| Известия Российской академии наук. Серия математическая |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 8 научных статьях (всего в 8 статьях) Функции, универсальные относительно тригонометрической системы М. Г. Григорян, Л. Н. Галоян Ереванский государственный университет
Англоязычная версия:
Izvestiya: Mathematics, 2021, Volume 85, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/IM8964 
Реферативные базы данных:
     § 1. ВведениеСуществование функций и рядов, универсальных в том или ином смысле в различных классах функций, изучалось, начиная с первой половины 20-го века, многими математиками работавшими в теории функций как действительного, так и комплексного переменного, см. [1]–[17]. Заметим, что единого определения понятия “универсальная функция” не существует. Обычно под этим термином понимается функция, с помощью которой можно “представить” все функции. При этом способ представления, а также класс представимых функций может трактоваться различным образом. По сути первый тип универсальной функции был рассмотрен в 1929 г. Биркхофом в работе [1]: существует целая функция $g(z)$, которая универсальна относительно сдвигов, т. е. для любой целой функции $f(z)$ и числа $r>0$ существует возрастающая последовательность натуральных чисел $\{n_k\}_{k=1}^{\infty}$ такая, что последовательность сдвигов $\{g(z+n_k)\}_{k=1}^{\infty}$ равномерно сходится к $f(z)$ на круге $|z|\leqslant r$. В 1935 г. Марцинкевич [2] доказал существование непрерывной функции, которая универсальна относительно производных чисел: если $\{h_n\}_{n=1}^{\infty}$ заранее фиксированная бесконечно малая последовательность, то существует непрерывная на $[0,1]$ функция $F$ такая, что для любой измеримой функции $g$, определенной на $[0,1]$, существует возрастающая последовательность натуральных чисел $\{n_k\}_{k=1}^{\infty}$ такая, что
$$
\begin{equation*}
\frac{F(x+h_{n_k})-F(x)}{h_{n_k}}\to g(x)\quad\textit{п.в. на }[0,1].
\end{equation*}
\notag
$$
Более того, множество таких универсальных функций является множеством второй категории в $C[0,1]$. В 1991 г. Кротов [3] поставил и изучил вопрос о возможной гладкости таких функций $F$ (функций Марцинкевича) и связал этот вопрос с поведением ряда Фурье–Стилтьеса функции $F$. В 1952 г. Маклейн в работе [4] доказал, что существует целая функция $g(z)$, которая универсальна относительно производных, а именно: для любой целой функции $f(z)$ и числа $r>0$ можно выбрать возрастающую последовательность натуральных чисел $\{n_k\}_{k=1}^{\infty}$ так, чтобы последовательность производных $\{g^{(n_k)}(z)\}_{k=1}^{\infty}$ равномерно сходилась к $f(z)$ на круге $|z|\leqslant r$. Далее, в 1975 г. Воронин [5] доказал теорему универсальности дзета-функции Римана: пусть $0<r<1/4$, а функция $f(s)$ непрерывна, не имеет нулей внутри круга $|s|\leqslant r$ и аналитична внутри этого круга. Тогда для всякого $\varepsilon\,{>}\,0$ существует вещественное число $T=T(\varepsilon)$, что выполняется неравенство
$$
\begin{equation*}
\max_{|s|\leqslant r}\biggl|f(s)-\zeta\biggl(s+\frac34+iT\biggr)\biggr|<\varepsilon.
\end{equation*}
\notag
$$
Близким к понятию универсальной функции является понятие универсального ряда. Так называют ряды, с помощью которых можно представить любую функцию (здесь также способ представления и класс представляемых функций можно понимать различным образом). Часто такой ряд связан с какой-то функцией, например, является ее рядом Тейлора или Фурье (Фурье–Стильтеса). Понятие универсального ряда восходит к работам Меньшова [6] и Талаляна [7]. Универсальные ряды также изучались во многих работах и имеется значительная информация о свойствах таких рядов (см. [8]–[17]). Следует отметить, что первый универсальный вещественный степенной ряд был построен еще в 1914 г. Фекетом. Он, в частности, доказал существование действительного степенного ряда $\sum_{k=1}^{\infty}a_kx^k$ со следующим свойством: для всякой непрерывной на $[-1,1]$ функции $g(x)$ с $g(0)=0$ существует такая возрастающая последовательность целых положительных чисел $\{n_j\}_{j=1}^{\infty}$, что равномерно относительно $x\in[-1,1]$ имеет место равенство В 1987 г. Гроссе–Эрдман [18] доказал существование действительнозначной функции с универсальным рядом Тейлора: существует функция $g\in C^{\infty }(\mathcal{R})$ с $g(0)=0$, ряд Тейлора которой в точке $x=0$ локально равномерно универсален в $C(\mathcal{R})$, т. е. для любой функции $f\in C(\mathcal{R})$ с $f(0)=0$ и числа $r>0$, существует подпоследовательность
$$
\begin{equation*}
S_{n_k}(g,0)=\sum_{m=1}^{n_k}{\frac{g^{(m)}(0)}{m!}}x^{m}
\end{equation*}
\notag
$$
частичных сумм ряда Тейлора функции $g(x)$, которая равномерно сходится к $f(x)$ на отрезке $|x|\leqslant r$. В работах [19]–[21] можно найти доказательство следующего факта: пусть $0\leqslant r<\infty$. Существует степенной ряд $\sum_{n=0}^{\infty}a_nz^n$ с радиусом сходимости $r$ такой, что для произвольного компакта $K$ из $\{z\colon |z|>r\}$ со связным дополнением и для любой непрерывной на $K$ и голоморфной внутри $K$ функции $h$ существует возрастающая последовательность целых положительных чисел $\{n_j\}_{j=1}^{\infty}$ такая, что равномерно на $K$ имеет место равенство $\lim_{j\to\infty}\sum_{k=1}^{n_j}a_kz^k=h(z)$. Первой работой, где построены универсальные тригонометрические ряды в классе всех измеримых функций в смысле сходимости почти всюду, является работа Меньшова [6]. Он доказал следующую фундаментальную теорему. Теорема 1. Существует тригонометрический ряд со следующим свойством: для любой измеримой функции $g(x)$, определеной на $[-\pi, \pi]$, существует возрастающая подпоследовательность натуральных чисел $\{n_j\}_{j=1}^{\infty}$ такая, что подпоследовательность частичных сумм сходится почти всюду на $[-\pi, \pi]$ к $g(x)$. Замечание 1. Отметим, что не существует функции $U\in L^{1}[-\pi, \pi]$, подпоследовательность частичных сумм ряда Фурье (в отличие от рядов Тейлора) которой могли бы (даже по мере) приближать все измеримые функции. В самом деле, если бы существовала такая функция $U\in L^{1}[-\pi, \pi]$, то для функции $f(x)=2U(x)$ нашлась бы подпоследовательность натуральных чисел $\{m_k\}\nearrow\infty$ такая, что по мере на $[-\pi, \pi]$ Тем не менее, в этой статье мы построим функцию $U\in L^{1}[-\pi, \pi]$ такую, что после выбора подходящих знаков $\{\delta_k=\pm1\}_{|k|=0}^{\infty}$, для ее коэффициентов Фурье $\{c_k(U)\}_{|k|=0}^{\infty}$ можно достичь того, чтобы подпоследовательности частичных сумм ряда $\sum_{|k|=0}^{\infty}\delta_kc_k(U)e^{i kx}$ могли бы приближать все измеримые функции в смысле сходимости почти всюду. § 2. Формулировка результатовПусть $M[a, b]$ – совокупность всех (не обязательно конечных) измеримых функций на $[a, b]$, $L^p[a, b]$, $p>0$, представляет собой класс всех измеримых на $[a, b]$ функций, для которых $\int_a^b|f|^p\, dx<\infty$, $|E|$ – лебегова мера измеримого множества $E\subseteq[a, b]$, $\mathbb{N}$ – совокупность всех натуральных чисел. Под сходимостью в $M[a, b]$ мы будем подразумевать сходимость почти всюду. Пусть $\{\varphi_k(x)\}_{k=1}^{\infty}$ – полная ортонормированная ограниченная система на $[a,b]$, и пусть
$$
\begin{equation*}
c_k(U)=\int_a^bU(x)\varphi_k(x)\, dx,\qquad k\in\mathbb{N},
\end{equation*}
\notag
$$
– коэффициенты Фурье по системе $\{\varphi_k(x)\}_{k=0}^{\infty}$ функции $U\in L^{1}[a,b]$. Пусть $S$ обозначает какое-нибудь из пространств $M[a, b]$ или $L^p[a, b]$. Определение 1. Ряд называется универсальным в $S$: 1) в обычном смысле, если для каждой функции $f\in S$ существует возрастающая последовательность натуральных чисел $n_k$ такая, что у ряда (2.1) последовательность частичных сумм с номерами $n_k$ сходится к $f$ в пространстве $S$; 2) в смысле (относительно) перестановок, если для каждой функции $f\in S$ члены ряда (2.1) можно переставить так, чтобы вновь полученный ряд сходился к функции $f$ в пространстве $S$;3) в смысле (относительно) знаков в $S$, если для каждой функции $f\in S$ можно найти последовательность знаков $\{\delta_k=\pm1\}_{k=0}^{\infty}$, для которой ряд $\sum_{k=1}^{\infty}\delta_kf_k$ сходится к функции $f$ в пространстве $S$. Как уже отмечали выше, в работе [6] Меньшовым построены универсальные ряды в $M[-\pi,\pi]$. Ряды $\sum_{k=1}^{\infty}a_k\varphi_k(x)$ по любой ортонормированной полной системе $\{\varphi_n(x)\}_{n=1}^{\infty}$, $x\in[0,1]$, универсальные в $M[0,1]$ были построены А. А. Талаляном в работе [7], см. также работы [8]–[13]. В данной статье будем изучать вопрос существования функций, ряды Фурье которых по тригонометрической системе универсальны в том или ином смысле в различных функциональных классах. Такие функции мы назовем универсальными относительно тригонометрической системы. Определение 2. Будем говорить, что функция $U\in$ $L^{1}[a,b]$ универсальна для класса $S$ относительно системы $\{\varphi_k(x)\}_{k=0}^{\infty}$: a) в обычном смысле, если ряд Фурье функции $U$ по этой системе универсален в $S$ в обычном смысле; b) в квазиобычном смысле, если существует последовательность знаков $\{\delta_k=\pm1\}_{k=0}^{\infty}$ такая, что ряд $\sum_{k=0}^{\infty}\delta_kc_k(U)\varphi_k(x)$ универсален в обычном смысле в $S$; c) в смысле перестановок, если ряд Фурье функции $U$ по этой системе универсален в $S$ в смысле (относительно) перестановок; d) в смысле знаков своих коэффициентов Фурье по этой системе, если ряд Фурье функции $U$ по этой системе универсален в $S$ в смысле знаков. В силу замечания 1 не существует функции $U\in$ $L^{1}[-\pi,\pi]$, универсальной для класса $M[-\pi,\pi]$ относительно тригонометрической системы в обычном смысле (аналогичным образом можно доказать, что последнее утверждение верно и в случае систем Уолша, Хаара, Франклина и Виленкина). Сразу же возникает следующий вопрос, ответ на который нам не известен. Вопрос 1. Существует ли такая ортонормированная система $\{\varphi_n(x)\}$ ограниченных функций такая, что можно было бы построить универсальную функцию $U$ для класса $M$ относительно системы $\{\varphi_n(x)\}$ в обычном смысле? Тем не менее, в этой статье мы построим функцию $U\in L^{1}[-\pi,\pi]$ такую, что после выбора подходящих знаков $\{\delta_k=\pm1\}_{|k|=0}^{\infty}$, для ее коэффициентов Фурье $\{c_k(U)\}_{|k|=0}^{\infty}$ можно достичь того, чтобы вновь полученный ряд $\sum_{|k|=0}^{\infty}\delta_kc_k(U)e^{i kx}$ являлся универсальным в обычном смысле в ${M}[-\pi,\pi]$. Более того верно следующее утверждение. Теорема 2. Для каждого $p\in(0,1)$ существует функция $U\in$ $L^{1}[-\pi,\pi]$, универсальная для класса $L^p[-\pi,\pi]$ относительно тригонометрической системы в квазиобычном смысле. Замечание 2. Если при некотором $p\in(0,1)$ функция $U\in L^{1}[a,b]$ универсальна для пространства $L^p[a,b]$ относительно системы $\{\varphi_n(x)\}$ в квазиобычном смысле, то она будет универсальной и для класса ${M}[a,b]$ относительно системы $\{\varphi_n(x)\}$ в квазиобычном смысле. В самом деле, пусть функция $U\in L^{1}[a,b]$ универсальна для пространства $L^p[a,b]$, $p\in(0,1)$, относительно системы $\{\varphi_n(x)\}$ в квазиобычном смысле, тогда по определению можно найти числа $\{\delta_k=\pm1,\, k=1,2,\dots\}$ такие, что последовательность частичных сумм $S_{N}(x)=\sum_{k=0}^{\ N}\delta_kc_k(U)\varphi_k(x)$ ряда $\sum_{k=0}^{\infty}\delta_kc_k(U)\varphi_k(x)$ будет плотной в $L^p[a,b]$. Тогда существует возрастающая подпоследовательность натуральных чисел $N_{\nu}\nearrow\infty$ такая, что В этой статье доказывается также следующее утверждение. Теорема 3. Для каждого $p\in(0,1)$ существует функция $U\in L^{1}[-\pi,\pi]$, универсальная для класса $L^p[-\pi,\pi]$ относительно тригонометрической системы в смысле знаков своих коэффициентов Фурье. Замечание 3. Заметим, что из известной теоремы С. В. Конягина [23] (тригонометрические ряды не могут сходиться к $+\infty$ на множестве положительной меры) вытекает, что не существует функции $U\in$ $L^{1}[-\pi,\pi]$, универсальной для класса $M[-\pi,\pi]$ относительно тригонометрической системы в смысле знаков своих коэффициентов Фурье. Теоремы 2 и 3 следуют из теоремы 4. Теорема 4. Для каждого $p\in(0,1)$ существует функция $U\in$ $L^{1}[-\pi,\pi]$, универсальная для класса $L^p[-\pi,\pi]$ относительно тригонометрической системы как в квазиобычном смысле, так и в смысле знаков своих коэффициентов Фурье. Следует отметить,что теорема 4 окончательна в некотором смысле (неулучшаема), ибо не существует функции $U\in$ $L^{1}[-\pi,\pi]$, которая была бы универсальной для класса $L^{1}[-\pi,\pi]$ относительно тригонометрической системы либо в квазиобычном смысле, либо в смысле знаков своих коэффициентов Фурье (см. замечание 4). Замечание 4. Каковы бы ни были число $p\geqslant1$ и ограниченная ортонормированная система $\{\varphi_n(x)\}$, не существует функции $U\in$ $L^{1}[a,b]$, которая была бы универсальной для класса $L^p[a,b]$ относительно системы $\{\varphi_n(x)\}$ в квазиобычном смысле. Действительно, если бы при некотором $p\geqslant1$ относительно некоторой ограниченной ортонормированной системы $\{\varphi_n(x)\}$ существовала бы функция $U\in L^{1}[a,b]$, универсальная для класса $L^p[a,b]$, $p\geqslant1$, в квазиобычном смысле (соответственно в смысле знаков своих коэффициентов Фурье), то нашлась бы последовательность знаков $\{\delta_k=\pm1\}_{k=0}^{\infty}$ такая, что для любой функции $f\in L^p[a,b]$ с $c_1(f)\neq0$ нашлись бы последовательности $\{N_m, \Lambda_m\}$ такие, что Откуда следует, что справедлива оценка
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &|\delta_1c_1(U)-c_1(f)| =\biggl| \int_a^b \biggl( \sum_{k=1}^{N_m}\delta_kc_k(U)\varphi_k(x)-f(x)\biggr)\varphi_1(x)\, dx\biggr| \\ &\qquad\leqslant\sup_{x\in[a,b]}|\varphi_1(x)| \int_a^b \biggl| \sum_{k=1}^{N_m}\delta_kc_k(U)\varphi_k(x)-f(x)\biggr| \, dx\to0,\qquad m\to\infty. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда вытекает, что $\delta_1c_1(U)=c_1(f)$. Аналогично находим соотношение $\delta_1c_1(U)=2c_1(f)$ и сразу получаем противоречие: $c_1(f)=0$. В связи с представленными выше теоремами и определениями возникают следующие (на наш взгляд, интересные) вопросы, ответы на которые нам неизвестны. Вопрос 2. Существует ли ортонормированная система $\{\varphi_n(x)\}$ ограниченных функций и функция $U\in L^{1}[a,b]$, универсальная для некоторого класса $L^p[a,b]$, $p\in(0,1)$, относительно системы $\{\varphi_n(x)\}$ в обычном смысле? Вопрос 3. Существует ли функция $U\in L^{1}[-\pi,\pi]$, универсальная для некоторого класса $L^p[-\pi,\pi]$, $p\in(0,1)$, относительно тригонометрической системы, системы Уолша в смысле перестановок? В связи с вопросом 4 отметим, что теорема 3 верна для системы Уолша, более того, в работах М. Григоряна и А. Саргсяна (см. [14], [17]) построена функция $U\in L^{1}[0,1]$ со сходящимся рядом Фурье–Уолша и со строго убывающими коэффициентами Фурье–Уолша, универсальная для классов $L^p[0,1]$, $p\in(0,1)$, относительно системы Уолша в смысле знаков коэффициентов Фурье–Уолша. Отметим также, что доказательство основной леммы настоящей работы, с помощью которой доказывается теорема 4, отличается от доказательства соответствующей леммы работы [14]. Замечание 5. Следует отметить, что (как видно и из вышеизложенного) существование универсальных функций зависит от (типа) смысла универсальности, от системы, от пространства $S$ (в частности, $S$ – какое-нибудь из пространств $M$, $L^p[0,1]$, $p\geqslant0$). § 3. Обозначения и вспомогательные фактыНиже мы будем использовать следующие обозначения: $T$ – отрезок $[-\pi,\pi]$, $L^{r}(T)$ ($r>0$) – пространство всех измеримых на $T$ функций $f$, для которых $\int_T|f|^{r}\, dx\,{<}\,{+}\infty$, $C(T)$ – пространство непрерывных на $T$ функций, $\|\,{\cdot}\,\|_C$, $\|\,{\cdot}\,\|_{p}$ – нормы пространств $C(T)$ и $L^p(T)$ ($p\geqslant1$) соответственно, $|G|$ – мера множества $G$, $\mathbb{N}$ – множество натуральных чисел, $a_k(f)$, $b_k(f)$ – коэффициенты Фурье функции $f$, т. е.
$$
\begin{equation*}
a_k(f)=\frac{1}{\pi}\int_Tf(t)\cos kt\, dt,\qquad b_k(f)=\frac{1}{\pi}\int_Tf(t)\sin kt\,dt, \quad k\geqslant0,
\end{equation*}
\notag
$$
$\operatorname{spec}\{f\}$ – спектр функции $f$, т. е. множество $\{k\colon |a_k(f)|+|b_k(f)|\neq 0\}$, $\chi_{E}$ – характеристическая функция множества $E$, $S_n(\,{\cdot}\,,f)$ ($n\in\mathbb{N}$) – частичные суммы ряда Фурье функции $f$. Пусть
$$
\begin{equation*}
\Delta\equiv[a,b]\subset T,\qquad \Delta_k=\biggl[a+\frac{|\Delta|}{2^{k+1}},\, b-\frac{|\Delta|}{2^{k+1}}\biggr],\quad k\in \mathbb{N}.
\end{equation*}
\notag
$$
Определим непрерывные на всей числовой оси функции $t_k(x,\Delta)$ следующим образом: $t_k(x,\Delta)=1$ для $x\in\Delta_k$, $t_k(x,\Delta)=0$ для $x\notin\Delta$, $t_k(x,\Delta)$ линейная на $[a,a+|\Delta|/(2^k+1)]$ и линейная на $[b-|\Delta|/(2^k+1),b]$ и $t_k(x+2\pi,\Delta)=t_k(x,\Delta)$ ($x\in\mathbb R$). Для каждого $k\in \mathbb{N}$ обозначим через $I_n^{(k)}(x)$ ($n\in \mathbb{N}$) частичные суммы ряда Фурье функции $t_k(x,\Delta)$. Мы будем использовать (полиномы Радона–Шапиро) лемму Радона–Шапиро (см., например, [24; с. 146]). Лемма 1. Существует последовательность знаков $\{\varepsilon_{\nu}=\pm1\}_{\nu=1}^{\infty}$ такая, что Рассмотрим тригонометрические полиномы Фейера
$$
\begin{equation}
F_n(t)=\frac12+\sum_{\nu=1}^nf_{\nu}^{(n)}\cos \nu t, \qquad f_{\nu}^{(n)}=1-\frac{\nu}{n+1},\quad n\in \mathbb{N}.
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
Известно, что эти полиномы неотрицательны на всей числовой оси (см., например, [22; с. 138]). Положим
$$
\begin{equation}
\mathcal{F}_n(t)=\frac12+\sum_{\nu=1}^n\varepsilon_{\nu}f_{\nu}^{(n)}\cos \nu t,\qquad n\in \mathbb{N}.
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
Покажем, что для каждой последовательности $\{M_n\}_{n=1}^{\infty}\nearrow$; $M_n\geqslant4n$ справедливы оценки
$$
\begin{equation}
\biggl\| \frac{\cos M_nx}{\sqrt{n}}\mathcal{F}_n(x)\biggr\|_2 >\frac12,\qquad \biggl\| \frac{\cos M_nx}{\sqrt{n}}\mathcal{F}_n(x)\biggr\|_C\leqslant6.
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
В силу равенства Парсеваля из (3.1)–(3.3) будем иметь
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \biggl\| \frac{\cos M_nx}{\sqrt{n}}\mathcal{F}_n(x)\biggr\|_2 &=\sqrt{\int_T\biggl(\frac{\cos M_{n}x}{\sqrt{n}}\mathcal{F}_{n}(x)\biggr)^{2}\, dx} =\frac{1}{\sqrt{n}}\sqrt{\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2}\sum_{\nu=1}^n\biggl( 1-\frac{\nu}{n+1}\biggr)^2} \\ &=\frac{\sqrt{\pi}}{\sqrt{n}}\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{1}{2(n+1)^2}\sum_{\nu=1}^n (n+1-\nu)^2}>\frac12. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Применяя преобразования Абеля и учитывая (3.1)–(3.3), получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \biggl\| \frac{\cos M_nx}{\sqrt{n}}\mathcal{F}_n(x)\biggr\|_C &\leqslant\biggl\| \frac{1}{\sqrt{n}}\mathcal{F}_n\biggr\|_C=\frac{1}{\sqrt{n}}\biggl\| \frac12+\frac{1}{n+1} \sum_{\nu=1}^n\biggl( \sum_{k=1}^{\nu}\varepsilon_k\cos kx\biggr) \biggr\|_C \\ &\leqslant\frac{1}{\sqrt{n}}\biggl| \frac12+\frac{5}{n+1}\sum_{\nu=1}^n\sqrt{\nu}\biggr| \leqslant6. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь, используя оценки (3.4), покажем, что существуют числа $\alpha,\beta\in(0,1)$ такие, что для всех $n\in\mathbb{N}$
$$
\begin{equation}
\biggl| \biggl\{x\in T\colon\biggl| \frac{\cos M_nx}{\sqrt{n}}\mathcal{F}_n(x)\biggr| >\alpha\biggr\}\biggr| >\beta.
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
Действительно, в противном случае нашлись бы последовательности $\{\alpha_k\}_{k=1}^{\infty}\,{\searrow}\,0$, $\{\beta_k\}_{k=1}^{\infty}\searrow0$ и $\{n_k\}_{k=1}^{\infty}\nearrow\infty$ такие, что для всех $k\in\mathbb{N}$
$$
\begin{equation*}
\biggl| \biggl\{x\subset T\colon\biggl| \frac{\cos M_{n_k}x}{\sqrt{n_k}}\mathcal{F}_{n_k}(x)\biggr| \leqslant\alpha_k\biggr\}\biggr| >2\pi-\beta_k.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда, вводя обозначение
$$
\begin{equation*}
A_k=\biggl\{x\in T\colon\biggl| \frac{\cos M_{n_k}x}{\sqrt{n_k}}\mathcal{F}_{n_k}(x)\biggr| \leqslant\alpha_k\biggr\},\qquad k=1,2,\dots,
\end{equation*}
\notag
$$
и используя (3.4), сразу получаем противоречие
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \frac{1}{16}&<\biggl\| \frac{\cos M_{n_k}x}{\sqrt{n_k}}\mathcal{F}_{n_k}(x)\biggr\|_2^2= \int_{A_k} \biggl| \frac{\cos M_{n_k}x}{\sqrt{n_k}}\mathcal{F}_{n_k}(x)\biggr|^2\, dx \\ &\qquad+\int_{CA_k} \biggl| \frac{\cos M_{n_k}x}{\sqrt{n_k}}\mathcal{F}_{n_k}(x)\biggr|^2\, dx<2\pi(\alpha_k)^2+6\beta_k\to0,\qquad k\to\infty. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Из (3.5) вытекает, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\int_{A_n^+}\frac{\cos M_nx}{\sqrt{n}}\mathcal{F}_n(x)\, dx+ \int_{A_n^-} \biggl( -\frac{\cos M_nx}{\sqrt{n}}\mathcal{F}_n(x)\biggr) \, dx \nonumber \\ &\qquad=\int_T \biggl| \frac{\cos M_{n_k}x}{\sqrt{n_k}}\mathcal{F}_{n_k}(x)\biggr| \, dx\geqslant\alpha\beta, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
где
$$
\begin{equation*}
A_n^-=\biggl\{x\in T\colon\frac{\cos M_nx}{\sqrt{n}}\mathcal{F}_n(x)<0\biggr\},\qquad A_n^+=\biggl\{x\in T\colon\frac{\cos M_nx}{\sqrt{n}}\mathcal{F}_n(x)\geqslant0\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Ввиду того, что (см. (3.3))
$$
\begin{equation*}
0=\int_T\frac{\cos M_nx}{\sqrt{n}}\mathcal{F}_n(x)\, dx= \int_{A_n^-}\frac{\cos M_nx}{\sqrt{n}}\mathcal{F}_n(x)\, dx+ \int_{A_n^+} \frac{\cos M_nx}{\sqrt{n}}\mathcal{F}_n(x)\, dx,
\end{equation*}
\notag
$$
в силу (3.6) будем иметь
$$
\begin{equation}
\int_{A_n^-}\biggl( -\frac{\cos M_nx}{\sqrt{n}}\mathcal{F}_n(x)\biggr) \, dx= \int_{A_n^+} \frac{\cos M_nx}{\sqrt{n}}\mathcal{F}_n(x)\, dx\geqslant\frac12\alpha\beta.
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
Ясно, что используя (3.7) и повторяя те же рассуждения, что и при доказательстве (3.6), мы можем найти числа $\alpha,\beta\in(0,1)$ такие, что для всех $n\in\mathbb{N}$
$$
\begin{equation}
\biggl| \biggl\{ x\in T\colon\biggl( -\frac{\cos M_nx}{\sqrt{n}}\mathcal{F}_n(x)\biggr) >\alpha\biggr\} \biggr| = \biggl| \biggl\{ x\in T\colon\frac{\cos M_nx}{\sqrt{n}}\mathcal{F}_n(x)<-\alpha\biggr\} \biggr| >\beta.
\end{equation}
\tag{3.8}
$$
Пусть
$$
\begin{equation*}
T(x)=\sum_{k=0}^{N} \alpha_k\cos kx+\beta_k\sin kx, \qquad Q(x)=\sum_{k=0}^{N} \overline{\alpha}_k\cos kx+\overline{\beta}_k\sin kx
\end{equation*}
\notag
$$
– некоторые тригонометрические полиномы (ниже просто “полиномы”). Мы условимся писать $T\sim Q$, если при некоторых $\delta_k=\pm1$ ($0\leqslant k\leqslant N$) имеют место равенства
$$
\begin{equation*}
\alpha_k=\delta_k\overline{\alpha}_k, \quad \beta_k=\delta_k\overline{\beta}_k,\qquad 0\leqslant k\leqslant N.
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что i) если $T\sim Q$, то $\alpha T \sim \alpha Q $ для любого $\alpha\neq0$; ii) если $T \sim Q$ и порядки полиномов $T$ и $Q$ меньше чем $M\in \mathbb{N}$, то $T\cos Mx \sim Q\cos Mx$; iii) если $T_j \sim Q_j$ при всех $1\leqslant j\leqslant p$ и
$$
\begin{equation*}
\operatorname{spec}\{T_{j_1}\}\cap \operatorname{spec}\{T_{j_2}\}=\varnothing,\qquad \operatorname{spec}\{Q_{j_1}\}\cap \operatorname{spec}\{Q_{j_2}\}=\varnothing
\end{equation*}
\notag
$$
при $j_1\neq j_2$, $1\leqslant j_1,j_2\leqslant m$, то $\sum_{j=1}^{m}T_j \sim \sum_{j=1}^{m}Q_j$. И наконец, напомним следующую теорему (см. [22; с. 595]): пусть $f$ – суммируемая функция и $p\in(0,1)$. Тогда при всех $n\in\mathbb{N}$
$$
\begin{equation}
\int_{-\pi}^{\pi}|S_n(x,f)|^p\, dx\leqslant B_{p}\biggl(\int_{-\pi}^{\pi}|f(x)|\, dx\biggr)^p,
\end{equation}
\tag{3.9}
$$
где $B_{p}$ – константа, зависящая только от $p$.
§ 4. Доказательство леммНам понадобится следующая элементарная лемма. Лемма 2. Пусть $\{F_k(x)\}_{k=1}^{\infty}$ – последовательность измеримых функций, определенных на $(\alpha,\beta)$, стремящаяся к нулю по мере на $(\alpha,\beta)$ и удовлетворяющая условиям $\int_{\alpha}^{\beta}|F_{k}(x)|\, dx\leqslant M$ ($k\geqslant1$), где $M$ – постоянная. Тогда при любом $p\in(0,1)$ имеет место равенство Доказательство. Пусть $h$ – произвольное положительное число. Выберем числа $\mu, a, A>0$ так, чтобы $3a^p(\beta-\alpha)<h$, $3M A^{p-1}<h$ и $3A^p\mu<h$. Положим $E_k=\{x\in(\alpha,\beta)\colon |F_k(x)|\geqslant a\}$. Поскольку $\{F_k(x)\}_{k=1}^{\infty}$ стремится к нулю по мере на $(\alpha,\beta)$, то существует натуральное число $k(h)$ такое, что $|E_k|<\mu$ при всех $k\geqslant k(h)$. Отсюда при всех $k\geqslant k(h)$ получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_{\alpha}^{\beta} |F_k|^p\, dx &=\int_{CE_k} |F_k|^p\, dx+\int_{E_k\cap\{x\colon |F_k|<A\}} |F_k|^p\, dx+\int_{E_k\cap\{x\colon |F_k|\geqslant A\}} |F_k|^p\, dx \\ &\leqslant a^p(\beta-\alpha)+A^p\mu+\int_{E_k\cap\{x\colon |F_k|\geqslant A\}} |F_k|^p\, dx. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Учитывая, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_{E_k\cap\{x\colon |F_k|\geqslant A\}} |F_k|^p\, dx&=\int_{E_k\cap\{x\colon |F_k|\geqslant A\}} \frac{|F_k|}{|F_k|^{1-p}}\, dx \\ &\leqslant\frac{1}{A^{1-p}}\int_{E_k\cap\{x\colon |F_k|\geqslant A\}} |F_k|\, dx\leqslant \frac{M}{A^{1-p}}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
в итоге при всех $k\geqslant k(h)$ получаем
$$
\begin{equation*}
\int_{\alpha}^{\beta} |F_k|^p\, dx< a^p(\beta-\alpha)+A^p\mu+\frac{M}{A^{1-p}}<h.
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 2 доказана. В следующей лемме используются некоторые конструкции из работы [25] (а также [26; с. 333–337]). Лемма 3. Для любых чисел и интервала $\Delta\equiv(a, b)\subset T$ существуют тригонометрические полиномы $\mathcal{U}(x)$ и $\mathcal{Q}(x)$, удовлетворяющие следующим условиям: 1) спектры полиномов $\mathcal{U}(x)$ и $\mathcal{Q}(x)$ находятся правее $N_0$; 2) $\mathcal{U}(x)\backsim\mathcal{Q}(x)$; 3) $\int_T|\mathcal{Q}(x)-\gamma \chi_{\Delta}(x)|^p\, dx<\epsilon$; 4) $\int_T|S_n(x,\mathcal{Q})|^p\, dx<\overline{B}_{p}|\gamma|^p|\Delta|^p$ ($n\in\mathbb{N}$); 5) $\int_T|\mathcal{U}(x)|\, dx<\eta$, где $\overline{B}_{p}$ – константа, зависящая только от $p$. Доказательство. Зафиксируем положительное число $\varepsilon$, удовлетворяющее условию где Нашей ближайшей целью будет рассмотрение некоторых свойств последовательности где последовательности натуральных чисел $\{n_j, \sigma_j, \lambda_j\}_{j=1}^{\infty}$ будут выбраны ниже по индукции, при этом мы не будем налагать на эти последовательности никаких специфических условий, кроме требования “достаточно быстрого роста”.
Последовательность $\{n_j\}_{j=1}^{\infty}$ выберем таким образом, чтобы при всех $j$ выполнялись неравенства
$$
\begin{equation}
|I_{n_j}^{(j)}(x)-t_j(x,\Delta)|<\frac{\varepsilon}{2^jL_j},\qquad x\in \mathbb R,
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
где $L_j\equiv \max\{\|\mathcal{P}_{j-1}\|_{\infty};1\}$ ($\mathcal{P}_0(x)\equiv1$).
Заметим, что в силу равенства
$$
\begin{equation}
\mathcal{P}_k(x)-\mathcal{P}_{k-1}(x)=\mathcal{P}_{k-1}(x)\frac{1}{2^{k+s}} \mathcal{F}_{4^k}(2^{\sigma_k}x)I_{n_k}^{(k)}(x)\cos2^{\lambda_k}x,
\end{equation}
\tag{4.5}
$$
при достаточно быстром росте последовательностей $\{\sigma_j, \lambda_j\}_{j=1}^{\infty}$, можем добиться того, чтобы переход от $\mathcal{P}_{k-1}$ к $\mathcal{P}_k$ состоял в прибавлении к $\mathcal{P}_{k-1}$ группы гармоник со спектром, лежащим правее спектра $\mathcal{P}_{k-1}$. Ясно также, что при таких переходах можем добиться образования неограниченно расширяющихся лакун (достаточно подчинить последовательности $\{\sigma_j, \lambda_j\}_{j=1}^{\infty}$ условиям $2^{\sigma_j-1}>n_j$, $2^{\lambda_j}>2^{\lambda_{j-1}}+8\cdot2^{\sigma_j+2j}+4n_j+4N_{j-1}$, где $N_j$ – порядок полинома $\mathcal{P}_j$).
Итак, при достаточно быстром росте последовательностей $\{\sigma_j, \lambda_j\}_{j=1}^{\infty}$, произведение
$$
\begin{equation}
\prod_{j=1}^{\infty}\biggl(1+\frac{1}{2^{j+s}} \mathcal{F}_{4^j}(2^{\sigma_j}x)I_{n_j}^{(j)}(x)\cos2^{\lambda_j}x\biggr)
\end{equation}
\tag{4.6}
$$
можно представить в виде тригонометрического ряда
$$
\begin{equation}
1+\sum_{\nu=N_0}^{\infty}(\alpha_{\nu}\cos\nu x+\beta_{\nu}\sin\nu x).
\end{equation}
\tag{4.7}
$$
Теперь докажем несколько свойств последовательности $\{\mathcal{P}_j\}_{j=1}^{\infty}$.
В силу (3.4), (4.3) и (4.4) имеем
$$
\begin{equation}
\mathcal{P}_k(x)\geqslant 0,\qquad x\in\mathbb R, \quad k\in \mathbb{N}.
\end{equation}
\tag{4.8}
$$
Применением индукции покажем, что
$$
\begin{equation}
|\mathcal{P}_k(x)-1|<\varepsilon,\qquad x\notin\Delta, \quad k\in \mathbb{N},
\end{equation}
\tag{4.9}
$$
$$
\begin{equation}
\int_{\Delta}\mathcal{P}_k(x)\, dx<2|\Delta|,\qquad k\in \mathbb{N}.
\end{equation}
\tag{4.10}
$$
Действительно, в силу (3.4), (4.3) и (4.4)
$$
\begin{equation*}
|\mathcal{P}_1(x)-1|<\frac{6\varepsilon}{2^{2+s}},\qquad x\notin\Delta.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть при некотором значении $j$
$$
\begin{equation*}
|\mathcal{P}_{j-1}(x)-1|<\frac{\varepsilon}{2}(1-2^{-j+1}),\qquad x\notin\Delta,
\end{equation*}
\notag
$$
тогда, согласно (3.4) и (4.3), (4.4) имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |\mathcal{P}_j(x)-1|&\leqslant|\mathcal{P}_{j-1}(x)-1|+\biggl|\mathcal{P}_{j-1}(x)\frac{1}{2^{j+s}} \mathcal{F}_{4^j}(2^{\sigma_j}x)I_{n_j}^{(j)}(x)\cos2^{\lambda_j}x\biggr| \\ &<\frac{\varepsilon}{2}(1-2^{-j+1})+\frac{6\|\mathcal{P}_{j-1}\|_{\infty}}{2^{s}} \cdot\frac{\varepsilon}{2^jL_j}<\frac{\varepsilon}{2}(1-2^{-j}),\qquad x\notin\Delta. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, при всех $k\in\mathbb{N}$
$$
\begin{equation*}
|\mathcal{P}_k(x)-1|<\frac{\varepsilon}{2}(1-2^{-k})<\varepsilon,\qquad x\notin\Delta, \quad k\in \mathbb{N},
\end{equation*}
\notag
$$
и кроме этого, в силу $\int_T\mathcal{P}_k(x)\, dx=|T|$, получаем (см. (4.8) и (4.9))
$$
\begin{equation*}
\int_{\Delta}\mathcal{P}_k(x)\, dx=|T|-\int_{T\setminus\Delta}\mathcal{P}_k(x)\, dx= |\Delta|-\int_{T\setminus\Delta}(\mathcal{P}_k(x)-1)\, dx<2|\Delta|.
\end{equation*}
\notag
$$
Далее, докажем что
$$
\begin{equation*}
\lim_{k\to\infty}\mathcal{P}_k(x)=0\quad \text{п.в. на }\Delta.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $\mathcal{S}_n(x)$, $n\in \mathbb{N}$, – частичные суммы ряда (4.7). Имеем
$$
\begin{equation}
\mathcal{S}_{N_k}(x)=\mathcal{P}_k(x)=1+\sum_{\nu=N_0}^{N_k}(c_{\nu}\cos\nu x+d_{\nu}\sin\nu x),\qquad k\in \mathbb{N}.
\end{equation}
\tag{4.11}
$$
Поскольку $k$-е частичное произведение (4.6) (и $N_k$-я частичная сумма (4.7)) неотрицательно (см. (4.8)), то ряд (4.7) является рядом Фурье–Стильтеса неубывающей непрерывной функции. Обозначим эту функцию через $\psi(x)$. Известно, что такой ряд суммируем методом средних арифметических к $\psi'$. Благодаря наличию неограниченно расширяющихся лакун у ряда (4.7), в силу [26; теорема 1.27, с. 134], имеем $\mathcal{S}_{N_k}(x)\to \psi'(x)$. Используя (3.8) для полиномов
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{2^{k+s}} \mathcal{F}_{4^k}(x)\cos2^{\lambda_k-\sigma_k}x,\qquad k=1,2,\dots,
\end{equation*}
\notag
$$
мы можем утверждать, что существуют числа $\sigma\in(0,1)$, $\sigma'>0$ и множества $e_k$ ($k=1,2,\dots$) такие, что при всех $k\geqslant 1$
$$
\begin{equation}
1+\frac{1}{2^{k+s}} \mathcal{F}_{4^k}(x)\cos2^{\lambda_k-\sigma_k}x<\sigma,\quad x\in e_k,\qquad \mu e_k>\sigma'.
\end{equation}
\tag{4.12}
$$
Обозначим через $e_k'$ множества, получающиеся из $e_k$ при замене $x$ на $2^{\sigma_k}x$. Положим $e_k''=e_k'\cap\Delta_k$. Ясно, что при некотором $\sigma''\in(0,1)$ и достаточно больших значениях $k$ мы будем иметь (см. (4.12))
$$
\begin{equation}
1+\frac{1}{2^{k+s}} \mathcal{F}_{4^k}(2^{\sigma_k}x)\cos2^{\lambda_k}x<\sigma, \qquad x\in e_k''.
\end{equation}
\tag{4.14}
$$
Из (3.4) и (4.12)–(4.14) следует, что при достаточно больших значениях $k$ выполняется следующее неравенство:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &1+\frac{1}{2^{k+s}} \mathcal{F}_{4^k}(2^{\sigma_k}x)I_{n_k}^{(k)}(x)\cos2^{\lambda_k}x \nonumber \\ &\qquad=1+\frac{1}{2^{k+s}} \mathcal{F}_{4^k}(2^{\sigma_k}x)\cos2^{\lambda_k}x+\frac{1}{2^{k+\rho}} \mathcal{F}_{4^k}(2^{\sigma_k}x)(I_{n_k}^{(k)}(x)-1)\cos2^{\lambda_k}x \nonumber \\ &\qquad<\sigma+\frac{6}{2^{s}}\cdot\frac{\varepsilon}{2^k}<\sigma+\frac{1}{2^k},\qquad x\in e_k''. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.15}
$$
Положим
$$
\begin{equation*}
G=\bigcap_{s=1}^{\infty}\bigcup_{k=s}^{\infty} e_k''.
\end{equation*}
\notag
$$
Легко проверить, что (см. (4.13)) $\mu G=\mu\Delta$. Покажем, что $\psi'(x)=0$ почти всюду на $\Delta$. Пусть $x_0\in G$ и $\psi'(x_0)\neq0$ конечно (что имеет место почти всюду). Тогда $x_0\in e_{k_r}''$, $r=1,2,\dots$, для некоторой возрастающей последовательности натуральных чисел $k_r$. Выберем $k_0$ настолько большим, чтобы выполнялись неравенства
$$
\begin{equation}
\frac{1+\sqrt{\sigma}}{2} \psi'(x_0)<\mathcal{S}_{N_k}(x)<\frac{1}{\sqrt{\sigma}} \psi'(x_0),\qquad k\geqslant k_0.
\end{equation}
\tag{4.16}
$$
С другой стороны, при достаточно больших значениях $r$ имеем (см. (4.5), (4.11), (4.15))
$$
\begin{equation*}
|\mathcal{S}_{N_{k_r}}(x)|\,{=}\,|\mathcal{S}_{N_{k_r-1}}(x)|\biggl|1+\frac{1}{2^{k_r+s}} \mathcal{F}_{4^{k_r}}(2^{\sigma_{k_r}}x)I_{n_{k_r}}^{(k_r)}(x)\cos2^{\lambda_{k_r}}x\biggr| \,{<}\,\frac{\sigma+2^{-k_r}}{\sqrt{\sigma}} \psi'(x_0).
\end{equation*}
\notag
$$
Последнее неравенство вместе с (4.16) противоречат условию $\psi'(x_0)\neq0$. Таким образом,
$$
\begin{equation}
\lim_{k\to\infty}\mathcal{S}_{N_k}(x)=0 \quad \text{п.в. на }\Delta.
\end{equation}
\tag{4.17}
$$
Учитывая соотношения (4.8), (4.10), (4.11), (4.17) и применяя лемму 2, будем иметь
$$
\begin{equation}
\lim_{k\to\infty}\int_{\Delta}|\mathcal{S}_{N_k}(x)|^p \,dx =\lim_{k\to\infty}\int_{\Delta}|\mathcal{P}_k(x)|^p\, dx=0.
\end{equation}
\tag{4.18}
$$
Положим $T_0(x)\equiv1$ и определим последовательность тригонометрических полиномов $\{T_j(x)\}_{j=0}^{\infty}$ согласно соотношению
$$
\begin{equation}
T_j(x)=T_{j-1}(x)+\frac{1}{2^{j+s}} \mathcal{P}_{j-1}(x)I_{n_j}^{(j)}(x)F_{4^j}(2^{\sigma_j}x)\cos2^{\lambda_j}x.
\end{equation}
\tag{4.19}
$$
Ясно, что $\mathcal{P}_j\sim T_j$ при всех $j\in\mathbb{N}$. Выберем натуральное число $\overline{k}$ так, чтобы (см. (4.18))
$$
\begin{equation}
\int_{\Delta}|\mathcal{P}_{\bar{k}}(x)|^p\, dx<\varepsilon.
\end{equation}
\tag{4.20}
$$
Положим
$$
\begin{equation}
\mathcal{Q}(x) =\gamma(1-\mathcal{P}_{\bar{k}}(x)),
\end{equation}
\tag{4.21}
$$
Покажем, что полиномы (4.21) и (4.22) удовлетворяют условиям настоящей леммы. Сначала заметим, что (см. (4.5), (4.19)) спектры полиномов $\mathcal{U}(x)$ и $\mathcal{Q}(x)$ находятся правее $N_0$. Далее, в силу $\mathcal{P}_j\sim T_j$ имеем $\mathcal{Q}\sim \mathcal{U}$. Используя (4.9), (4.21), получим
$$
\begin{equation}
|\mathcal{Q}(x)|\leqslant |\gamma|\,|\mathcal{P}_{\bar{k}}(x)-1|<\varepsilon|\gamma|,\qquad x\notin\Delta.
\end{equation}
\tag{4.23}
$$
Далее, используя (4.1) и (4.20), (4.21), (4.23), получим оценку
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_T\left|\mathcal{Q}(x)-\gamma \chi_{\Delta}(x)\right|^p\, dx &=\int_{T\setminus\Delta}|\mathcal{Q}(x)|^p\, dx+ |\gamma|^p\int_{\Delta}|\mathcal{P}_{\bar{k}}(x)|^p\, dx \\ &\qquad\leqslant 2\pi\varepsilon^p|\gamma|^p+\varepsilon^p|\gamma|^p <8\varepsilon^p|\gamma|^p<\epsilon. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Учитывая неотрицательность полиномов Фейера из (3.4), (4.2)–(4.4), (4.19) и (4.21)–(4.23), получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_T|\mathcal{U}(x)|\, dx &=|\gamma|\,\biggl\|\sum_{j=1}^{\overline{k}}(T_j(x)-T_{j-1}(x))\biggr\|_1 \\ &=|\gamma|\,\biggl\|\sum_{j=1}^{\overline{k}}\frac{1}{2^{j+s}} \mathcal{P}_{j-1}(x)I_{n_j}^{(j)}(x)F_{4^j}(2^{\sigma_j}x)\cos2^{\lambda_j}x\biggr\|_1 \\ &\leqslant\frac{|\gamma|}{2^{s}}\sum_{j=1}^{\overline{k}} \frac{1}{2^j}\|\mathcal{P}_{j-1}I_{n_j}^{(j)}\|_{\infty}\cdot\|F_{4^j}(2^{\sigma_j}x)\|_1 <\frac{\pi|\gamma|}{2^{s}}\sum_{j=1}^{\infty}\biggl(\frac{3}{4}\biggr)^j {<}\,\frac{10|\gamma|}{2^{s}}\,{<}\,\eta. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Осталось проверить утверждение 4) настоящей леммы. В силу (4.1), (4.10), (4.21) и (4.23) имеем
$$
\begin{equation*}
\int_T|\mathcal{Q}(x)|\, dx =|\gamma|\int_T |\mathcal{P}_{\bar{k}}(x)-1|\, dx<4|\gamma|\,|\Delta|,
\end{equation*}
\notag
$$
следовательно (см. (3.9)),
$$
\begin{equation*}
\int_T|S_n(x,\mathcal{Q})|^p\, dx\leqslant B_{p}\biggl(\int_T|\mathcal{Q}(x)|\, dx\biggr)^p <4^pB_{p}|\gamma|^p|\Delta|^p=\overline{B}_{p}|\gamma|^p|\Delta|^p.
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 3 доказана. Лемма 4. Для любых чисел $\varepsilon, p \in(0, 1)$, $n_0\in \mathbb{N}$ и функции $f\in L^{1}[-\pi,\pi]$ с $\|f\|_1\neq0$ существуют тригонометрические полиномы $H(x)$ и $Q(x)$, удовлетворяющие следующим условиям: 1) спектры полиномов $H(x)$ и $Q(x)$ находятся правее $n_0$; 2) $H(x)\backsim Q(x)$; 3) $\int_T|Q(x)-f(x)|^p\, dx<\varepsilon$; 4) $\int_T|S_n(x,Q)|^p\, dx<2\int_T|f(x)|^p\, dx$, $n\in\mathbb{N}$; 5) $\int_T|H(x)|\, dx<\varepsilon$. Доказательство. Положим $\epsilon=\min\bigl\{\varepsilon/2;\, \int_T|f(x)|^p\, dx\bigr\}$. Ясно, что существует ступенчатая функция $\varphi(x)$ вида
$$
\begin{equation*}
\varphi(x)=\sum_{j=1}^{j_0}\gamma_j\chi_{\Delta_j}(x),\qquad \gamma_j\neq0,\quad j=1, \dots, j_0,
\end{equation*}
\notag
$$
такая, что где интервалы постоянства $\{\Delta_j\}$ функции $\varphi$ удовлетворяют условиям
$$
\begin{equation*}
\Delta_{t}\cap\Delta_{s}=\varnothing,\quad s\neq t, \qquad \bigcup_{j=1}^{j_0}\Delta_j=T,\qquad \overline{B}_{p}\max_{1\leqslant j\leqslant j_0}\{|\gamma_j|^p|\Delta_j|^p\}<\int_T|f(x)|^p\, dx.
\end{equation*}
\notag
$$
Применив лемму 3, получим полиномы $\{\mathcal{H}_j\}_{j=1}^{j_0}$ и $\{\mathcal{Q}_j\}_{j=1}^{j_0}$, удовлетворяющие при каждом $j=1,\dots, j_0$ условиям:
1) спектры полиномов $\mathcal{H}_j(x)$ и $\mathcal{Q}_j(x)$ лежат на $[N_{j-1}, N_j)$; 2) $\mathcal{H}_j(x)\backsim\mathcal{Q}_j(x)$; 3) $\int_T|\mathcal{Q}_j(x)-\gamma_j \chi_{\Delta_j}(x)|^p\, dx<\epsilon/j_0$; 4) $\int_T|S_n(x,\mathcal{Q}_j)|^p\, dx<\overline{B}_{p}|\gamma_j|^p|\Delta_j|^p$, $n\in\mathbb{N}$; 5) $\int_T|\mathcal{H}_j(x)|\, dx<\epsilon/j_0$, где $N_{j_0}>\dots>N_1>N_0=n_0$. Положим
$$
\begin{equation*}
H(x)=\sum_{j=1}^{j_0}\mathcal{H}_j(x), \qquad Q(x)=\sum_{j=1}^{j_0}\mathcal{Q}_j(x).
\end{equation*}
\notag
$$
Из свойств 1), 2) следует, что спектры полиномов $H(x)$ и $Q(x)$ находятся правее $n_0$ и $H(x)\backsim Q(x)$. Из свойств 3), 5) следует, что
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \int_T|H(x)|\, dx\leqslant\sum_{j=1}^{j_0}\int_T|\mathcal{H}_j(x)|\, dx<\varepsilon, \\ \begin{aligned} \, \int_T|Q(x)-f(x)|^p\, dx &\leqslant\int_T|Q(x)-\varphi(x)|^p\, dx+\int_T|\varphi(x)-f(x)|^p\, dx \\ &\leqslant \sum_{j=1}^{j_0}\int_T|\mathcal{Q}_j(x)-\gamma_j \chi_{\Delta_j}(x)|^p\, dx+\epsilon<\varepsilon. \end{aligned} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $n\in[N_{j'-1}, N_{j'})$. В силу свойств 3), 4) имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_T|S_n(x,Q)|^p\, dx &\leqslant\int_T\biggl|\sum_{j=1}^{j'-1}\mathcal{Q}_j(x)\biggr|^p\, dx+ \int_T|S_n(x,\mathcal{Q}_{j'})|^p\, dx \\ &\leqslant \int_T\biggl|\sum_{j=1}^{j'-1}(\mathcal{Q}_j(x)-\gamma_j \chi_{\Delta_j}(x))\biggr|^p\, dx+ \int_T\biggl|\sum_{j=1}^{j'-1}\gamma_j \chi_{\Delta_j}(x)\biggr|^p\, dx \\ &\qquad+\int_T|S_n(x,\mathcal{Q}_{j'})|^p\, dx\leqslant 2\int_T|f(x)|^p\, dx. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 4 доказана. § 5. Доказательство теоремы 4Пусть $p\in(0,1)$. Обозначим через $\{f_m(x)\}_{m=1}^{\infty}$ последовательность всех тригонометрических полиномов с рациональными коэффициентами. Применяя лемму 4, полагая в ее формулировке $n_0=M_1=1$, $\epsilon=2^{-1}$ и $f=f_1$, можем определить полиномы
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \begin{aligned} \, H_1^{(1)}(x)&=\sum_{k=M_1}^{M_2-1}a_k^{(1)}\cos kx+b_k^{(1)}\sin kx, \\ Q_1^{(1)}(x)&=\sum_{k=M_1}^{M_2-1}\delta_k^{(1)}(a_k^{(1)}\cos kx+b_k^{(1)}\sin kx), \end{aligned} \\ \delta_k^{(1)}=\pm1,\qquad \forall\, k\in[M_1,M_2), \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
удовлетворяющие условиям
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \int_T|f_1(x)-{Q_1^{(1)}}(x)|^p\, dx<2^{-1}, \\ \max_{m\in[ M_1,M_2)}\int_T|S_m(x, Q_1^{(1)})|^p\, dx<4\int_T|f_1(x)|^p\, dx, \\ \|H_1^{(1)}\|_1<2^{-1}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Снова применяя лемму 4, полагая в ее формулировке $n_0=M_2$, $\varepsilon=\eta =2^{-1}$ и $f=f_1-H_1^{(1)}$, определим полиномы
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \begin{aligned} \, H_1^{(2)}(x)&=\sum_{k=M_2}^{M_{3}-1}a_k^{(1)}\cos kx+b_k^{(1)}\sin kx, \\ Q_1^{(2)}(x)&=\sum_{k=M_2}^{M_{3}-1}\delta_k^{(1)}(a_k^{(1)}\cos kx+b_k^{(1)}\sin kx), \end{aligned} \\ \delta_k^{(1)}=\pm1,\qquad \forall k\in[M_2,M_{3}), \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
удовлетворяющие условиям
$$
\begin{equation*}
\int_T\bigl|[f_1(x)-H_1^{(1)}(x)]-{Q_1^{(2)}}(x)\bigr|^p\, dx<2^{-1},\qquad \|H_1^{(2)}\|_1<2^{-1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Продолжая эти рассуждения, определим по индукции последовательности полиномов $\{H_n^{(1)}(x)\}_{n=1}^{\infty}$, $\{H_n^{(2)}(x)\}_{n=1}^{\infty}$, $\{Q_n^{(1)}(x)\}_{n=1}^{\infty}$, $\{Q_n^{(2)}(x)\}_{n=1}^{\infty}$ видов
$$
\begin{equation}
H_n^{(1)}(x) =\sum_{k=M_{2n-1}}^{M_{2n}-1}(a_k^{(n)}\cos kx+b_k^{(n)}\sin kx),
\end{equation}
\tag{5.1}
$$
$$
\begin{equation}
Q_n^{(1)}(x) =\sum_{k=M_{2n-1}}^{M_{2n}-1}\delta_k^{(1)}(a_k^{(n)}\cos kx+b_k^{(n)}\sin kx),
\end{equation}
\tag{5.2}
$$
$$
\begin{equation}
H_n^{(2)}(x) =\sum_{k=M_{2n}}^{M_{2n+1}-1}(a_k^{(n)}\cos kx+b_k^{(n)}\sin kx),
\end{equation}
\tag{5.3}
$$
$$
\begin{equation}
Q_n^{(2)}(x) =\sum_{k=M_{2n}}^{M_{2n+1}-1}\delta_k^{(n)}(a_k^{(n)}\cos kx+b_k^{(n)}\sin kx),
\end{equation}
\tag{5.4}
$$
$$
\begin{equation*}
\{M_j\}_{j=1}^{\infty}\nearrow \infty,\qquad \delta_k^{(n)}=\pm1,\qquad k\in[M_{2n-1},M_{2n+1}),
\end{equation*}
\notag
$$
которые для каждого $n\in\mathbb N$ удовлетворяют условиям
$$
\begin{equation}
\max_{m\in[ M_{2n-1},M_{2n})}\int_T|S_m(x, Q_n^{(1)})|^p\, dx<4\int_T|f_n(x)|^p\, dx,
\end{equation}
\tag{5.6}
$$
$$
\begin{equation}
\int_T\biggl| f_n(x)-\sum_{j=1}^n(H_j^{(1)}(x)+Q_j^{(2)}(x))\biggr|^p\, dx<2^{-n},
\end{equation}
\tag{5.7}
$$
$$
\begin{equation}
\|H_n^{(1)}\|_1<2^{-n},\qquad \|H_n^{(2)}\|_1<2^{-n}.
\end{equation}
\tag{5.8}
$$
Определим функцию $U(x)$ следующим образом:
$$
\begin{equation}
U(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(H_n^{(1)}(x)+H_n^{(2)}(x)\bigr).
\end{equation}
\tag{5.9}
$$
Поскольку (см. (5.8))
$$
\begin{equation*}
\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{j=1}^2\|H_n^{(j)}\|_1<\infty,
\end{equation*}
\notag
$$
то согласно теореме Лебега ряд (5.9) сходится почти всюду и его сумма $U\in L^{1}[-\pi,\pi]$. Далее, определим последовательности чисел $\{a_k, b_k\}$ следующим образом:
$$
\begin{equation}
a_k=a_k^{(n)},\quad b_k=b_k^{(n)},\qquad k\in[M_{2n-1}, M_{2n+1}),\quad n\in\mathbb{N},
\end{equation}
\tag{5.10}
$$
и рассмотрим ряд В силу (5.1), (5.3), (5.8) и (5.9),
$$
\begin{equation*}
\biggl\|U(x)-\sum_{k<M_{2n+1}}(a_k\cos kx+b_k\sin kx)\biggr\|_1\leqslant\sum_{k=n+1}^{\infty}\sum_{j=1}^2\|H_k^{(j)}\|_1<2^{-n+1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Значит, некоторая подпоследовательность частичных сумм ряда (5.11) сходится к $U$ по $L^{1}$ норме. Отсюда следует, что ряд (5.11) является рядом Фурье функции $U$. Положим
$$
\begin{equation}
\delta_k= \begin{cases} 1, &k\in[ M_{2n-1},M_{2n}), \\ \delta_k^{(n)}, &k\in[M_{2n},M_{2n+1}), \end{cases}\quad n\in\mathbb{N}.
\end{equation}
\tag{5.12}
$$
Покажем, что ряд универсален в пространстве $L^p[-\pi,\pi]$ в обычном смысле. Пусть $p\in(0,1)$, и пусть $f\in L^p[-\pi,\pi]$. Выберем подпоследовательность $\{f_{n_k}\}_{k=1}^{\infty}$ из последовательности $\{f_m\}_{m=1}^{\infty}$ так, чтобы Полагая $N_k=M_{2n_k+1}-1$ ($k\in\mathbb{N}$), из (5.1)–(5.4), (5.12) будем иметь
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_T\biggl| \sum_{j=1}^{N_k}\delta_j(a_j\cos jx+b_j\sin jx)-f(x)\biggr|^p\, dx \\ &\qquad=\int_T\biggl| \sum_{j=1}^{N_k}\bigl(H_j^{(1)}(x)+Q_j^{(2)}(x)\bigr)-f(x)\biggr|^p\, dx \\ &\qquad\leqslant \int_T|f(x)-f_{n_k}(x)|^p\, dx+\int_T\biggl| \sum_{j=1}^{N_k}\bigl(H_j^{(1)}(x)+Q_j^{(2)}(x)\bigr)-f_{n_k}(x)\biggr|^p\, dx. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда заключаем (см. (5.7))
$$
\begin{equation*}
\lim_{k\to\infty}\int_T\biggl| \sum_{j=1}^{N_k}\delta_j(a_j\cos jx+b_j\sin jx)-f(x)\biggr|^p\, dx=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Значит, функция $U$ универсальна для пространства $L^p[-\pi,\pi]$ относительно тригонометрической системы в квазиобычном смысле. Теперь покажем, что функция $U$ универсальна для класса $L^p[-\pi,\pi]$, $p\in(0,1)$ , относительно тригонометрической системы в смысле знаков своих коэффициентов Фурье. Пусть $f\in L^p[-\pi,\pi]$. Без ограничения общности можем считать, что Из последовательности $\{f_m\}_{m=1}^{\infty}$ выберем такую функцию $f_{\nu_1}(x)$, что Отсюда и из (5.5), (5.8) вытекает $\int_T|f_{\nu_1}|^p\, dx<2$ и
$$
\begin{equation*}
\int_T\biggl| f(x)-Q_{\nu_1}^{(1)}(x)-\sum_{n=1}^{\nu_1-1}\bigl(H_n^{(1)}(x) +H_n^{(2)}(x)\bigr)-H_{\nu_1}^{(2)}(x)\biggr|^p\, dx<4.
\end{equation*}
\notag
$$
Предположим, что уже определены числа $0=\nu_0<\nu_1<\dots<\nu_{q-1}$, функции $\{f_{\nu_j}\}_{j=1}^{q-1}$ и выбраны полиномы $\{Q_{\nu_{s}}^{(1)}\}_{s=1}^{q-1}$ и $\{H_{\nu_{s}}^{(1)}\}_{s=1}^{q-1}$ при всех $s=1,\dots,q-1$, удовлетворяющие условиям:
$$
\begin{equation}
\int_T\biggl| f-\sum_{j=1}^{s} \biggl(\sum_{n=\nu_{j-1}+1}^{\nu_j-1}\bigl( H_n^{(1)}+H_n^{(2)}\bigr) +Q_{\nu_j}^{(1)}+H_{\nu_j}^{(2)}\biggr)\biggr|^p\, dx\leqslant2^{-s+2}.
\end{equation}
\tag{5.15}
$$
Из последовательности $\{f_m\}_{m=1}^{\infty}$ выберем такую функцию $f_{\nu_q}$ ($\nu_q>\nu_{q-1}+1$), чтобы
$$
\begin{equation}
\int_T\biggl| f-\sum_{j=1}^{q-1}\biggl(\sum_{n=\nu_{j-1}+1}^{\nu_j-1} \bigl(H_n^{(1)}+H_n^{(2)}\bigr) + Q_{\nu_j}^{(1)}+H_{\nu_j}^{(2)}\biggr) -f_{\nu_q}\biggr|^p\, dx\leqslant2^{-q+3}.
\end{equation}
\tag{5.16}
$$
Имеем (см. (5.15), (5.16)) и (см. (5.5), (5.8), (5.16))
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_T\biggl| f-\sum_{j=1}^{q} \biggl(\sum_{n=\nu_{j-1}+1}^{\nu_j-1}\bigl( H_n^{(1)}+H_n^{(2)}\bigr)+ Q_{\nu_j}^{(1)}+H_{\nu_j}^{(2)}\biggr)\biggr|^p\, dx \\ &\qquad\leqslant\int_T\biggl| f-{\sum_{j=1}^{q-1}\biggl( \sum_{n=\nu_{j-1}+1}^{\nu_j-1}\bigl( H_n^{(1)}+H_n^{(2)}\bigr)+ Q_{\nu_j}^{(1)}+H_{\nu_j}^{(2)}\biggr)-f_{\nu_q}}\biggr|^p\, dx \\ &\qquad\qquad+\int_T|Q_{\nu_q}^{(1)}-f_{\nu_q}|^p\, dx{+}\int_T\biggl| \sum_{n=\nu_{q-1}+1}^{\nu_q-1}\bigl(H_n^{(1)}+H_n^{(2)}\bigr) +H_{\nu_q}^{(2)}\biggr|^p\, dx\leqslant2^{-q+2}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Положим
$$
\begin{equation}
\varepsilon_k= \begin{cases} \delta_k^{(\nu_q)}, &k\in{\displaystyle\bigcup_{q=1}^{\infty}[M_{2\nu_q-1},M_{2\nu_q})}, \\ 1, &k\notin {\displaystyle\bigcup_{q=1}^{\infty}[M_{2\nu_q-1},M_{2\nu_q})}. \end{cases}
\end{equation}
\tag{5.17}
$$
Покажем, что ряд
$$
\begin{equation}
\sum_{k=1}^{\infty}\varepsilon_k(a_k\cos kx+b_k\sin kx)
\end{equation}
\tag{5.18}
$$
сходится к функции $f$ в $L^p[-\pi,\pi]$. В силу (5.1)–(5.3), (5.17), (5.18) при $m\in[M_{2\nu_q-1},M_{2\nu_q+1})$ будем иметь
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_T\biggl|f(x)-\sum_{k=1}^{m}\varepsilon_k(a_k\cos kx+b_k\sin kx)\biggr|^p\, dx \\ &\qquad\leqslant\int_T\biggl| f-\sum_{j=1}^{q-1}\biggl( \sum_{n=\nu_{j-1}+1}^{\nu_j-1}\bigl( H_n^{(1)}+H_n^{(2)}\bigr)+Q_{\nu_j}^{(1)}+H_{\nu_j}^{(2)}\biggr)\biggr|^p\, dx \\ &\qquad\qquad+\int_T\biggl| \sum_{n=\nu_{q-1}+1}^{\nu_q-1}\bigl(H_n^{(1)}+H_n^{(2)}\bigr) \biggr|^p\, dx \\ &\qquad\qquad+\max_{l\in[ M_{2\nu_q-1},M_{2\nu_q})}\int_T|S_{l}(x,Q_{\nu_q}^{(1)})|^p\, dx +\max_{l\in[ M_{2\nu_q-1},M_{2\nu_q})}\int_T|S_{l}(x, H_{\nu_q}^{(2)})|^p\, dx. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда, из (3.9), (5.6), (5.8), (5.15) и того, что $q\to\infty$ при $m\to\infty$, заключаем
$$
\begin{equation*}
\lim_{m\to\infty}\int_T\biggl|f(x)-\sum_{k=1}^{m}\varepsilon_k(a_k\cos kx+b_k\sin kx)\biggr|^p\, dx=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 4 доказана. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{GriGal21} |
|
||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|