| Известия Российской академии наук. Серия математическая |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 4 научных статьях (всего в 4 статьях) О критических показателях для слабых решений задачи Коши для одного нелинейного уравнения составного типа М. О. Корпусовab, А. К. Матвееваa a Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, физический факультет b Российский университет дружбы народов, г. Москва
Англоязычная версия:
Izvestiya: Mathematics, 2021, Volume 85, Issue 4, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/IM8954 
Реферативные базы данных:
    § 1. ВведениеВ работе исследуется задача Коши, которая в классической формулировке имеет следующий вид:
$$
\begin{equation}
\frac{\partial}{\partial t}\Delta_x u+\frac{\partial}{\partial x_1}\Delta_xu=|u|^q,\qquad x=(x_1,x_2,x_3)\in\mathbb{R}^3,\quad t>0,\quad q>1,
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
где $u=u(x,t)$, $\Delta_x={\partial^2}/{\partial x^2_1}+{\partial^2}/{\partial x^2_2}+{\partial^2}/{\partial x_3^2}$. Уравнение (1.1) относится к классу нелинейных уравнений типа С. Л. Соболева. Отметим, что исследованию линейных и нелинейных уравнений соболевского типа посвящено много работ. Так, в работах Г. А. Свиридюка, С. А. Загребиной, А. А. Замышляевой [1]–[3] были рассмотрены в общем виде и в виде примеров начально-краевые задачи для большого многообразия классов линейных и нелинейных уравнений соболевского типа. Отметим, что впервые теория потенциала для неклассических уравнений типа С. Л. Соболева была рассмотрена в работе Б. В. Капитонова [4]. В дальнейшем теория потенциала изучалась в работах С. А. Габова и А. Г. Свешникова [5], [6], а также в работах их учеников (см., например, работу Ю. Д. Плетнера [7]). В классической работе [8] С. И. Похожаева и Э. Митидиери достаточно простым методом нелинейной емкости были получены глубокие результаты о роли так называемых критических показателей. Отметим также работы Е. И. Галахова и О. А. Салиевой [9] и [10]. В настоящей работе мы получили результат о существовании двух критических показателей $q=3$ и $q=4$ таких, что в широких классах начальных функций $u_0(x)$ при $1<q\leqslant 3$ отсутствуют даже локальные во времени слабые решения задачи Коши (1.1), (1.2), а при $3<q$ локальные во времени слабые решения уже существуют, однако при $3<q\leqslant 4$ глобальных во времени слабых решений нет – все слабые решения разрушаются за конечное время. Данная работа продолжает исследования, начатые нами в работах [11]–[13]. § 2. Вывод уравненияВывод уравнения (1.1) имеется в работе [14]. Здесь мы приведем краткий вывод этого уравнения. Рассмотрим систему уравнений Максвелла в “квазистационарном приближении”. Тогда справедливы следующие уравнения:
$$
\begin{equation}
\frac{\partial\rho_{\mathrm{ext}}}{\partial t}=\operatorname{div}\mathbf{j}+Q, \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\mathbf{j}=-\frac{1}{4\pi}\,\frac{d\mathbf{D}}{d t},
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
$$
\begin{equation}
\operatorname{rot}\mathbf{E}=\mathbf{0},\qquad\mathbf{D}=\varepsilon_0\mathbf{E},
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
где $\rho_{\mathrm{ext}}$ – плотность “сторонних” зарядов, $\mathbf{j}$ – ток “сторонних” зарядов, $\mathbf{D}$ – вектор индукции электрического поля, $\mathbf{E}$ – напряженность электрического поля, а $Q$ – это слагаемое, описывающее распределение источников свободных зарядов и, вообще говоря, являющееся функцией от потенциала электрического поля. При этом пусть среда движется с постоянной скоростью $\mathbf{v}_0=v_0\mathbf{e}_1$ относительно неподвижной системы координат $\{O,\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3\}$. Тогда
$$
\begin{equation}
\frac{d}{d t}=\frac{\partial}{\partial t}+(\mathbf{v}_0,\nabla_x).
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
Тогда из уравнений (2.2) вытекает существование потенциала электрического поля $\phi$, связанного с напряженностью электрического поля соотношением
$$
\begin{equation}
\mathbf{E}=-\nabla_x\phi,\qquad\mathbf{D}=-\varepsilon_0\nabla_x\phi.
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
Из уравнения (2.1) и (2.4) приходим к следующему равенству:
$$
\begin{equation}
\mathbf{j}=\frac{\varepsilon_0}{4\pi}\,\frac{d}{d t}\nabla_x\phi.
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
Теперь осталось воспользоваться феноменологическим уравнением Тогда из уравнений (2.3), (2.5) и (2.6) мы приходим к следующему уравнению:
$$
\begin{equation}
\frac{\partial}{\partial t}\biggl(\Delta_x\phi-\frac{4\pi}{\varepsilon_0}\rho_{\mathrm{ext}}\biggr)+ v_0\frac{\partial}{\partial x_1}\Delta_x\phi+\frac{4\pi q_0}{\varepsilon_0}|\phi|^q=0.
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
В этой работе мы рассмотрим случай, когда $\rho_{\mathrm{ext}}=0$. Заменой $u=-\phi$ уравнение (2.7) в безразмерных переменных примет вид уравнения (1.1).
§ 3. ОбозначенияДадим определение классов функций $\mathbb{C}^{(n+m)}(D\otimes[0,T])$ и $\mathbb{C}_b^{(n+m)}(D\otimes[0,T])$ при $m,n\in\mathbb{N}\cup\{0\}$. Определение 3.1. Классом функций $\mathbb{C}^{(n+m)}(D\otimes[0,T])$, $D\subset\mathbb{R}^3$, называется множество таких функций $u(x,t)$, что Определение 3.2. Классом функций $\mathbb{C}_b^{(n+m)}(D\otimes[0,T])$, $D\subset\mathbb{R}^3$, называется множество таких функций $u(x,t)$, что Определение 3.3. Функция $f(x)\in\mathbb{C}_b((1+|x|^2)^{\alpha/2};\mathbb{R}^3)$ при $\alpha>0$, если $f(x)\in\mathbb{C}_b(\mathbb{R}^3)$ и конечна норма Определение 3.4. Функция $f(x,t)\,{\in}\,\mathbb{C}([0,T];\mathbb{C}_b((1\,{+}\,|x|^2)^{\alpha/2};\mathbb{R}^3))$ при $\alpha\,{>}\,0$, если $f(x,t)\in\mathbb{C}_b((1+|x|^2)^{\alpha/2};\mathbb{R}^3)$ для каждого $t\in[0,T]$ и при этом при $|t_2-t_1|\to+0$ для любых $t_1,t_2\in[0,T]$. Определение 3.6. Функция $f(x,t)\in\mathbb{C}^{\beta}_{x,\mathrm{loc}}(\mathbb{R}^3)$ при $\beta\in(0,1]$ равномерно по $t\in[0,T]$, если для любого шара $O(z,R)$ при $R>0$ справедливо выражение Определение 3.7. Символом $\mathbb{C}^{(1,0)}_b((1+|x|^2)^{\alpha/2};\mathbb{R}^3)$ при $\alpha>0$ мы обозначаем банахово пространство таких функций, что и конечна следующая норма: § 4. Фундаментальное решениеРассмотрим следующее уравнение в пространстве $\mathscr{D}'(\mathbb{R}^4)$:
$$
\begin{equation}
\frac{\partial}{\partial t}\Delta\mathscr{E}(x,t)+\frac{\partial}{\partial x_1}\Delta\mathscr{E}(x,t)=\delta(x)\delta(t),\qquad x=(x_1,x_2,x_3),
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\Delta=\frac{\partial^2}{\partial x^2_1}+\frac{\partial^2}{\partial x^2_2}+ \frac{\partial^2}{\partial x^2_3}.
\end{equation*}
\notag
$$
Применим преобразование Фурье по переменной $x=(x_1,x_2,x_3)$ и получим из (4.1) следующее уравнение в $\mathscr{D}'(\mathbb{R}^4)$:
$$
\begin{equation}
-|k|^2\frac{\partial\hat{\mathscr{E}}(k,t)}{\partial t}+ik_1|k|^2\hat{\mathscr{E}}(k,t)=\delta(t),\qquad k=(k_1,k_2,k_3)\in\mathbb{R}^3.
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
Поскольку функция $1/|k|^2$ локально интегрируемая в $\mathbb{R}^3$, то решение уравнения (4.2) имеет следующий вид:
$$
\begin{equation}
\hat{\mathscr{E}}(k,t)=-\frac{1}{|k|^2}e^{ik_1t}\theta(t),
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
где $\theta(t)$ – функция Хевисайда. Используя результаты [15; гл. III, § 8], мы получим следующее равенство:
$$
\begin{equation}
\mathscr{E}(x,t)=F^{-1}[\hat{\mathscr{E}}(k,t)](x,t)=- \frac{1}{4\pi}\,\frac{\theta(t)}{\sqrt{(x_1-t)^2+x_2^2+x_3^2}}.
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
§ 5. Вторая формула ГринаВведем следующие операторы:
$$
\begin{equation}
\mathfrak{M}_{x,t}[u](x,t) :=\frac{\partial}{\partial t}\Delta u+\frac{\partial}{\partial x_1}\Delta u,
\end{equation}
\tag{5.1}
$$
$$
\begin{equation}
\mathfrak{M}^t_{x,t}[v](x,t) :=-\frac{\partial}{\partial t}\Delta v-\frac{\partial}{\partial x_1}\Delta v.
\end{equation}
\tag{5.2}
$$
Пусть где область $\Omega\subset\mathbb{R}^3$ является ограниченной с достаточно гладкой границей $\partial\Omega$. Замечание 5.1. Заметим, что операторы (5.1) и (5.2) определены на функциях $u(x,t), v(x,t)\in\mathbb{C}^{(2+1)}(\overline{\Omega}\otimes[0,T]) \cap\mathbb{C}^{(3+0)}(\overline{\Omega}\otimes[0,T])$. Приступим к выводу второй формулы Грина. Справедливы следующие равенства:
$$
\begin{equation}
v\, \frac{\partial}{\partial t}\Delta u = \frac{\partial}{\partial t}(v\Delta u)- \Delta u\, \frac{\partial v}{\partial t}= \frac{\partial}{\partial t}(v\Delta u)-\operatorname{div}\biggl(\nabla u\,\frac{\partial v}{\partial t}\biggr)+\biggl(\nabla u,\nabla\frac{\partial v}{\partial t}\biggr) \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
=\frac{\partial}{\partial t}(v\Delta u)-\operatorname{div}\biggl(\nabla u\, \frac{\partial v}{\partial t}\biggr)+\operatorname{div}\biggl(u\nabla\frac{\partial v}{\partial t}\biggr)-u\,\frac{\partial}{\partial t}\Delta v,
\end{equation}
\tag{5.3}
$$
$$
\begin{equation}
v\, \frac{\partial}{\partial x_1}\Delta u = \frac{\partial}{\partial x_1}(v\Delta u)- \Delta u\, \frac{\partial v}{\partial x_1}= \frac{\partial}{\partial x_1}(v\Delta u)-\operatorname{div}\biggl(\nabla u\, \frac{\partial v}{\partial x_1}\biggr)+\biggl(\nabla u,\nabla\frac{\partial v}{\partial x_1}\biggr) \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
=\frac{\partial}{\partial x_1}(v\Delta u)-\operatorname{div}\biggl(\nabla u\, \frac{\partial v}{\partial x_1}\biggr)+\operatorname{div}\biggl(u\nabla\frac{\partial v}{\partial x_1}\biggr)-u\,\frac{\partial}{\partial x_1}\Delta v.
\end{equation}
\tag{5.4}
$$
Из равенств (5.3) и (5.4) вытекает следующая формула, которую естественно назвать второй формулой Грина:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\int_0^t\int_{\Omega}\bigl[v(y,\tau)\mathfrak{M}_{y,\tau}[u](y,\tau) -u(y,\tau)\mathfrak{M}^t_{y,\tau}[v](y,\tau)\bigr]\,dy\,d\tau \nonumber \\ &\qquad=\int_0^t\int_{\partial\Omega}\biggl[u(y,\tau)\mathfrak{N}_{y,\tau}[v](y,\tau)- \frac{\partial u(y,\tau)}{\partial n_y}\mathfrak{B}_{y,\tau}[v](y,\tau)\biggr] \,dS_y\,d\tau \nonumber \\ &\qquad\qquad+\int_0^t\int_{\Omega} \frac{\partial}{\partial\tau}\bigl(v(y,\tau)\Delta_yu(y,\tau)\bigr)\,dy\,d\tau \nonumber \\ &\qquad\qquad+\int_0^t\int_{\partial\Omega}v(y,\tau)\Delta_yu(y,\tau)\cos(n_y,e_1)\,dS_y\,d\tau, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.5}
$$
где
$$
\begin{equation}
\mathfrak{N}_{y,\tau}[u]=\frac{\partial}{\partial n_y}\biggl[\frac{\partial}{\partial\tau}+\frac{\partial}{\partial y_1}\biggr]u(y,\tau),\qquad \mathfrak{B}_{y,\tau}[v] =\biggl[\frac{\partial}{\partial\tau}+\frac{\partial}{\partial y_1}\biggr]v(y,\tau).
\end{equation}
\tag{5.6}
$$
Таким образом, доказано следующее утверждение. Теорема 5.1. Для любых функций § 6. Третья формула Грина в ограниченной областиПусть $x\in\Omega$ и $t>0$. Введем следующий цилиндр:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \textit{Ц}_{\,\varepsilon}(x,t-\tau) &:=\bigl\{y=(y_1,y_2,y_3)\in\mathbb{R}^3\colon \\ &\qquad\qquad|y_1-x_1+t-\tau|<\varepsilon,\, (y_2-x_2)^2+(y_3-x_3)^2<\varepsilon^2\big\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Предположим, что $\varepsilon>0$ и $t>0$ настолько малы, что
$$
\begin{equation*}
\overline{\bigcup_{\tau\in[0,t]}\textit{Ц}_{\,\varepsilon}(x,t-\tau)} \subset\Omega\subset\mathbb{R}^3.
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что граница $\partial\textit{Ц}_{\,\varepsilon}(x,t-\tau)$ цилиндра $\textit{Ц}_{\,\varepsilon}(x,t-\tau)$ может быть представлена в следующем виде:
$$
\begin{equation}
\partial\textit{Ц}_{\,\varepsilon}(x,t-\tau)= \partial\textit{Ц}^{\,1}_{\,\varepsilon}(x,t-\tau)\cup \partial\textit{Ц}^{\,2}_{\,\varepsilon}(x,t-\tau),
\end{equation}
\tag{6.1}
$$
где
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \partial\textit{Ц}^{\,1}_{\,\varepsilon}(x,t-\tau) &:= \bigl\{y=(y_1,y_2,y_3)\in\mathbb{R}^3\colon \nonumber \\ &\qquad\qquad(y_2-x_2)^2+(y_3-x_3)^2=\varepsilon^2,\, |y_1-x_1+t-\tau|\leqslant\varepsilon\bigr\}, \nonumber \\ \partial\textit{Ц}^{\,2}_{\,\varepsilon}(x,t-\tau) &:= \bigl\{y=(y_1,y_2,y_3)\in\mathbb{R}^3\colon \nonumber \\ &\qquad\qquad(y_2-x_2)^2+(y_3-x_3)^2<\varepsilon^2,\, |y_1-x_1+t-\tau|=\varepsilon\bigr\}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.2}
$$
Теперь рассмотрим фундаментальное решение (4.4):
$$
\begin{equation}
\mathscr{E}(x-y,t-\tau)=-\frac{1}{4\pi}\, \frac{\theta(t-\tau)}{\sqrt{(x_1-y_1-t+\tau)^2+(x_2-y_2)^2+(x_3-y_3)^2}}.
\end{equation}
\tag{6.3}
$$
В силу определений (6.1), (6.2) границы цилиндра $\partial\textit{Ц}_{\,\varepsilon}(x,t-\tau)$ нетрудно убедиться, что фундаментальное решение (6.3) не имеет особенности при $y\in\partial\textit{Ц}_{\,\varepsilon}(x,t-\tau)$ и $\tau\in[0,t]$. Поэтому справедливо следующее равенство:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\biggl(\frac{\partial}{\partial\tau}+\frac{\partial}{\partial y_1}\biggr)\mathscr{E}(x-y,t-\tau) \\ &\qquad=-\frac{1}{4\pi} \biggl(\frac{\partial}{\partial\tau}+\frac{\partial}{\partial y_1}\biggr) \frac{1}{\sqrt{(x_1-y_1-t+\tau)^2+(x_2-y_2)^2+(x_3-y_3)^2}}=0 \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $y\in\partial\textit{Ц}_{\,\varepsilon}(x,t-\tau)$, $\tau\in[0,t]$. Таким образом, доказано следующее утверждение. Лемма 6.1. Для всех точек $y\in\partial\textit{Ц}_{\,\varepsilon}(x,t-\tau)$ и $\tau\in[0,t]$ справедливы равенства Рассмотрим теперь интеграл
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, I^{\varepsilon} &:=\int_0^t\int_{\partial\textit{Ц}_{\,\varepsilon}(x,t-\tau)} \mathscr{E}(x-y,t-\tau)\Delta_yu(y,\tau)\cos(n_y,e_1)\,dS_y\,d\tau \\ &=\int_0^t\int_{\partial\textit{Ц}^{\,2}_{\,\varepsilon}(x,t-\tau)} \mathscr{E}(x-y,t-\tau)\Delta_yu(y,\tau)\cos(n_y,e_1)\,dS_y\,d\tau \\ &=\frac{1}{4\pi}\int_0^t\int_{(y_2-x_2)^2+(y_3-x_3)^2<\varepsilon^2} \frac{1}{\sqrt{\varepsilon^{2}+(y_2-x_2)^2+(y_3-x_3)^2}} \\ &\quad\times \bigl[\Delta_yu(y_1,y_2,y_3,\tau)\big|_{y_1=x_1-t+\tau+\varepsilon}- \Delta_yu(y_1,y_2,y_3,\tau)\big|_{y_1=x_1-t+\tau-\varepsilon}\bigr]\,dy_2\,dy_3\,d\tau, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где мы воспользовались тем, что
$$
\begin{equation*}
\cos(n_y,e_1)=0\quad\text{при}\quad y\in\partial\textit{Ц}^{\,1}_{\,\varepsilon}(x,t-\varepsilon).
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $u(y,\tau)\in\mathbb{C}([0,T];\mathbb{C}^{(2)}(\overline{\Omega}))$. Тогда для интеграла $I^{\varepsilon}$ справедлива следующая оценка:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |I^{\varepsilon}|&\leqslant Mt\int_{(y_2-x_2)^2+(y_3-x_3)^2<\varepsilon^2} \frac{1}{\sqrt{\varepsilon^{2}+(y_2-x_2)^2+(y_3-x_3)^2}}\,dy_2\,dy_3 \\ &=Mt2\pi\int_0^{\varepsilon}\frac{\rho}{\sqrt{\rho^2+\varepsilon^{2}}}\,d\rho= 2\pi M t\bigl[\sqrt{\varepsilon^2+\varepsilon^{2}}-\varepsilon\bigr]\to+0 \quad\text{при}\quad\varepsilon\to+0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Итак, доказано следующее утверждение. Лемма 6.2. Пусть $u(y,\tau)\in\mathbb{C}^{(2+0)}(\overline{\Omega}\otimes[0,T])$. Тогда справедливо следующее предельное свойство: Докажем следующую лемму. Лемма 6.3. Пусть $u(y,\tau)\in\mathbb{C}^{(2+1)}(\overline{\Omega}\otimes[0,T])$. Тогда справедливо следующее предельное свойство: Доказательство. Поскольку $u(y,\tau)\in\mathbb{C}^{(2+1)}(\overline{\Omega}\otimes[0,T])$, то для доказательства утверждения достаточно доказать, что при $\varepsilon\to+0$ для каждого фиксированного $(x,t)\in\Omega\otimes[0,T]$ справедливы следующие предельные свойства:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \int_0^t\int_{\textit{Ц}_{\,\varepsilon}(x,t-\tau)} |\mathscr{E}(x-y,t-\tau)|\,dy\,d\tau\to 0\quad\text{при}\quad\varepsilon\to+0, \\ \int_0^t\int_{\textit{Ц}_{\,\varepsilon}(x,t-\tau)} \biggl|\frac{\partial\mathscr{E}(x-y,t-\tau)}{\partial\tau}\biggr|\,dy\,d\tau\to 0\quad\text{при}\quad\varepsilon\to+0. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Имеют место следующие цепочки соотношений:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\int_0^t\int_{\textit{Ц}_{\,\varepsilon}(x,t-\tau)} |\mathscr{E}(x-y,t-\tau)|\,dy\,d\tau=\frac{1}{4\pi}\int_0^td\tau \int_{x_1-t+\tau-\varepsilon}^{x_1-t+\tau+\varepsilon}dy_1 \nonumber \\ &\ \ \times \int_{(y_2-x_2)^2+(y_3-x_3)^2<\varepsilon^2} \frac{1}{\sqrt{(x_1-y_1-t+\tau)^2+(x_2-y_2)^2+(x_3-y_3)^2}}\,dy_2\,dy_3 \nonumber \\ &\ = \frac{1}{2}\int_0^td\tau \int_{x_1-t+\tau-\varepsilon}^{x_1-t+\tau+\varepsilon}dy_1 \int_0^{\varepsilon}\frac{\rho}{\sqrt{\rho^2+(x_1-y_1-t+\tau)^2}}\,d\rho \nonumber \\ &\ =\frac{1}{2}\int_0^td\tau\int_{x_1-t+\tau-\varepsilon}^{x_1-t+\tau+\varepsilon}dy_1 \bigl[\sqrt{\varepsilon^2+(x_1-y_1-t+\tau)^2}-|x_1-y_1-t+\tau|\bigr] \nonumber \\ &\ =\frac{1}{2}\int_0^t d\tau\int_{-\varepsilon}^{\varepsilon} \Bigl[\sqrt{z_1^2+\varepsilon^2}-|z_1|\Bigr]\,dz_1\to +0\quad\text{при}\quad\varepsilon\to+0, \\ &\int_0^t\int_{\textit{Ц}_{\,\varepsilon}(x,t-\tau)} \biggl|\frac{\partial\mathscr{E}(x-y,t-\tau)}{\partial\tau}\bigr|\,dy\,d\tau =\frac{1}{4\pi}\int_0^td\tau \int_{x_1-t+\tau-\varepsilon}^{x_1-t+\tau+\varepsilon} \nonumber \\ &\ \ \times\!\int_{(y_2-x_2)^2+(y_3-x_3)^2<\varepsilon^2}\!\frac{|x_1-y_1-t+\tau|} {[(x_1\,{-}\,y_1\,{-}\,t\,{+}\,\tau)^2\,{+}\,(x_2\,{-}\,y_2)^2\,{+}\,(x_3\,{-}\,y_3)^2]^{3/2}} \,dy_2\,dy_3\,dy_1 \nonumber \\ &\ = \frac{1}{2}\int_0^td\tau \int_{x_1-t+\tau-\varepsilon}^{x_1-t+\tau+\varepsilon}|x_1-y_1-t+\tau| \int_0^{\varepsilon}\frac{\rho}{[\rho^2+(x_1-y_1-t+\tau)^2]^{3/2}}\,d\rho \nonumber \\ &\ =\frac{1}{2}\int_0^td\tau \int_{x_1-t+\tau-\varepsilon}^{x_1-t+\tau+\varepsilon} |x_1-y_1-t+\tau|\biggl[\frac{1}{|x_1-y_1-t+\tau|} \nonumber \\ &\ \qquad -\frac{1}{\sqrt{(x_1-y_1-t+\tau)^2+\varepsilon^2}}\biggr]\,dy_1 \nonumber \\ &\ =\frac{1}{2}\int_0^t\int_{-\varepsilon}^{\varepsilon}\biggl[1- \frac{|z_1|}{\sqrt{z_1^2+\varepsilon^2}}\biggr]\,dz_1\to 0\quad\text{при}\quad \varepsilon\to +0. \nonumber \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.4}
$$
Лемма доказана. Несложно заметить, что справедливо следующее утверждение. Заметим, что в силу классической третьей формулы Грина для оператора Лапласа в $\mathbb{R}^3$ имеет место следующее равенство [15], справедливое для любой функции $u(x,t)\in\mathbb{C}^{(2+0)}(\overline{\Omega}\otimes[0,T])$:
$$
\begin{equation*}
u(x,t)=-\int_{\Omega}\frac{\Delta_yu(y,t)}{4\pi|x-y|}\,dy+ \int_{\partial\Omega}\biggl[\frac{1}{4\pi|x-y|}\,\frac{\partial u(y,t)}{\partial n_y}-u(y,t)\,\frac{\partial}{\partial n_y}\,\frac{1}{4\pi|x-y|}\biggr]\,dS_y
\end{equation*}
\notag
$$
при $x\in\Omega\subset\mathbb{R}^3$, где $\Omega$ – ограниченная область с достаточно гладкой границей $\partial\Omega$. Поэтому имеют место следующие равенства:
$$
\begin{equation}
\int_{\Omega}\mathscr{E}(x-y,0)\Delta_yu(y,t)\,dy= -\int_{\Omega}\frac{\Delta_yu(y,t)}{4\pi|x-y|}\,dy \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\ =u(x,t)-\int_{\partial\Omega}\biggl[\frac{1}{4\pi|x-y|}\, \frac{\partial u(y,t)}{\partial n_y}-u(y,t)\, \frac{\partial}{\partial n_y}\, \frac{1}{4\pi|x-y|}\biggr]\,dS_y\quad\text{при}\quad x\in\Omega,
\end{equation}
\tag{6.5}
$$
$$
\begin{equation}
-\int_{\Omega}\mathscr{E}(x-y,t)\Delta_yu_0(y)\,dy \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\ =\frac{1}{4\pi}\int_{\Omega} \frac{\Delta_yu_0(y)}{4\pi\sqrt{(y_1-x_1+t)^2+(y_2-x_2)^2+(y_3-x_3)^2}}\,dy \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\ =-u_0(x_1-t,x_2,x_3)+\int_{\partial\Omega} \biggl[\frac{1}{4\pi\sqrt{(y_1-x_1+t)^2+(y_2-x_2)^2+(y_3-x_3)^2}}\, \frac{\partial u_0(y)}{\partial n_y} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\ \ -u_0(y)\, \frac{\partial}{\partial n_y}\, \frac{1}{4\pi\sqrt{(y_1-x_1+t)^2+(y_2-x_2)^2+(y_3-x_3)^2}}\biggr]\,dS_y, \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad u_0(y):=u(y,0)\quad\text{при}\quad (x_1-t,x_2,x_3)\in\Omega.
\end{equation}
\tag{6.6}
$$
Приступим к выводу третьей формулы Грина для оператора (5.1). С этой целью рассмотрим сначала случай ограниченной области $\Omega\subset\mathbb{R}^3$, форма которой не зависит от времени и имеет достаточно гладкую границу $\partial\Omega$. Причем предположим, что $(x,t)\in\Omega\otimes(0,T]$ и для некоторого $T>0$ справедливо следующее вложение:
$$
\begin{equation}
\overline{\bigcup_{t\in[0,T]}\bigcup_{\tau\in[0,t]}\textit{Ц}_{\,\varepsilon}(x,t-\tau)}\subset\Omega.
\end{equation}
\tag{6.7}
$$
Применим вторую формулу Грина (5.5) к функциям
$$
\begin{equation*}
u(y,\tau)\in\mathbb{C}^{(2+1)}(\overline{\Omega}\otimes[0,T]) \cap\mathbb{C}^{(3+0)}(\overline{\Omega}\otimes[0,T]),\qquad v(y,\tau)=\mathscr{E}(x-y,t-\tau)
\end{equation*}
\notag
$$
в $(3+1)$–мерной области $\Omega\setminus\textit{Ц}_{\,\varepsilon}(x,t-\tau)\otimes[0,t]\ni(y,\tau)$. Тогда получим следующее равенство:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\int_0^t\int_{\Omega\setminus\textit{Ц}_{\,\varepsilon}(x,t-\tau)} \bigl[v(y,\tau)\mathfrak{M}_{y,\tau}[u](y,\tau) -u(y,\tau)\mathfrak{M}^t_{y,\tau}[v](y,\tau)\bigr]\,dy\,d\tau \nonumber \\ &\qquad=\int_0^t\int_{\partial\Omega\cup\partial\textit{Ц}_{\,\varepsilon}(x,t-\tau)} \biggl[u(y,\tau)\mathfrak{N}_{y,\tau}[v](y,\tau)- \frac{\partial u(y,\tau)}{\partial n_y}\mathfrak{B}_{y,\tau}[v](y,\tau)\biggr] \,dS_y\,d\tau \nonumber \\ &\qquad\qquad+\int_0^t\int_{\Omega\setminus\textit{Ц}_{\,\varepsilon}(x,t-\tau)} \frac{\partial}{\partial\tau}\bigl(v(y,\tau)\Delta_yu(y,\tau)\bigr)\,dy\,d\tau \nonumber \\ &\qquad\qquad+\int_0^t\int_{\partial\Omega\cup\partial\textit{Ц}_{\,\varepsilon}(x,t-\tau)}v(y,\tau)\Delta_yu(y,\tau)\cos(n_y,e_1)\,dS_y\,d\tau. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.8}
$$
В силу вложения (6.7) и леммы 6.1 приходим к выводу о том, что имеют место следующие равенства:
$$
\begin{equation}
\mathfrak{N}_{y,\tau}[\mathscr{E}(x-y,t-\tau)]=0,\qquad \mathfrak{B}_{y,\tau}[\mathscr{E}(x-y,t-\tau)]=0
\end{equation}
\tag{6.9}
$$
для всех $(y,\tau)\,{\in}\,\partial\Omega\,{\cup}\,\partial\textit{Ц}_{\,\varepsilon}(x,t\,{-}\,\tau)$ при $\tau\,{\in}\,[0,t]$. Поэтому справедливо равенство
$$
\begin{equation*}
\int_0^t\int_{\partial\Omega\cup\partial\textit{Ц}_{\,\varepsilon}(x,t-\tau)}\biggl[u(y,\tau)\mathfrak{N}_{y,\tau}[v](y,\tau)- \frac{\partial u(y,\tau)}{\partial n_y}\mathfrak{B}_{y,\tau}[v](y,\tau)\biggr]\,dS_y\,d\tau=0.
\end{equation*}
\notag
$$
В силу результата леммы 6.2 имеет место следующее предельное свойство:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_0^t\int_{\partial\Omega\cup\partial\textit{Ц}_{\,\varepsilon}(x,t-\tau)} v(y,\tau)\Delta_yu(y,\tau)\cos(n_y,e_1)\,dS_y\,d\tau \\ &\qquad\to \int_0^t\int_{\partial\Omega}v(y,\tau)\Delta_yu(y,\tau)\cos(n_y,e_1)\,dS_y\,d\tau \quad\text{при}\quad \varepsilon\to+0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В силу результата леммы 6.3 имеет место следующее соотношение:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_0^t\int_{\Omega\setminus\textit{Ц}_{\,\varepsilon}(x,t-\tau)} \frac{\partial}{\partial\tau}\bigl(v(y,\tau)\Delta_yu(y,\tau)\bigr)\,dy\,d\tau \\ &\qquad\to\int_0^t\int_{\Omega}\frac{\partial}{\partial\tau} \bigl(v(y,\tau)\Delta_yu(y,\tau)\bigr)\,dy\,d\tau\quad\text{при}\quad \varepsilon\to+0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \begin{aligned} \, &\int_0^t\int_{\Omega}\frac{\partial}{\partial\tau} \bigl(v(y,\tau)\Delta_yu(y,\tau)\bigr)\,dy\,d\tau \\ &\qquad=\int_{\Omega}v(y,t)\Delta_yu(y,t)\,dy-\int_{\Omega} v(y,0)\Delta_yu_0(y)\,dy \\ &\qquad=-\frac{1}{4\pi}\int_{\Omega}\frac{1}{|x-y|}\Delta_yu(y,t)\,dy \\ &\qquad\qquad+\frac{1}{4\pi}\int_{\Omega}\frac{1}{\sqrt{(x_1-y_1-t)^2+(x_2-y_2)^2+(x_3-y_3)^2}} \Delta_yu_0(y)\,dy, \end{aligned} \\ u_0(y):=u(y,0). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
В силу равенства (6.4) вытекает следующее предельное свойство:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\int_0^t\int_{\Omega\setminus\textit{Ц}_{\,\varepsilon}(x,t-\tau)}v(y,\tau) \mathfrak{M}_{y,\tau}[u](y,\tau)\,dy\,d\tau \nonumber \\ &\qquad\to\int_0^t\int_{\Omega}v(y,\tau)\mathfrak{M}_{y,\tau}[u](y,\tau)\,dy\,d\tau \quad\text{при}\quad \varepsilon\to+0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.10}
$$
В результате предельного перехода при $\varepsilon\to+0$ из равенства (6.8) с учетом (6.9), (6.10) получим следующее равенство:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_0^t\int_{\Omega}\mathscr{E}(x-y,t-\tau) \mathfrak{M}_{y,\tau}[u](y,\tau)\,dy\,d\tau= -\frac{1}{4\pi}\int_{\Omega}\frac{1}{|x-y|}\Delta_yu(y,t)\,dy \\ &\qquad+\frac{1}{4\pi}\int_{\Omega}\frac{1}{\sqrt{(x_1-y_1-t)^2+(x_2-y_2)^2+(x_3-y_3)^2}} \Delta_yu_0(y)\,dy \\ &\qquad+\int_0^t\int_{\partial\Omega}\mathscr{E}(x-y,t-\tau) \Delta_yu(y,\tau)\cos(n_y,e_1)\,dS_y\,d\tau. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда с учетом равенств (6.5) и (6.6) получим искомую третью формулу Грина
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &u(x,t)=u_0(x_1-t,x_2,x_3) \nonumber \\ &-\int_0^t\int_{\Omega}\frac{1}{4\pi\sqrt{(x_1-y_1-t+\tau)^2+ (x_2-y_2)^2+(x_3-y_3)^2}}\mathfrak{M}_{y,\tau}[u](y,\tau)\,dy\,d\tau \nonumber \\ &+\int_0^t\int_{\partial\Omega}\frac{1}{4\pi\sqrt{(x_1-y_1-t+\tau)^2+ (x_2-y_2)^2+(x_3-y_3)^2}} \nonumber \\ & \qquad\times\Delta_yu(y,\tau)\cos(n_y,e_1)\,dS_y\,d\tau \nonumber \\ &+\int_{\partial\Omega}\biggl[\frac{1}{4\pi|x-y|}\, \frac{\partial u(y,t)}{\partial n_y}-u(y,t)\frac{\partial}{\partial n_y}\, \frac{1}{4\pi|x-y|}\biggr]\,dS_y \nonumber \\ &+\int_{\partial\Omega} \biggl[-\frac{1}{4\pi\sqrt{(y_1-x_1+t)^2+(y_2-x_2)^2+(y_3-x_3)^2}}\, \frac{\partial u_0(y)}{\partial n_y} \nonumber \\ &+ u_0(y)\, \frac{\partial}{\partial n_y}\, \frac{1}{4\pi\sqrt{(y_1-x_1+t)^2+(y_2-x_2)^2+(y_3-x_3)^2}}\bigg]\,dS_y. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.11}
$$
Справедливо следующее утверждение. Теорема 6.1. Для любой функции Доказательство. Получим оценку сверху на время $T>0$. Пусть $x\,{\in}\,\Omega$ – фиксированная точка. Проведем через эту точку прямую, параллельную оси $Ox_1$. Пусть $x^{\ast}\in\partial\Omega$ – ближайшая к $x$ точка пересечения указанной прямой с границей $\partial\Omega$. Тогда для времени $T>0$, фигурирующего в условиях теоремы, справедлива следующая оценка сверху: Теорема доказана.
§ 7. Третьи формулы Грина в неограниченных областяхВ дальнейшем мы будем изучать задачу Коши и начально-краевые задачи в односвязных областях следующего вида:
$$
\begin{equation*}
(x,t)=(x_1,x_2,x_3,t)\in\Omega=(-\infty,+\infty)\otimes D\otimes(0,T],
\end{equation*}
\notag
$$
где $D\subset\mathbb{R}^2$ либо односвязная ограниченная область с гладкой границей $\partial D$, либо внешность ограниченной односвязной области с гладкой границей $\partial D$. Наша задача из третьей формулы Грина (6.11), справедливой в ограниченной области $\Omega$ с гладкой границей $\partial\Omega$, получить третьи формулы Грина для различных неограниченных областей, например, для $\Omega=\mathbb{R}^3$. Для этого нам нужно потребовать определенные условия на характер поведения функции $u(x,t)$ для всех $t\in[0,T]$ при $|x|\to+\infty$. Сначала рассмотрим переход к области $\Omega=\mathbb{R}^3$. Дадим определение. Определение 7.1. Будем говорить, что функция Справедливо следующее утверждение. Теорема 7.1. Любая функция Доказательство. Пусть $\Omega=O(x,2R)$ и $(x,t)\in O(x,R)\otimes[0,T]$ – фиксированная точка при $T\in(0,R)$. Тогда третья формула Грина (6.11) примет следующий вид:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &u(x,t)=u_0(x_1-t,x_2,x_3) \nonumber \\ &\ -\int_0^t\int_{O(x,2R)}\frac{1}{4\pi\sqrt{(x_1\,{-}\,y_1\,{-}\,t\,{+}\,\tau)^2\,{+}\, (x_2\,{-}\,y_2)^2\,{+}\,(x_3\,{-}\,y_3)^2}}\mathfrak{M}_{y,\tau}[u](y,\tau)\,dy\,d\tau \nonumber \\ &\ +\int_0^t\int_{\partial O(x,2R)}\frac{1}{4\pi\sqrt{(x_1-y_1-t+\tau)^2+ (x_2-y_2)^2+(x_3-y_3)^2}} \nonumber \\ &\ \qquad\times\Delta_yu(y,\tau)\cos(n_y,e_1)\,dS_y\,d\tau \nonumber \\ &\ +\int_{\partial O(x,2R)}\biggl[\frac{1}{4\pi|x-y|}\, \frac{\partial u(y,t)}{\partial n_y}-u(y,t)\frac{\partial}{\partial n_y}\frac{1}{4\pi|x-y|}\biggr]\,dS_y \nonumber \\ &\ +\int_{\partial O(x,2R)}\biggl[-\frac{1}{4\pi\sqrt{(y_1-x_1+t)^2+(y_2-x_2)^2+(y_3-x_3)^2}}\, \frac{\partial u_0(y)}{\partial n_y} \nonumber \\ &\ +u_0(y)\frac{\partial}{\partial n_y}\, \frac{1}{4\pi\sqrt{(y_1-x_1+t)^2+(y_2-x_2)^2+(y_3-x_3)^2}}\biggr]\,dS_y. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{7.5}
$$
Справедливо следующее равенство:
$$
\begin{equation}
\biggl|\frac{\partial}{\partial y_j}\, \frac{1}{|x-y|}\biggr| \leqslant\frac{1}{|x-y|^2}=\frac{1}{4R^2}\quad \text{при}\quad y\in\partial O(x,2R),\qquad j=1,2,3.
\end{equation}
\tag{7.6}
$$
Пусть $M_1=(x_1-y_1,x_2-y_2,x_3-y_3)$, $O=(0,0,0)$, $M_0=(t,0,0)$ и $\rho(N_1,N_2)$ – евклидово расстояние между точками $N_1,N_2\in\mathbb{R}^3$. Тогда справедливы следующие неравенства:
$$
\begin{equation*}
\rho(M_1,M_0)\geqslant\rho(O,M_1)-\rho(O,M_0)\geqslant 2R-R=R.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда несложно получить следующие оценки:
$$
\begin{equation}
\frac{1}{\sqrt{(y_1-x_1+t)^2+(y_2-x_2)^2+(y_3-x_3)^2}}\leqslant\frac{1}{R},
\end{equation}
\tag{7.7}
$$
$$
\begin{equation}
\biggl|\frac{\partial}{\partial x_j}\frac{1}{\sqrt{(y_1-x_1+t)^2+(y_2-x_2)^2+(y_3-x_3)^2}}\biggr|\leqslant\frac{1}{R^2}, \qquad j=1,2,3,
\end{equation}
\tag{7.8}
$$
для всех $t\in[0,T]$, $|x-y|=2R$, $T\in(0,R)$. Кроме того, справедлива следующая оценка одного вспомогательного интеграла:
$$
\begin{equation}
I_R:=\int_{\mathbb{R}^3\setminus O(x,2R)}\frac{1}{\sqrt{(y_1-x_1+t)^2+(y_2-x_2)^2+(y_3-x_3)^2}}\, \frac{1}{|y|^3}\,dy.
\end{equation}
\tag{7.9}
$$
Пусть $|x|\leqslant R$ и $t<R$. Сделаем в интеграле (7.9) замену переменной $z=y-x$ и получим следующее равенство:
$$
\begin{equation}
I_R:=\int_{\mathbb{R}^3\setminus O(0,2R)}\frac{1}{\sqrt{(z_1+t)^2+z^2_2+z^2_3}}\, \frac{1}{|z+x|^3}\,dz.
\end{equation}
\tag{7.10}
$$
Поскольку $|z|\geqslant 2R$ в подынтегральном выражении в (7.10), то справедливы следующие неравенства:
$$
\begin{equation}
|x|\leqslant R\leqslant\frac{|z|}{2}\quad\Longrightarrow\quad |x+z|\geqslant|z|-|x|\geqslant\frac{|z|}{2},
\end{equation}
\tag{7.11}
$$
$$
\begin{equation}
t\leqslant R\leqslant\frac{|z|}{2}\quad\Longrightarrow\quad \sqrt{(z_1+t)^2+z^2_2+z^2_3}\geqslant|z|-t\geqslant\frac{|z|}{2}.
\end{equation}
\tag{7.12}
$$
Итак, с учетом (7.11) и (7.12) приходим к следующей оценке интеграла $I_R$:
$$
\begin{equation*}
I_R\leqslant 4^3\pi\int_{2R}^{+\infty}\frac{1}{r^2}\,dr\to+ 0\quad\text{при}\quad R\to+\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, в силу оценки (7.2) имеет место следующее предельное свойство:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\int_0^t\int_{O(x,2R)}\frac{1}{4\pi\sqrt{(x_1-y_1-t+\tau)^2+ (x_2-y_2)^2+(x_3-y_3)^2}}\mathfrak{M}_{y,\tau}[u](y,\tau)\,dy\,d\tau \nonumber \\ &\quad\to \int_0^t\int_{\mathbb{R}^3}\frac{1}{4\pi\sqrt{(x_1-y_1-t+\tau)^2+ (x_2-y_2)^2+(x_3-y_3)^2}}\mathfrak{M}_{y,\tau}[u](y,\tau)\,dy\,d\tau \end{aligned}
\end{equation}
\tag{7.13}
$$
при $R\to+\infty$. В силу оценок (7.6)–(7.8), а также в силу неравенств (7.1) справедливы следующие свойства:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\biggl|\int_0^t\int_{\partial O(x,2R)}\frac{1}{4\pi\sqrt{(x_1-y_1-t+\tau)^2+ (x_2-y_2)^2+(x_3-y_3)^2}} \nonumber \\ &\qquad\qquad\times\Delta_yu(y,\tau)\cos(n_y,e_1)\,dS_y\,d\tau\biggr|\leqslant \frac{1}{4\pi R}\, \frac{A_3(T)}{4R^2}\, 4\pi 4R^2\to+0, \nonumber \\ &\biggl|\int_{\partial O(x,2R)}\biggl[\frac{1}{4\pi|x-y|}\, \frac{\partial u(y,t)}{\partial n_y}-u(y,t)\, \frac{\partial}{\partial n_y}\, \frac{1}{4\pi|x-y|}\biggr]\,dS_y\biggr| \nonumber \\ &\qquad\leqslant\frac{3}{4\pi}\frac{1}{2R}\,\frac{A_2(T)}{4R^2}\,4\pi 4R^2+ \frac{1}{4\pi}\,\frac{A_1(T)}{R}\,\frac{1}{R^2}\,4\pi 4R^2\to+0, \nonumber \\ &\biggl|\int_{\partial O(x,2R)} \biggl[-\frac{1}{4\pi\sqrt{(y_1-x_1+t)^2+(y_2-x_2)^2+(y_3-x_3)^2}}\, \frac{\partial u_0(y)}{\partial n_y} \nonumber \\ &\qquad\qquad+u_0(y)\, \frac{\partial}{\partial n_y}\, \frac{1}{4\pi\sqrt{(y_1-x_1+t)^2+(y_2-x_2)^2+(y_3-x_3)^2}}\biggr]\,dS_y\biggr| \nonumber \\ &\qquad\leqslant \frac{3}{4\pi}\, \frac{1}{R}\, \frac{A_2(T)}{4R^2}\, 4\pi 4R^2+ \frac{1}{4\pi}\, \frac{A_1(T)}{R}\, \frac{1}{R^2}\, 4\pi 4R^2\to+0 \end{aligned}
\end{equation}
\tag{7.14}
$$
при $R\to+\infty$. В силу предельных свойств (7.13), (7.14) из (7.5) в пределе при $R\to+\infty$ получим искомое равенство (7.4). Теорема доказана. Теперь мы получим третью формулу Грина для области $(x_1,x_2,x_3)\in\Omega=(-\infty,+\infty)\otimes D$, где $D\subset\mathbb{R}^2$ – это ограниченная область с гладкой границей $\partial D$. Правда теперь нам потребуется другое определение регулярности функции в окрестности бесконечно удаленной точки. Дадим определение. Определение 7.2. Будем говорить, что функция Справедливо следующее утверждение. Теорема 7.2. Любая функция Доказательство. Пусть $(x,t)=(x_1,x_2,x_3,t)$ – фиксированная точка такая, что $x_1\in(-R,R)$, $(x_2,x_3)\in D$ и $t\in(0,T]$ при $T\in(0,R)$. Применим третью формулу Грина (6.11) в области $\Omega_R:=(-3R,3R)\otimes D$. Тогда получим следующее равенство:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &u(x,t)=u_0(x_1-t,x_2,x_3) \nonumber \\ &\ -\int_0^t\int_{\Omega_R}\frac{1}{4\pi\sqrt{(x_1-y_1-t+\tau)^2+ (x_2-y_2)^2+(x_3-y_3)^2}}\mathfrak{M}_{y,\tau}[u](y,\tau)\,dy\,d\tau \nonumber \\ &\ +\int_0^t\int_{\partial\Omega_R}\frac{1}{4\pi\sqrt{(x_1-y_1-t+\tau)^2+ (x_2-y_2)^2+(x_3-y_3)^2}} \nonumber \\ &\ \qquad \times\Delta_yu(y,\tau)\cos(n_y,e_1)\,dS_y,d\tau \nonumber \\ &\ +\int_{\partial\Omega_R}\biggl[\frac{1}{4\pi|x-y|}\, \frac{\partial u(y,t)}{\partial n_y}-u(y,t)\, \frac{\partial}{\partial n_y}\, \frac{1}{4\pi|x-y|}\biggr]\,dS_y \nonumber \\ &\ +\int_{\partial\Omega_R} \biggl[-\frac{1}{4\pi\sqrt{(y_1-x_1+t)^2+(y_2-x_2)^2+(y_3-x_3)^2}}\, \frac{\partial u_0(y)}{\partial n_y} \nonumber \\ &\ +u_0(y)\, \frac{\partial}{\partial n_y}\, \frac{1}{4\pi\sqrt{(y_1-x_1+t)^2+(y_2-x_2)^2+(y_3-x_3)^2}}\biggr]\,dS_y. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{7.19}
$$
Рассмотрим следующий интеграл:
$$
\begin{equation*}
I_R:=\int_{3R}^{+\infty}\int_{D} \frac{1}{\sqrt{(x_1-t-y_1)^2+(x_2-y_2)^2+(x_3-y_3)^2}}\frac{1}{y_1}\,dy_2\,dy_3\,dy_1.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $|x_1|\leqslant R$ и $t\in[0,R)$, а в интеграле $I_R$ $y_1\geqslant 3R$, то справедливы следующие неравенства:
$$
\begin{equation*}
|x_1|\leqslant R\leqslant\frac{y_1}{3},\qquad t\leqslant R\leqslant\frac{y_1}{3},\qquad |y_1-t+x_1|\geqslant y_1-t-|x_1|\geqslant\frac{1}{3}y_1.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому для интеграла $I_R$ справедливы следующие оценки:
$$
\begin{equation*}
I_R\leqslant|D|\int_{3R}^{+\infty}\frac{1}{y_1}\, \frac{1}{|x_1-t-y_1|}\,dy_1\leqslant 3|D|\int_{3R}^{+\infty}\frac{1}{y_1^2}\,dy_1\to+0\quad\text{при}\quad R\to+\infty,
\end{equation*}
\notag
$$
где $|D|$ – площадь плоской области $D\subset\mathbb{R}^2$. Аналогичным образом можно рассмотреть интеграл
$$
\begin{equation*}
K_R:=\int_{-\infty}^{-3R}\int_{D} \frac{1}{\sqrt{(x_1-t-y_1)^2+(x_2-y_2)^2+(x_3-y_3)^2}}\, \frac{1}{y_1}\,dy_2\,dy_3\,dy_1
\end{equation*}
\notag
$$
и доказать точно также, что $K_R\to 0$ при $R\to+\infty$. Отсюда и из (7.16) вытекает следующее предельное свойство:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\int_0^t\int_{\Omega_R}\frac{1}{4\pi\sqrt{(x_1-y_1-t+\tau)^2+ (x_2-y_2)^2+(x_3-y_3)^2}}\mathfrak{M}_{y,\tau}[u](y,\tau)\,dy\,d\tau \nonumber \\ &\qquad\to \int_0^t\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{D}\frac{1}{4\pi\sqrt{(x_1-y_1-t+\tau)^2+ (x_2-y_2)^2+(x_3-y_3)^2}} \nonumber \\ &\qquad\qquad\times\mathfrak{M}_{y,\tau}[u](y,\tau)\,dy_2\,dy_3\,dy_1\,d\tau \end{aligned}
\end{equation}
\tag{7.20}
$$
при $R\to+\infty$.
Заметим теперь, что граница $\partial\Omega_R$ области $\Omega_R=(-3R,3R)\otimes D$ имеет следующий вид:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \partial\Omega_R=\partial\Omega_R^1\cup\partial\Omega_R^2, \\ \partial\Omega^1_R:=(-3R,3R)\otimes\partial D,\qquad \partial\Omega^2_R:=(\{x_1=-3R\}\otimes D)\cup(\{x_1=3R\}\otimes D). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{3} \cos(n_y,e_1)&=1&\quad&\text{при}&\quad y&\in\{x_1=3R\}\otimes D, \\ \cos(n_y,e_1)&=-1&\quad&\text{при}&\quad y&\in\{x_1=-3R\}\otimes D, \\ \cos(n_y,e_1)&=0&\quad&\text{при}&\quad y&\in\partial\Omega^1_R, \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
где $n_y$ – внешняя нормаль в точке $y\in\partial\Omega_R$ по отношению к области $\Omega_R$. Поэтому справедливо равенство
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, J_R&:=\int_0^t\int_{\partial\Omega_R}\frac{1}{4\pi\sqrt{(x_1-y_1-t+\tau)^2+ (x_2-y_2)^2+(x_3-y_3)^2}} \nonumber \\ &\qquad\qquad\times\Delta_yu(y,\tau)\cos(n_y,e_1)\,dS_y\,d\tau \nonumber \\ &\,=\int_0^t\int_{D}\frac{1}{4\pi\sqrt{(x_1-3R-t+\tau)^2+ (x_2-y_2)^2+(x_3-y_3)^2}} \nonumber \\ &\qquad\qquad\times\Delta_yu(3R,y_2,y_3,\tau)\,d\sigma_{y_2,y_3}\,d\tau \nonumber \\ &\qquad-\int_0^t\int_{D}\frac{1}{4\pi\sqrt{(x_1+3R-t+\tau)^2+ (x_2-y_2)^2+(x_3-y_3)^2}} \nonumber \\ &\qquad\qquad\times\Delta_yu(-3R,y_2,y_3,\tau)\,d\sigma_{y_2,y_3}\,d\tau \nonumber \\ &\,=:J_{1R}+J_{2R}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{7.21}
$$
Интегралы $J_{1R}$ и $J_{2R}$ рассматриваются подобным образом. Поэтому рассмотрим, например, интеграл $J_{1R}$. Поскольку $|x_1|\leqslant R$, $0\leqslant t<R$ и $\tau\in[0,t]$, то справедливы неравенства
$$
\begin{equation*}
|x_1-3R-t+\tau|\geqslant 3R-|x_1|-t+\tau\geqslant 3R-R-R=R.
\end{equation*}
\notag
$$
С учетом (7.15) получаем следующую оценку для интеграла $J_{1R}$:
$$
\begin{equation*}
|J_{1R}|\leqslant\frac{B_3(T)T}{4\pi}|D|\frac{1}{|x_1-3R-t+\tau|}\leqslant \frac{B_3(T)T}{4\pi R}|D|\to+0\quad\text{при}\quad R\to+\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, Теперь рассмотрим следующий интеграл:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, L_R&:=\int_{\partial\Omega_R}\biggl[\frac{1}{4\pi|x-y|}\,\frac{\partial u(y,t)}{\partial n_y}-u(y,t)\,\frac{\partial}{\partial n_y}\,\frac{1}{4\pi|x-y|}\biggr]\,dS_y \\ &\,=\int_{\partial\Omega^1_R}\biggl[\frac{1}{4\pi|x-y|}\,\frac{\partial u(y,t)}{\partial n_y}-u(y,t)\,\frac{\partial}{\partial n_y}\,\frac{1}{4\pi|x-y|}\biggr]\,dS_y \\ &\qquad+\int_{\partial\Omega^2_R}\biggl[\frac{1}{4\pi|x-y|}\,\frac{\partial u(y,t)}{\partial n_y}-u(y,t)\, \frac{\partial}{\partial n_y}\, \frac{1}{4\pi|x-y|}\biggr]\,dS_y=:L_{1R}+L_{2R}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отметим, что поскольку $|x|\leqslant R$, то для $|y_1|\geqslant 3R$ справедлива оценка
$$
\begin{equation*}
|x-y|\geqslant|x_1-y_1|\geqslant |y_1|-|x_1|\geqslant\frac{2}{3}|y_1|.
\end{equation*}
\notag
$$
Имеют место следующие оценки:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_{3R}^{+\infty}\int_{\partial D}\frac{1}{|x-y|}\,\frac{1}{y_1}\,dy_1\,d\sigma_{y_2 y_3}&\leqslant \frac{3}{2}\,|\partial D|\int_{3R}^{+\infty}\frac{1}{y_1^2}\,dy_1\to +0\quad\text{при}\quad R\to+\infty, \\ \int_{3R}^{+\infty}\int_{\partial D}\frac{1}{|x-y|^2}\,dy_1\, d\sigma_{y_2 y_3}&\leqslant \frac{9}{4}\,|\partial D|\int_{3R}^{+\infty}\frac{1}{y_1^2}\,dy_1\to+0\quad\text{при}\quad R\to+\infty, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $|\partial D|$ – длина границы области $D$. Аналогичным образом доказываются следующие предельные свойства:
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{3} \int_{-\infty}^{-3R}\int_{\partial D}\frac{1}{|x-y|}\, \frac{1}{y_1}\,dy_1 &\to+0&\quad&\text{при}&\quad R&\to+\infty, \\ \int_{-\infty}^{-3R}\int_{\partial D}\frac{1}{|x-y|^2}\,dy_1&\to+0&\quad&\text{при}&\quad R&\to+\infty. \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, в силу (7.15) имеет место следующее предельное свойство:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &L_{1R}:=\int_{\partial\Omega^1_R}\biggl[\frac{1}{4\pi|x-y|}\,\frac{\partial u(y,t)}{\partial n_y}-u(y,t)\,\frac{\partial}{\partial n_y}\, \frac{1}{4\pi|x-y|}\biggr]\,dS_y \nonumber \\ &\to\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{\partial D}\biggl[\frac{1}{4\pi|x-,y|}\, \frac{\partial u(y,t)}{\partial n_y}-u(y,t)\, \frac{\partial}{\partial n_y}\, \frac{1}{4\pi|x-y|}\biggr]\,d\sigma_{y_2,y_3}\,dy_1 \end{aligned}
\end{equation}
\tag{7.23}
$$
при $R\to+\infty$. Для интеграла $L_{2R}$ справедлива цепочка неравенств
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, |L_{2R}| &=\biggl|\int_{\partial\Omega^2_R}\biggl[\frac{1}{4\pi|x-y|}\,\frac{\partial u(y,t)}{\partial n_y}-u(y,t)\,\frac{\partial}{\partial n_y}\, \frac{1}{4\pi|x-y|}\biggr]\,dS_y\biggr| \nonumber \\ &\leqslant\frac{1}{4\pi}|D|\frac{1}{2R}\,\frac{3B_2(T)}{3R}+ \frac{1}{4\pi}B_1(T)|D|\frac{1}{R^2}\to+0\quad\text{при}\quad R\to+\infty. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{7.24}
$$
Следовательно, в силу предельных свойств (7.23) и (7.24) приходим к следующему предельному свойству:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &L_{R}:=\int_{\partial\Omega_R}\biggl[\frac{1}{4\pi|x-y|}\, \frac{\partial u(y,t)}{\partial n_y}-u(y,t)\, \frac{\partial}{\partial n_y}\,\frac{1}{4\pi|x-y|}\biggr]\,dS_y \nonumber \\ &\to\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{\partial D}\biggl[\frac{1}{4\pi|x-y|}\, \frac{\partial u(y,t)}{\partial n_y}-u(y,t)\, \frac{\partial}{\partial n_y}\, \frac{1}{4\pi|x-y|}\biggr]\,d\sigma_{y_2,y_3}\,dy_1 \end{aligned}
\end{equation}
\tag{7.25}
$$
при $R\to+\infty$. Аналогичным образом при условии, что $|x|\leqslant R$ и $t\in(0,R)$ с учетом (7.15) можно доказать следующее предельное свойство:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\int_{\partial\Omega_R} \biggl[-\frac{1}{4\pi\sqrt{(y_1-x_1+t)^2+(y_2-x_2)^2+(y_3-x_3)^2}}\, \frac{\partial u_0(y)}{\partial n_y} \nonumber \\ &\qquad\qquad+u_0(y)\frac{\partial}{\partial n_y}\, \frac{1}{4\pi\sqrt{(y_1-x_1+t)^2+(y_2-x_2)^2+(y_3-x_3)^2}}\biggr]\,dS_y \nonumber \\ &\qquad \to\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{\partial D} \biggl[-\frac{1}{4\pi\sqrt{(y_1-x_1+t)^2+(y_2-x_2)^2+(y_3-x_3)^2}}\, \frac{\partial u_0(y)}{\partial n_y} \nonumber \\ &\qquad\qquad+u_0(y)\frac{\partial}{\partial n_y} \frac{1}{4\pi\sqrt{(y_1-x_1+t)^2+(y_2-x_2)^2+(y_3-x_3)^2}}\biggr] \,d\sigma_{y_2,y_3}\,dy_1 \end{aligned}
\end{equation}
\tag{7.26}
$$
при $R\to+\infty$.
Таким образом, из (7.20)–(7.22), (7.25) и (7.26) с учетом (7.19) в пределе при $R\to+\infty$ приходим равенству (7.18). Теорема доказана. § 8. Свойства объемного потенциалаРассмотрим объемный потенциал
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, V(x,t) &:=V[\rho](x,t) \\ &:=\int_0^t\int_{\mathbb{R}^3} \frac{1}{\sqrt{(x_1-y_1-t+\tau)^2+(x_2-y_2)^2+(x_3-y_3)^2}}\rho(y,\tau)\,dy\,d\tau. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Справедливо следующее утверждение. Лемма 8.1. Пусть $\rho(x,t)\in\mathbb{C}([0,T];\mathbb{C}_b((1+|x|^2)^{\alpha/2};\mathbb{R}^3))$ при $\alpha>3$, тогда $V(x,t)\in\mathbb{C}^{1,1}_{b}(\mathbb{R}^3\otimes[0,T])$. Доказательство. Прежде всего заметим, что несложно доказать соотношение $V(x,t)\in\mathbb{C}_b(\mathbb{R}^3\otimes[0,T])$.
Пусть число $R>0$ настолько велико, что $T\in(0,R]$. Тогда объемный потенциал $V(x,t)$ можно представить в виде суммы где
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &V_1(x,t) \nonumber \\ &\ :=\int_0^t\int_{\mathbb{R}^3\setminus O(x_{00},3R)} \frac{1}{\sqrt{(x_1-y_1-t+\tau)^2+(x_2-y_2)^2+(x_3-y_3)^2}}\rho(y,\tau)\,dy\,d\tau, \\ &V_2(x,t) \nonumber \\ &\ :=\int_0^t\int_{O(x_{00},3R)} \frac{1}{\sqrt{(x_1-y_1-t+\tau)^2+(x_2-y_2)^2+(x_3-y_3)^2}}\rho(y,\tau)\,dy\,d\tau. \nonumber \end{aligned}
\end{equation}
\tag{8.1}
$$
Пусть $|x_{00}-x|<R$ и $x^{\ast}=(x_1-t,x_2,x_3)$, тогда справедливы следующие оценки снизу:
$$
\begin{equation*}
|y-x^{\ast}|\geqslant |y-x_{00}|-|x_{00}-x|-t\geqslant 3R-2R=R>0.
\end{equation*}
\notag
$$
Итак, особенности в подынтегральном выражении в (8.1) при $t\in[0,T]$ и $|x\,{-}\,x_{00}|<R$ нет. Теперь заметим, что в силу условия леммы на функцию $\rho(x,t)$ вытекает, что $\rho(x,t)\in\mathbb{C}_b(\mathbb{R}^3\otimes[0,T])$ и
$$
\begin{equation}
\sup_{t\in[0,T]}|\rho(x,t)|\leqslant\frac{A_1(T)}{(1+|x|^2)^{\alpha/2}}\quad\text{при}\quad \alpha>3
\end{equation}
\tag{8.2}
$$
и, следовательно, правая часть этого неравенства интегрируема по $x\in\mathbb{R}^3$. Поэтому при $|x-x_{00}|<R$ справедливы следующие равенства:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\frac{\partial V_1(x,t)}{\partial x_j} \\ &=\int_0^t\int_{\mathbb{R}^3\setminus O(x_{00},3R)}\frac{\partial}{\partial x_j}\, \frac{1}{\sqrt{(x_1\,{-}\,y_1\,{-}\,t\,{+}\,\tau)^2\,{+}\,(x_2\,{-}\,y_2)^2\,{+}\,(x_3\,{-}\,y_3)^2}} \rho(y,\tau)\,dy\,d\tau, \\ &\frac{\partial V_1(x,t)}{\partial t}= \int_{\mathbb{R}^3\setminus O(x_{00},3R)}\frac{1}{|x-y|}\rho(y,t)\,dy \\ &\ +\int_0^t\int_{\mathbb{R}^3\setminus O(x_{00},3R)}\frac{\partial}{\partial t}\, \frac{1}{\sqrt{(x_1-y_1-t+\tau)^2+(x_2-y_2)^2+(x_3-y_3)^2}}\rho(y,\tau)\,dy\,d\tau. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Потенциал $V_2(x,t)$ можно представить в следующем виде:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, V_2(x,t)=\int_0^tJ(x,t,\tau)\,d\tau, \\ J(x,t,\tau):=\int_{O(x_{00},3R)} \frac{1}{\sqrt{(x_1-y_1-t+\tau)^2+(x_2-y_2)^2+(x_3-y_3)^2}}\rho(y,\tau)\,dy. \nonumber \end{gathered}
\end{equation}
\tag{8.3}
$$
Используя результаты леммы 4.1 работы [16] и технику работы [17; гл. I, § 3], можно доказать, что справедливы следующие поточечные равенства:
$$
\begin{equation}
\frac{\partial V_2(x,t)}{\partial x_j}= \int_0^t\frac{\partial J(x,t,\tau)}{\partial x_j}\,d\tau \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\ =\int_0^t\int_{O(x_{00},3R)}\frac{\partial}{\partial x_j}\, \frac{1}{\sqrt{(x_1-y_1-t+\tau)^2+(x_2-y_2)^2+(x_3-y_3)^2}}\rho(y,\tau)\,dy\,d\tau,
\end{equation}
\tag{8.4}
$$
$$
\begin{equation}
\frac{\partial V_2(x,t)}{\partial t}=J(x,t,t)+ \int_0^t\frac{\partial J(x,t,\tau)}{\partial t}\,d\tau =\int_{O(x_{00},3R)}\frac{1}{|x-y|}\rho(y,t)\,dy \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\ \ +\int_0^t\int_{O(x_{00},3R)}\frac{\partial}{\partial x_j}\frac{1}{\sqrt{(x_1-y_1-t+\tau)^2+(x_2-y_2)^2+(x_3-y_3)^2}}\rho(y,\tau)\,dy\,d\tau
\end{equation}
\tag{8.5}
$$
при $j=1,2,3$. Из представлений (8.3)–(8.5) вытекает, что
$$
\begin{equation}
\ =\int_0^t\int_{\mathbb{R}^3}\frac{\partial}{\partial x_j}\, \frac{1}{\sqrt{(x_1-y_1-t+\tau)^2+(x_2-y_2)^2+(x_3-y_3)^2}}\rho(y,\tau)\,dy\,d\tau,
\end{equation}
\tag{8.6}
$$
$$
\begin{equation}
\frac{\partial V(x,t)}{\partial t}= \int_{\mathbb{R}^3}\frac{1}{|x-y|}\rho(y,t)\,dy \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\ \ +\int_0^t\int_{\mathbb{R}^3}\frac{\partial}{\partial t}\, \frac{1}{\sqrt{(x_1-y_1-t+\tau)^2+(x_2-y_2)^2+(x_3-y_3)^2}}\rho(y,\tau)\,dy\,d\tau.
\end{equation}
\tag{8.7}
$$
Заметим, что
$$
\begin{equation*}
\biggl|\frac{\partial}{\partial x_j}\, \frac{1}{|x^{\ast}-y|}\biggr|\leqslant \frac{1}{|x^{\ast}-y|^2},\quad \biggl|\frac{\partial}{\partial t}\, \frac{1}{|x^{\ast}-y|}\biggr|\leqslant \frac{1}{|x^{\ast}-y|^2}\quad\text{при}\quad x^{\ast}\ne y,
\end{equation*}
\notag
$$
где $x^{\ast}=(x_1-t,x_2,x_3)$ и $y=(y_1,y_2,y_3)$. Тогда из равенства (8.6) вытекает следующее:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\frac{\partial V(x,t)}{\partial x_j} \nonumber \\ &=\int_0^t\int_{\mathbb{R}^3\setminus O(x^{\ast},R_0)}\frac{\partial}{\partial x_j}\, \frac{1}{\sqrt{(x_1-y_1-t+\tau)^2+(x_2-y_2)^2+(x_3-y_3)^2}}\rho(y,\tau)\,dy\,d\tau \nonumber \\ &\ +\int_0^t\int_{O(x^{\ast},R_0)\setminus O(x^{\ast},\mu_0)}\frac{\partial}{\partial x_j}\, \frac{1}{\sqrt{(x_1-y_1-t+\tau)^2+(x_2-y_2)^2+(x_3-y_3)^2}} \nonumber \\ &\ \qquad\times\rho(y,\tau)\,dy\,d\tau \nonumber \\ &\ +\int_0^t\int_{O(x^{\ast},\mu_0)}\frac{\partial}{\partial x_j}\, \frac{1}{\sqrt{(x_1-y_1-t+\tau)^2+(x_2-y_2)^2+(x_3-y_3)^2}}\rho(y,\tau)\,dy\,d\tau \nonumber \\ &=: L_1(x,t)+L_2(x,t)+L_3(x,t). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{8.8}
$$
Пусть $\varepsilon>0$ – произвольное фиксированное. Тогда найдется такое достаточно большое $R_0>1$, что с учетом (8.2) справедлива следующая цепочка неравенств:
$$
\begin{equation}
|L_1(x,t)|\leqslant\frac{1}{R_0^2}TA_1(T) \int_{\mathbb{R}^3}\frac{1}{(1+|y|^2)^{\alpha/2}}\,dy\leqslant\frac{A_{11}(T,\alpha)}{R_0^2}< \frac{\varepsilon}{5}\quad\text{при}\quad\alpha>3.
\end{equation}
\tag{8.9}
$$
Кроме того, найдется такое достаточно малое $\mu_0\in(0,1)$, что справедлива цепочка неравенств
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |L_3(x,t)| &\leqslant T\sup_{(y,\tau)\in\mathbb{R}^3\otimes[0,T]}|\rho(y,\tau)| \int_{O(0,\mu_0)}\frac{1}{|w|^2}\,dw \\ &=T\sup_{(y,\tau)\in\mathbb{R}^3\otimes[0,T]}|\rho(y,\tau)| 4\pi\mu_0<\frac{\varepsilon}{5}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
При этом для функции $L_2(x,t)$ справедливо следующее выражение:
$$
\begin{equation}
L_2(x,t)=\int_0^t\int_{O(0,R_0)\setminus O(0,\mu_0)} \frac{\partial}{\partial w_j}\biggl(\frac{1}{|w|}\biggr)\rho(x^{\ast}+w,\tau)\,dw\,d\tau,
\end{equation}
\tag{8.10}
$$
из которого совершенно понятно, что найдется такое $\delta=\delta(R_0,\mu_0,\varepsilon)>0$, что при $|(x,t)-(x_0,t_0)|<\delta$ справедливо неравенство Итак, для любого $\varepsilon>0$ найдется такое $\delta=\delta(\varepsilon)>0$, что справедливы следующие неравенства:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\biggl|\frac{\partial V(x,t)}{\partial x_j}-\frac{\partial V(x_0,t_0)}{\partial x_j}\biggr|\leqslant |L_2(x,t)-L_2(x_0,t_0)| \\ &\qquad+|L_1(x,t)|+|L_1(x_0,t_0)|+|L_3(x,t)|+|L_3(x_0,t_0)| <5\frac{\varepsilon}{5}=\varepsilon. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом,
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial V(x,t)}{\partial x_j}\in\mathbb{C}(\mathbb{R}^3\otimes[0,T]).
\end{equation*}
\notag
$$
Из явного вида (8.8) с учетом (8.9), (8.10) несложным образом заключаем о справедливости оценки
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\sup_{(x,t)\in\mathbb{R}^3\otimes[0,T]}\biggl|\frac{\partial V(x,t)}{\partial x_j}\biggr| \\ &\qquad\leqslant \frac{A_{11}(T,\alpha)}{R_0^2}+T\sup_{(x,t)\in\mathbb{R}^3\otimes[0,T]}|\rho(x,t)| \int_{O(0,R_0)\setminus O(0,\mu_0)}\frac{1}{|w|^2}\,dw \\ &\qquad\qquad+T\sup_{(y,\tau)\in\mathbb{R}^3\otimes[0,T]}|\rho(y,\tau)|4\pi\mu_0<+\infty. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Итак,
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial V(x,t)}{\partial x_j}\in\mathbb{C}_b(\mathbb{R}^3\otimes[0,T]).
\end{equation*}
\notag
$$
Точно также с учетом (8.7) можно доказать, что Итак, приходим к выводу о том, что $V(x,t)\in\mathbb{C}^{1,1}_b(\mathbb{R}^3\otimes[0,T])$. Лемма доказана. Справедлива следующая лемма. Лемма 8.2. Пусть $\rho(x,t)\in\mathbb{C}_b([0,T];\mathbb{C}_b((1+|x|^2)^{\alpha/2};\mathbb{R}^3))$ при $\alpha>3$ и $\rho(x,t)\in\mathbb{C}^{\beta}_{x,\mathrm{loc}}(\mathbb{R}^3)$ при $\beta\in(0,1]$ равномерно по $t\in[0,T]$. Тогда объемный потенциал удовлетворяет следующему поточечному равенству: и, кроме того, $V(x,0)=0$ для всех $x\in\mathbb{R}^3$. Доказательство. Из поточечных равенств (8.6) и (8.7) вытекает следующее равенство:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\frac{\partial V(x,t)}{\partial t}+\frac{\partial V(x,t)}{\partial x_1}= \int_{\mathbb{R}^3}\frac{1}{|x-y|}\rho(y,t)\,dy \\ &\ +\int_0^t\int_{\mathbb{R}^3}\biggl(\frac{\partial}{\partial t}+\frac{\partial}{\partial x_1}\biggr)\frac{1}{\sqrt{(x_1-y_1-t+\tau)^2+(x_2-y_2)^2+(x_3-y_3)^2}} \rho(y,\tau)\,dy\,d\tau \\ &=\int_{\mathbb{R}^3}\frac{1}{|x-y|}\rho(y,t)\,dy=:V_0(x,t). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В силу [16; лемма 4.2] потенциал $V_0(x,t)$ удовлетворяет поточечному равенству Лемма доказана. Наконец, справедлива следующая несложная лемма. § 9. Задача КошиДадим определение классического решения задачи Коши (1.1), (1.2). Определение 9.1. Классическим решением задачи Коши Справедливо следующее утверждение. Теорема 9.1. Каждое классическое решение задачи (9.1), регулярное на бесконечности в смысле определения 7.1, является решением интегрального уравнения Замечание 9.1. К сожалению, доказать обратное утверждение к теореме 9.1 мы не смогли. Хотя в рамках данного исследования нам нужно доказать, что при $q>3$ существует локальное во времени слабое решение рассматриваемой задачи Коши. С этой целью мы рассмотрим интегральное уравнение (9.2). Введем новую функцию и из (9.2) получим следующее интегральное уравнение:
$$
\begin{equation}
v(x,t)=v_0(x,t)+\int_0^t\int_{\mathbb{R}^3}G(x,y,t-\tau)|v(y,\tau)|^q\,dy\,d\tau,
\end{equation}
\tag{9.3}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, v_0(x,t) &:=(1+|x|^2)^{1/2}u_0(x_1-t,x_2,x_3), \\ G(x,y,t-\tau) &:=-\frac{1}{4\pi|x^{\ast}-y|}\,\frac{(1+|x|^2)^{1/2}}{(1+|y|^2)^{q/2}}, \\ x^{\ast} &:=(x_1-t+\tau,x_2,x_3). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Справедливо следующее вспомогательное утверждение. Доказательство. Пусть
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \begin{aligned} \, I &:=\frac{1}{4\pi}\int_{\mathbb{R}^3}dy\,\frac{1}{|y|[1+|x^{\ast}-y|^2]^{q/2}} \\ &\,=\frac{1}{2}\int_0^{+\infty}dr\,\int_0^{\pi}d\theta\,\frac{r\sin\theta} {[1+|x^{\ast}|^2+r^2-2|x^{\ast}|r\cos\theta]^{q/2}}, \end{aligned} \\ a=1+|x^{\ast}|^2+r^2,\qquad b=2|x^{\ast}|r, \\ \begin{aligned} \, &\int_0^{\pi}d\theta\,\frac{\sin\theta}{(a-b\cos\theta)^{q/2}}= \int_{-1}^1dz\,\frac{1}{(a-bz)^{q/2}} \\ &\qquad=\frac{1}{b^{q/2}}\, \frac{2}{q-2} \biggl[\frac{1}{(a/b-1)^{q/2-1}}-\frac{1}{(a/b+1)^{q/2-1}}\biggr], \end{aligned} \\ \begin{aligned} \, I&=\frac{1}{q-2}\, \frac{1}{|x^{\ast}|}\int_0^{+\infty}dr\, \biggl[\frac{1}{[1+(r-|x^{\ast}|)^2]^{\beta/2}}-\frac{1}{[1+(r+|x^{\ast}|)^2]^{\beta/2}}\biggr] \\ &=:\frac{1}{|x^{\ast}|}(I_1+I_2),\qquad \beta=q-2. \end{aligned} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $|x^{\ast}|\geqslant 1$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, I_1&=\frac{1}{q-2} \int_0^{+\infty}dr\,\frac{1}{[1+(r-|x^{\ast}|)^2]^{\beta/2}}=\frac{1}{q-2} \int_{-|x^{\ast}|}^{+\infty}dz\,\frac{1}{(1+z^2)^{\beta/2}}<+\infty, \\ I_2&=\frac{1 }{q-2} \int_0^{+\infty}dr\,\frac{1}{[1+(r+|x^{\ast}|)^2]^{\beta/2}} \leqslant\frac{1}{q-2}\int_0^{+\infty}dr\,\frac{1}{(1+r^2)^{\beta/2}},\qquad q>3. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $|x^{\ast}|<1$. Предположим, что $\beta>1$. Тогда с помощью замен переменных выражение для $I$ приводим к виду Лемма доказана.Непосредственным следствием этой леммы является следующая. Доказательство. Если $|x|\leqslant 2T$, то из неравенства (9.4) получаем неравенство Если же $|x|\geqslant 2T$, то справедливо неравенство
$$
\begin{equation}
|x^{\ast}|\geqslant|x|-t\geqslant |x|-T\geqslant\frac{|x|}{2}\quad\Longrightarrow\quad I\leqslant\frac{2c_1}{(4+|x|^2)^{1/2}}.
\end{equation}
\tag{9.7}
$$
Из неравенств (9.6) и (9.7) вытекает неравенство (9.5). Лемма доказана. В частности, из леммы 9.2 вытекает следующий результат. Теперь, используя метод сжимающих отображений, докажем следующее утверждение. Теорема 9.2. Для любой функции $v_0(x,t)\in\mathbb{C}([0,T_1];\mathbb{C}_b(\mathbb{R}^3))$ при любом $T_1>0$ найдется такое $T_0=T_0(v_0)>0$, что существует единственное решение $v(x,t)$ интегрального уравнения (9.3) класса $\mathbb{C}([0,T];\mathbb{C}_b(\mathbb{R}^3))$ для любого $T\in(0,T_0)$, причем либо $T_0=+\infty$, либо $T_0<+\infty$, и в последнем случае имеет место следующее предельное свойство: Доказательство. Перепишем интегральное уравнение (9.3) в следующей операторной форме:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, v(x,t)=H(v)(x,t),\qquad H(v)(x,t)=v_0(x,t)+H_1(v)(x,t), \\ \nonumber H_1(v)(x,t)=\int_0^t\int_{\mathbb{R}^3}G(x,y,t-\tau)|v(y,\tau)|^q\,dy\,d\tau. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{9.9}
$$
Прежде всего докажем, что
$$
\begin{equation}
H_1\colon\mathbb{C}([0,T];\mathbb{C}_b(\mathbb{R}^3))\to \mathbb{C}([0,T];\mathbb{C}_b(\mathbb{R}^3)).
\end{equation}
\tag{9.10}
$$
Действительно, пусть $v(x,t)\in\mathbb{C}([0,T];\mathbb{C}_b(\mathbb{R}^3))$ – фиксированная функция. Справедливо следующее равенство при $0<\mu_0<R_0$:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, H_1(x,t)=H_{11}(x,t)+H_{12}(x,t)+H_{13}(x,t), \\ \begin{aligned} \, H_{11}(x,t)&=\int_0^t\int_{\mathbb{R}^3\setminus O(x^{\ast},R_0)}G(x,y,t-\tau)|v(y,\tau)|^q\,dy\,d\tau, \\ H_{12}(x,t)&=\int_0^t\int_{O(x^{\ast},R_0)\setminus O(x^{\ast},\mu_0)}G(x,y,t-\tau)|v(y,\tau)|^q\,dy\,d\tau, \\ H_{13}(x,t)&=\int_0^t\int_{O(x^{\ast},\mu_0)}G(x,y,t-\tau)|v(y,\tau)|^q\,dy\,d\tau,\qquad x^{\ast}=(x_1-t+\tau,x_2,x_3). \end{aligned} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $(x_0,t_0)\in\mathbb{R}^3\otimes[0,T]$ – произвольная фиксированная точка и $\varepsilon>0$ – произвольное фиксированное число. Тогда найдется такое достаточно большое $R_0>0$, что при $t\in[0,T]$ в силу неравенства (9.8) справедлива цепочка неравенств:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, |H_{11}(x,t)| &\leqslant \int_0^t\int_{\mathbb{R}^3\setminus O(x^{\ast},R_0)}|G(x,y,t-\tau)|\,|v(y,\tau)|^q\,dy\,d\tau \nonumber \\ &\leqslant R^q\int_0^t\int_{\mathbb{R}^3\setminus O(x^{\ast},R_0)}|G(x,y,t-\tau)|\,dy\,d\tau \nonumber \\ &\leqslant R^qT\sup_{x\in\mathbb{R}^3,\,s\in[0,T]}\int_{\mathbb{R}^3\setminus O(x^{\ast},R_0)}|G(x,y,s)|\,dy<\frac{\varepsilon}{5}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{9.11}
$$
где $R:=\| v\|_T<+\infty$. Кроме того, в силу (9.8) найдется такое малое $\mu_0>0$, что справедлива следующая цепочка неравенств:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, |H_{13}(x,t)| &\leqslant \int_0^t\int_{O(x^{\ast},\mu_0)}|G(x,y,t-\tau)|\,|v(y,\tau)|^q\,dy\,d\tau \nonumber \\ &\leqslant R^q\int_0^t\int_{O(x^{\ast},\mu_0)} |G(x,y,t-\tau)|\,dy\,d\tau \nonumber \\ &\leqslant R^qT\sup_{x\in\mathbb{R}^3,\,s\in[0,T]}\int_{O(x^{\ast},\mu_0)} |G(x,y,s)|\,dy<\frac{\varepsilon}{5}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{9.12}
$$
Фиксируем числа $\mu_0>0$ и $R_0>0$. В подынтегральном выражении функции $H_{12}(x,t)$ сделаем замену $w=y-x^{\ast}$ и получим следующее выражение:
$$
\begin{equation*}
H_{12}(x,t)=-\int_0^t\int_{O(0,R_0)\setminus O(0,\mu_0)}\frac{1}{4\pi|w|}\, \frac{(1+|x|^2)^{1/2}}{(1+|w+x^{\ast}|^2)^{q/2}}|v(x^{\ast}+w,\tau)|^q\,dw\,d\tau.
\end{equation*}
\notag
$$
Нетрудно заметить, что функция $H_{12}(x,t)$ является непрерывной всюду в каждой точке $(x_0,t_0)$ и поэтому найдется такое $\delta=\delta(\varepsilon,\mu_0,R_0)>0$, что
$$
\begin{equation}
|H_{12}(x,t)-H_{12}(x_0,t_0)|<\frac{\varepsilon}{5}\quad\text{при}\quad |(x,t)-(x_0,t_0)|<\delta.
\end{equation}
\tag{9.13}
$$
Итак, из (9.11)–(9.13) приходим к выводу о том, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &|H_{1}(x,t)-H_{1}(x_0,t_0)|\leqslant |H_{11}(x,t)|+|H_{11}(x_0,t_0)|+|H_{13}(x,t)|+|H_{13}(x_0,t_0)| \\ &\qquad +|H_{12}(x,t)-H_{12}(x_0,t_0)|<2\frac{\varepsilon}{5}+ 2\frac{\varepsilon}{5}+\frac{\varepsilon}{5}=\varepsilon\quad\text{при}\quad |(x,t)-(x_0,t_0)|<\delta. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, $H_1(x,t)\in\mathbb{C}(\mathbb{R}^3\otimes[0,T])$. Докажем теперь, что, на самом деле, $H_1(x,t)\in\mathbb{C}([0,T];\mathbb{C}_b(\mathbb{R}^3))$. Справедлива следующая оценка:
$$
\begin{equation*}
\| H_1(x,t)\|_T\leqslant TB_1(T)\| v\|^q_T\leqslant TB_1(T)R^q<+\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь нам нужно доказать, что для любых $t_1,t_2\in[0,T]$. С этой целью нам нужно получить некоторые вспомогательные результаты. Заметим, что справедлива следующая оценка:
Справедлива следующая лемма. Доказательство. Сначала рассмотрим случай $|x^{\ast}|>1$. Перейдем к сферической системе координат с осью $Oz$, совпадающей с осью $Ox^{\ast}$. Тогда справедливо следующее равенство:
$$
\begin{equation*}
I=2\pi\int_0^{+\infty}dr\int_0^{\pi}d\theta\, \frac{r^2\sin\theta}{(1+r^2)^{q/2}}\, \frac{1}{|x^{\ast}|^2+r^2-2|x^{\ast}|r\cos\theta}.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть Отдельно выполним вычисления
$$
\begin{equation*}
\int_0^{\pi}d\theta\frac{\sin\theta}{a-b\cos\theta}= -\frac{1}{b}\ln\biggl(\frac{a-b}{a+b}\biggr)= -\frac{1}{2|x^{\ast}|r}\ln\biggl(\frac{|x^{\ast}|-r}{|x^{\ast}|+r}\biggr)^2.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому
$$
\begin{equation*}
I=-\frac{\pi}{|x^{\ast}|}\int_0^{+\infty} \frac{r}{(1+r^2)^{q/2}}\ln\biggl(\frac{|x^{\ast}|-r}{|x^{\ast}|+r}\biggr)^2\,dr.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $\varepsilon\in(0,1)$. Тогда где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, I_1 &=-\frac{\pi}{|x^{\ast}|}\int_0^{\varepsilon|x^{\ast}|} \frac{r}{(1+r^2)^{q/2}}\ln\biggl(\frac{|x^{\ast}|-r}{|x^{\ast}|+r}\biggr)^2\,dr, \\ I_2 &=-\frac{\pi}{|x^{\ast}|}\int_{\varepsilon|x^{\ast}|}^{|x^{\ast}|/\varepsilon} \frac{r}{(1+r^2)^{q/2}}\ln\biggl(\frac{|x^{\ast}|-r}{|x^{\ast}|+r}\biggr)^2\,dr, \\ I_3 &=-\frac{\pi}{|x^{\ast}|}\int_{|x^{\ast}|/\varepsilon}^{+\infty} \frac{r}{(1+r^2)^{q/2}}\ln\biggl(\frac{|x^{\ast}|-r}{|x^{\ast}|+r}\biggr)^2\,dr. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим сначала интеграл $I_1$. Справедливы следующие равенства в силу формулы Лагранжа:
$$
\begin{equation*}
\ln(1-t)=-\frac{1}{1-t_{1\varepsilon}}t,\quad \ln(1+t)=\frac{1}{1+t_{2\varepsilon}}t,\qquad t_{1\varepsilon},t_{2\varepsilon}\in(0,\varepsilon).
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому справедлива следующая оценка:
$$
\begin{equation*}
\biggl|\ln\biggl(1-\frac{r}{|x^{\ast}|}\biggr)-\ln\biggl(1+\frac{r}{|x^{\ast}|}\biggr)\biggr|\leqslant c_1(\varepsilon)\frac{r}{|x^{\ast}|},\qquad r\in[0,\varepsilon|x^{\ast}|].
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому справедлива следующая цепочка неравенств:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |I_1| &\leqslant\frac{2\pi}{|x^{\ast}|}\int_0^{\varepsilon|x^{\ast}|} \frac{r}{(1+r^2)^{q/2}} \biggl|\ln\biggl(1-\frac{r}{|x^{\ast}|}\biggr)-\ln\biggl(1+\frac{r}{|x^{\ast}|}\biggr)\biggr|\,dr \\ &\leqslant\frac{2\pi c_1(\varepsilon)}{|x^{\ast}|^2} \int_0^{+\infty}\frac{r^2}{(1+r^2)^{q/2}}\,dr\leqslant \frac{A_1(\varepsilon)}{|x^{\ast}|^2}\quad\text{при}\quad q>3. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим интеграл $I_2$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |I_2| &\leqslant \frac{\pi}{|x^{\ast}|}\int_{\varepsilon|x^{\ast}|}^{|x^{\ast}|/\varepsilon} \frac{r}{(1+r^2)^{q/2}}\biggl|\ln\biggl(\frac{|x^{\ast}|-r}{|x^{\ast}|+r}\biggr)^2\biggr|\,dr= \{r=t|x^{\ast}|\} \\ &=\frac{\pi}{|x^{\ast}|}|x^{\ast}|^2\int_{\varepsilon}^{1/\varepsilon} \frac{t}{(1+t^2|x^{\ast}|^2)^{q/2}} \biggl|\ln\biggl(\frac{1-t}{1+t}\biggr)^2\biggr|\,dt \\ &\leqslant\frac{\pi}{|x^{\ast}|}\frac{1}{|x^{\ast}|^{q-2}} \int_{\varepsilon}^{1/\varepsilon}\frac{1}{t^{q-1}} \biggl|\ln\biggl(\frac{1-t}{1+t}\biggr)^2\biggr|\,dt \leqslant\frac{A_2(\varepsilon)}{|x^{\ast}|^{q-1}},\qquad q>3. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Наконец, рассмотрим интеграл $I_3$. В силу формулы Лагранжа имеет место цепочка неравенств
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |I_3| &\leqslant\frac{2\pi}{|x^{\ast}|}\int_{|x^{\ast}|/\varepsilon}^{+\infty} \frac{r}{(1+r^2)^{q/2}}\biggl|\ln\biggl(1-\frac{|x^{\ast}|}{r}\biggr) -\ln\biggl(1+\frac{|x^{\ast}|}{r}\biggr)\biggr|\,dr \\ &\leqslant c_1(\varepsilon)\, \frac{2\pi}{|x^{\ast}|}\, |x^{\ast}|\int_{|x^{\ast}|/\varepsilon}^{+\infty}\frac{1}{(1+r^2)^{q/2}}\,dr\leqslant c_1(\varepsilon)\,\frac{2\pi}{|x^{\ast}|}\, |x^{\ast}|\int_{|x^{\ast}|/\varepsilon}^{+\infty}\frac{1}{r^{q}}\,dr \\ &=c_1(\varepsilon)\, \frac{2\pi}{|x^{\ast}|}\, |x^{\ast}|\, \frac{1}{q-1}\biggl(\frac{\varepsilon}{|x^{\ast}|}\biggr)^{q-1}= \frac{A_3(\varepsilon)}{|x^{\ast}|^{q-1}},\qquad q>3. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Итак, мы приходим к выводу о том, что найдется такая постоянная $A_4>0$, что при $|x^{\ast}|>1$ имеет место оценка Теперь рассмотрим случай $|x^{\ast}|\leqslant 1$. Для удобства перепишем исходный интеграл в следующем эквивалентном виде:
$$
\begin{equation*}
I=\int_{\mathbb{R}^3}\frac{1}{|y|^2}\,\frac{dy}{(1+|x^{\ast}-y|^2)^{q/2}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Снова переходя к сферической системе координат, получим равенство
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, I &=2\pi\int_0^{+\infty}dr\int_{0}^{\pi}d\theta\, \frac{\sin\theta}{(1+|x^{\ast}|^2+r^2-2|x^{\ast}|r\cos\theta)^{q/2}} \\ &\leqslant 4\pi\int_0^{+\infty}dr\,\frac{1}{(1+|x^{\ast}|^2+r^2-2|x^{\ast}|r)^{q/2}} \\ &=4\pi\int_0^{+\infty}dr\, \frac{1}{(1+(|x^{\ast}|-r)^2)^{q/2}}= 4\pi\int_{-|x^{\ast}|}^{+\infty}\frac{dt}{(1+t^2)^{q/2}} \\ &\leqslant 4\pi\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{dt}{(1+t^2)^{q/2}}=:A_5<+\infty. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
И мы приходим к следующей оценке: Лемма доказана.Нетрудно доказать следствие из только что доказанной леммы. Из этой леммы и неравенства (9.15) вытекает следующее утверждение. Теперь мы можем доказать свойство (9.14). Справедлива следующая цепочка равенств:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &H_1(x,t_2)-H(x,t_1)= \int_0^{t_2}\int_{\mathbb{R}^3}G(x,y,t_2-\tau)|v(y,\tau)|^q\,dy\,d\tau \nonumber \\ &\quad \quad -\int_0^{t_1}\int_{\mathbb{R}^3}G(x,y,t_2\,{-}\,\tau)|v(y,\tau)|^q\,dy\,d\tau\,{=} \int_{t_1}^{t_2}\int_{\mathbb{R}^3}G(x,y,t_2\,{-}\,\tau)|v(y,\tau)|^q\,dy\,d\tau \nonumber \\ &\quad\quad+\int_0^{t_1}\int_{\mathbb{R}^3}[G(x,y,t_2-\tau)-G(x,y,t_1-\tau)] |v(y,\tau)|^q\,dy\,d\tau \nonumber \\ &\quad=\int_{t_1}^{t_2}\int_{\mathbb{R}^3}G(x,y,t_2-\tau)|v(y,\tau)|^q\,dy\,d\tau \nonumber \\ &\quad\quad+\int_0^{t_1}\int_{t_1-\tau}^{t_2-\tau}\frac{\partial}{\partial s}\int_{\mathbb{R}^3}G(x,y,s)|v(y,\tau)|\,dy\,ds\,d\tau \nonumber \\ &\quad=\int_{t_1}^{t_2}\int_{\mathbb{R}^3}G(x,y,t_2-\tau)|v(y,\tau)|^q\,dy\,d\tau \nonumber \\ &\quad\quad+\int_0^{t_1}\int_{t_1-\tau}^{t_2-\tau} \int_{\mathbb{R}^3}\frac{\partial G(x,y,s)}{\partial s}|v(y,\tau)|\,dy\,ds\,d\tau, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{9.16}
$$
где мы воспользовались результатом леммы 4.1 работы [16], из которого вытекает, что
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial}{\partial s}\int_{\mathbb{R}^3}G(x,y,s)|v(y,\tau)|^q\,dy= \int_{\mathbb{R}^3}\frac{\partial G(x,y,s)}{\partial s}|v(y,\tau)|^q\,dy
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $x\in\mathbb{R}^3$ и $\tau\in[0,t_1]$. Итак, из (9.16) и леммы 9.6 вытекает цепочка оценок:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\sup_{x\in\mathbb{R}^3}|H_1(x,t_2)-H_1(x,t_1)|\leqslant \sup_{x\in\mathbb{R}^3}\int_0^{t_2} \int_{t_1-\tau}^{t_2-\tau}\int_{\mathbb{R}^3}\biggl|\frac{\partial G(x,y,s)}{\partial s}\biggr||v(y,\tau)|^q\,dy\,ds\,d\tau \\ &\qquad\qquad+\sup_{x\in\mathbb{R}^3}\int_{t_1}^{t_2} \int_{\mathbb{R}^3}|G(x,y,t_2-\tau)||v(y,\tau)|^q\,dy\,d\tau \\ &\qquad\leqslant TB_2(T)\| v\|^q_T|t_2-t_1|+B_1(T)\| v\|^q_T|t_2-t_1|\to+0 \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
при $|t_2-t_1|\to+0$ для любых $t_1,t_2\in[0,T]$, $t_1<t_2$. Следовательно, свойство (9.10) доказано. Пусть $v_0(x,t)\in\mathbb{C}([0,T];\mathbb{C}_b(\mathbb{R}^3))$ и
$$
\begin{equation*}
D_{R,T}:=\{v(x,t)\in\mathbb{C}([0,T];\mathbb{C}_b(\mathbb{R}^3))\colon \| v\|_T\leqslant R\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Выберем $R>0$ настолько большим, чтобы было выполнено неравенство Пусть $v(x,t)\in D_{R,T}$. Теперь выберем $T>0$ настолько малым, чтобы было выполнено неравенство Тогда будет справедливо следующее неравенство:
$$
\begin{equation}
\| H_1(v)\|_T\leqslant TB_1(T)\| v\|_T^q\leqslant TB_1(T)R^{q-1}R\leqslant\frac{R}{2}.
\end{equation}
\tag{9.18}
$$
Следовательно, из (9.17) и (9.18) получаем, что Докажем теперь, что оператор $H$ сжимающий на $D_{R,T}$. Действительно, пусть $v_1(x,t), v_2(x,t)\in D_{R,T}$. Справедливы следующие неравенства:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\| H(v_1)-H(v_2)\|_T= \| H_1(v_1)-H_1(v_2)\|_T \\ &\qquad\leqslant TB_1(T)q\max\bigl\{\| v_1\|^{q-1}_T,\| v_2\|^{q-1}_T\bigr\} \|v_1-v_2\|_T\leqslant\frac{1}{2}\| v_1-v_2\|_T \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
при условии, что Итак, при достаточно малом $T>0$ существует единственное решение интегрального уравнения (9.9) класса $v(x,t)\in\mathbb{C}([0,T];\mathbb{C}_b(\mathbb{R}^3))$. Далее нужно воспользоваться стандартным алгоритмом продолжения решения во времени, изложенным, например, в работе [18], и прийти к утверждению теоремы. Справедливо следующее утверждение относительно интегрального уравнения (9.2). Теорема 9.3. Для любой $u_0(x)\in\mathbb{C}^{(1,0)}_b((1+|x|^2)^{1/2};\mathbb{R}^3)$ найдется такое $T_0=T_0(u_0)>0$, что для любого $T\in(0,T_0)$ существует единственное решение интегрального уравнения (9.2) класса $u(x,t)\in\mathbb{C}([0,T];\mathbb{C}_b((1+|x|^2)^{1/2};\mathbb{R}^3))$, причем либо $T_0=+\infty$ либо $T_0<+\infty$ и в последнем случае имеет место следующее свойство: Доказательство. Достаточно заметить, что
$$
\begin{equation*}
v_0(x,t)=(1+|x|^2)^{1/2}u_0(x_1-t,x_2,x_3)\in \mathbb{C}([0,T_1];\mathbb{C}_b(\mathbb{R}^3))\quad\text{для любого}\quad T_1>0
\end{equation*}
\notag
$$
как только $u_0(x)\in\mathbb{C}^{(1,0)}_b((1+|x|^2)^{1/2};\mathbb{R}^3)$. Действительно,
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \sup_{(x,t)\in\mathbb{R}^1\otimes[0,T_1]}|v_0(x,t)|<+\infty, \\ \begin{aligned} \, &\sup_{x\in\mathbb{R}^1}|v_0(x,t_2)-v_0(x,t_1)| \leqslant \sup_{x\in\mathbb{R}^1}(1+|x|^2)^{1/2}\int_{x_1-t_2}^{x_1-t_1} \biggl|\frac{\partial u_0(s,x_2,x_3)}{\partial s}\biggr|\,ds \\ &\ \leqslant \sup_{x\in\mathbb{R}^3}\int_{x_1-t_2}^{x_1-t_1} \biggl|\frac{\partial u_0(s,x_2,x_3)}{\partial s}\biggr| \begin{cases} (1+x_2^2+x_3^2+2s^2+2t_2^2)^{1/2},&\text{если }x_1>0, \\ (1+x_2^2+x_3^2+2s^2+2t_1^2)^{1/2},&\text{если }x_1<0, \end{cases} \,ds \\ &\ \leqslant\sup_{x\in\mathbb{R}^3}\int_{x_1-t_2}^{x_1-t_1} \biggl|\frac{\partial u_0(s,x_2,x_3)}{\partial s}\biggr|(1+x_2^2+x_3^2+2s^2+2T_1^2)^{1/2}\,ds \\ &\ \leqslant(2T_1^2+2)^{1/2}\sup_{y\in\mathbb{R}^3}(1+|y|^2)^{1/2}\biggl|\frac{\partial u_0(y)}{\partial y_1}\biggr||t_2-t_1| \end{aligned} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
для любых $t_1,t_2\in[0,T_1]$ и $t_2>t_1$. Теорема доказана. § 10. Разрушение за конечное время и отсутствие слабых решений задачи КошиДадим определение локального во времени слабого решения задачи Коши (9.1). Определение 10.1. Функция $u(x,t)\in L^q_{\mathrm{loc}}(\mathbb{R}^3\otimes(0,T))$ при $T>0$ называется слабым локальным во времени решением задачи Коши (9.1), если $u(x,t)$ удовлетворяет следующему равенству: Теперь дадим определение глобального во времени слабого решения задачи Коши (9.1). Определение 10.2. Функция $u(x,t)\in L^q_{\mathrm{loc}}(\mathbb{R}^3\otimes(0,+\infty))$ называется слабым глобальным во времени решением задачи Коши (9.1), если $u(x,t)$ удовлетворяет следующему равенству: Дадим определение класса $W_1$ начальных функций. Определение 10.3. Будем говорить, что начальная функция $u_0(x)\in W_1$, если $u_0(x)\in L^q(\mathbb{R}^3)$ и найдется такая функция $\chi(x)\in\mathbb{C}^{(3)}_0(\mathbb{R}^3)$, что Справедливо следующее утверждение. Теорема 10.1. Пусть $1<q\leqslant 3$ и $u_0(x)\in W_1$. Тогда локальное во времени слабое решение задачи Коши (9.1) в смысле определения 10.1 отсутствует для любого $T>0$. Доказательство. Выберем пробную функцию $\phi(x,t)$ из определения 10.1 следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \phi(x,t):=\phi_1(x)\phi_2(t), \\ \phi_1(x):=\phi_0\biggl(\frac{|x|^2}{R^2}\biggr),\qquad \phi_2(t):=\biggl(1-\frac{t}{T}\biggr)^n,\qquad n\geqslant q'=\frac{q}{q-1}, \\ \phi_0(s):=\begin{cases} 1,&\text{если } 0\leqslant s\leqslant \dfrac12, \\ 0,&\text{если }s\geqslant 1, \end{cases} \qquad\phi_0(s)\in\mathbb{C}_0^{(3)}[0,+\infty), \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
где функция $\phi_0(s)$ является монотонно невозрастающей. Отметим, что в силу определения функции $\phi_1(x)=\phi_0(|x|^2/R^2)$ справедливо вложение
$$
\begin{equation*}
\operatorname{supp}\frac{\partial\phi_1(x)}{\partial x_j}\subset B_{R/\sqrt{2},R}:=\biggl\{x\in\mathbb{R}^3\colon\frac{R}{\sqrt{2}}\leqslant|x|\leqslant R\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому справедливы следующие равенства:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \int_0^T\int_{\mathbb{R}^3} \Delta_x\,\frac{\partial\phi(x,t)}{\partial t}u(x,t)\,dx\,dt= \int_0^T\int_{B_{R/\sqrt{2},R}}\Delta_x\,\frac{\partial\phi(x,t)}{\partial t}u(x,t)\,dx\,dt, \\ \int_0^T\int_{\mathbb{R}^3}\Delta_x\, \frac{\partial\phi(x,t)}{\partial x_1}u(x,t)\,dx\,dt= \int_0^T\int_{B_{R/\sqrt{2},R}}\Delta_x\frac{\partial\phi(x,t)}{\partial x_1}u(x,t)\,dx\,dt, \\ \int_{\mathbb{R}^3}u_0(x)\Delta_x\phi(x,0)\,dx= \int_{B_{R/\sqrt{2},R}}u_0(x)\Delta_x\phi(x,0)\,dx. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Существуют такие пробные функции $\phi_0(s)$, что справедливы следующие неравенства, полученные при помощи неравенства Гёльдера:
$$
\begin{equation}
\biggl|\int_0^T\int_{B_{R/\sqrt{2},R}} \Delta_x\, \frac{\partial\phi(x,t)}{\partial t}u(x,t)\,dx\,dt\biggr|\leqslant J_{1,R}^{1/q'}I^{1/q}_R\leqslant J_1^{1/q'}I^{1/q},
\end{equation}
\tag{10.3}
$$
$$
\begin{equation}
\biggl|\int_0^T\int_{B_{R/\sqrt{2},R}} \Delta_x\, \frac{\partial\phi(x,t)}{\partial x_1}u(x,t)\,dx\,dt\biggr|\leqslant J_{2,R}^{1/q'}I^{1/q}_R\leqslant J_2^{1/q'}I^{1/q},
\end{equation}
\tag{10.4}
$$
$$
\begin{equation}
\begin{split} &\biggl|\int_{B_{R/\sqrt{2},R}}u_0(x)\Delta_x\phi(x,0)\,dx\biggr| \\ &\qquad\leqslant\biggl(\int_{B_{R/\sqrt{2},R}}|u_0(x)|^q\,dx\biggr)^{1/q} \biggl(\int_{B_{R/\sqrt{2},R}}|\Delta_x\phi(x,0)|^{q'}\,dx\biggr)^{1/q'}, \end{split}
\end{equation}
\tag{10.5}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{2} I_R:&=\int_0^{+\infty}\int_{B_{R/\sqrt{2},R}}|u(x,t)|^q\phi(x,t)\,dx\,dt, &\quad I&:=\int_0^{+\infty}\!\!\int_{\mathbb{R}^3}|u(x,t)|^q\phi(x,t)\,dx\,dt, \\ J_{1,R}&:=\int_0^T\int_{B_{R/\sqrt{2},R}} \frac{\biggl|\Delta_x\dfrac{\partial\phi(x,t)}{\partial t}\biggr|^{q'}}{\phi^{q'/q}(x,t)}\,dx\,dt,&\quad J_1&:=\int_0^T\int_{\mathbb{R}^3} \frac{\biggl|\Delta_x\dfrac{\partial\phi(x,t)}{\partial t}\biggr|^{q'}}{\phi^{q'/q}(x,t)}\,dx\,dt, \\ J_{2,R}&:=\int_0^T\int_{B_{R/\sqrt{2},R}} \frac{\biggl|\Delta_x\dfrac{\partial\phi(x,t)}{\partial x_1}\biggr|^{q'}}{\phi^{q'/q}(x,t)}\,dx\,dt,&\quad J_2&:=\int_0^T\int_{\mathbb{R}^3} \frac{\biggl|\Delta_x\dfrac{\partial\phi(x,t)}{\partial x_1}\biggr|^{q'}}{\phi^{q'/q}(x,t)}\,dx\,dt. \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что справедливы следующие равенства: Рассмотрим отдельно интегралы $J_1$ и $J_2$. Справедливы следующие равенства:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, J_1=\int_{\mathbb{R}^3}\frac{|\Delta_x\phi_1(x)|^{q'}}{\phi^{q'/q}_1(x)}\,dx\, \biggl(\frac{n}{T}\biggr)^{q'}\int_0^T\biggl(1-\frac{t}{T}\biggr)^{n-q'}\,dt= c_1(R)\,\frac{n^{q'}}{n-q'+1}\,\frac{1}{T^{q'-1}}, \\ J_2=\int_{\mathbb{R}^3}\frac{\biggl|\Delta_x\dfrac{\partial\phi_1(x)}{\partial x_1}\biggr|^{q'}}{\phi^{q'/q}_1(x)}\,dx\, \frac{T}{n+1}=c_2(R)\frac{T}{n+1}, \\ c_1(R):=\int_{\mathbb{R}^3}\frac{|\Delta_x\phi_1(x)|^{q'}}{\phi^{q'/q}_1(x)}\,dx,\qquad c_2(R):=\int_{\mathbb{R}^3}\frac{\biggl|\Delta_x\dfrac{\partial\phi_1(x)}{\partial x_1}\biggr|^{q'}}{\phi^{q'/q}_1(x)}\,dx. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Сделаем замену переменной и получим следующие равенства:
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{2} c_1(R)&=R^{3-2q'}c_{11},&\qquad c_{11}&:=\int_{|y|\leqslant 1}\frac{\bigl|\Delta_y\phi_0(|y|^2)\bigr|^{q'}}{\phi^{q'/q}_0(|y|^2)}\,dy, \nonumber \\ c_2(R)&=R^{3-3q'}c_{22},&\qquad c_{22}&:=\int_{|y|\leqslant 1}\frac{\biggl|\Delta_y\dfrac{\partial\phi_0(|y|^2)}{\partial y_1}\biggr|^{q'}}{\phi^{q'/q}_0(|y|^2)}\,dy, \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{10.6}
$$
причем существует (см. работу [8]) такая монотонно невозрастающая функция $\phi_0(s)$, что $0<c_{11}<+\infty$ и $0<c_{22}<+\infty$. Потребуем теперь, чтобы было выполнено неравенство
$$
\begin{equation*}
q>1\quad\text{и}\quad 3-2q'\leqslant 0\quad\Longrightarrow\quad 1<q\leqslant 3.
\end{equation*}
\notag
$$
Отметим, что поскольку $u_0(x)\in L^q(\mathbb{R}^3)$, то
$$
\begin{equation}
\int_{B_{R/\sqrt{2},R}}|u_0(x)|^q\,dx\to+0\quad\text{при}\quad R\to+\infty.
\end{equation}
\tag{10.7}
$$
Сначала рассмотрим случай $1<q<3$. Тогда воспользуемся неравенствами (10.3), (10.4), из которых и из равенства (10.1) получим следующее неравенство:
$$
\begin{equation}
J_1^{1/q'}I^{1/q}+J_2^{1/q}I^{1/q}-\int_{B_{R/\sqrt{2},R}}u_0(x)\Delta_x\phi_1(x)\,dx\geqslant I.
\end{equation}
\tag{10.8}
$$
Теперь воспользуемся трехпараметрическим неравенством Юнга
$$
\begin{equation*}
ab\leqslant\varepsilon a^{q'}+\frac{1}{q(q'\varepsilon)^{1/q'}}b^q,\qquad a\geqslant 0,\quad b\geqslant 0,\quad \varepsilon>0,
\end{equation*}
\notag
$$
и получим из (10.7) следующее неравенство:
$$
\begin{equation}
c_3(\varepsilon)J_1+c_3(\varepsilon)J_2\,{-} \int_{B_{R/\sqrt{2},R}}u_0(x)\Delta_x\phi_1(x)\,dx\,{\geqslant}\, (1-2\varepsilon)I,\qquad\varepsilon\,{\in}\,\biggl(0,\frac12\biggr).
\end{equation}
\tag{10.9}
$$
Положим теперь $R=N\in\mathbb{N}$ и тогда пробная функция
$$
\begin{equation*}
\phi_N(x,t):=\phi_0\biggl(\frac{|x|^2}{N^2}\biggr)\biggl(1-\frac{t}{T}\biggr)^n
\end{equation*}
\notag
$$
обладает следующим свойством:
$$
\begin{equation*}
\phi_{N+1}(x,t)\geqslant\phi_N(x,t)\quad\text{для всех}\quad (x,t)\in\mathbb{R}^3\otimes[0,T],
\end{equation*}
\notag
$$
причем в силу (10.9) справедливо неравенство
$$
\begin{equation*}
I_N=\int_{0}^T\int_{\mathbb{R}^3}\phi_N(x,t)|u(x,t)|^q\,dx\,dt\leqslant K<+\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда, с одной стороны, в силу теоремы Беппо Леви в пределе при $N\to+\infty$ получаем неравенство
$$
\begin{equation*}
I_N\to\int_0^T\int_{\mathbb{R}^3}\biggl(1-\frac{t}{T}\biggr)^n |u(x,t)|^q\,dx\,dt.
\end{equation*}
\notag
$$
С другой стороны, из (10.8) и из (10.5), (10.6) получаем, что Следовательно, при $1<q<3$ имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\int_0^T\int_{\mathbb{R}^3}\biggl(1-\frac{t}{T}\biggr)^n |u(x,t)|^q\,dx\,dt=0 \nonumber \\ &\quad\Longrightarrow\qquad u(x,t)=0\quad\text{для почти всех}\quad (x,t)\in\mathbb{R}^3\otimes[0,T]. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{10.10}
$$
Рассмотрим теперь критический случай $q=3$. В этом случае аналогичным образом доказывается существование такой постоянной $K>0$, что справедливо следующее неравенство:
$$
\begin{equation*}
\int_0^T\int_{\mathbb{R}^3}\biggl(1-\frac{t}{T}\biggr)^{n}|u(x,t)|^q\,dx\,dt\leqslant K<\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому, в частности, имеем
$$
\begin{equation*}
\int_0^T\int_{B_{R/\sqrt{2},R}}\biggl(1-\frac{t}{T}\biggr)^{n} |u(x,t)|^q\,dx\,dt\to+0\quad\text{при}\quad R\to+\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда получаем, что
$$
\begin{equation}
I_R=\int_0^T\int_{B_{R/\sqrt{2},R}}\phi(x,t) |u(x,t)|^q\,dx\,dt\to+0\quad\text{при}\quad R\to+\infty.
\end{equation}
\tag{10.11}
$$
Используя неравенства (10.3)–(10.5), мы приходим к следующему неравенству:
$$
\begin{equation*}
J^{1/q'}_{1,R}I^{1/q}_R+J^{1/q'}_{2,R}I^{1/q}_R+ \biggl(\int_{B_{R/\sqrt{2},R}}\!|u_0(x)|^q\,dx\biggr)^{1/q} \biggl(\int_{B_{R/\sqrt{2},R}}\!|\Delta_x\phi(x,0)|^{q'}\,dx\biggr)^{1/q'}{\geqslant}\, I.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда, учитывая (10.7) и (10.11) в пределе при $R\to+\infty$, мы приходим опять к равенству (10.10).
Итак, при $1<q\leqslant 3$ мы приходим к выводу о том, что
$$
\begin{equation*}
u(x,t)=0\quad\text{для почти всех}\quad (x,t)\in\mathbb{R}^3\otimes(0,T).
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда из определения 10.1 локального во времени слабого решения получаем следующее равенство: для всех пробных функций $\phi(x,t)$, удовлетворяющих условиям определения 10.1. Положим
$$
\begin{equation*}
\phi(x,t)=\chi(x)\biggl(1-\frac{t}{T}\biggr)^n,\qquad\chi(x)\in\mathbb{C}^{(3)}_0(\mathbb{R}^3),
\end{equation*}
\notag
$$
и получим из (10.12) следующее равенство: что противоречит тому, что $u_0(x)\in W_1$. Теорема доказана. Теперь мы докажем следующий результат. Теорема 10.2. Пусть Доказательство. В силу результата теоремы 9.3, леммы 8.1 и явного вида интегрального уравнения (9.2) приходим к выводу о том, что
$$
\begin{equation}
u(x,t)\in\mathbb{C}^{1,1}_b(\mathbb{R}^3\otimes[0,T])\quad\text{для всех}\quad T\in(0,T_0).
\end{equation}
\tag{10.13}
$$
Докажем, что функция $\rho(x,t)=|u(x,t)|^q\in\mathbb{C}^{\beta}_{x,\mathrm{loc}}(\mathbb{R}^3)$ при $\beta=1$. Действительно, это следствие (10.13) и цепочки неравенств
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &|\rho(x_2,t)-\rho(x_1,t)|\leqslant q\max\{|u_1|^{q-1},|u_2|^{q-1}\}|u_1-u_2| \nonumber \\ &\ \leqslant q\max\{|u_1|^{q-1},|u_2|^{q-1}\}\max_{z\in[x_1,x_2]}|\nabla_z u(z,t)||x_1-x_2|\leqslant d(T)|x_1-x_2|, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{10.14}
$$
где $u_1=u(x_1,t)$ и $u_2=u(x_2,t)$. Пусть
$$
\begin{equation*}
W(x,t):=u_0(x_1-t,x_2,x_3)-\frac{1}{4\pi}V[|u|^q](x,t).
\end{equation*}
\notag
$$
В силу результата леммы 8.2 функция $W(x,t)\in\mathbb{C}^{1,1}_b(\mathbb{R}^3\otimes[0,T])$ и
$$
\begin{equation*}
\biggl(\frac{\partial}{\partial t}+\frac{\partial}{\partial x_1}\biggr)W(x,t)=W_0(x,t):= -\int_{\mathbb{R}^3}\frac{1}{4\pi|x-y|}|u(y,t)|^q\,dy.
\end{equation*}
\notag
$$
Докажем, что
$$
\begin{equation}
W_0(x,t)\in\mathbb{C}^{2,0}_{x,t}(\mathbb{R}^3\otimes[0,T]).
\end{equation}
\tag{10.15}
$$
Действительно, пусть $0<\mu_0<R_0<+\infty$. Тогда потенциал $W_0(x,t)$ можно разбить на части следующим образом:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, W_0(x,t)=W_{01}(x,t)+W_{02}(x,t)+W_{03}(x,t), \\ \begin{aligned} \, W_{01}(x,t) &:=-\int_{\mathbb{R}^3\setminus O(x,R_0)}\frac{1}{4\pi|x-y|}|u(y,t)|^q\,dy, \\ W_{02}(x,t) &:=-\int_{O(x,R_0)\setminus O(x,\mu_0)}\frac{1}{4\pi|x-y|}|u(y,t)|^q\,dy, \\ W_{03}(x,t) &:=-\int_{O(x,\mu_0)}\frac{1}{4\pi|x-y|}|u(y,t)|^q\,dy. \end{aligned}\nonumber \end{gathered}
\end{equation}
\tag{10.16}
$$
Точно также, как при доказательстве (9.10), можно доказать, что из представления (10.16) (варьируя величину $R_0\,{>}\,0$ и величину $\mu_0\,{>}\,0$) потенциал $W_0(x,t)\in\mathbb{C}(\mathbb{R}^3\otimes[0,T])$. В силу [16; лемма 4.1] вытекает, что
$$
\begin{equation*}
W_1(x,t):=\frac{\partial W_0(x,t)}{\partial x_j}= -\int_{\mathbb{R}^3}\frac{\partial}{\partial x_j}\biggl(\frac{1}{4\pi|x-y|}\biggr)|u(y,t)|^q\,dy.
\end{equation*}
\notag
$$
Отметим, что
$$
\begin{equation*}
\biggl|\frac{\partial}{\partial x_j}\frac{1}{|x-y|}\biggr|\leqslant \frac{1}{|x-y|^2}\quad\text{при}\quad x\ne y.
\end{equation*}
\notag
$$
Функцию $W_1(x,t)$ представим в следующем виде, аналогичном (10.16):
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \label{eq_matveeva-181} W_1(x,t)=W_{11}(x,t)+W_{12}(x,t)+W_{13}(x,t), \\ \begin{aligned} \, W_{11}(x,t) &:=-\int_{\mathbb{R}^3\setminus O(x,R_0)}\frac{\partial}{\partial x_j}\biggl(\frac{1}{4\pi|x-y|}\biggr)|u(y,t)|^q\,dy, \\ W_{12}(x,t) &:=-\int_{O(x,R_0)\setminus O(x,\mu_0)}\frac{\partial}{\partial x_j}\biggl(\frac{1}{4\pi|x-y|}\biggr)|u(y,t)|^q\,dy, \\ W_{13}(x,t) &:=-\int_{O(x,\mu_0)}\frac{\partial}{\partial x_j}\biggl(\frac{1}{4\pi|x-y|}\biggr)|u(y,t)|^q\,dy. \end{aligned} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Точно также как и ранее, можно доказать, что $W_1(x,t)\in\mathbb{C}(\mathbb{R}^3\otimes[0,T])$. Теперь заметим, что из [16; лемма 4.2] вытекает следующее представление:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, W_2(x,t):=\frac{\partial^2}{\partial x_i\,\partial x_j}W_0(x,t)= W_{21}(x,t)+W_{22}(x,t)+W_{23}(x,t)+W_{24}(x,t), \\ \begin{aligned} \, W_{21}(x,t) &=-\int_{\mathbb{R}^3\setminus O(x,R_0)}\frac{\partial^2}{\partial x_i\,\partial x_j}\biggl(\frac{1}{4\pi|x-y|}\biggr)|u(y,t)|^q\,dy, \\ W_{22}(x,t) &=-\int_{O(x,R_0)\setminus O(x,\mu_0)}\frac{\partial^2}{\partial x_i\, \partial x_j}\biggl(\frac{1}{4\pi|x-y|}\biggr)|u(y,t)|^q\,dy, \\ W_{23}(x,t) &=-|u(x,t)|^q\int_{\partial O(x,\mu_0)}\frac{\partial^2}{\partial x_i\, \partial x_j}\biggl(\frac{1}{4\pi|x-y|}\biggr)\,dy, \\ W_{24}(x,t) &=-\int_{O(x,\mu_0)}\frac{\partial^2}{\partial x_i\partial x_j}\biggl(\frac{1}{4\pi|x-y|}\biggr)[|u(y,t)|^q-|u(x,t)|^q]\,dy. \end{aligned}\nonumber \end{gathered}
\end{equation}
\tag{10.17}
$$
Варьируя величины $R_0>\mu_0>0$ и учитывая (10.14) из представления (10.17), можно доказать, что $W_2(x,t)\in\mathbb{C}(\mathbb{R}^3\otimes[0,T])$. Итак, свойство (10.15) доказано.
В силу явного вида интегрального уравнения (9.2) и из (10.13) вытекают соотношения
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &u(x,t)=W(x,t) \nonumber \\ &\qquad\Longrightarrow\quad\biggl(\frac{\partial}{\partial t}+\frac{\partial}{\partial x_1}\biggr)u(x,t)=W_0(x,t)\in\mathbb{C}^{2,0}_{x,t}(\mathbb{R}^3\otimes[0,T]). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{10.18}
$$
С учетом равенства (8.11) приходим к равенству
$$
\begin{equation}
\Delta_x\biggl(\frac{\partial}{\partial t}+\frac{\partial}{\partial x_1}\biggr)u(x,t)=|u|^q(x,t)\in\mathbb{C}_b([0,T];(1+|x|^2)^{q/2};\mathbb{R}^3).
\end{equation}
\tag{10.19}
$$
Докажем, что при любом $T\in(0,T_0)$ функция $u(x,t)$ является локальным во времени слабым решением задачи Коши (9.1) в смысле определения 10.1. С этой целью, умножим обе части равенства (10.19) на функцию $\phi(x,t)$, удовлетворяющую условиям определения 10.1, и проинтегрируем по $(x,t)\in\mathbb{R}^3\otimes[0,T]$, $T\in(0,T_0)$ после интегрирования по частям с учетом свойства (10.18) получим следующее равенство:
$$
\begin{equation*}
\int_0^T\int_{\mathbb{R}^3}\biggl(\frac{\partial}{\partial t}+\frac{\partial}{\partial x_1}\biggr)u(x,t)\Delta_x\phi(x,t)\,dx\,dt= \int_0^T\int_{\mathbb{R}^3}|u(x,t)|^q\phi(x,t)\,dx\,dt.
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь воспользуемся тем, что справедливо свойство (10.13), и снова интегрируя по частям, мы с учетом того, что $\phi(x,T)=0$, получим равенство (10.1). Таким образом, решение $u(x,t)\in\mathbb{C}([0,T];\mathbb{C}_b((1+|x|^2)^{1/2};\mathbb{R}^3))$ интегрального уравнения (9.2) для любого $T\in(0,T_0)$ является локальным во времени слабым решением задачи Коши (9.1) в смысле определения 10.1.
Докажем теперь, что при $q\in(3,4]$ и $\alpha>1$ время $T_0<+\infty$. Допустим противное: $T_0=+\infty$. Тогда умножим обе части уравнения (10.19) на функцию $\phi(x,t)$, удовлетворяющую условиям определения 10.2, и проинтегрируем по частям и получим уравнение (10.2). Стало быть, $u(x,t)$ является глобальным во времени слабым решением задачи Коши. Докажем, что мы получим противоречие с определением класса начальных функций $W_1\ni u_0(x)$. Для этого докажем более сильное утверждение о том, что при $q\in(3,4]$ в широком классе начальных функций $u_0(x)$ отсутствуют глобальные во времени слабые решения задачи Коши в смысле определения 10.2. Выберем пробную функцию из определения 10.2 следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \phi(x,t)=\phi_0\biggl(\frac{|x|^2+t^2}{R^2}\biggr),\qquad R>1, \\ \phi_0(s):=\begin{cases} 1,&\text{при }0\leqslant s\leqslant \dfrac12, \\ 0,&\text{при }s\geqslant 1, \end{cases} \qquad\phi_0(s)\in\mathbb{C}^{(3)}[0,+\infty), \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
где функция $\phi_0(s)$ – монотонно невозрастающая. Нетрудно заметить, что
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \operatorname{supp}\frac{\partial\phi(x,t)}{\partial x_j}\subset D_{R/\sqrt{2},R},\qquad \operatorname{supp}\frac{\partial\phi(x,t)}{\partial t}\subset D_{R/\sqrt{2},R}, \\ D_{R/\sqrt{2},R}:=\biggl\{(x,t)\in\mathbb{R}^3\otimes\mathbb{R}_+\colon \frac{R^2}{2}\leqslant|x|^2+t^2\leqslant R^2\biggr\}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому справедливы следующие равенства:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \int_0^{+\infty}\int_{\mathbb{R}^3}\Delta_x\, \frac{\partial\phi(x,t)}{\partial t}u(x,t)\,dx\,dt=\int_{D_{R/\sqrt{2},R}} \Delta_x\, \frac{\partial\phi(x,t)}{\partial t}u(x,t)\,dx\,dt, \\ \int_0^{+\infty}\int_{\mathbb{R}^3} \Delta_x\, \frac{\partial\phi(x,t)}{\partial x_1}u(x,t)\,dx\,dt=\int_{D_{R/\sqrt{2},R}} \Delta_x\, \frac{\partial\phi(x,t)}{\partial x_1}u(x,t)\,dx\,dt, \\ \int_{\mathbb{R}^3}u_0(x)\Delta_x\phi(x,0)\,dx= \int_{B_{R/\sqrt{2},R}}u_0(x)\Delta_x\phi(x,0)\,dx, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
где $B_{R/\sqrt{2},R}=D_{R/\sqrt{2},R}\cap\{t=0\}$. Справедливы следующие неравенства, полученные применением неравенства Гёльдера:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \biggl|\int_{D_{R/\sqrt{2},R}} \Delta_x\frac{\partial\phi(x,t)}{\partial t}u(x,t)\,dx\,dt\biggr| &\leqslant K^{1/q'}_{1,R}P^{1/q}_R\leqslant K^{1/q'}_1P^{1/q}, \\ \biggl|\int_{D_{R/\sqrt{2},R}} \Delta_x\frac{\partial\phi(x,t)}{\partial x_1}u(x,t)\,dx\,dt\biggr| &\leqslant K^{1/q'}_{2,R}P^{1/q}_R\leqslant K^{1/q'}_2P^{1/q}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{2} K_{1,R} &:=\int_{D_{R/\sqrt{2},R}}\frac{\biggl|\Delta_x\dfrac{\partial\phi(x,t)}{\partial t}\biggr|^{q'}}{\phi^{q'/q}(x,t)}\,dx\,dt,&\qquad K_{2,R} &:=\int_{D_{R/\sqrt{2},R}}\frac{\biggl|\Delta_x\dfrac{\partial\phi(x,t)}{\partial x_1}\biggr|^{q'}}{\phi^{q'/q}(x,t)}\,dx\,dt, \\ K_{1} &:=\int_{0}^{+\infty}\int_{\mathbb{R}^3}\!\frac{\biggl|\Delta_x\dfrac{\partial\phi(x,t)}{\partial t}\biggr|^{q'}}{\phi^{q'/q}(x,t)}\,dx\,dt,&\qquad K_{2} &:=\int_{0}^{+\infty}\int_{\mathbb{R}^3}\!\frac{\biggl|\Delta_x\dfrac{\partial\phi(x,t)}{\partial x_1}\biggr|^{q'}}{\phi^{q'/q}(x,t)}\,dx\,dt, \\ P_R &:=\int_{D_{R/\sqrt{2},R}}\!|u(x,t)|^q\phi(x,t)\,dx\,dt, &\qquad P&:=\int_{0}^{+\infty}\int_{\mathbb{R}^3}\!|u(x,t)|^q\phi(x,t)\,dx\,dt. \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
Очевидно, что $K_1=K_{1,R}$ и $K_2=K_{2,R}$. В выражениях для $K_1$ и $K_2$ сделаем замену переменной $y_j=x_j/R$ и $s=t/R$ в результате получим следующие выражения:
$$
\begin{equation}
K_1 =R^{3q'-4}\int_{D_{1/\sqrt{2},1}} \frac{\biggl|\Delta_y\dfrac{\partial\phi_0(|y|^2+s^2)}{\partial s}\biggr|^{q'}}{\phi^{q'/q}_0(|y|^2+s^2)}\,dy\,ds:=k_{11}R^{4-3q'},
\end{equation}
\tag{10.20}
$$
$$
\begin{equation}
K_2 =R^{3q'-4}\int_{D_{1/\sqrt{2},1}} \frac{\biggl|\Delta_y\dfrac{\partial\phi_0(|y|^2+s^2)}{\partial y_1}\biggr|^{q'}}{\phi^{q'/q}_0(|y|^2+s^2)}\,dy\,ds:=k_{22}R^{4-3q'}.
\end{equation}
\tag{10.21}
$$
Отметим, что справедливо следующее равенство:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_{\mathbb{R}^3}u_0(x)\Delta_x\phi(x,0)\,dx &= \int_{B_{R/\sqrt{2},R}}u_0(x)\Delta_x\phi(x,0)\,dx \\ &=R\int_{B_{1/\sqrt{2},1}}u_0(Ry)\Delta_y\phi_0(|y|^2)\,dy, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
из которого и с учетом того, что $u_0(x)\in\mathbb{C}_b((1+|x|^2)^{\alpha/2};\mathbb{R}^3)$ при $\alpha>1$, приходим к следующей оценке:
$$
\begin{equation}
\biggl|\int_{\mathbb{R}^3}u_0(x)\Delta_x\phi(x,0)\,dx\biggr|\leqslant \frac{c_{1}}{R^{\alpha-1}}\int_{B_{1/\sqrt{2},1}}\bigl|\Delta_y\phi_0(|y|^2)\bigr|\,dy\to+0 \quad\text{при}\quad R\to+\infty.
\end{equation}
\tag{10.22}
$$
Теперь предположим, что $4\,{-}\,3q'\,{\leqslant}\, 0$ и $q\,{>}\,3$. Отсюда получаем, что $3\,{<}\,q\,{\leqslant}\, 4$. Далее нужно рассмотреть сначала случай $q\,{\in}\,(3,4)$, а затем критический случай $q\,{=}\,4$. При этом существенно используются полученные оценки (10.20)–(10.22). В целом дальнейшие рассмотрения повторяют рассмотрения при доказательстве теоремы 10.1 и в предельном переходе при $R\to+\infty$ мы получим при условиях $\alpha>1$ и $q\in(3,4]$ следующее равенство:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_0^{+\infty}\int_{\mathbb{R}^3}|u(x,t)|^q\,dx\,dt=0 \\ &\qquad\Longrightarrow\quad u(x,t)=0\quad\text{для почти всех}\quad (x,t)\in\mathbb{R}^3\otimes[0,+\infty]. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Но тогда из определения 10.2 глобального во времени слабого решения задачи Коши имеет место равенство для любой функции $\phi(x,t)\in\mathbb{C}^{(3)}_0(\mathbb{R}^3\otimes[0,+\infty))$. В частности, для функции
$$
\begin{equation}
\phi(x,t)=\chi(x)\phi_2(t),\qquad \chi(x)\in\mathbb{C}^{(3)}_0(\mathbb{R}^3),\quad \phi_2(t)\in\mathbb{C}^{(3)}_0[0,+\infty),\quad\phi_2(0)=1.
\end{equation}
\tag{10.24}
$$
Из (10.23) и (10.24) приходим к противоречию с определением 10.3 класса начальных функций $W_1\ni u_0(x)$. Следовательно, $T_0<+\infty$. Теорема доказана. Замечание 10.1. К сожалению, мы при $q>3$ не доказали единственность построенного локального во времени слабого решения. Также мы не смогли доказать существование глобального во времени слабого решения задачи Коши при $q>4$ в смысле определения 10.2. Отметим, что существуют гиперсингулярные решения задачи Коши. Пример. Заметим, что функция 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{KorMat21} |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|