} = 2n$, то
$$
\begin{equation}
d_n(W_{k,m_k},l_q^{2n}) \geqslant a_{k,m_k}d_n(B^{2n}_\infty,l^{2n}_q) \stackrel{(3.3)}{\underset{\mathfrak{Z}} {\asymp}} a_{k,m_k}\cdot 2^{m_k/q} \stackrel{(1.3),(3.4)}{\underset{\mathfrak{Z}}{\asymp}} n^{-\widetilde \theta}.
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
Теперь выберем $a_{k,m}>0$ так, чтобы
$$
\begin{equation*}
\biggl\{(c_1,\dots,c_{2^m})\colon \sum_{1\leqslant j\leqslant 2^m} |c_j| \leqslant a_{k,m}\biggr\} \subset W_{k,m}.
\end{equation*}
\notag
$$
Для этого достаточно, чтобы выполнялись неравенства
$$
\begin{equation*}
a_{k,m} \leqslant 2^{\beta k}\cdot 2^{-(k+m) (1+1/q-1/p_1)}, \qquad a_{k,m} \leqslant 2^{-\sigma k} \cdot 2^{-(k+m) (1/q-1/p_0)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Выберем $m_k'\in \mathbb{R}$ так, чтобы
$$
\begin{equation*}
2^{\beta k}\cdot 2^{-(k+m'_k)(1+1/q-1/p_1)} = 2^{-\sigma k} \cdot 2^{-(k+m'_k)(1/q-1/p_0)}
\end{equation*}
\notag
$$
и положим $m_k=[m_k']$. Тогда
$$
\begin{equation}
2^{k(\beta+\sigma -1-1/p_0+1/p_1)} \underset{\mathfrak{Z}}{\asymp} 2^{m_k(1+1/p_0-1/p_1)}.
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
Значит,
$$
\begin{equation}
2^{\beta k}\cdot 2^{-(k+m_k)(1+1/q-1/p_1)} \underset{\mathfrak{Z}}{\asymp} 2^{-m_k\theta}.
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
Положим
$$
\begin{equation*}
a_{k,m_k} = \min\{ 2^{\beta k}\cdot 2^{-(k+m_k)(1+1/q-1/p_1)},\, 2^{-\sigma k} \cdot 2^{-(k+m_k) (1/q-1/p_0)}\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $n\in \mathbb{N}$, $2^{m_k} = 2n$. Тогда, используя (2.21), (2.22), (2.25), (3.6), (3.7), получаем
$$
\begin{equation}
d_n(W_{k,m_k},l_q^{2n}) \geqslant a_{k,m_k} d_n(B^{2n}_1,l^{2n}_q) \underset{\mathfrak{Z}}{\asymp} n^{-\theta-\max\{0,1/2-1/q\}}.
\end{equation}
\tag{3.8}
$$
Пусть теперь $2<q<\infty$, $2^{m_k} \leqslant n^{q/2}\underset{\mathfrak{Z}}{\lesssim} 2^{m_k}$. Тогда
$$
\begin{equation}
d_n(W_{k,m_k},l_q^{2^{m_k}}) \geqslant a_{k,m_k} d_n(B^{2^{m_k}}_1,l^{2^{m_k}}_q) \stackrel{(2.21),(3.6), (3.7)} {\underset{\mathfrak{Z}}{\asymp}} n^{-q\theta /2}.
\end{equation}
\tag{3.9}
$$
Из формул (3.2), (3.5), (3.8) и (3.9) следует требуемая оценка снизу.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Vas21} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|