| Известия Российской академии наук. Серия математическая |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 13 научных статьях (всего в 13 статьях) О критическом показателе “мгновенное разрушение” versus “локальная разрешимость” в задаче Коши для модельного уравнения соболевского типа М. О. Корпусовa, А. А. Панинa, А. Е. Шишковb a Физический факультет, Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова b Российский университет дружбы народов, г. Москва
Англоязычная версия:
Izvestiya: Mathematics, 2021, Volume 85, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/IM8949 
Реферативные базы данных:
      § 1. ВведениеВпервые явление полного разрушения (“complete blow-up”) было обнаружено для уравнения
$$
\begin{equation}
-\Delta u=|x|^{-2}u^2,\quad u\geqslant 0,\qquad x\in\Omega\setminus\{0\}\subset\mathbb{R}^N,
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
в работе Х. Брезиса и К. Кабре [1]. Для линейного параболического уравнения с сингулярным потенциалом мгновенное разрушение (“instantaneous blow-up”) было получено в работе [2]. Для сингулярного нелинейного параболического уравнения
$$
\begin{equation}
u_t-\Delta u=|x|^{-2}u^2,\quad u\geqslant 0,\qquad x\in\Omega\setminus\{0\}\subset\mathbb{R}^N,\quad t>0,
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
вопрос о мгновенном разрушении был рассмотрен впервые в работе Ф. Б. Вейслера [3]. Отметим, что в этих трех работах использовался метод сравнения и техника доказательства была довольно сложной. В работах С. И. Похожаева и Э. Л. Митидиери (см. монографию [4], а также библиографию к ней) оригинальным методом нелинейной емкости результаты о полном и мгновенном разрушении были получены гораздо более простым и эффективным образом и для уравнений высокого порядка. В дальнейшем мгновенное разрушение в нелинейных параболических и гиперболических уравнениях рассматривалось в работах В. А. Галактионова и Х. Л. Васкеза [5], Дж. А. Голдстейна и И. Комбе [6], Й. Гиги и Н. Умеды [7], Е. И. Галахова [8], [9] и других авторов. При этом в некоторых работах использовался метод исследования, основанный на принципе сравнения (для параболических уравнений), а в других работах используется метод С. И. Похожаева, основанный на методе нелинейной емкости, что позволило гораздо быстрее и эффективнее получить достаточные условия отсутствия решений как для параболических уравнений, так и для гиперболических уравнений, включая уравнения высокого порядка (не соболевские). Впервые вопрос о мгновенном разрушении в неклассических соболевских уравнениях изучался в работе [10]. В этой работе была, в частности, рассмотрена следующая задача:
$$
\begin{equation}
\frac{\partial}{\partial t}(u_{xx}+u)={u}_{xx},\qquad u(x,0)=u_0(x),\quad u(0,t)=u(l,t),\quad l>0.
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
Как следствие теоремы 4.1 этой работы был получен результат о несуществовании ограниченного решения этой задачи на сколь угодно малом промежутке времени при условии, что $l\in(0,\pi]$. Этот результат обусловлен тем, что под знаком производной по времени находится оператор $\partial^2_x+I$. Далее такого рода результаты возникали при исследовании линейных уравнений соболевского типа следующего вида:
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial}{\partial t}(\Delta u+\lambda u)+\Delta u=0\quad\text{при}\quad\lambda>0,\quad x\in\Omega\subset\mathbb{R}^N,
\end{equation*}
\notag
$$
в том случае, если число $\lambda$ попадает на спектр оператора $\Delta$ в ограниченной области $\Omega$ (см., обзор [11]). В частности, в этом обзоре изложен метод вырожденных полугрупп исследования линейных уравнений соболевского типа с сингулярным оператором при старшей производной. В дальнейшем эффект мгновенного разрушения для линейных и нелинейных уравнений соболевского типа не рассматривался, поскольку исследователей интересовал вопрос о достаточных условиях существования решений. Более того, новым результатом, полученным в работе, является то, что в рассмотренных уравнениях отсутствуют сингулярные коэффициенты вида $|x|^{-\alpha}$ или $t^{-\beta}$, а начальные функции могут быть класса $\mathbb{C}_0^{\infty}(\mathbb{R}^N)$ и при этом решение отсутствует. В рассмотренных задачах эффект мгновенного разрушения проявлялся тогда, когда в уравнении имелась сингулярность, как в уравнении (1.2), или когда, как в работе [7], в которой от начальной функции требовалось нестандартное условие роста. В уравнении
$$
\begin{equation}
\frac{\partial}{\partial t}\Delta_3u+\sigma_1\Delta_2u+\sigma_2u_{zz}=|\nabla u|^q,\qquad\sigma_1>0,\quad\sigma_2>0,\quad q>1,
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\Delta_3=\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2},\qquad \Delta_2=\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2},
\end{equation*}
\notag
$$
явных сингулярностей нет, а от начальных функций мы не требуем никаких специфических условий роста. Отметим, что, как будет доказано ниже, при $1\,{<}\,q\leqslant 3/2$ локальных во времени слабых решений задачи Коши нет, в то время как при $q>3/2$ локальные слабые решения уже существуют. По всей видимости это связано с тем, что при $1<q\leqslant 3/2$ первое слагаемое оказывается подчиненным оставшимся слагаемым и поэтому с точки зрения рассматриваемого анализа решение уравнения (1.4) по своим свойствам аналогично решению следующего стационарного уравнения:
$$
\begin{equation}
\sigma_1\Delta_2u+\sigma_2u_{zz}=|\nabla u|^q,\qquad\sigma_1>0,\quad\sigma_2>0,\quad q>1,\qquad (x,y,z)\in\mathbb{R}^3,
\end{equation}
\tag{1.5}
$$
для которого число $q_{kr}=3/2$ является критическим показателем [4] таким, что при $1<q\leqslant q_{kr}$ слабым решением уравнения (1.5) является только произвольная постоянная, а при $q>q_{kr}$ уже существуют нетривиальные решения в $\mathbb{R}^3$. Отметим, что при добавлении к правой части уравнения (1.4) слагаемого резко меняет ситуацию, поскольку тогда при $1<q\leqslant 3/2$ слагаемое опять является подчиненным оставшимся слагаемым, но теперь решение задачи Коши для уравнения (1.4) близко ко свойствам задачи Коши для уравнения
$$
\begin{equation}
-\frac{\partial u}{\partial t}+\sigma_1\Delta_2u+\sigma_2u_{zz}=|\nabla u|^q,\qquad\sigma_1>0,\quad\sigma_2>0,\quad q>1,\qquad (x,y,z)\in\mathbb{R}^3,
\end{equation}
\tag{1.6}
$$
и во всяком случае решение задачи Коши для уравнения
$$
\begin{equation}
\frac{\partial}{\partial t}(\Delta_3u-u)+\sigma_1\Delta_2u+\sigma_2u_{zz}=|\nabla u|^q,\qquad\sigma_1>0,\quad\sigma_2>0,\quad q>1,
\end{equation}
\tag{1.7}
$$
существует хотя бы локально во времени. Данная работа является продолжением цикла работ [12]–[14], где рассматривались либо изотропные по пространственным переменным уравнения либо уравнение со степенной нелинейностью следующего вида:
$$
\begin{equation}
\frac{\partial}{\partial t}\Delta_3u+\sigma_1\Delta_2u+\sigma_2u_{zz}=|u|^q, \qquad\sigma_1>0,\quad\sigma_2>0,\quad q>1.
\end{equation}
\tag{1.8}
$$
В этой работе мы рассмотрим задачу Коши для уравнения (1.4) и получим результат о том, что при $1<q\leqslant 3/2$ локальных слабых решений задачи Коши в широком классе начальных функций нет, а при $q>3/2$ локальные слабые решения уже существуют. Уравнения (1.6) и (1.7) относятся к классу нелинейных уравнений типа С. Л. Соболева. Отметим, что исследованию линейных и нелинейных уравнений соболевского типа посвящено много работ. Так, в работах Г. А. Свиридюка, С. А. Загребиной, А. А. Замышляевой [11], [15], [16] были рассмотрены в общем виде и в виде примеров начально-краевые задачи для уравнений соболевского типа. Отметим также, что существует и численный подход к исследованию явления разрушения решения, предложенный в работах [17]–[19] и успешно примененный нами для различных уравнений в [20]–[25] и других работах. § 2. Вывод уравненияВ этой работе мы продолжим исследовать нелинейные процессы в полупроводнике во внешнем постоянном магнитном поле. Выберем декартову прямоугольную декартову систему координат $Oxyz$ таким образом, чтобы вектор индукции внешнего магнитного поля $\mathbf{B}_0$ был направлен вдоль оси $Oz$. Как известно из классической работы [26], тензор электропроводности $\{\sigma_{\alpha\beta}\}$, $\alpha,\beta=x,y,z$, имеет следующий вид:
$$
\begin{equation}
\sigma_{\alpha\beta}=\begin{pmatrix} \sigma_{xx} & \sigma_{xy} & 0 \\ -\sigma_{xy} & \sigma_{yy} & 0 \\ 0 & 0 & \sigma_{zz} \end{pmatrix},\qquad \sigma_{xx}=\sigma_{yy}>0,\quad\sigma_{zz}>0,\quad\sigma_{xy}>0,
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
причем $\sigma_{xx}\ne\sigma_{zz}$ в случае ненулевого внешнего магнитного поля. Рассмотрим теперь электрическую часть системы уравнений Максвелла в квазистационарном приближении:
$$
\begin{equation}
\operatorname{div}\mathbf{D}=4\pi e n,\qquad \mathbf{D}=\varepsilon\mathbf{E}, \qquad\operatorname{rot}\mathbf{E}=\mathbf{0},
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
где $\mathbf{D}$ – это вектор индукции электрического поля, а $\mathbf{E}$ – это вектор напряженности электрического поля. В случае поверхностно-односвязной области $\Omega\subset\mathbb{R}^3$ существует потенциал $\phi$ электрического поля:
$$
\begin{equation}
\mathbf{E}=-\nabla\phi,\qquad \Delta_3\phi=-\frac{4\pi e}{\varepsilon}n.
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
Кроме того, справедливы следующие уравнения:
$$
\begin{equation}
\frac{\partial n}{\partial t}+\operatorname{div}\mathbf{J}=0,\qquad {\mathbf{J}}_i=\sum_{j=1}^3\sigma_{ij}\mathbf{E}_j-\gamma\, \frac{\partial T}{\partial x_i},\quad\gamma>0,
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
где $\mathbf{J}$ – это вектор плотности тока свободных зарядов, а $n$ – это плотность свободных зарядов. Здесь мы учли тепловой разогрев полупроводника, а $T$ – его температура. Воспользуемся следующим уравнением для изменения температуры в пространстве и во времени:
$$
\begin{equation}
\epsilon\, \frac{\partial T}{\partial t}=\Delta_3 T+Q(|\mathbf{E}|),
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
где $Q(|\mathbf{E}|)$ – это функция, описывающая тепловую накачку в зависимости от модуля вектора напряженности электрического поля $\mathbf{E}$, а параметр $\epsilon>0$ малый. Поэтому вместо уравнения (2.5) мы будем рассматривать следующее уравнение: Кроме того, мы воспользуемся следующей модельной зависимостью:
$$
\begin{equation}
Q(|\mathbf{E}|)=q_0|\mathbf{E}|^q,\qquad q_0>0,\quad q>1.
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
Из системы уравнений (2.3), (2.4) и (2.6), (2.7) вытекает следующее неклассическое уравнение относительно потенциала $\phi$ электрического поля:
$$
\begin{equation}
\frac{\partial}{\partial t}\Delta_3\phi+\frac{4\pi e\sigma_{xx}}{\varepsilon}\Delta_2\phi+ \frac{4\pi e\sigma_{zz}}{\varepsilon}\phi_{zz}=\frac{4\pi e\gamma q_0}{\varepsilon}|\nabla \phi|^q,
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
где мы использовали следующие обозначения:
$$
\begin{equation*}
\Delta_3\stackrel{\mathrm{def}}=\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2},\qquad \Delta_2\stackrel{\mathrm{def}}=\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Можно привести уравнение (2.8) к виду
$$
\begin{equation}
\frac{\partial}{\partial t}\Delta_3u+\sigma_1\Delta_2u+ \sigma_2u_{zz}=|\nabla u|^q, \qquad\sigma_1>0,\quad\sigma_2>0,\quad q>1.
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
Заметим, что при ненулевом внешнем магнитном поле $\sigma_1\ne \sigma_2$.
§ 3. ОбозначенияНиже мы будем постоянно пользоваться весовыми пространствами функций $\mathbb{C}([0,T];W_j)$ при $j=1,2$. В этом параграфе мы привели их определение. Пусть $W_1$ – банахово пространство всех функций из $\mathbb{C}^{(1)}_b(\mathbb{R}^3)$, для которых конечна норма
$$
\begin{equation}
\| v\|_{W_1}:=\sup_{x\in\mathbb{R}^3}|v(x)|+ \sum_{j=1}^3\sup_{x\in\mathbb{R}^3}(1+|x|^2)^{1/2}\biggl|\frac{\partial v(x)}{\partial x_j}\biggr|.
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
Под классом $\mathbb{C}([0,T];W_1)$ мы понимаем функции $v(t)\in W_1$ при $t\in[0,T]$, для каждой из которых
$$
\begin{equation}
\| v(t_1)-v(t_0)\|_{W_1}\to+0\quad\text{для любых}\quad t_0,t_1\in[0,T]\quad\text{при}\quad t_1\to t_0.
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
Класс функций $\mathbb{C}([0,T];W_1)$ является банаховым пространством относительно нормы
$$
\begin{equation*}
\| v\|_{T}=\sup_{t\in[0,T],\, x\in\mathbb{R}^3}|v(x,t)|+ \sum_{j=1}^3\sup_{t\in[0,T],\, x\in\mathbb{R}^3}(1+|x|^2)^{1/2} \biggl|\frac{\partial v(x,t)}{\partial x_j}\biggr|.
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогичным образом вводится банахово пространство относительно нормы
$$
\begin{equation*}
\| u\|_{1,T}=\sup_{x\in\mathbb{R}^3,\, t\in[0,T]}(1+|x|^2)^{1/2}|u(x,t)|+ \sum_{j=1}^3\sup_{x\in\mathbb{R}^3,\, t\in[0,T]}(1+|x|^2) \biggl|\frac{\partial u(x,t)}{\partial x_j}\biggr|,
\end{equation*}
\notag
$$
где $W_2\subset\mathbb{C}^{(1)}_b(\mathbb{R}^3)$ – банахово пространство функций, для которых конечна норма
$$
\begin{equation*}
\| u\|_{W_2}:=\sup_{x\in\mathbb{R}^3}(1+|x|^2)^{1/2}|u(x)|+ \sum_{j=1}^3\sup_{x\in\mathbb{R}^3}(1+|x|^2)\biggl|\frac{\partial u(x)}{\partial x_j}\biggr|.
\end{equation*}
\notag
$$
Под классом функций $\mathbb{C}^{(1)}([0,T];W_j)$ при $j\,{=}\,1,2$ мы понимаем банахово пространство дифференцируемых функций $u(t)\colon [0,T]\to W_j$ таких, что $u(t),\,u'(t)\in\mathbb{C}([0,T];W_j)$. Посредством $\mathbb{C}_b((1+|x|^2)^{\alpha/2};\mathbb{R}^3)$ мы обозначаем все функции $u(x)\in\mathbb{C}_b(\mathbb{R}^3)$, для которых выполнено неравенство
$$
\begin{equation*}
|u(x)|\leqslant\frac{A}{(1+|x|^2)^{\alpha/2}},\qquad\alpha>0,
\end{equation*}
\notag
$$
с некоторой постоянной $A>0$, своей для каждой функции $u(x)$. В дальнейшем мы будем использовать следующее обозначение: § 4. Мгновенное разрушение слабого решения задачи КошиДадим определение слабого решения задачи Коши, которая в классической постановке имеет следующий вид:
$$
\begin{equation}
\mathfrak{M}_{x,t}[u](x,t)\stackrel{\mathrm{def}}=\Delta_3\,\frac{\partial u}{\partial t}+ \sigma_1\Delta_2u+\sigma_2u_{x_3x_3}=|\nabla u|^q,\qquad q>1,\quad \sigma_1,\sigma_2>0,
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
Определение 1. Функция $u(x,t)\in L^{q}(0,T;W^{1,q}_{\mathrm{loc}}(\mathbb{R}^3))$, удовлетворяющая равенству Дадим определение класса $U$ начальных функций $u_0(x)$, в котором мы будем доказывать мгновенное разрушение локального слабого решения задачи Коши в смысле определения 1. Определение 2. Функция $u_0(x)\in U$, если $u_0(x)\in W^{1,q}(\mathbb{R}^3)$ и найдутся такие $x_0\in\mathbb{R}^3$ и $R_0>0$, что $u_0(x)\in H^2(O(x_0,R_0))$ и где $\mu$ – это стандартная мера Лебега в $\mathbb{R}^3$. Справедлива следующая теорема. Теорема 1. Если $u_0(x)\in U$ и $q\in(1,3/2]$, то не существует локального слабого решения задачи Коши ни для какого $T>0$, т. е. имеет место мгновенное разрушение локального слабого решения задачи Коши. Доказательство. Доказательство этого утверждения основано на применении метода нелинейной емкости С. И. Похожаева и Э. Митидиери [4] и специальном выборе пробной функции $\phi(x,t)$ в равенстве (4.3), фигурирующем в определении 1. Именно, возьмем
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \phi(x,t)=\phi_T(t)\phi_R(x),\qquad\phi_T(t)=\biggl(1-\frac{t}{T}\biggr)^{\lambda}, \quad\lambda>q', \\ \phi_R(x)=\phi_0\biggl(\frac{|x|^2}{R^2}\biggr),\quad \phi_0(s)=\begin{cases} 1,&\text{если }s\in[0,1/2], \\ 0,&\text{если }s\geqslant 1, \end{cases} \quad\phi_0(s)\in\mathbb{C}^{\infty}_0[0,+\infty), \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\phi_0(s)$ – это монотонно убывающая функция. Справедливы следующие оценки, основанные на применении неравенства Гёльдера с соответствующими показателями:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\biggl|\int_0^T\int_{\mathbb{R}^3}(\nabla u(x,t),\nabla\phi'(x,t))\,dx\,dt\biggr| \nonumber \\ &\qquad\leqslant \frac{\lambda}{T}\int_0^T\int_{\mathbb{R}^3} \biggl(1-\frac{t}{T}\biggr)^{\lambda-1} |\nabla u(x,t)||\nabla\phi_R(x)|\,dx\,dt \nonumber \\ &\qquad= \frac{\lambda}{T}\int_0^T\int_{\mathbb{R}^3} \biggl(1-\frac{t}{T}\biggr)^{{\lambda}/{q}} |\nabla u(x,t)|\phi^{1/q}_R(x) \biggl(1-\frac{t}{T}\biggr)^{{\lambda}/{q'}-1} \frac{|\nabla\phi_R(x)|}{\phi^{1/q}_R(x)}\,dx\,dt \nonumber \\ &\qquad\leqslant \frac{\lambda}{T}c_1(R,T)I^{1/q}_R, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
где
$$
\begin{equation}
I_R:=\int_0^T\int_{\mathbb{R}^3}\phi_T(t)\phi_R(x)|\nabla u|^q\,dx\,dt,
\end{equation}
\tag{4.5}
$$
$$
\begin{equation}
\begin{split} c_1(R,T) &:=\biggl(\int_0^T\int_{\mathbb{R}^3} \biggl(1-\frac{t}{T}\biggr)^{\lambda-q'} \frac{|\nabla\phi_R(x)|^{q'}}{\phi^{q'/q}_R(x)}\,dx\,dt\biggr)^{1/q'} \\ &=\biggl(\frac{T}{\lambda-q'+1}\biggr)^{1/q'}c_2 R^{(3-q')/q'},\qquad c_3>0, \end{split}
\end{equation}
\tag{4.6}
$$
$$
\begin{equation}
\biggl|\int_0^T\int_{\mathbb{R}^3}u_{x_j}(x,t)\phi_{x_j}(x,t)\,dx\,dt\biggr|\leqslant \int_0^T\int_{\mathbb{R}^3}|\nabla u(x,t)||\nabla\phi(x,t)|\,dx\,dt\leqslant I_R^{1/q}c_3(R,T),
\end{equation}
\tag{4.7}
$$
где
$$
\begin{equation}
c_3(R,T):=\biggl(\int_0^T\int_{\mathbb{R}^3} \biggl(1-\frac{t}{T}\biggr)^{\lambda} \frac{|\nabla\phi_R(x)|^{q'}}{\phi^{q'/q}_R(x)}\,dx\,dt\biggr)^{1/q'}= \biggl(\frac{T}{\lambda+1}\biggr)^{1/q'}c_2 R^{(3-q')/q'},
\end{equation}
\tag{4.8}
$$
$$
\begin{equation}
\begin{split} &\biggl|\int_{\mathbb{R}^3}(\nabla u_0(x),\nabla\phi(x,0))\,dx\biggr|\leqslant \int_{\mathbb{R}^3}|\nabla u_0(x)|\, |\nabla\phi_R(x)|\,dx \\ &\qquad\leqslant \||\nabla u_0|\|_{L^q(\mathbb{R}^3)}\biggl(\int_{\mathbb{R}^3}|\nabla \phi_R(x)|^{q'}\,dx\biggr)^{1/q'}=\||\nabla u_0|\|_{L^q(\mathbb{R}^3)}c_4R^{(3-q')/q'}. \end{split}
\end{equation}
\tag{4.9}
$$
Теперь применим оценки (4.4)–(4.9) к равенству (4.3) и получим следующее неравенство:
$$
\begin{equation}
\frac{\lambda}{T}c_1(R,T)I^{1/q}_R+(2\sigma_1+\sigma_2)c_3(R,T)I_R^{1/q}+ \||\nabla u_0|\|_{L^q(\mathbb{R}^3)}c_4R^{(3-q')/q'}\geqslant I_R.
\end{equation}
\tag{4.10}
$$
Применяя неравенства Гёльдера с параметром $\varepsilon=1/4$ из (4.10) получаем неравенство
$$
\begin{equation}
2\frac{\lambda^2}{T^2}c^2_1(R,T)+2(2\sigma_1+\sigma_2)^2c^2_3(R,T)+ 2\||\nabla u_0|\|_{L^q(\mathbb{R}^3)}c_4R^{(3-q')/q'}\geqslant I_R.
\end{equation}
\tag{4.11}
$$
Положим теперь $R=N\in\mathbb{N}$ и рассмотрим последовательность функций
$$
\begin{equation}
H_N(x,t):=|\nabla u(x,t)|^q\phi_N(x)\phi_T(t),\qquad H_{N+1}(x,t)\geqslant H_N(x,t),
\end{equation}
\tag{4.12}
$$
для почти всех $(x,t)\in\mathbb{R}^3\times[0,T]$. Далее требуем выполнения неравенства
$$
\begin{equation}
3-q'\leqslant 0\quad\Longrightarrow\quad 1<q\leqslant\frac{3}{2}.
\end{equation}
\tag{4.13}
$$
Тогда из (4.6)–(4.9) вытекает, что правая часть неравенства (4.11) ограничена некоторой константой $K>0$ и тогда
$$
\begin{equation}
\int_0^T\int_{\mathbb{R}^3}H_N(x,t)\,dx\,dt\leqslant K<+\infty.
\end{equation}
\tag{4.14}
$$
И поэтому в силу теоремы Беппо Леви приходим к выводу о том, что
$$
\begin{equation}
\lim_{N\to+\infty}\int_0^T \int_{\mathbb{R}^3}H_N(x,t)\,dx\,dt=\int_0^T \int_{\mathbb{R}^3}|\nabla u(x,t)|^q\,dx\,dt\leqslant K<+\infty.
\end{equation}
\tag{4.15}
$$
Рассмотрим отдельно случаи $1<q<3/2$ и $q=3/2$. В случае $1<q<3/2$ с помощью формулы (4.11) и оценок (4.6)–(4.9) приходим к выводу о том, что
$$
\begin{equation}
I_N:=\int_0^T\int_{\mathbb{R}^3}\phi_T(t)\phi_N(x)|\nabla u|^q\,dx\,dt\to+0\quad\text{при}\quad N\to+\infty.
\end{equation}
\tag{4.16}
$$
Случай $q=3/2$ является критическим и рассматривается как все критические случаи из работы [4].
Таким образом, при $q\in(1,3/2]$ приходим к следующему равенству:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_0^T\int_{\mathbb{R}^3}|\nabla u(x,t)|^q\biggl(1-\frac{t}{T}\biggr)^{\lambda}\,dx\,dt=0 \\ &\qquad\Longrightarrow\quad u(x,t)=F(t)\quad\text{для почти всех}\quad (x,t)\in\mathbb{R}^3\times[0,T]. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
После подстановки полученного равенства $u(x,t)=F(t)$ в равенство (4.3) мы получим следующее равенство:
$$
\begin{equation*}
\int_{\mathbb{R}^3}(\nabla u_0(x),\nabla\phi(x,0))\,dx=0
\end{equation*}
\notag
$$
для всех функций $\phi(x,t)$, удовлетворяющих условиям определения 1. Поэтому для произвольных функций $\phi(x,t)$ вида
$$
\begin{equation*}
\phi(x,t)=\phi_1(x)\biggl(1-\frac{t}{T}\biggr),\qquad \phi_1(x)\in\mathbb{C}_0^{\infty}(\mathbb{R}^3),\quad \operatorname{supp}\phi_1(x)\subset O(x_0,R_0),
\end{equation*}
\notag
$$
в классе $u_0(x)\in U$ после интегрирования по частям получим следующее равенство:
$$
\begin{equation*}
\int_{O(x_0,R_0)}\Delta u_0(x)\phi_1(x)\,dx=0\quad\text{для всех}\quad \phi_1(x)\in\mathbb{C}^{\infty}_0(O(x_0,R_0)).
\end{equation*}
\notag
$$
В силу основной леммы вариационного исчисления приходим к выводу о том, что
$$
\begin{equation*}
\Delta u_0(x)=0\quad\text{для почти всех}\quad x\in O(x_0,R_0),
\end{equation*}
\notag
$$
что противоречит определению класса $U\ni u_0(x)$. Теорема 1 доказана. § 5. Существование непродолжаемого решения вспомогательного интегрального уравнения при $q>3/2$В этом параграфе мы сначала рассмотрим вспомогательное интегральное уравнение:
$$
\begin{equation}
u(x,t)=\int_{\mathbb{R}^3}\mathscr{E}(x-y,t)\Delta_3u_0(y)\,dy+ \int_0^t\int_{\mathbb{R}^3}\mathscr{E}(x-y,t-\tau)|\nabla u|^q\,dy\,d\tau,
\end{equation}
\tag{5.1}
$$
в котором функция
$$
\begin{equation}
\mathscr{E}(x,t)=-\frac{\theta(t)}{4\pi|x|} \exp\biggl(-\frac{\sigma_1+\beta(x)}{2}t\biggr) I_0\biggl(\frac{\sigma_1-\beta(x)}{2}t\biggr)
\end{equation}
\tag{5.2}
$$
является фундаментальным решением оператора
$$
\begin{equation}
\mathfrak{M}_{x,t}[w](x,t):=\Delta_{3x}\, \frac{\partial w}{\partial t}+\sigma_1\Delta_{2x}w(x,t) +\sigma_{2}w_{x_3x_3},
\end{equation}
\tag{5.3}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\beta(x)=\frac{\sigma_2(x_1^2+x_2^2)+\sigma_1 x_3^2}{x_1^2+x_2^2+x_3^2},\qquad \sigma_j\geqslant 0,\quad j=1,2.
\end{equation*}
\notag
$$
Фундаментальное решение $\mathscr{E}(x,t)$ обладает набором свойств, которые мы собрали в следующей лемме. Лемма 1. Справедливы следующие свойства: 1) при $x\ne 0$ 2) $\mathscr{E}(x,t)\in\mathbb{C}^{\infty}((\mathbb{R}^3\setminus\{0\})\times[0,+\infty))$; 3) при $x\in\mathbb{R}^3\setminus\{0\}$ и $t\in[0,T]$ справедливы оценки где постоянные $0<A_n(T)<+\infty$ при $n=1,2,3$. Доказательство основано на свойствах функции Инфельда $I_0(x)$ и явного вида (5.2) функции $\mathscr{E}(x,t)$. Нам удобно вместо функции $u(x,t)$ в интегральном уравнении (5.1) к новой функции и с учетом равенства в классе дифференцируемых функций
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, |\nabla u|^q &=\biggl|\nabla \frac{v(x,t)}{(1+|x|^2)^{1/2}}\biggr|^q= \biggl|\frac{1}{(1+|x|^2)^{1/2}}\nabla v-\frac{x}{(1+|x|^2)^{3/2}}v(x,t)\biggr|^q \nonumber \\ &=\frac{1}{(1+|x|^2)^{q}}\biggl|(1+|x|^2)^{1/2}\nabla v-\frac{x}{(1+|x|^2)^{1/2}}v\biggr|^q \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.8}
$$
получить следующее интегральное уравнение:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &v(x,t)=\int_{\mathbb{R}^3}G_{\alpha}(x,y,t)(1+|y|^2)^{\alpha}\Delta_3u_0(y)\,dy \nonumber \\ &\quad+ \int_0^t\int_{\mathbb{R}^3}G_q(x,y,t-\tau)\biggl|(1+|y|^2)^{1/2}\nabla v(y,\tau)-\frac{y}{(1+|y|^2)^{1/2}}v\biggr|^q\,dy\,d\tau, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.9}
$$
где
$$
\begin{equation}
G_{\gamma}(x,y,t):=\frac{(1+|x|^2)^{1/2}}{(1+|y|^2)^{\gamma}}\mathscr{E}(x-y,t), \qquad\gamma>0.
\end{equation}
\tag{5.10}
$$
Теорему о непродолжаемом решении интегрального уравнения (5.9) мы будем доказывать в банаховом пространстве $\mathbb{C}([0,T];W_1)$, которое нами определено в § 3, относительно нормы $\|\,{\cdot}\,\|_T$:
$$
\begin{equation}
\| v\|_T:=\sup_{t\in[0,T],\, x\in\mathbb{R}^3}|v(x,t)| +\sum_{j=1}^3\sup_{t\in[0,T],\, x\in\mathbb{R}^3}(1+|x|^2)^{1/2}\biggl|\frac{\partial v(x,t)}{\partial x_j}\biggr|.
\end{equation}
\tag{5.11}
$$
Справедлива следующая теорема. Теорема 2. Пусть $q>3/2$. Для любой функции $u_0(x)\in\mathbb{C}^2(\mathbb{R}^3)$, удовлетворяющей условию Доказательство. Справедлива следующая вспомогательная лемма о свойствах функции $G_{\gamma}(x,y,t)$, определенной равенством (5.10).
Лемма 2. Пусть $\gamma>3/2$, тогда при $t\in[0,T]$ справедливы оценки Доказательство. Заметим, что при $x\ne y$ и $t\geqslant 0$ справедливо равенство
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \frac{\partial^{k+1} G_{\gamma}(x,y,t)}{\partial x_j\partial t^k} &=\frac{x_j}{(1+|x|^2)^{1/2}}\,\frac{1}{(1+|y|^2)^{\gamma}}\, \frac{\partial^k\mathscr{E}(x-y,t)}{\partial t^k} \\ &\qquad+\frac{(1+|x|^2)^{1/2}}{(1+|y|^2)^{\gamma}}\, \frac{\partial^{k+1}\mathscr{E}(x-y,t)}{\partial x_j\, \partial t^k},\qquad j=1,2,3. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Воспользуемся оценками (5.5) для фундаментального решения $\mathscr{E}(x,t)$.
Шаг 1. Оценка интеграла (5.15). Переходя к сферической системе координат получим следующее выражение:
$$
\begin{equation*}
I:=\int_{\mathbb{R}^3}dy\,\frac{1}{|y|(1+|x-y|^2)^{\gamma}} =2\pi\int_0^{+\infty}dr\, \int_0^{\pi}d\theta\,\frac{r\sin\theta}{(1+|x|^2+r^2-2|x|r\cos\theta)^{\gamma}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Интегрируя по переменной $\theta\in(0,\pi)$, получим равенство
$$
\begin{equation*}
I=\frac{2\pi}{\gamma-1}\frac{1}{|x|}\int_0^{+\infty}dr\, \biggl[\frac{1}{(1+(r-|x|)^2)^{\gamma-1}}-\frac{1}{(1+(r+|x|)^2)^{\gamma-1}}\biggr]=: \frac{1}{|x|}(I_1+I_2).
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $|x|>1$. Тогда при $\gamma>3/2$ справедливы оценки
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, I_1&=\frac{2\pi}{\gamma-1} \int_0^{+\infty}dr\,\frac{1}{(1+(r-|x|)^2)^{\gamma-1}}=\frac{2\pi}{\gamma-1} \int_{-|x|}^{+\infty}dz\,\frac{1}{(1+z^2)^{\gamma-1}}<+\infty, \\ I_2&=\frac{2\pi}{\gamma-1} \int_0^{+\infty}dr\,\frac{1}{(1+(r+|x|)^2)^{\gamma-1}}\leqslant \frac{2\pi}{\gamma-1}\int_0^{+\infty}dr\, \frac{1}{(1+r^2)^{\gamma-1}}<+\infty. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $|x|\leqslant 1$. Тогда с помощью замен переменных выражение для $I$ приводим к виду
$$
\begin{equation*}
I=\frac{2\pi}{\gamma-1}\frac{1}{|x|} \int_{-|x|}^{|x|}dz\,\frac{1}{(1+z^2)^{\gamma-1}} \leqslant \frac{2\pi}{\gamma-1}\frac{1}{|x|}2|x|\leqslant \frac{4\pi}{\gamma-1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Шаг 2. Оценка интеграла (5.16). Фактически осталось оценить следующий интеграл:
$$
\begin{equation*}
I=\int_{\mathbb{R}^3}\frac{1}{|x-y|^2}\frac{1}{(1+|y|^2)^{\gamma}}\,dy \quad\text{при}\quad \gamma>\frac{3}{2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Сначала рассмотрим случай $|x|>1$. Перейдем к сферической системе координат с осью $Oz$, совпадающей с осью $Ox$. Тогда справедливо следующее равенство:
$$
\begin{equation}
I=2\pi\int_0^{+\infty}dr\int_0^{\pi}d\theta\, \frac{r^2\sin\theta}{(1+r^2)^{\gamma}}\, \frac{1}{|x|^2+r^2-2|x|r\cos\theta}.
\end{equation}
\tag{5.17}
$$
Пусть Отдельно посчитаем
$$
\begin{equation*}
\int_0^{\pi}d\theta\, \frac{\sin\theta}{a-b\cos\theta}= -\frac{1}{b}\ln\biggl(\frac{a-b}{a+b}\biggr)= -\frac{1}{2|x|r}\ln\biggl(\frac{|x|-r}{|x|+r}\biggr)^2.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому
$$
\begin{equation*}
I=-\frac{\pi}{|x|}\int_0^{+\infty} \frac{r}{(1+r^2)^{\gamma}} \ln\biggl(\frac{|x|-r}{|x|+r}\biggr)^2\,dr.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $\varepsilon\in(0,1)$. Тогда где
$$
\begin{equation}
I_1 =-\frac{\pi}{|x|}\int_0^{\varepsilon|x|} \frac{r}{(1+r^2)^{\gamma}}\ln\biggl(\frac{|x|-r}{|x|+r}\biggr)^2\,dr,
\end{equation}
\tag{5.19}
$$
$$
\begin{equation}
I_2 =-\frac{\pi}{|x|}\int_{\varepsilon|x|}^{|x|/\varepsilon} \frac{r}{(1+r^2)^{\gamma}}\ln\biggl(\frac{|x|-r}{|x|+r}\biggr)^2\,dr,
\end{equation}
\tag{5.20}
$$
$$
\begin{equation}
I_3 =-\frac{\pi}{|x|}\int_{|x|/\varepsilon}^{+\infty} \frac{r}{(1+r^2)^{\gamma}}\ln\biggl(\frac{|x|-r}{|x|+r}\biggr)^2\,dr.
\end{equation}
\tag{5.21}
$$
Рассмотрим сначала интеграл $I_1$. В силу формулы Лагранжа имеют место равенства
$$
\begin{equation*}
\ln(1-t)=-\frac{1}{1-t_{1\varepsilon}}t,\quad \ln(1+t)=\frac{1}{1+t_{2\varepsilon}}t,\qquad t, t_{1\varepsilon},t_{2\varepsilon}\in(0,\varepsilon).
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому справедлива следующая оценка:
$$
\begin{equation}
\biggl|{\ln\biggl(1-\frac{r}{|x|}\biggr)-\ln\biggl(1+\frac{r}{|x|}\biggr)}\biggr|\leqslant c_1(\varepsilon)\frac{r}{|x|},\qquad r\in[0,\varepsilon|x|].
\end{equation}
\tag{5.22}
$$
Поэтому справедлива следующая цепочка выражений:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, |I_1|&\leqslant\frac{2\pi}{|x|}\int_0^{\varepsilon|x|} \frac{r}{(1+r^2)^{\gamma}} \biggl|{\ln\biggl(1-\frac{r}{|x|}\biggr)-\ln\biggl(1+\frac{r}{|x|}\biggr)}\biggr|\,dr \nonumber \\ &\leqslant \frac{2\pi c_1(\varepsilon)}{|x|^2}\int_0^{+\infty}\frac{r^2}{(1+r^2)^{\gamma}}\,dr\leqslant \frac{A_5(\varepsilon)}{|x|^2}\quad\text{при}\quad \gamma>\frac32. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.23}
$$
Рассмотрим интеграл $I_2$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, |I_2|&\leqslant \frac{\pi}{|x|}\int_{\varepsilon|x|}^{|x|/\varepsilon} \frac{r}{(1+r^2)^{\gamma}}\biggl|{\ln\biggl(\frac{|x|-r}{|x|+r}\biggr)^2}\biggr|\,dr \nonumber \\ &\!\!\!\!\stackrel{r=t|x|}{=}\frac{\pi}{|x|}|x|^2\int_{\varepsilon}^{1/\varepsilon}\frac{t}{(1+t^2|x|^2)^{\gamma}} \biggl|{\ln\biggl(\frac{1-t}{1+t}\biggr)^2}\biggr|\,dt \nonumber \\ &\leqslant \frac{\pi}{|x|^{2\gamma-1}} \int_{\varepsilon}^{1/\varepsilon}\frac{1}{t^{2\gamma-1}} \biggl|{\ln\biggl(\frac{1-t}{1+t}\biggr)^2}\biggr|\,dt \leqslant\frac{A_6(\varepsilon)}{|x|^{2\gamma-1}},\qquad \gamma>\frac32. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.24}
$$
Наконец, рассмотрим интеграл $I_3$. В силу формулы Лагранжа имеет место цепочка выражений
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, |I_3|&\leqslant\frac{2\pi}{|x|}\int_{|x|/\varepsilon}^{+\infty}\frac{r}{(1+r^2)^{\gamma}} \biggl|{\ln\biggl(1-\frac{|x|}{r}\biggr)-\ln\biggl(1+\frac{|x|}{r}\biggr)}\biggr|\,dr \nonumber \\ &\leqslant c_1(\varepsilon){2\pi}\int_{|x|/\varepsilon}^{+\infty}\frac{1}{(1+r^2)^{\gamma}}\,dr\leqslant c_1(\varepsilon){2\pi}\int_{|x|/\varepsilon}^{+\infty}\frac{1}{r^{2\gamma}}\,dr \nonumber \\ &= c_1(\varepsilon){2\pi}\frac{1}{2\gamma-1}\biggl(\frac{\varepsilon}{|x|}\biggr)^{2\gamma-1}= \frac{A_7(\varepsilon)}{|x|^{2\gamma-1}},\qquad \gamma>\frac32. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.25}
$$
Итак, мы приходим к выводу о том, что найдется такая постоянная $A>0$, что при $|x|>1$ имеет место оценка
$$
\begin{equation}
|I|\leqslant\frac{A_8}{|x|^2}\quad\text{при}\quad \gamma>\frac32.
\end{equation}
\tag{5.26}
$$
Теперь мы рассмотрим случай $|x|\leqslant 1$. Для удобства мы перепишем исходный интеграл в следующем эквивалентном виде:
$$
\begin{equation}
I=\int_{\mathbb{R}^3}\frac{1}{|y|^2}\, \frac{1}{(1+|x-y|^2)^{\gamma}}\,dy.
\end{equation}
\tag{5.27}
$$
Снова переходя к сферической системе координат и учитывая оценки $|\sin\theta|\,{\leqslant}\,1$, $\cos\theta\leqslant1$, получим неравенства
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, I&=2\pi\int_0^{+\infty}dr\,\int_{0}^{\pi}d\theta\, \frac{\sin\theta}{(1+|x|^2+r^2-2|x|r\cos\theta)^{\gamma}} \nonumber \\ &\leqslant 2\pi^2\int_0^{+\infty}dr\,\frac{1}{(1+|x|^2+r^2-2|x|r)^{\gamma}} =2\pi^2\int_0^{+\infty}dr\frac{1}{(1+(|x|-r)^2)^{\gamma}} \nonumber \\ &=2\pi^2\int^{+\infty}_{-|x|}\frac{dt}{(1+t^2)^{\gamma}}\leqslant 2\pi^2\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{dt}{(1+t^2)^{\gamma}}:=A_9<+\infty. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.28}
$$
И мы приходим к оценке
$$
\begin{equation}
|I|\leqslant\frac{A_{10}}{1+|x|^2}\quad\text{для всех}\quad x\in\mathbb{R}^3.
\end{equation}
\tag{5.29}
$$
Лемма 2 доказана. Теперь введем в рассмотрение следующие потенциалы:
$$
\begin{equation}
U_0(x,t) :=U_0[\rho_0](x):=\int_{\mathbb{R}^3}G_{\gamma}(x,y,t)\rho_0(y)\,dy,
\end{equation}
\tag{5.30}
$$
$$
\begin{equation}
U_1(x,t) :=U_1[\rho](x,t):=\int_0^t\int_{\mathbb{R}^3}G_{\gamma}(x,y,t-\tau)\rho(y,\tau)\,dy\,d\tau.
\end{equation}
\tag{5.31}
$$
Потенциалы $U_0(x,t)$ и $U_1(x,t)$ обладают свойствами, которые мы собрали в следующей лемме.
Лемма 3. Для любых $\rho_0(x)\in\mathbb{C}_b(\mathbb{R}^3)$ и $\rho(x,t)\in\mathbb{C}([0,T];\mathbb{C}_b(\mathbb{R}^3))$ потенциалы $U_0(x,t), U_1(x,t) \in\mathbb{C}([0,T];W_1)$ при $\gamma>3/2$. Доказательство. Шаг 1. Докажем, что Прежде всего заметим, что для каждого $t\in[0,T]$ потенциалы $U_0(x,t), U_1(x,t)\in\mathbb{C}(\mathbb{R}^1)$. Ниже мы докажем даже более сильный результат, заключающийся в том, что для каждого $t\in[0,T]$ потенциалы $U_0(x,t), U_1(x,t)\in\mathbb{C}^{(1)}(\mathbb{R}^1)$.
В силу оценки (5.15) имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, |U_0(x,t_2)-U_0(x,t_1)| &\leqslant \int_{\mathbb{R}^3}|\rho_0(y)| |G_{\gamma}(x,y,t_2)-G_{\gamma}(x,y,t_1)|\, dy \nonumber \\ &= \int_{\mathbb{R}^3}|\rho_0(y)|\biggl|\int_{t_2}^{t_1}\frac{\partial}{\partial s}G_{\gamma}(x,y,s)\,ds\biggr|\,dy \nonumber \\ &\leqslant \sup_{y\in\mathbb{R}^3}|\rho_0(y)||t_2-t_1|\sup_{x\in\mathbb{R}^3,\, s\in[t_1,t_2]} \int_{\mathbb{R}^3}\biggl|\frac{\partial G_{\gamma}(x,y,s)}{\partial s}\biggr|\,dy \nonumber \\ &\leqslant B_1(T)\sup_{y\in\mathbb{R}^3}|\rho_0(y)||t_2-t_1|. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.33}
$$
Таким образом, для любых $t_1,t_2\in[0,T]$ выполнена оценка
$$
\begin{equation}
\sup_{x\in\mathbb{R}^3}|U_0(x,t_2)-U_0(x,t_1)|\leqslant B_1(T)\sup_{y\in\mathbb{R}^3}|\rho_0(y)||t_2-t_1|.
\end{equation}
\tag{5.34}
$$
Кроме того, в силу оценки (5.15) справедливо следующее выражение:
$$
\begin{equation}
\sup_{x\in\mathbb{R}^3,\, t\in[0,T]}|U_0(x,t)|\leqslant B_1(T)\sup_{y\in\mathbb{R}^3}|\rho_0(y)|.
\end{equation}
\tag{5.35}
$$
Следовательно, $U_0(x,t)\in\mathbb{C}([0,T];\mathbb{C}_b(\mathbb{R}^3))$.
Теперь докажем, что $U_1(x,t)\in\mathbb{C}([0,T];\mathbb{C}_b(\mathbb{R}^3))$. Действительно, для любых $t_1,t_2\in[0,T]$ справедлива следующая цепочка неравенств:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &|U_1(x,t_2)-U_1(x,t_1)| \nonumber \\ &\qquad\leqslant \biggl|\int_0^{t_2}\int_{\mathbb{R}^3}G_{\gamma}(x,y,t_2-\tau)\rho(y,\tau)\,dy\,d\tau\,{-} \int_0^{t_1}\int_{\mathbb{R}^3}G_{\gamma}(x,y,t_1-\tau)\rho(y,\tau)\,dy\,d\tau\biggr| \nonumber \\ &\qquad\leqslant\int_{t_1}^{t_2}\int_{\mathbb{R}^3}|G_{\gamma}(x,y,t_2-\tau)||\rho(y,\tau)|\,dy\,d\tau \nonumber \\ &\qquad\qquad+\int_0^{t_1}\int_{\mathbb{R}^3}|G_{\gamma}(x,y,t_2-\tau)-G_{\gamma}(x,y,t_1-\tau)| |\rho(y,\tau)|\,dy\,d\tau \nonumber \\ &\qquad=: I_{11}(x,t_2,t_1)+I_{12}(x,t_2,t_1). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.36}
$$
Для интеграла $I_{12}$ в силу оценки (5.15) справедлива следующая оценка, аналогичная оценке (5.33):
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, I_{12} &\leqslant\int_0^{t_1}\int_{\mathbb{R}^3}\int_{t_1-\tau}^{t_2-\tau} \biggl|\frac{\partial G_{\gamma}(x,y,s)}{\partial s}\biggr|\,ds\,|\rho(y,\tau)|\,dy\,d\tau \nonumber \\ &\leqslant B_1(T)T|t_2-t_1|\sup_{\tau\in[0,T],\,y\in\mathbb{R}^3}|\rho(y,\tau)|, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.37}
$$
а для $I_{11}$ в силу оценки (5.15) справедливо неравенство
$$
\begin{equation}
I_{11}\leqslant B_1(T)|t_2-t_1|\sup_{\tau\in[0,T],\, y\in\mathbb{R}^3}|\rho(y,\tau)|.
\end{equation}
\tag{5.38}
$$
Кроме того, справедлива оценка
$$
\begin{equation}
|U_1(x,t)|\leqslant TB_1(T)\sup_{\tau\in[0,T],\, y\in\mathbb{R}^3}|\rho(y,\tau)|.
\end{equation}
\tag{5.39}
$$
Из оценок (5.36)–(5.39) вытекает, что $U_1(x,t)\in\mathbb{C}([0,T];\mathbb{C}_b(\mathbb{R}^3))$.
Шаг 2. Докажем теперь, что $U_0(x,t), U_1(x,t) \in\mathbb{C}([0,T];W_1)$. Сначала рассмотрим потенциал $U_0(x,t)$: где $U_{01}$ и $U_{02}$ имеют вид
$$
\begin{equation}
U_{01}(x,t) =\int_{O(x_{00},R)}G_{\gamma}(x,y,t)\rho_0(y)\,dy \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
=(1+|x|^2)^{1/2}\int_{O(x_{00},R)}\mathscr{E}(x-y,t)\frac{\rho_0(y)}{(1+|y|^2)^{\gamma}}\,dy,
\end{equation}
\tag{5.41}
$$
$$
\begin{equation}
U_{02}(x,t) =\int_{\mathbb{R}^3\setminus O(x_{00},R)}G_{\gamma}(x,y,t)\rho_0(y)\,dy \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
=(1+|x|^2)^{1/2}\int_{\mathbb{R}^3\setminus O(x_{00},R)} \mathscr{E}(x-y,t)\frac{\rho_0(y)}{(1+|y|^2)^{\gamma}}\,dy.
\end{equation}
\tag{5.42}
$$
В силу (5.5) при $x\ne y$ и $t\in[0,T]$ справедливы оценки
$$
\begin{equation}
|\mathscr{E}(x-y,t)|\leqslant\frac{A_1(T)}{|x-y|},\qquad \biggl|\frac{\partial\mathscr{E}(x-y,t)}{\partial x_j}\biggr|\leqslant\frac{A_2(T)}{|x-y|^2}.
\end{equation}
\tag{5.43}
$$
Заметим, что результат леммы 4.1 работы [27] получен не на основании явного вида фундаментального решения оператора Лапласа, а с помощью оценок вида (5.43) для фундаментального решения оператора Лапласа. Действуя аналогично, устанавливаем, что для каждого $t\in[0,T]$ функция $U_{01}(x,t)\in\mathbb{C}^{(1)}(\mathbb{R}^3)$, причем справедливо равенство
$$
\begin{equation}
\frac{\partial U_{01}(x,t)}{\partial x_j}=\int_{O(x_{00},R)}\frac{\partial G_{\gamma}(x,y,t)}{\partial x_j}\rho_0(y)\,dy.
\end{equation}
\tag{5.44}
$$
Поскольку у подынтегральной функции в выражении $U_{02}(x,t)$ нет особенности и так как $q>3/2$, мы также приходим к выводу о том, что для каждого $t\in[0,T]$ функция $U_{02}(x,t)\in\mathbb{C}^{(1)}(\mathbb{R}^3)$ и справедливо равенство
$$
\begin{equation}
\frac{\partial U_{02}(x,t)}{\partial x_j}=\int_{\mathbb{R}^3\setminus O(x_{00},R)}\frac{\partial G_{\gamma}(x,y,t)}{\partial x_j}\rho_0(y)\,dy.
\end{equation}
\tag{5.45}
$$
Итак, из равенств (5.44) и (5.45) вытекает, что для каждого $t\in[0,T]$ функция $U_0(x,t)\in\mathbb{C}^{(1)}(\mathbb{R}^3)$ и справедливо равенство
$$
\begin{equation}
\frac{\partial U_{0}(x,t)}{\partial x_j}=\int_{\mathbb{R}^3}\frac{\partial G_{\gamma}(x,y,t)}{\partial x_j}\rho_0(y)\,dy.
\end{equation}
\tag{5.46}
$$
В силу оценки (5.16) справедлива следующая цепочка неравенств:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &(1+|x|^2)^{1/2}\biggl|\frac{\partial U_0(x,t_2)}{\partial x_j}-\frac{\partial U_0(x,t_1)}{\partial x_j}\biggr| \nonumber \\ &\qquad\leqslant (1+|x|^2)^{1/2}\int_{\mathbb{R}^3} \biggl|\frac{\partial G_{\gamma}(x,y,t_2)}{\partial x_j}-\frac{\partial G_{\gamma}(x,y,t_1)}{\partial x_j}\biggr||\rho_0(y)|\,dy \nonumber \\ &\qquad\leqslant (1+|x|^2)^{1/2}\int_{\mathbb{R}^3}\int_{t_1}^{t_2} \biggl|\frac{\partial^2G_{\gamma}(x,y,s)}{\partial s\, \partial x_j}\biggr|\,ds\, |\rho_0(y)|\,dy \nonumber \\ &\qquad\leqslant |t_2-t_1|\sup_{y\in\mathbb{R}^3}|\rho_0(y)| \sup_{s\in[0,T],\, x\in\mathbb{R}^3}(1+|x|^2)^{1/2} \int_{\mathbb{R}^3}\biggl|\frac{\partial^2G_{\gamma}(x,y,s)}{\partial s\, \partial x_j}\biggr|\,dy \nonumber \\ &\qquad\leqslant B_2(T)|t_2-t_1|\sup_{y\in\mathbb{R}^3}|\rho_0(y)|. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.47}
$$
Кроме того, справедлива оценка
$$
\begin{equation}
(1+|x|^2)^{1/2}\biggl|\frac{\partial U_0(x,t)}{\partial x_j}\biggr|\leqslant B_2(T)\sup_{y\in\mathbb{R}^3}|\rho_0(y)|.
\end{equation}
\tag{5.48}
$$
Из оценок (5.47), (5.48) с учетом оценок (5.34), (5.35) получаем, что Теперь наша задача состоит в том, чтобы доказать, что $U_1(x,t)\in\mathbb{C}([0,T];W_1)$. Таким же образом, в силу оценок (5.43) приходим к выводу о том, что для каждого $t\in[0,T]$ функция $U_1(x,t)\in\mathbb{C}^{(1)}(\mathbb{R}^3)$ и справедливо следующее равенство (ср. с равенством (5.46)):
$$
\begin{equation}
\frac{\partial U_1(x,t)}{\partial x_j}=\int_0^t\int_{\mathbb{R}^3} \frac{\partial G_{\gamma}(x,y,t-\tau)}{\partial x_j}\rho(y,\tau)\,dy\,d\tau.
\end{equation}
\tag{5.50}
$$
Для любых $t_1,t_2\in[0,T]$ в силу оценки (5.16) справедливы оценки
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &(1+|x|^2)^{1/2}\biggl|\frac{\partial U_1(x,t_2)}{\partial x_j}-\frac{\partial U_1(x,t_1)}{\partial x_j}\biggr| \nonumber \\ &\ \leqslant(1+|x|^2)^{1/2}\int_0^{t_1}\int_{\mathbb{R}^3} \biggl|\frac{\partial G_{\gamma}(x,y,t_2-\tau)}{\partial x_j}-\frac{\partial G_{\gamma}(x,y,t_1-\tau)}{\partial x_j}\biggr||\rho(y,\tau)|\,dy\,d\tau \nonumber \\ &\ \quad+ (1+|x|^2)^{1/2}\int_{t_1}^{t_2}\int_{\mathbb{R}^3} \biggl|\frac{\partial G_{\gamma}(x,y,t_2-\tau)}{\partial x_j}\biggr||\rho(y,\tau)|\,dy\,d\tau \nonumber \\ &\ \leqslant (1+|x|^2)^{1/2}\int_0^{t_1}\int_{\mathbb{R}^3} \int_{t_1-\tau}^{t_2-\tau}\biggl|\frac{\partial^2G_{\gamma}(x,y,s)}{\partial x_j\, \partial s}\biggr|\,ds\,dy\,d\tau \nonumber \\ &\ \quad+ (1+|x|^2)^{1/2}\int_{t_1}^{t_2}\int_{\mathbb{R}^3} \biggl|\frac{\partial G_{\gamma}(x,y,t_2-\tau)}{\partial x_j}\biggr||\rho(y,\tau)|\,dy\,d\tau \nonumber \\ &\ \leqslant T\sup_{y\in\mathbb{R}^3,\,\tau\in[0,T]}|\rho(y,\tau)||t_2-t_1| \sup_{x\in\mathbb{R}^3,\, s\in[0,T]}(1+|x|^2)^{1/2} \int_{\mathbb{R}^3}\biggl|\frac{\partial^2G_{\gamma}(x,y,s)}{\partial x_j\, \partial s}\biggr|\,dy \nonumber \\ &\ \quad+ \sup_{y\in\mathbb{R}^3,\,\tau\in[0,T]}|\rho(y,\tau)||t_2-t_1| \sup_{x\in\mathbb{R}^3,\, \tau\in[0,T]} (1+|x|^2)^{1/2}\int_{\mathbb{R}^3}\biggl|\frac{\partial G_{\gamma}(x,y,\tau)}{\partial x_j}\biggr|\,dy \nonumber \\ &\ \leqslant [TB_2(T)+B_2(T)]\sup_{y\in\mathbb{R}^3,\, \tau\in[0,T]}|\rho(y,\tau)||t_2-t_1|. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.51}
$$
Кроме того, справедливы оценки
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &(1+|x|^2)^{1/2}\biggl|\frac{\partial U_1(x,t)}{\partial x_j}\biggr| \nonumber \\ &\qquad\leqslant T\sup_{y\in\mathbb{R}^3,\, \tau\in[0,T]}|\rho(y,\tau)| \sup_{x\in\mathbb{R}^3,\, \tau\in[0,T]}(1+|x|^2)^{1/2} \int_{\mathbb{R}^3}\biggl|\frac{\partial G_{\gamma}(x,y,\tau)}{\partial x_j}\biggr|\,dy \nonumber \\ &\qquad\leqslant TB_2(T)\sup_{y\in\mathbb{R}^3,\, \tau\in[0,T]}|\rho(y,\tau)|. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.52}
$$
Таким образом, с учетом оценок (5.36)–(5.39) и оценок (5.51), (5.52) приходим к выводу о том, что $U_1(x,t)\in\mathbb{C}([0,T];W_1)$. Лемма 3 доказана. Наша задача заключается в том, чтобы исследовать интегральное уравнение (5.9) в весовом банаховом пространстве $\mathbb{C}([0,T];W_1)$, определенном в § 3, относительно нормы (5.11). Для доказательства существования решения интегрального уравнения (5.9) выберем замкнутое, ограниченное и выпуклое подмножество $D_{R,T}$ банахова пространства $\mathbb{C}([0,T];W_1)$ следующего вида:
$$
\begin{equation}
D_{R,T}:=\{v(x,t)\in\mathbb{C}([0,T];W_1)\colon \| v\|_T\leqslant R\}.
\end{equation}
\tag{5.53}
$$
Перепишем интегральное уравнение (5.9) в виде где
$$
\begin{equation}
h_{\alpha}(x,t)=\int_{\mathbb{R}^3}G_{\alpha}(x,y,t)(1+|y|^2)^{\alpha}\Delta_3u_0(y)\,dy,
\end{equation}
\tag{5.56}
$$
$$
\begin{equation}
\begin{split} H_1(v)(x,t)&=\int_0^t\int_{\mathbb{R}^3}G_q(x,y,t-\tau) \\ &\qquad\qquad\times\biggl|(1+|y|^2)^{1/2}\nabla v(y,\tau) -\frac{y}{(1+|y|^2)^{1/2}}v(y,\tau)\biggr|^q\,dy\,d\tau. \end{split}
\end{equation}
\tag{5.57}
$$
Справедливо следующее утверждение.
Лемма 4. Пусть $u_0(x)\in\mathbb{C}^{(2)}(\mathbb{R}^3)$ и выполнена оценка (5.12). Тогда оператор $H(\,{\cdot}\,)$, определенный формулой (5.55), при $q>3/2$ действует Доказательство. Шаг 1. Прежде всего докажем, что явно заданная функция $h_{\alpha}(x,t)$, определенная формулой (5.56), принадлежит классу функций
$$
\begin{equation*}
\mathbb{C}([0,T];W_1)\quad\text{для любого}\quad T>0.
\end{equation*}
\notag
$$
С этой целью заметим, что при условии (5.12) на функцию $u_0(x)\in\mathbb{C}^{(2)}(\mathbb{R}^3)$
$$
\begin{equation*}
\rho_0(y)=(1+|y|^2)^{\alpha}\Delta_3u_0(y)\in\mathbb{C}_b(\mathbb{R}^3)
\end{equation*}
\notag
$$
и поэтому в силу результата леммы 3 относительно потенциала
Шаг 2. Рассмотрим следующую функцию:
$$
\begin{equation}
\rho(x,t)=\biggl|(1+|x|^2)^{1/2}\nabla v(x,t)-\frac{x}{(1+|x|^2)^{1/2}}v(x,t)\biggr|^q,
\end{equation}
\tag{5.59}
$$
где функция $v(x,t)\in\mathbb{C}([0,T];W_1)$. Прежде всего заметим, что для каждого $t\in[0,T]$ функция $\rho(x,t)\in\mathbb{C}(\mathbb{R}^3)$.
Заметим, что, с одной стороны,
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \sup_{x\in\mathbb{R}^3,\, t\in[0,T]}|\rho(x,t)|&\leqslant c(q)\Bigl(\sup_{x\in\mathbb{R}^3,\, t\in[0,T]}(1+|x|^2)^{1/2}|\nabla v(x,t)|\Bigr)^q \nonumber \\ &\qquad+ c(q)\Bigl(\sup_{x\in\mathbb{R}^3,\, t\in[0,T]}|v(x,t)|\Bigr)^q<+\infty, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.60}
$$
где $c(q)$ – некоторая положительная постоянная. С другой стороны, имеет место следующее неравенство:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &|\rho(x,t_2)-\rho(x,t_1)| \nonumber \\ &\ \leqslant q\max\{J_1^{q-1},J_2^{q-1}\} \bigl[(1+|x|^2)^{1/2}|\nabla v(x,t_2)-\nabla v(x,t_1)|+|v(x,t_2)-v(x,t_1)|\bigr], \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.61}
$$
где
$$
\begin{equation*}
J_k:=\biggl|(1+|x|^2)^{1/2}\nabla v(x,t_k)-\frac{x}{(1+|x|^2)^{1/2}}v(x,t_k)\biggr|,\qquad k=1,2.
\end{equation*}
\notag
$$
Согласно (5.60) имеем
$$
\begin{equation}
\sup_{x\in\mathbb{R}^3,\, t_k\in[0,T]}J_k=A<+\infty\quad\text{при}\quad k=1,2.
\end{equation}
\tag{5.62}
$$
Поскольку $v(x,t)\in\mathbb{C}([0,T];W_1)$, то из оценок (5.61) и (5.62) вытекает, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \sup_{x\in\mathbb{R}^3}|\rho(x,t_2)-\rho(x,t_1)| &\leqslant qA^{q-1}\Bigl[\sup_{x\in\mathbb{R}^3}(1+|x|^2)^{1/2}|\nabla v(x,t_2)-\nabla v(x,t_1)| \nonumber \\ &\qquad+\sup_{x\in\mathbb{R}^3}|v(x,t_2)-v(x,t_1)|\Bigr]\to+0 \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.63}
$$
при $|t_2-t_1|\to+0$ для любых $t_1,t_2\in[0,T]$. Следовательно, из (5.60) и из (5.63) вытекает, что $\rho(x,t)\in\mathbb{C}([0,T];\mathbb{C}_b(\mathbb{R}^3))$. Поэтому в силу результата леммы 3 относительно потенциала $U_1(x,t)$ приходим к выводу о том, что $U_1(x,t)\in\mathbb{C}([0,T];W_1)$.
Следовательно, из формулы (5.55) вытекает, что
$$
\begin{equation*}
H(v)(x,t)=U_0[\rho_0](x,t)+U_1[\rho](x,t)\in \mathbb{C}([0,T];W_1)
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $u_0(x)\in\mathbb{C}^{(2)}(\mathbb{R}^3)$, удовлетворяющих свойству (5.12), и произвольной функции Лемма 4 доказана. Пусть произвольная функция $u_0(x)\in\mathbb{C}^{2}(\mathbb{R}^3)$, удовлетворяющая условию (5.12), фиксирована. Тогда выберем $R>0$ настолько большим, чтобы было выполнено завершающее неравенство в следующей цепочке неравенств:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \| h_{\alpha}\|_T &\leqslant\sup_{x\in\mathbb{R}^3} \int_{\mathbb{R}^3}|G_{\alpha}(x,y,t)|(1+|y|^2)^{\alpha} |\Delta_3u_0(y)|\,dy \nonumber \\ &\qquad + \sum_{j=1}^3\sup_{x\in\mathbb{R}^3}(1+|x|^2)^{1/2} \int_{\mathbb{R}^3}\biggl|\frac{\partial G_{\alpha}(x,y,t)}{\partial x_j}\biggr| (1+|y|^2)^{\alpha}|\Delta_3u_0(y)|\,dy \nonumber \\ &\leqslant A_4B_1(T)+3B_2(T)A\leqslant\frac{R}{2}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.64}
$$
Соответствующие неравенства выполнены в силу неравенств (5.12), (5.15) и (5.16). Справедливо следующее утверждение.
Доказательство. Пусть $R>0$ – произвольно. При доказательстве леммы 4 нами было доказано, что
$$
\begin{equation*}
H_1(\,{\cdot}\,)\colon \mathbb{C}([0,T];W_1)\to \mathbb{C}([0,T];W_1)
\end{equation*}
\notag
$$
для любого $T>0$. Введем следующее обозначение:
$$
\begin{equation}
\rho(y,\tau):=\biggl|(1+|y|^2)^{1/2}\nabla v(y,\tau) -\frac{y}{(1+|y|^2)^{1/2}}v(y,\tau)\biggr|^q.
\end{equation}
\tag{5.66}
$$
Тогда для функции
$$
\begin{equation}
H_1(x,t):=H_1(v)(x,t)=\int_0^t\int_{\mathbb{R}^3} G_q(x,y,t-\tau)\rho(y,\tau)\,dy\,d\tau
\end{equation}
\tag{5.67}
$$
справедлива цепочка неравенств
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \| H_1(x,t)\|_T &\leqslant \sup_{x\in\mathbb{R}^3,\, t\in[0,T]}\int_0^t\int_{\mathbb{R}^3} |G_q(x,y,t-\tau)||\rho(y,\tau)|\,dy\,d\tau \nonumber \\ &\quad+ \sum_{j=1}^3\sup_{x\in\mathbb{R}^3,\, t\in[0,T]} \int_0^t\int_{\mathbb{R}^3}(1+|x|^2)^{1/2}\biggl|\frac{\partial G_q(x,y,t-\tau)}{\partial x_j}\biggr||\rho(y,\tau)|\,dy\,d\tau \nonumber \\ &\leqslant T[B_1(T)+3B_2(T)]\sup_{y\in\mathbb{R}^3,\, \tau\in[0,T]}|\rho(y,\tau)|. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.68}
$$
Заметим, что справедливы неравенства
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \sup_{y\in\mathbb{R}^3,\, \tau\in[0,T]}|\rho(y,\tau)|&\leqslant \sup_{y\in\mathbb{R}^3,\, \tau\in[0,T]}[(1+|y|^2)^{1/2}|\nabla v(y,\tau)|+|v(y,\tau)|]^q \nonumber \\ &\leqslant \sup_{y\in\mathbb{R}^3,\,\tau\in[0,T]}\biggl[\sum_{j=1}^3(1+|y|^2)^{1/2} \biggl|\frac{\partial v(y,\tau)}{\partial y_j}\biggr|+|v(y,\tau)|\biggr]^q\leqslant R^q, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.69}
$$
если $v(x,t)\in D_{R,T}$. Из оценок (5.68) и (5.69) вытекает следующая оценка:
$$
\begin{equation}
\| H_1(x,t)\|_T\leqslant T[B_1(T)+3B_2(T)]R^q,\qquad q>\frac{3}{2}.
\end{equation}
\tag{5.70}
$$
Выберем $T>0$ настолько малым, чтобы Тогда из оценки (5.70) приходим к следующему неравенству: т. е. справедливо утверждение леммы. Лемма 5 доказана. Из результата леммы 5 и выбора $R>0$ настолько большим, чтобы было выполнено итоговое неравенство (5.64), приходим к выводу о справедливости следующего утверждения. Лемма 6. Пусть $q>3/2$. Тогда для любого $u_0(x)\in\mathbb{C}^{(2)}(\mathbb{R}^3)$, удовлетворяющего неравенству (5.12), найдется достаточно большое $R>0$ и достаточно малое $T>0$ такие, что где замкнутый шар $D_{R,T}\subset\mathbb{C}([0,T];W_1)$ определен равенством (5.53). Теперь приступим к доказательству сжимаемости оператора $H(v)(x,t)$ на замкнутом шаре $D_{R,T}$ при достаточно малом $T>0$. Справедливо следующее утверждение. Доказательство. Пусть $v_1(x,t), v_2(x,t)\in D_{R,T}$. Справедливы следующие неравенства:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\biggl|\biggl|(1+|x|^2)^{1/2}\nabla v_1-\frac{x}{(1+|x|^2)^{1/2}}v_1\biggr|^q- \biggl|(1+|x|^2)^{1/2}\nabla v_2-\frac{x}{(1+|x|^2)^{1/2}}v_2\biggr|^q\biggr| \nonumber \\ &\ \leqslant q\max\biggl\{\biggl|(1+|x|^2)^{1/2}\nabla v_1-\frac{x}{(1+|x|^2)^{1/2}}v_1\biggr|^{q-1}, \nonumber \\ &\ \quad\biggl|(1+|x|^2)^{1/2}\nabla v_2-\frac{x}{(1+|x|^2)^{1/2}}v_2\biggr|^{q-1}\biggr\} \bigl[(1+|x|^2)^{1/2}|\nabla v_1-\nabla v_2|+|v_1-v_2|\bigr] \nonumber \\ &\ \leqslant q\max\bigl\{|(1+|x|^2)^{1/2}|\nabla v_1|+|v_1||^{q-1},\, |(1+|x|^2)^{1/2}|\nabla v_2|+|v_2||^{q-1}\bigr\} \nonumber \\ &\ \quad\times \bigl[(1+|x|^2)^{1/2}|\nabla v_1-\nabla v_2|+|v_1-v_2|\bigr] \nonumber \\ &\ \leqslant q\max\biggl\{\biggl|(1+|x|^2)^{1/2}\sum_{j=1}^3\biggl|\frac{\partial v_1}{\partial x_j}\biggr|+|v_1|\biggr|^{q-1},\, \biggl|(1+|x|^2)^{1/2}\sum_{j=1}^3\biggl|\frac{\partial v_1}{\partial x_j}\biggr|+|v_1|\biggr|^{q-1}\biggr\} \nonumber \\ &\ \quad\times \biggl[(1+|x|^2)^{1/2}\sum_{j=1}^3\biggl|\frac{\partial v_1}{\partial x_j}-\frac{\partial v_2}{\partial x_j}\biggr|+|v_1-v_2|\biggr]\leqslant qR^{q-1}\| v_1-v_2\|_T. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.75}
$$
Введем следующие обозначения:
$$
\begin{equation}
\rho_j(y,\tau)=\biggl|(1+|x|^2)^{1/2}\nabla v_j-\frac{x}{(1+|x|^2)^{1/2}}v_j\biggr|^q,\qquad j=1,2.
\end{equation}
\tag{5.76}
$$
В силу (5.75) мы приходим к оценке
$$
\begin{equation}
\|\rho_1-\rho_2\|_T\leqslant qR^{q-1}\| v_1-v_2\|_T.
\end{equation}
\tag{5.77}
$$
Справедливы следующие оценки:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\| H(v_1)-H(v_2)\|_T\leqslant \sup_{x\in\mathbb{R}^3,\, t\in[0,T]}\int_0^t\int_{\mathbb{R}^3} |G_q(x,y,t-\tau)||\rho_1(y,\tau)-\rho_2(y,\tau)|\,dy\,d\tau \nonumber \\ &\ \quad+ \sum_{j=1}^3\sup_{x\in\mathbb{R}^3,\, t\in[0,T]}\int_0^t\int_{\mathbb{R}^3} (1+|x|^2)^{1/2}\biggl|\frac{\partial G_q(x,y,t-\tau)}{\partial x_j}\biggr| |\rho_1(y,\tau)-\rho_2(y,\tau)|\,dy\,d\tau \nonumber \\ &\ \leqslant T[B_1(T)+3B_2(T)]\|\rho_1-\rho_2\|_T. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.78}
$$
Из неравенств (5.77) и (5.78) приходим к искомому неравенству
$$
\begin{equation}
\| H(v_1)-H(v_2)\|_T\leqslant T[B_1(T)+3B_2(T)]qR^{q-1}\| v_1-v_2\|_T,
\end{equation}
\tag{5.79}
$$
из которого вытекает утверждение леммы. Лемма 7 доказана. Теперь нужно воспользоваться стандартным алгоритмом продолжения решения во времени, изложенного в работе [28]. В этой работе алгоритм продолжения во времени интегрального уравнения Вольтерра рассматривается в пространстве $\mathbb{C}([0,T];\mathbb{B})$, где $\mathbb{B}$ – банахово пространство. В нашем случае $\mathbb{B}=W_1$. Схематично схема продолжения во времени заключается в том, что мы уже доказали существование такого малого $T_1>0$, что интегральное уравнение (5.9) имеет единственное решение класса $v(x,t)\in\mathbb{C}([0,T_1];W_1)$. Тогда интегральное уравнение (5.9) можем переписать в следующем виде при $t\in[T_1,T]$, $T>T_1$:
$$
\begin{equation}
v(x,t)\,{=}\,v(x,T_1)+\int_{T_1}^t\int_{\mathbb{R}^3}\!G_q(x,y,t-\tau)\biggl|(1+|y|^2)^{1/2}\nabla v(y,\tau)-\frac{y}{(1+|y|^2)^{1/2}}v\biggr|^q\,dy\,d\tau,
\end{equation}
\tag{5.80}
$$
где
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &v(x,T_1)=\int_{\mathbb{R}^3}G_{\alpha}(x,y,T_1)(1+|y|^2)^{\alpha}\Delta_3u_0(y)\,dy \nonumber \\ &\ + \int_0^{T_1}\int_{\mathbb{R}^3}G_q(x,y,T_1-\tau)\biggl|(1+|y|^2)^{1/2}\nabla v(y,\tau)-\frac{y}{(1+|y|^2)^{1/2}}v\biggr|^q\,dy\,d\tau. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.81}
$$
В силу результата леммы 4 справедливо, что $v(x,T_1)\in W_1$. Выберем теперь $R>0$ настолько большим, чтобы выполнялось неравенство
$$
\begin{equation}
\| v(x,T_1)\|:=\sup_{x\in\mathbb{R}^1}|v(x,T_1)|+ \sum_{j=1}^3\sup_{x\in\mathbb{R}^1}(1+|x|^2)^{1/2}\biggl|\frac{\partial v(x,T_1)}{\partial x_j}\biggr|\leqslant\frac{R}{2}.
\end{equation}
\tag{5.82}
$$
Далее повторяем доказательства лемм 5–7 и получаем, что интегральное уравнение (5.80) имеет решение на интервале $t\in[T_1,T_2]$ при некотором $T_2>T_1$. Далее продолжаем указанный алгоритм и приходим к выводу о том, что либо этот алгоритм неограниченно продолжится на всю временную ось, либо найдется такой момент времени $T_0=T_0(u_0)>0$, что Таким образом, приходим к утверждению теоремы. Теорема 2 доказана. Теперь мы должны сформулировать и доказать результат относительно решения $u(x,t)$ интегрального уравнения (5.1). Справедливо следующее утверждение. Теорема 3. Для каждой $u_0(x)\,{\in}\,\mathbb{C}^{(2)}(\mathbb{R}^3)$, удовлетворяющей условию (5.12), найдется такое максимальное $T_0=T_0(u_0)>0$, что для любого $T\in(0,T_0)$ существует единственное решение $u(x,t)$ интегрального уравнения (5.1) класса причем либо $T_0=+\infty$, либо $T_0<+\infty$ и в последнем случае имеем где Доказательство. Отметим, что решение $u(x,t)$ интегрального уравнения (5.1) и решение $v(x,t)$ интегрального уравнения (5.9) связаны равенством и справедливо утверждение, что функция $u(x,t)$ – решение интегрального уравнения (5.1) тогда и только тогда, когда $v(x,t)$ – решение интегрального уравнения (5.9). Справедливо следующее утверждение.
Доказательство. Заметим, что
$$
\begin{equation}
\frac{\partial v}{\partial x_j}= (1+|x|^2)^{1/2}\, \frac{\partial u}{\partial x_j}+\frac{x_j}{(1+|x|^2)^{1/2}}u.
\end{equation}
\tag{5.87}
$$
Функция $v(x,t)\in\mathbb{C}([0,T];W_1)$ для каждого $T\in(0,T_0)$. Поэтому справедливы следующие цепочки неравенств:
$$
\begin{equation}
\| v\|_T = \sup_{x\in\mathbb{R}^3,\, t\in[0,T]}|v(x,t)|+ \sum_{j=1}^3\sup_{x\in\mathbb{R}^3,\, t\in[0,T]}(1+|x|^2)^{1/2} \biggl|\frac{\partial v(x,t)}{\partial x_j}\biggr| \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
= \sup_{x\in\mathbb{R}^3,\, t\in[0,T]}(1+|x|^2)^{1/2}|u(x,t)| \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad+\sum_{j=1}^3\sup_{x\in\mathbb{R}^3,\, t\in[0,T]}(1+|x|^2)^{1/2} \biggl|(1+|x|^2)^{1/2}\frac{\partial u}{\partial x_j}+\frac{x_j}{(1+|x|^2)^{1/2}}u\biggr| \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\leqslant 2\sup_{x\in\mathbb{R}^3,\, t\in[0,T]}(1+|x|^2)^{1/2}|u(x,t)| \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad+ \sum_{j=1}^3\sup_{x\in\mathbb{R}^3,\, t\in[0,T]}(1+|x|^2) \biggl|\frac{\partial u}{\partial x_j}\biggr|\leqslant 2\| u\|_{1,T},
\end{equation}
\tag{5.88}
$$
$$
\begin{equation}
\| u\|_{1,T} =\sup_{x\in\mathbb{R}^3,\, t\in[0,T]}(1+|x|^2)^{1/2}|u(x,t)|+ \sum_{j=1}^3\sup_{x\in\mathbb{R}^3,\, t\in[0,T]}(1+|x|^2) \biggl|\frac{\partial u}{\partial x_j}\biggr| \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\leqslant \sup_{x\in\mathbb{R}^3,\, t\in[0,T]}(1+|x|^2)^{1/2}|u(x,t)| \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad+ \sum_{j=1}^3\sup_{x\in\mathbb{R}^3,\, t\in[0,T]}(1+|x|^2)^{1/2} \biggl|(1+|x|^2)^{1/2}\frac{\partial u}{\partial x_j}+\frac{x_j}{(1+|x|^2)^{1/2}}u\biggr| \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad+\sum_{j=1}^3\sup_{x\in\mathbb{R}^3,\, t\in[0,T]}(1+|x|^2)^{1/2} \biggl|\frac{x_j}{(1+|x|^2)^{1/2}}u\biggr| \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\leqslant 4\sup_{x\in\mathbb{R}^3,\, t\in[0,T]}|v(x,t)|+ \sum_{j=1}^3\sup_{x\in\mathbb{R}^3,\, t\in[0,T]}(1+|x|^2)^{1/2} \biggl|\frac{\partial v(x,t)}{\partial x_j}\biggr|\leqslant 4\| v\|_{T}.
\end{equation}
\tag{5.89}
$$
Лемма 8 доказана. Пусть $t_1,t_2\in[0,T]$ – произвольные числа. Тогда
$$
\begin{equation*}
v(x,t_2)-v(x,t_1)=(1+|x|^2)^{1/2}[u(x,t_2)-u(x,t_1)].
\end{equation*}
\notag
$$
Отметим, что при выводе оценки (5.89) фактически получено неравенство
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\sup_{x\in\mathbb{R}^3}(1+|x|^2)^{1/2}|u(x,t_2)-u(x,t_1)|+ \sum_{j=1}^3\sup_{x\in\mathbb{R}^3}(1+|x|^2)\biggl|\frac{\partial u(x,t_2)}{\partial x_j}-\frac{\partial u(x,t_1)}{\partial x_j}\biggr| \nonumber \\ &\ \leqslant 4\sup_{x\in\mathbb{R}^3}|v(x,t_2)-v(x,t_1)|+ 4\sum_{j=1}^3\sup_{x\in\mathbb{R}^3}(1+|x|^2)^{1/2}\biggl|\frac{\partial v(x,t_2)}{\partial x_j}-\frac{\partial v(x,t_1)}{\partial x_j}\biggr|\to+0 \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.90}
$$
при $|t_2-t_1|\to+0$ для любых $t_1,t_2\in[0,T]$. Отсюда и из оценки (5.89) вытекает, что $u(x,t)\in\mathbb{C}([0,T];W_2)$ для каждого $T\in(0,T_0)$. А из двусторонней оценки (5.86) получаем, что если $T_0<+\infty$, то Теорема 3 доказана.
§ 6. Разрешимость задачи Коши в слабом смысле (4.3) при $q>3/2$Справедливо следующее основное утверждение. Теорема 4. При условии $q>3/2$ для любой функции $u_0(x)\in\mathbb{C}^2(\mathbb{R}^3)$, удовлетворяющей условиям Доказательство. Шаг 1. Свойства неклассических тепловых потенциалов. Теперь наша задача изучить ряд свойств следующих неклассических тепловых объемных потенциалов:
$$
\begin{equation}
V_0(x,t) :=V_0[\rho_0](x,t):=\int_{\mathbb{R}^3}\mathscr{E}(x-y,t)\rho_0(y)\,dy,
\end{equation}
\tag{6.3}
$$
$$
\begin{equation}
V(x,t) :=V[\rho](x,t):=\int_0^t\int_{\mathbb{R}^3}\mathscr{E}(x-y,t-\tau)\rho(y,\tau)\,dy\,d\tau
\end{equation}
\tag{6.4}
$$
при некоторых условиях на плотности $\rho_0(x)$ и $\rho(x,t)$. Сначала сформулируем классический результат, который непосредственно вытекает из работы [29].
Лемма 9. Пусть $\rho_0(x)\in\mathbb{C}_b((1+|x|^2)^{\alpha};\mathbb{R}^3)$ при $\alpha>3/2$. Тогда классический объемный ньютоновский потенциал удовлетворяет равенству для любых $\phi(x)\in\mathscr{D}(\mathbb{R}^3)$, где $\langle\,{\cdot}\,,{\cdot}\,\rangle$ – это скобки двойственности между $\mathscr{D}(\mathbb{R}^3)$ и $\mathscr{D}'(\mathbb{R}^3)$, а оператор $\Delta_x$ понимается в смысле производных обобщенных функций. Доказательство. Несмотря на “классичность” этого результата, мы его докажем, поскольку ниже при доказательстве равенства (6.6) будем использовать аналогичную технику в более сложном случае.
Пусть пробная функция $\phi(x)\in\mathscr{D}(\mathbb{R}^3)$ – произвольная фиксированная. Пусть
$$
\begin{equation*}
\operatorname{supp}\phi(x)\subset O(0,R)\quad\text{при некотором}\quad R>0.
\end{equation*}
\notag
$$
Но тогда, очевидно,
$$
\begin{equation*}
\operatorname{supp}\Delta_x\phi(x)\subset O(0,R)\subset O(0,nR)\quad\text{для всех}\quad n\geqslant 2.
\end{equation*}
\notag
$$
Справедлива следующая цепочка равенств:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\langle\Delta_x W_0(x),\phi(x)\rangle = \langle W_0(x),\Delta_x\phi(x)\rangle \nonumber \\ &\qquad= \int_{\mathbb{R}^3}W_0(x)\Delta_x\phi(x)\,dx= \int_{O(0,R)}W_0(x)\Delta_x\phi(x)\,dx \nonumber \\ &\qquad= -\frac{1}{4\pi}\int_{O(0,R)}\Delta_x\phi(x) \biggl[\int_{O(0,2R)}\frac{\rho_0(y)}{|x-y|}\,dy+ \int_{\mathbb{R}^3\setminus O(0,2R)}\frac{\rho_0(y)}{|x-y|}\,dy\biggr]\,dx \nonumber \\ &\qquad=-\frac{1}{4\pi}\int_{O(0,R)}\Delta_x\phi(x)\int_{O(0,2R)}\frac{\rho_0(y)}{|x-y|}\,dy\,dx. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.5}
$$
Заметим, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_{O(0,R)}\Delta_x\phi(x)\int_{\mathbb{R}^3\setminus O(0,2R)}\frac{\rho_0(y)}{|x-y|}\,dy\,dx \\ &\qquad=\int_{O(x,R)}\phi(x)\Delta_x\int_{\mathbb{R}^3\setminus O(0,2R)}\frac{\rho_0(y)}{|x-y|}\,dy\,dx=0, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
поскольку в классическом смысле
$$
\begin{equation*}
\Delta_x\int_{\mathbb{R}^3\setminus O(0,2R)}\frac{\rho_0(y)}{|x-y|}\,dy= \int_{\mathbb{R}^3\setminus O(0,2R)}\rho_0(y)\Delta_x\frac{1}{|x-y|}\,dy=0\quad\text{при}\quad x\in O(0,R).
\end{equation*}
\notag
$$
Продолжим равенство (6.5)
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \langle\Delta_x W_0(x),\phi(x)\rangle &= -\int_{O(0,R)}\Delta_x\phi(x)\int_{O(0,2R)}\frac{\rho_0(y)}{4\pi|x-y|}\,dy\,dx \\ &= -\int_{O(0,2R)}\Delta_x\phi(x)\int_{O(0,2R)}\frac{\rho_0(y)}{4\pi|x-y|}\,dy\,dx \\ &= -\int_{O(0,2R)}\rho_{0}(y)\int_{O(0,3R)}\frac{1}{4\pi|x-y|}\Delta_x\phi(x)\,dx\,dy \\ &=\int_{O(0,2R)}\rho_0(y)\phi(y)\,dy=\int_{\mathbb{R}^3}\rho_0(y)\phi(y)\,dy= \langle\rho_0,\phi\rangle, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где мы воспользовались хорошо известным равенством
$$
\begin{equation*}
\int_{O(0,3R)}\frac{1}{4\pi|x-y|}\Delta_x\phi(x)\,dx\,dy=-\phi(y)\quad\text{при}\quad y\in O(0,2R),
\end{equation*}
\notag
$$
которое справедливо (см., например, [30]), в частности, для произвольной функции $\phi(x)\in\mathbb{C}_0^{\infty}(O(0,3R))$ с носителем $\operatorname{supp}\phi\subset O(0,R)$. Лемма 9 доказана. Теперь мы можем приступить к изучению неклассического объемного теплового потенциала $V(x,t)=V[\rho](x,t)$, определенного формулой (6.4). Справедлива следующая лемма, по своей сути аналогичная лемме 9. Лемма 10. Пусть $\rho(x,t)\in\mathbb{C}([0,T];\mathbb{C}_b((1+|x|^2)^{\alpha};\mathbb{R}^3))$ при $\alpha>3/2$. Тогда где банахово пространство $W_2$ определено в § 3, и имеет место следующее равенство: для всех $\phi(x)\in\mathscr{D}(\mathbb{R}^3)$ и для всех $t\in[0,T]$, где $\langle\,{\cdot}\,,{\cdot}\,\rangle$ – это скобки двойственности между $\mathscr{D}(\mathbb{R}^3)$ и $\mathscr{D}'(\mathbb{R}^3)$ и Доказательство. Пункт 1. Поскольку
$$
\begin{equation*}
\rho(x,t)\in\mathbb{C}([0,T];\mathbb{C}_b((1+|x|^2)^{\alpha};\mathbb{R}^3)),
\end{equation*}
\notag
$$
то
$$
\begin{equation}
(1+|x|^2)^{\alpha}\rho(x,t)\in\mathbb{C}([0,T];\mathbb{C}_b(\mathbb{R}^3)).
\end{equation}
\tag{6.7}
$$
Поэтому точно также как при доказательстве леммы 3 при $\alpha>3/2$ с учетом оценок (5.15) и (5.16) можно доказать, что Заметим, что для любых $(x,t)\in\mathbb{R}^3\times[0,T]$ имеет место поточечное равенство
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \frac{\partial V(x,t)}{\partial t}&=-\int_{\mathbb{R}^3}\frac{1}{4\pi|x-y|}\rho(y,t)\,dy+ \int_0^t\int_{\mathbb{R}^3}\mathscr{E}_1(x-y,t-\tau)\rho(y,\tau)\,dy\,d\tau \nonumber \\ &= W_0[\rho](x,t)+W_1[\rho](x,t), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.9}
$$
где
$$
\begin{equation}
\mathscr{E}_1(x-y,t-\tau):=\frac{\partial\mathscr{E}(x-y,t-\tau)}{\partial t},
\end{equation}
\tag{6.10}
$$
$$
\begin{equation}
W_0(x,t):=W_0[\rho](x,t)=-\int_{\mathbb{R}^3}\frac{1}{4\pi|x-y|}\rho(y,t)\,dy,
\end{equation}
\tag{6.11}
$$
$$
\begin{equation}
W_1(x,t):=W_1[\rho](x,t):=\int_0^t\int_{\mathbb{R}^3}\mathscr{E}_1(x-y,t-\tau)\rho(y,\tau)\,dy\,d\tau.
\end{equation}
\tag{6.12}
$$
Поскольку $\rho(x,t)\in\mathbb{C}([0,T];\mathbb{C}_b((1+|x|^2)^{\alpha};\mathbb{R}^3))$, то в силу результата леммы 4.1 работы [27] точно также, как при доказательстве леммы 3, можно показать, что Функция $W_1(x,t)$ исследуется аналогично функции $U_1(x,t)$ из леммы 3; с учетом оценок (5.15) и (5.16) можно доказать, что Следовательно, из (6.9), (6.13) и (6.14) приходим к выводу о том, что Итак, $V(x,t)\in\mathbb{C}^{(1)}([0,T];W_2)$.
Пункт 2. В силу результата леммы 9 имеем
$$
\begin{equation}
\langle\Delta_{3x}W_0(x,t),\phi(x)\rangle=\langle\rho(x,t),\phi(x)\rangle \quad\text{для всех}\quad t\in[0,T]
\end{equation}
\tag{6.15}
$$
и для любой пробной функции $\phi(x)\,{\in}\,\mathscr{D}(\mathbb{R}^3)$. Справедливо следующее равенство:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\langle\Delta_{3x}W_1(x,t)+\sigma_1\Delta_{2x}V(x,t)+ \sigma_2V_{x_3x_3}(x,t),\phi(x)\rangle \nonumber \\ &\qquad=\langle W_1(x,t),\Delta_{3x}\phi(x)\rangle+\langle V(x,t),\sigma_1\Delta_{2x}\phi(x)+\sigma_2\phi_{x_3x_3}\rangle=:J_1+J_2 \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.16}
$$
для любой пробной функции $\phi(x)\in\mathscr{D}(\mathbb{R}^3)$. Поэтому найдется такое $R=R(\phi)>0$, что $\operatorname{supp}\phi(x)\subset O(0,R)$. Рассмотрим отдельно слагаемые $J_1$ и $J_2$. Справедлива следующая цепочка равенств:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, J_1 &=\int_{O(0,R)}dx\,\Delta_{3x}\phi(x)\int_0^td\tau \int_{\mathbb{R}^3}dy\,\mathscr{E}_1(x-y,t-\tau)\rho(y,\tau) \nonumber \\ &= \int_0^td\tau \int_{O(0,R)}dx\,\Delta_{3x}\phi(x) \biggl[\int_{O(0,2R)}\mathscr{E}_1(x-y,t-\tau)\rho(y,\tau)\,dy \nonumber \\ &\qquad+ \int_{\mathbb{R}^3\setminus O(0,2R)}\mathscr{E}_1(x-y,t-\tau)\rho(y,\tau)\,dy\biggr]=: J_{11}+J_{12}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.17}
$$
где
$$
\begin{equation}
J_{11} :=\int_0^td\tau \int_{O(0,R)}dx\,\Delta_{3x}\phi(x) \int_{O(0,2R)}\mathscr{E}_1(x-y,t-\tau)\rho(y,\tau)\,dy,
\end{equation}
\tag{6.18}
$$
$$
\begin{equation}
J_{12} :=\int_0^td\tau \int_{O(0,R)}dx\,\Delta_{3x}\phi(x) \int_{\mathbb{R}^3\setminus O(0,2R)}\mathscr{E}_1(x-y,t-\tau)\rho(y,\tau)\,dy.
\end{equation}
\tag{6.19}
$$
Прежде всего заметим, что интегрированием по частям можно получить равенство
$$
\begin{equation}
J_{12}=\int_0^td\tau \int_{O(0,R)}dx\,\phi(x) \int_{\mathbb{R}^3\setminus O(0,2R)}\Delta_{3x}\mathscr{E}_1(x-y,t-\tau)\rho(y,\tau)\,dy.
\end{equation}
\tag{6.20}
$$
Рассмотрим теперь $J_2$. Справедливы следующие равенства:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, J_2&=\langle V(x,t),\sigma_1\Delta_{2x}\phi(x)+\sigma_2\phi_{x_3x_3}\rangle \nonumber \\ &= \int_{O(0,R)}dx\, [\sigma_1\Delta_{2x}\phi(x)+\sigma_2\phi_{x_3x_3}(x)] \int_0^td\tau \int_{\mathbb{R}^3}\mathscr{E}(x-y,t-\tau)\rho(y,\tau)\,dy \nonumber \\ &= \int_0^td\tau \int_{O(0,R)}dx\, [\sigma_1\Delta_{2x}\phi(x)+\sigma_2\phi_{x_3x_3}(x)] \nonumber \\ &\qquad\times \biggl[\int_{O(0,2R)}\mathscr{E}(x-y,t-\tau)\rho(y,\tau)\,dy+ \int_{\mathbb{R}^3\setminus O(0,2R)}\mathscr{E}(x-y,t-\tau)\rho(y,\tau)\,dy\biggr] \nonumber \\ &=: J_{21}+J_{22}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.21}
$$
где
$$
\begin{equation}
J_{21} :=\int_0^td\tau\,\int_{O(0,R)}dx\, [\sigma_1\Delta_{2x}\phi(x)+\sigma_2\phi_{x_3x_3}(x)] \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad\times \int_{O(0,2R)}\mathscr{E}(x-y,t-\tau)\rho(y,\tau)\,dy,
\end{equation}
\tag{6.22}
$$
$$
\begin{equation}
J_{22} :=\int_0^td\tau\,\int_{O(0,R)}dx\, [\sigma_1\Delta_{2x}\phi(x)+\sigma_2\phi_{x_3x_3}(x)] \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad\times \int_{\mathbb{R}^3\setminus O(0,2R)}\mathscr{E}(x-y,t-\tau)\rho(y,\tau)\,dy.
\end{equation}
\tag{6.23}
$$
Интегрированием по частям можно получить равенство
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, J_{22} &=\int_0^td\tau \int_{O(0,R)}dx\,\phi(x) \int_{\mathbb{R}^3\setminus O(0,2R)}[\sigma_1\Delta_{2x}\mathscr{E}(x-y,t-\tau) \nonumber \\ &\qquad+\sigma_2\mathscr{E}_{x_3x_3}(x-y,t-\tau)]\rho(y,\tau)\,dy. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.24}
$$
Из выражений (6.20) и (6.24) вытекает, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, J_{12}+J_{22} &=\int_0^td\tau\,\int_{O(0,R)}dx\,\phi(x) \int_{\mathbb{R}^3\setminus O(0,2R)}\biggl[\Delta_{3x}\frac{\partial\mathscr{E}(x-y,t-\tau)}{\partial t} \nonumber \\ &\quad+\sigma_1\Delta_{2x}\mathscr{E}(x-y,t-\tau)+ \sigma_2\mathscr{E}_{x_3x_3}(x-y,t-\tau)\biggr]\rho(y,\tau)\,dy=0 \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.25}
$$
согласно определению фундаментального решения $\mathscr{E}(x,t)$. С учетом равенств (6.18) и (6.22) справедливо равенство
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &J_{11}+J_{21} =\int_0^td\tau\int_{O(0,R)}dx\,\Delta_{3x}\phi(x) \int_{O(0,2R)}\mathscr{E}_1(x-y,t-\tau)\rho(y,\tau)\,dy \nonumber \\ &\ \quad +\int_0^td\tau\,\int_{O(0,R)}dx\, [\sigma_1\Delta_{2x}\phi(x)+\sigma_2\phi_{x_3x_3}(x)] \int_{O(0,2R)}\mathscr{E}(x-y,t-\tau)\rho(y,\tau)\,dy \nonumber \\ &\ =\int_0^td\tau \int_{O(0,2R)}dy\,\rho(y,\tau)\int_{O(0,3R)}dx\, \biggl[\frac{\mathscr{E}(x-y,t-\tau)}{\partial t}\Delta_{3x}\phi(x) \nonumber \\ &\ \quad +\sigma_1\mathscr{E}(x-y,t-\tau)\Delta_{2x}\phi(x)+ \sigma_2\mathscr{E}(x-y,t-\tau)\phi_{x_3x_3}(x)\biggr]. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.26}
$$
Рассмотрим отдельно следующее выражение:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, K &:=\int_{O(0,3R)} \biggl[\frac{\mathscr{E}(x-y,t-\tau)}{\partial t}\Delta_{3x}\phi(x) \nonumber \\ &\qquad+\sigma_1\mathscr{E}(x-y,t-\tau)\Delta_{2x}\phi(x)+ \sigma_2\mathscr{E}(x-y,t-\tau)\phi_{x_3x_3}(x)\biggr]\,dx. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.27}
$$
Заметим, что имеет место предельное равенство где
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, K^{\varepsilon} &:=\int_{O(0,3R)\setminus O(y,\varepsilon)} \biggl[\frac{\mathscr{E}(x-y,t-\tau)}{\partial t}\Delta_{3x}\phi(x) \nonumber \\ &\qquad+\sigma_1\mathscr{E}(x-y,t-\tau)\Delta_{2x}\phi(x)+ \sigma_2\mathscr{E}(x-y,t-\tau)\phi_{x_3x_3}(x)\biggr]\,dx \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.29}
$$
для любых $y\in O(0,2R)$ и $\varepsilon\in(0,R/2)$. Теперь мы проведем интегрирование по частям в интеграле (6.29) и получим следующее равенство:
$$
\begin{equation}
K^{\varepsilon}=K^{\varepsilon}_{1}+K^{\varepsilon}_{2}+K^{\varepsilon}_{3},
\end{equation}
\tag{6.30}
$$
где
$$
\begin{equation}
K^{\varepsilon}_{1} =\int_{\partial O(0,3R)\cup\partial O(y,\varepsilon)}\biggl\{\frac{\partial\mathscr{E}(x-y,t-\tau)}{\partial t}\, \frac{\partial\phi(x)}{\partial n_x} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\quad+\sigma_1\mathscr{E}(x-y,t-\tau)\biggl[\frac{\partial\phi(x)}{\partial x_1}\cos(n_x,e_1)+\frac{\partial\phi(x)}{\partial x_2}\cos(n_x,e_2)\biggr] \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\quad+\sigma_2\mathscr{E}(x-y,t-\tau)\, \frac{\partial\phi(x)}{\partial x_3}\cos(n_x,e_3)\biggr\}\,dS_x,
\end{equation}
\tag{6.31}
$$
$$
\begin{equation}
K^{\varepsilon}_2 =-\int_{\partial O(0,3R)\cup\partial O(y,\varepsilon)}\biggl[ \frac{\partial^2\mathscr{E}(x-y,t-\tau)}{\partial t\,\partial n_x}+ \sigma_1\,\frac{\partial\mathscr{E}(x-y,t-\tau)}{\partial x_1}\cos(n_x,e_1) \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\quad+ \sigma_1\,\frac{\partial\mathscr{E}(x-y,t-\tau)}{\partial x_2}\cos(n_x,e_2) +\sigma_2\,\frac{\partial\mathscr{E}(x-y,t-\tau)}{\partial x_3}\cos(n_x,e_3)\biggr]\phi(x)\,dS_x,
\end{equation}
\tag{6.32}
$$
$$
\begin{equation}
K^{\varepsilon}_3 =\int_{O(0,3R)\setminus O(y,\varepsilon)}\phi(x)\mathfrak{M}_{x,t}[\mathscr{E}](x-y,t-\tau)\,dx=0,
\end{equation}
\tag{6.33}
$$
поскольку согласно определению фундаментального решения $\mathscr{E}(x-y,t-\tau)$ имеет место равенство
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{M}_{x,t}[\mathscr{E}](x-y,t)=0\quad\text{для всех}\quad (x,t)\in (O(0,3R)\setminus O(y,\varepsilon))\times[0,T].
\end{equation*}
\notag
$$
Кроме того,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_{\partial O(0,3R)}\biggl\{\frac{\partial\mathscr{E}(x-y,t-\tau)}{\partial t}\, \frac{\partial\phi(x)}{\partial n_x} \\ &\qquad+\sigma_1\mathscr{E}(x-y,t-\tau)\biggl[\frac{\partial\phi(x)}{\partial x_1}\cos(n_x,e_1)+\frac{\partial\phi(x)}{\partial x_2}\cos(n_x,e_2)\biggr] \\ &\qquad+\sigma_2\mathscr{E}(x-y,t-\tau)\, \frac{\partial\phi(x)}{\partial x_3}\cos(n_x,e_3)\biggr\}\,dS_x=0, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
поскольку $\operatorname{supp}\phi(x)\subset O(0,R)$. А интеграл
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_{\partial O(y,\varepsilon)}\biggl\{\frac{\partial\mathscr{E}(x-y,t-\tau)}{\partial t}\, \frac{\partial\phi(x)}{\partial n_x} \\ &\qquad+\sigma_1\mathscr{E}(x-y,t-\tau)\biggl[\frac{\partial\phi(x)}{\partial x_1}\cos(n_x,e_1)+\frac{\partial\phi(x)}{\partial x_2}\cos(n_x,e_2)\biggr] \\ &\qquad+ \sigma_2\mathscr{E}(x-y,t-\tau)\, \frac{\partial\phi(x)}{\partial x_3}\cos(n_x,e_3)\biggr\}\,dS_x\to 0 \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
при $\varepsilon\to+0$ для каждого фиксированного $y\in O(0,2R)$, поскольку $\phi(x)\in\mathbb{C}^{\infty}_0(O(0,3R))$ и справедливы оценки (5.5) для фундаментального решения $\mathscr{E}(x,t)$, а площадь сферы $\partial O(y,\varepsilon)$ равна $2\pi\varepsilon^2$. Следовательно, имеем Наконец, поскольку $\phi(x)=0$ на $\partial O(0,3R)$, то от выражения для $K_{2}^{\varepsilon}$ остается только следующий интеграл:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, K^{\varepsilon}_2 &=-\int_{\partial O(y,\varepsilon)}\biggl[ \frac{\partial^2\mathscr{E}(x-y,t-\tau)}{\partial t\,\partial n_x}+ \sigma_1\,\frac{\partial\mathscr{E}(x-y,t-\tau)}{\partial x_1}\cos(n_x,e_1) \\ &\quad+\sigma_1\,\frac{\partial\mathscr{E}(x-y,t-\tau)}{\partial x_2}\cos(n_x,e_2)+ \sigma_2\,\frac{\partial\mathscr{E}(x-y,t-\tau)}{\partial x_3}\cos(n_x,e_3)\biggr]\phi(x)\,dS_x, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
который мы перепишем в виде
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, K^{\varepsilon}_2 &=-\phi(y)\int_{\partial O(y,\varepsilon)}\biggl[ \frac{\partial^2\mathscr{E}(x-y,t-\tau)}{\partial t\, \partial n_x}+ \sigma_1\, \frac{\partial\mathscr{E}(x-y,t-\tau)}{\partial x_1}\cos(n_x,e_1) \\ &\qquad+ \sigma_1\, \frac{\partial\mathscr{E}(x-y,t-\tau)}{\partial x_2}\cos(n_x,e_2)+ \sigma_2\, \frac{\partial\mathscr{E}(x-y,t-\tau)}{\partial x_3}\cos(n_x,e_3)\biggr]\,dS_x \\ &\qquad+\int_{\partial O(y,\varepsilon)}\biggl[ \frac{\partial^2\mathscr{E}(x-y,t-\tau)}{\partial t\, \partial n_x}+ \sigma_1\, \frac{\partial\mathscr{E}(x-y,t-\tau)}{\partial x_1}\cos(n_x,e_1) \\ &\qquad+ \sigma_1\, \frac{\partial\mathscr{E}(x-y,t-\tau)}{\partial x_2}\cos(n_x,e_2)+ \sigma_2\, \frac{\partial\mathscr{E}(x-y,t-\tau)}{\partial x_3}\cos(n_x,e_3)\biggr] \\ &\qquad\qquad\times[\phi(y)-\phi(x)]\,dS_x \\ &=:K^{\varepsilon}_{21}+K^{\varepsilon}_{22}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отметим, что
$$
\begin{equation*}
|\phi(x)-\phi(y)|\leqslant a(y,\varepsilon)|x-y|\quad\text{для всех}\quad x\in O(y,\varepsilon),
\end{equation*}
\notag
$$
и поэтому в силу оценок (5.5) фундаментального решения $\mathscr{E}(x,t)$ приходим к предельному свойству Осталось заметить, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_{\partial O(y,\varepsilon)}\biggl[ \frac{\partial^2\mathscr{E}(x-y,t-\tau)}{\partial t\, \partial n_x}+ \sigma_1\, \frac{\partial\mathscr{E}(x-y,t-\tau)}{\partial x_1}\cos(n_x,e_1) \\ &\qquad+\sigma_1\, \frac{\partial\mathscr{E}(x-y,t-\tau)}{\partial x_2}\cos(n_x,e_2)+ \sigma_2\, \frac{\partial\mathscr{E}(x-y,t-\tau)}{\partial x_3}\cos(n_x,e_3)\biggr]\,dS_x=0, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
что может быть проверено при помощи преобразования Лапласа. Поэтому Таким образом, в силу предельных свойств (6.33), (6.35) и равенства (6.33) мы из (6.30) приходим к выводу о том, что и, следовательно, в силу (6.28) получаем равенство $K=0$. Значит, из (6.26) вытекает равенство Поэтому из (6.16) имеем
$$
\begin{equation*}
\langle\Delta_{3x}W_1(x,t)+\sigma_1\Delta_{2x}W_2(x,t)+\sigma_2W_{2x_3x_3}(x,t),\phi(x)\rangle=0
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $\phi(x)\in\mathscr{D}(\mathbb{R}^3)$. Поэтому с учетом равенства (6.15) мы приходим к равенству (6.6). Лемма 10 доказана. Справедливо следующее утверждение. Лемма 11. Для любой плотности $\rho_0(x)\in\mathbb{C}([0,T];\mathbb{C}((1+|x|^2)^{\alpha};\mathbb{R}^3))$ при $\alpha>3/2$ неклассический объемный потенциал $V_0(x,t)$, определенный равенством (6.3), принадлежит классу $\mathbb{C}^{(1)}([0,T];W_2)$ для любого $T>0$ и справедливо равенство для всех $\phi(x)\in\mathscr{D}(\mathbb{R}^3)$. Наконец, справедливо следующее утверждение. Лемма 12. Пусть $u_0(x)\in\mathbb{C}^2(\mathbb{R}^3)$ и выполнены свойства Тогда справедливо следующее равенство: Доказательство. Утверждение доказывается применением третьей формулы Грина к функции $u_0(x)$ для оператора Лапласа в области $O(0,R)$ с последующим переходом к пределу при $R\to+\infty$ с учетом неравенств в формулировке леммы. Лемма доказана. Теперь мы можем доказать следующее утверждение. Лемма 13. Для любой функции $u_0(x)$, удовлетворяющей условиям леммы 12, и для каждой точки $x\in\mathbb{R}^3$ справедливо равенство Доказательство. Прежде всего заметим, что для любой точки $x\in\mathbb{R}^3$ имеет место представление
$$
\begin{equation*}
V_0[\Delta_3u_0](x,0)=-\int_{\mathbb{R}^3}\frac{1}{4\pi|x-y|}\Delta_3u_0(y)\,dy.
\end{equation*}
\notag
$$
Осталось воспользоваться результатом леммы 12. Лемма доказана. Наконец, в силу результатов лемм 10 и 11 приходим к выводу о том, что в силу интегрального уравнения (5.1) имеем
$$
\begin{equation*}
u(x,t)\,{=}\,V[|\nabla u|^q](x,t)+V_0[\Delta_3u_0](x,t)\, {\in}\, \mathbb{C}^{(1)}([0,T];W_2)\quad\text{для любого } \ T\,{\in}\,(0,T_0).
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому справедливо следующее утверждение. Лемма 14. Для любого $u_0(x)\in\mathbb{C}^{(2)}(\mathbb{R}^3)$, удовлетворяющего неравенствам (6.1), (6.2), решение интегрального уравнения (5.1) принадлежит классу Шаг 2. Связь построенного решения с локальным слабым решением задачи Коши. Прежде всего заметим, что в силу результата теоремы 3 справедливо, что $u(x,t)\in\mathbb{C}([0,T];W_2)$ для любого $t\in(0,T_0)$ и поэтому имеем
$$
\begin{equation}
\rho(x,t):=|\nabla u|^q\in\mathbb{C}([0,T];\mathbb{C}_b((1+|x|^2)^q;\mathbb{R}^3)),\qquad q>\frac32.
\end{equation}
\tag{6.41}
$$
Согласно результатам лемм 10 и 11 и явного вида интегрального уравнения (5.1) справедливо следующее равенство:
$$
\begin{equation*}
\langle\mathfrak{M}_{x,t}[u](x,t),\phi(x)\rangle=\langle|\nabla u(x,t)|^q,\phi(x)\rangle\quad\text{для всех}\quad\phi(x)\in\mathscr{D}(\mathbb{R}^3),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\langle\,{\cdot}\,,{\cdot}\,\rangle$ – это скобки двойственности между $\mathscr{D}(\mathbb{R}^3)$ и $\mathscr{D}'(\mathbb{R}^3)$. Более того, нетрудно заметить, что пробная функция $\phi(x)$ может зависеть от $t\in[0,T]$ как от параметра. Поэтому, на самом деле, мы доказали, что имеет место следующее равенство:
$$
\begin{equation}
\langle\mathfrak{M}_{x,t}[u](x,t),\phi(x,t)\rangle=\langle|\nabla u(x,t)|^q,\phi(x,t)\rangle\quad\text{при}\quad t\in[0,T]
\end{equation}
\tag{6.42}
$$
и для всех $\phi(x,t)\in\mathbb{C}^{\infty,1}_{x,t}(\mathbb{R}^3\times[0,T])$, удовлетворяющих условиям из определения (4.3) слабого решения. Осталось сделать следующие наблюдения. Поскольку $|\nabla u(x,t)|^{q}\in\mathbb{C}([0,T];\mathbb{C}_b((1+|x|^2)^{q};\mathbb{R}^3))$, справедливо следующее равенство:
$$
\begin{equation}
\langle|\nabla u(x,t)|^q,\phi(x,t)\rangle=\int_{\mathbb{R}^3}|\nabla u(x,t)|^q\phi(x,t)\,dx \quad\text{для всех}\quad t\in[0,T].
\end{equation}
\tag{6.43}
$$
Кроме того, справедливы равенства
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\langle\mathfrak{M}_{x,t}[u](x,t),\phi(x,t)\rangle= \biggl\langle\Delta_{3x}\, \frac{\partial u(x,t)}{\partial t}+\sigma_1\Delta_{2x}u(x,t)+\sigma_2u_{x_3x_3}(x,t),\phi(x,t)\biggr\rangle \nonumber \\ &\qquad=-\sum_{j=1}^3\biggl\langle\frac{\partial^2u(x,t)}{\partial x_j\,\partial t},\frac{\partial\phi(x,t)}{\partial x_j}\biggr\rangle- \sigma_1\sum_{j=1}^2\biggl\langle\frac{\partial u(x,t)}{\partial x_j},\frac{\partial\phi(x,t)}{\partial x_j}\biggr\rangle \nonumber \\ &\qquad\qquad-\sigma_2\biggl\langle\frac{\partial u(x,t)}{\partial x_3},\frac{\partial\phi(x,t)}{\partial x_3}\biggr\rangle. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.44}
$$
Имеют место также следующие равенства:
$$
\begin{equation}
\begin{split} &\sum_{j=1}^3\biggl\langle\frac{\partial^2u(x,t)}{\partial x_j\, \partial t},\frac{\partial\phi(x,t)}{\partial x_j}\biggr\rangle= \int_{\mathbb{R}^3}\biggl(\nabla\,\frac{\partial u(x,t)}{\partial t},\nabla\phi(x,t)\biggr)\,dx \\ &\qquad=\int_{\mathbb{R}^3}\biggl(\frac{\partial \nabla u(x,t)}{\partial t},\nabla\phi(x,t)\biggr)\,dx \\ &\qquad=\int_{\mathbb{R}^3}\frac{\partial}{\partial t}(\nabla u(x,t),\nabla \phi(x,t))\,dx-\int_{\mathbb{R}^3}(\nabla u(x,t),\nabla\phi'_t(x,t))\,dx, \end{split}
\end{equation}
\tag{6.45}
$$
$$
\begin{equation}
\sum_{j=1}^2\biggl\langle\frac{\partial u(x,t)}{\partial x_j}, \frac{\partial\phi(x,t)}{\partial x_j}\biggr\rangle =\int_{\mathbb{R}^3}[u_{x_1}(x,t)\phi_{x_1}(x,t)+ u_{x_2}(x,t)\phi_{x_2}(x,t)]\,dx,
\end{equation}
\tag{6.46}
$$
$$
\begin{equation}
\biggl\langle\frac{\partial u(x,t)}{\partial x_3},\frac{\partial\phi(x,t)}{\partial x_3}\biggr\rangle=\int_{\mathbb{R}^3}u_{x_3}(x,t)\phi_{x_3}(x,t)\,dx\quad\text{при}\quad t\in[0,T]
\end{equation}
\tag{6.47}
$$
и для всех $\phi(x,t)\in\mathbb{C}^{\infty,1}_{x,t}(\mathbb{R}^3\times[0,T])$, удовлетворяющих условиям из определения (4.3) слабого решения. Теперь проинтегрируем обе части равенства (6.45) по $t\in[0,T]$ и получим равенство
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\int_0^T\sum_{j=1}^3\biggl\langle\frac{\partial^2u(x,t)}{\partial x_j\, \partial t},\frac{\partial\phi(x,t)}{\partial x_j}\biggr\rangle\,dt \nonumber \\ &\qquad= -\int_{\mathbb{R}^3}(\nabla u_0(x),\nabla \phi(x,0))\,dx -\int_0^T\int_{\mathbb{R}^3}(\nabla u(x,t),\nabla\phi'_t(x,t))\,dx\,dt \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.48}
$$
для пробных функций $\phi(x,t)$ из определения слабого решения (4.3). В частности, $\phi(x,T)=0$. Проинтегрируем обе части равенства (6.42) по $t\in [0,T]$. Тогда с учетом равенств (6.45)–(6.48) мы получим равенство (4.3). Таким образом, при $q>3/2$ и для произвольных начальных функций $u_0(x)$, удовлетворяющих условиям теоремы, существует по меньшей мере одно локальное слабое решение задачи Коши в смысле определения 1. Теорема 4 доказана. Замечание 1. Вопрос о единственности локального слабого решения задачи Коши при $q>3/2$ остался открытым. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{KorPanShi21} |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|