Известия Российской академии наук. Серия математическая
RUS  ENG    ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ПАКЕТ AMSBIB  
Общая информация
Последний выпуск
Скоро в журнале
Архив
Импакт-фактор
Правила для авторов
Загрузить рукопись

Поиск публикаций
Поиск ссылок

RSS
Последний выпуск
Текущие выпуски
Архивные выпуски
Что такое RSS



Изв. РАН. Сер. матем.:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
Найти






Персональный вход:
Логин:
Пароль:
Запомнить пароль
Войти
Забыли пароль?
Регистрация


Известия Российской академии наук. Серия математическая, 2021, том 85, выпуск 1, страницы 118–153
DOI: https://doi.org/10.4213/im8949
(Mi im8949)
 

Эта публикация цитируется в 11 научных статьях (всего в 11 статьях)

О критическом показателе “мгновенное разрушение” versus “локальная разрешимость” в задаче Коши для модельного уравнения соболевского типа

М. О. Корпусовa, А. А. Панинa, А. Е. Шишковb

a Физический факультет, Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
b Российский университет дружбы народов, г. Москва
Список литературы:
Аннотация: В этой работе мы рассмотрим задачу Коши для одного модельного уравнения третьего порядка в частных производных с нелинейностью вида $|\nabla u|^q$. В работе доказано, что при $q\in(1,3/2]$ локального во времени слабого решения задачи Коши в $\mathbb{R}^3$ нет для достаточно широкого класса начальных функций, в то время как при $q>3/2$ локальное слабое решение существует.
Библиография: 30 наименований.
Ключевые слова: разрушение за конечное время, нелинейные волны, мгновенное разрушение.
Финансовая поддержка Номер гранта
Российский научный фонд 18-11-00042
Министерство образования и науки Российской Федерации 5-100
Публикация подготовлена при поддержке Программы РУДН “5-100” (Корпусов, Шишков) и гранта РНФ 18-11-00042 (Панин).
Поступило в редакцию: 02.07.2019
Англоязычная версия:
Izvestiya: Mathematics, 2021, Volume 85, Issue 1, Pages 111–144
DOI: https://doi.org/10.1070/IM8949
Реферативные базы данных:
Тип публикации: Статья
УДК: 517.957
MSC: 35B44, 35G25

§ 1. Введение

Впервые явление полного разрушения (“complete blow-up”) было обнаружено для уравнения

$$ \begin{equation} -\Delta u=|x|^{-2}u^2,\quad u\geqslant 0,\qquad x\in\Omega\setminus\{0\}\subset\mathbb{R}^N, \end{equation} \tag{1.1} $$
в работе Х. Брезиса и К. Кабре [1]. Для линейного параболического уравнения с сингулярным потенциалом мгновенное разрушение (“instantaneous blow-up”) было получено в работе [2]. Для сингулярного нелинейного параболического уравнения
$$ \begin{equation} u_t-\Delta u=|x|^{-2}u^2,\quad u\geqslant 0,\qquad x\in\Omega\setminus\{0\}\subset\mathbb{R}^N,\quad t>0, \end{equation} \tag{1.2} $$
вопрос о мгновенном разрушении был рассмотрен впервые в работе Ф. Б. Вейслера [3]. Отметим, что в этих трех работах использовался метод сравнения и техника доказательства была довольно сложной. В работах С. И. Похожаева и Э. Л. Митидиери (см. монографию [4], а также библиографию к ней) оригинальным методом нелинейной емкости результаты о полном и мгновенном разрушении были получены гораздо более простым и эффективным образом и для уравнений высокого порядка.

В дальнейшем мгновенное разрушение в нелинейных параболических и гиперболических уравнениях рассматривалось в работах В. А. Галактионова и Х. Л. Васкеза [5], Дж. А. Голдстейна и И. Комбе [6], Й. Гиги и Н. Умеды [7], Е. И. Галахова [8], [9] и других авторов. При этом в некоторых работах использовался метод исследования, основанный на принципе сравнения (для параболических уравнений), а в других работах используется метод С. И. Похожаева, основанный на методе нелинейной емкости, что позволило гораздо быстрее и эффективнее получить достаточные условия отсутствия решений как для параболических уравнений, так и для гиперболических уравнений, включая уравнения высокого порядка (не соболевские).

Впервые вопрос о мгновенном разрушении в неклассических соболевских уравнениях изучался в работе [10]. В этой работе была, в частности, рассмотрена следующая задача:

$$ \begin{equation} \frac{\partial}{\partial t}(u_{xx}+u)={u}_{xx},\qquad u(x,0)=u_0(x),\quad u(0,t)=u(l,t),\quad l>0. \end{equation} \tag{1.3} $$
Как следствие теоремы 4.1 этой работы был получен результат о несуществовании ограниченного решения этой задачи на сколь угодно малом промежутке времени при условии, что $l\in(0,\pi]$. Этот результат обусловлен тем, что под знаком производной по времени находится оператор $\partial^2_x+I$. Далее такого рода результаты возникали при исследовании линейных уравнений соболевского типа следующего вида:
$$ \begin{equation*} \frac{\partial}{\partial t}(\Delta u+\lambda u)+\Delta u=0\quad\text{при}\quad\lambda>0,\quad x\in\Omega\subset\mathbb{R}^N, \end{equation*} \notag $$
в том случае, если число $\lambda$ попадает на спектр оператора $\Delta$ в ограниченной области $\Omega$ (см., обзор [11]). В частности, в этом обзоре изложен метод вырожденных полугрупп исследования линейных уравнений соболевского типа с сингулярным оператором при старшей производной. В дальнейшем эффект мгновенного разрушения для линейных и нелинейных уравнений соболевского типа не рассматривался, поскольку исследователей интересовал вопрос о достаточных условиях существования решений.

Более того, новым результатом, полученным в работе, является то, что в рассмотренных уравнениях отсутствуют сингулярные коэффициенты вида $|x|^{-\alpha}$ или $t^{-\beta}$, а начальные функции могут быть класса $\mathbb{C}_0^{\infty}(\mathbb{R}^N)$ и при этом решение отсутствует.

В рассмотренных задачах эффект мгновенного разрушения проявлялся тогда, когда в уравнении имелась сингулярность, как в уравнении (1.2), или когда, как в работе [7], в которой от начальной функции требовалось нестандартное условие роста. В уравнении

$$ \begin{equation} \frac{\partial}{\partial t}\Delta_3u+\sigma_1\Delta_2u+\sigma_2u_{zz}=|\nabla u|^q,\qquad\sigma_1>0,\quad\sigma_2>0,\quad q>1, \end{equation} \tag{1.4} $$
где
$$ \begin{equation*} \Delta_3=\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2},\qquad \Delta_2=\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}, \end{equation*} \notag $$
явных сингулярностей нет, а от начальных функций мы не требуем никаких специфических условий роста. Отметим, что, как будет доказано ниже, при $1\,{<}\,q\leqslant 3/2$ локальных во времени слабых решений задачи Коши нет, в то время как при $q>3/2$ локальные слабые решения уже существуют. По всей видимости это связано с тем, что при $1<q\leqslant 3/2$ первое слагаемое оказывается подчиненным оставшимся слагаемым и поэтому с точки зрения рассматриваемого анализа решение уравнения (1.4) по своим свойствам аналогично решению следующего стационарного уравнения:
$$ \begin{equation} \sigma_1\Delta_2u+\sigma_2u_{zz}=|\nabla u|^q,\qquad\sigma_1>0,\quad\sigma_2>0,\quad q>1,\qquad (x,y,z)\in\mathbb{R}^3, \end{equation} \tag{1.5} $$
для которого число $q_{kr}=3/2$ является критическим показателем [4] таким, что при $1<q\leqslant q_{kr}$ слабым решением уравнения (1.5) является только произвольная постоянная, а при $q>q_{kr}$ уже существуют нетривиальные решения в $\mathbb{R}^3$. Отметим, что при добавлении к правой части уравнения (1.4) слагаемого
$$ \begin{equation*} -\frac{\partial u}{\partial t} \end{equation*} \notag $$
резко меняет ситуацию, поскольку тогда при $1<q\leqslant 3/2$ слагаемое
$$ \begin{equation*} \frac{\partial}{\partial t}\Delta_3 u \end{equation*} \notag $$
опять является подчиненным оставшимся слагаемым, но теперь решение задачи Коши для уравнения (1.4) близко ко свойствам задачи Коши для уравнения
$$ \begin{equation} -\frac{\partial u}{\partial t}+\sigma_1\Delta_2u+\sigma_2u_{zz}=|\nabla u|^q,\qquad\sigma_1>0,\quad\sigma_2>0,\quad q>1,\qquad (x,y,z)\in\mathbb{R}^3, \end{equation} \tag{1.6} $$
и во всяком случае решение задачи Коши для уравнения
$$ \begin{equation} \frac{\partial}{\partial t}(\Delta_3u-u)+\sigma_1\Delta_2u+\sigma_2u_{zz}=|\nabla u|^q,\qquad\sigma_1>0,\quad\sigma_2>0,\quad q>1, \end{equation} \tag{1.7} $$
существует хотя бы локально во времени.

Данная работа является продолжением цикла работ [12]–[14], где рассматривались либо изотропные по пространственным переменным уравнения либо уравнение со степенной нелинейностью следующего вида:

$$ \begin{equation} \frac{\partial}{\partial t}\Delta_3u+\sigma_1\Delta_2u+\sigma_2u_{zz}=|u|^q, \qquad\sigma_1>0,\quad\sigma_2>0,\quad q>1. \end{equation} \tag{1.8} $$
В этой работе мы рассмотрим задачу Коши для уравнения (1.4) и получим результат о том, что при $1<q\leqslant 3/2$ локальных слабых решений задачи Коши в широком классе начальных функций нет, а при $q>3/2$ локальные слабые решения уже существуют.

Уравнения (1.6) и (1.7) относятся к классу нелинейных уравнений типа С. Л. Соболева. Отметим, что исследованию линейных и нелинейных уравнений соболевского типа посвящено много работ. Так, в работах Г. А. Свиридюка, С. А. Загребиной, А. А. Замышляевой [11], [15], [16] были рассмотрены в общем виде и в виде примеров начально-краевые задачи для уравнений соболевского типа.

Отметим также, что существует и численный подход к исследованию явления разрушения решения, предложенный в работах [17]–[19] и успешно примененный нами для различных уравнений в [20]–[25] и других работах.

§ 2. Вывод уравнения

В этой работе мы продолжим исследовать нелинейные процессы в полупроводнике во внешнем постоянном магнитном поле. Выберем декартову прямоугольную декартову систему координат $Oxyz$ таким образом, чтобы вектор индукции внешнего магнитного поля $\mathbf{B}_0$ был направлен вдоль оси $Oz$. Как известно из классической работы [26], тензор электропроводности $\{\sigma_{\alpha\beta}\}$, $\alpha,\beta=x,y,z$, имеет следующий вид:

$$ \begin{equation} \sigma_{\alpha\beta}=\begin{pmatrix} \sigma_{xx} & \sigma_{xy} & 0 \\ -\sigma_{xy} & \sigma_{yy} & 0 \\ 0 & 0 & \sigma_{zz} \end{pmatrix},\qquad \sigma_{xx}=\sigma_{yy}>0,\quad\sigma_{zz}>0,\quad\sigma_{xy}>0, \end{equation} \tag{2.1} $$
причем $\sigma_{xx}\ne\sigma_{zz}$ в случае ненулевого внешнего магнитного поля. Рассмотрим теперь электрическую часть системы уравнений Максвелла в квазистационарном приближении:
$$ \begin{equation} \operatorname{div}\mathbf{D}=4\pi e n,\qquad \mathbf{D}=\varepsilon\mathbf{E}, \qquad\operatorname{rot}\mathbf{E}=\mathbf{0}, \end{equation} \tag{2.2} $$
где $\mathbf{D}$ – это вектор индукции электрического поля, а $\mathbf{E}$ – это вектор напряженности электрического поля. В случае поверхностно-односвязной области $\Omega\subset\mathbb{R}^3$ существует потенциал $\phi$ электрического поля:
$$ \begin{equation} \mathbf{E}=-\nabla\phi,\qquad \Delta_3\phi=-\frac{4\pi e}{\varepsilon}n. \end{equation} \tag{2.3} $$
Кроме того, справедливы следующие уравнения:
$$ \begin{equation} \frac{\partial n}{\partial t}+\operatorname{div}\mathbf{J}=0,\qquad {\mathbf{J}}_i=\sum_{j=1}^3\sigma_{ij}\mathbf{E}_j-\gamma\, \frac{\partial T}{\partial x_i},\quad\gamma>0, \end{equation} \tag{2.4} $$
где $\mathbf{J}$ – это вектор плотности тока свободных зарядов, а $n$ – это плотность свободных зарядов. Здесь мы учли тепловой разогрев полупроводника, а $T$ – его температура. Воспользуемся следующим уравнением для изменения температуры в пространстве и во времени:
$$ \begin{equation} \epsilon\, \frac{\partial T}{\partial t}=\Delta_3 T+Q(|\mathbf{E}|), \end{equation} \tag{2.5} $$
где $Q(|\mathbf{E}|)$ – это функция, описывающая тепловую накачку в зависимости от модуля вектора напряженности электрического поля $\mathbf{E}$, а параметр $\epsilon>0$ малый. Поэтому вместо уравнения (2.5) мы будем рассматривать следующее уравнение:
$$ \begin{equation} \Delta_3 T+Q(|\mathbf{E}|)=0. \end{equation} \tag{2.6} $$
Кроме того, мы воспользуемся следующей модельной зависимостью:
$$ \begin{equation} Q(|\mathbf{E}|)=q_0|\mathbf{E}|^q,\qquad q_0>0,\quad q>1. \end{equation} \tag{2.7} $$

Из системы уравнений (2.3), (2.4) и (2.6), (2.7) вытекает следующее неклассическое уравнение относительно потенциала $\phi$ электрического поля:

$$ \begin{equation} \frac{\partial}{\partial t}\Delta_3\phi+\frac{4\pi e\sigma_{xx}}{\varepsilon}\Delta_2\phi+ \frac{4\pi e\sigma_{zz}}{\varepsilon}\phi_{zz}=\frac{4\pi e\gamma q_0}{\varepsilon}|\nabla \phi|^q, \end{equation} \tag{2.8} $$
где мы использовали следующие обозначения:
$$ \begin{equation*} \Delta_3\stackrel{\mathrm{def}}=\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2},\qquad \Delta_2\stackrel{\mathrm{def}}=\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}. \end{equation*} \notag $$
Можно привести уравнение (2.8) к виду
$$ \begin{equation} \frac{\partial}{\partial t}\Delta_3u+\sigma_1\Delta_2u+ \sigma_2u_{zz}=|\nabla u|^q, \qquad\sigma_1>0,\quad\sigma_2>0,\quad q>1. \end{equation} \tag{2.9} $$
Заметим, что при ненулевом внешнем магнитном поле $\sigma_1\ne \sigma_2$.

§ 3. Обозначения

Ниже мы будем постоянно пользоваться весовыми пространствами функций $\mathbb{C}([0,T];W_j)$ при $j=1,2$. В этом параграфе мы привели их определение.

Пусть $W_1$ – банахово пространство всех функций из $\mathbb{C}^{(1)}_b(\mathbb{R}^3)$, для которых конечна норма

$$ \begin{equation} \| v\|_{W_1}:=\sup_{x\in\mathbb{R}^3}|v(x)|+ \sum_{j=1}^3\sup_{x\in\mathbb{R}^3}(1+|x|^2)^{1/2}\biggl|\frac{\partial v(x)}{\partial x_j}\biggr|. \end{equation} \tag{3.1} $$
Под классом $\mathbb{C}([0,T];W_1)$ мы понимаем функции $v(t)\in W_1$ при $t\in[0,T]$, для каждой из которых
$$ \begin{equation} \| v(t_1)-v(t_0)\|_{W_1}\to+0\quad\text{для любых}\quad t_0,t_1\in[0,T]\quad\text{при}\quad t_1\to t_0. \end{equation} \tag{3.2} $$
Класс функций $\mathbb{C}([0,T];W_1)$ является банаховым пространством относительно нормы
$$ \begin{equation*} \| v\|_{T}=\sup_{t\in[0,T],\, x\in\mathbb{R}^3}|v(x,t)|+ \sum_{j=1}^3\sup_{t\in[0,T],\, x\in\mathbb{R}^3}(1+|x|^2)^{1/2} \biggl|\frac{\partial v(x,t)}{\partial x_j}\biggr|. \end{equation*} \notag $$
Аналогичным образом вводится банахово пространство
$$ \begin{equation*} \mathbb{C}([0,T];W_2) \end{equation*} \notag $$
относительно нормы
$$ \begin{equation*} \| u\|_{1,T}=\sup_{x\in\mathbb{R}^3,\, t\in[0,T]}(1+|x|^2)^{1/2}|u(x,t)|+ \sum_{j=1}^3\sup_{x\in\mathbb{R}^3,\, t\in[0,T]}(1+|x|^2) \biggl|\frac{\partial u(x,t)}{\partial x_j}\biggr|, \end{equation*} \notag $$
где $W_2\subset\mathbb{C}^{(1)}_b(\mathbb{R}^3)$ – банахово пространство функций, для которых конечна норма
$$ \begin{equation*} \| u\|_{W_2}:=\sup_{x\in\mathbb{R}^3}(1+|x|^2)^{1/2}|u(x)|+ \sum_{j=1}^3\sup_{x\in\mathbb{R}^3}(1+|x|^2)\biggl|\frac{\partial u(x)}{\partial x_j}\biggr|. \end{equation*} \notag $$
Под классом функций $\mathbb{C}^{(1)}([0,T];W_j)$ при $j\,{=}\,1,2$ мы понимаем банахово пространство дифференцируемых функций $u(t)\colon [0,T]\to W_j$ таких, что $u(t),\,u'(t)\in\mathbb{C}([0,T];W_j)$.

Посредством $\mathbb{C}_b((1+|x|^2)^{\alpha/2};\mathbb{R}^3)$ мы обозначаем все функции $u(x)\in\mathbb{C}_b(\mathbb{R}^3)$, для которых выполнено неравенство

$$ \begin{equation*} |u(x)|\leqslant\frac{A}{(1+|x|^2)^{\alpha/2}},\qquad\alpha>0, \end{equation*} \notag $$
с некоторой постоянной $A>0$, своей для каждой функции $u(x)$.

В дальнейшем мы будем использовать следующее обозначение:

$$ \begin{equation*} O(x,R):=\{y\in\mathbb{R}^3\colon |y-x|<R\}. \end{equation*} \notag $$

§ 4. Мгновенное разрушение слабого решения задачи Коши

Дадим определение слабого решения задачи Коши, которая в классической постановке имеет следующий вид:

$$ \begin{equation} \mathfrak{M}_{x,t}[u](x,t)\stackrel{\mathrm{def}}=\Delta_3\,\frac{\partial u}{\partial t}+ \sigma_1\Delta_2u+\sigma_2u_{x_3x_3}=|\nabla u|^q,\qquad q>1,\quad \sigma_1,\sigma_2>0, \end{equation} \tag{4.1} $$
$$ \begin{equation} u(x,0)=u_0(x). \end{equation} \tag{4.2} $$

Определение 1. Функция $u(x,t)\in L^{q}(0,T;W^{1,q}_{\mathrm{loc}}(\mathbb{R}^3))$, удовлетворяющая равенству

$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, &\int_0^T\int_{\mathbb{R}^3}\bigl[(\nabla u(x,t),\nabla\phi'(x,t)) -\sigma_1u_{x_1}(x,t)\phi_{x_1}(x,t) \nonumber \\ &\qquad-\sigma_1u_{x_2}(x,t)\phi_{x_2}(x,t)-\sigma_2u_{x_3}(x,t)\phi_{x_3}(x,t)\bigr]\,dx\,dt \nonumber \\ &\qquad+\int_{\mathbb{R}^3}(\nabla u_0(x),\nabla\phi(x,0))\,dx =\int_0^T\int_{\mathbb{R}^3}|\nabla u(x,t)|^q\phi(x,t)\,dx\,dt \end{aligned} \end{equation} \tag{4.3} $$
для любой функции $\phi(x,t)\in\mathbb{C}^{\infty,1}_{x,t}(\mathbb{R}^3\times[0,T])$, называется локальным слабым решением задачи Коши (4.1) и (4.2), где
$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, \phi(x,T)\,{=}\,0\quad\text{для всех}\quad x\in\mathbb{R}^3,\qquad\operatorname{supp}_x\phi(x,t)\subset O(0,R)\quad\text{для всех}\quad t\in[0,T], \\ R=R(\phi)>0,\qquad u_0(x)\in W_{\mathrm{loc}}^{1,q}(\mathbb{R}^3). \end{gathered} \end{equation*} \notag $$

Дадим определение класса $U$ начальных функций $u_0(x)$, в котором мы будем доказывать мгновенное разрушение локального слабого решения задачи Коши в смысле определения 1.

Определение 2. Функция $u_0(x)\in U$, если $u_0(x)\in W^{1,q}(\mathbb{R}^3)$ и найдутся такие $x_0\in\mathbb{R}^3$ и $R_0>0$, что $u_0(x)\in H^2(O(x_0,R_0))$ и

$$ \begin{equation*} \mu\{x\in O(x_0,R_0)\colon \Delta_3 u_0(x)\ne 0\}>0, \end{equation*} \notag $$
где $\mu$ – это стандартная мера Лебега в $\mathbb{R}^3$.

Справедлива следующая теорема.

Теорема 1. Если $u_0(x)\in U$ и $q\in(1,3/2]$, то не существует локального слабого решения задачи Коши ни для какого $T>0$, т. е. имеет место мгновенное разрушение локального слабого решения задачи Коши.

Доказательство. Доказательство этого утверждения основано на применении метода нелинейной емкости С. И. Похожаева и Э. Митидиери [4] и специальном выборе пробной функции $\phi(x,t)$ в равенстве (4.3), фигурирующем в определении 1. Именно, возьмем
$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, \phi(x,t)=\phi_T(t)\phi_R(x),\qquad\phi_T(t)=\biggl(1-\frac{t}{T}\biggr)^{\lambda}, \quad\lambda>q', \\ \phi_R(x)=\phi_0\biggl(\frac{|x|^2}{R^2}\biggr),\quad \phi_0(s)=\begin{cases} 1,&\text{если }s\in[0,1/2], \\ 0,&\text{если }s\geqslant 1, \end{cases} \quad\phi_0(s)\in\mathbb{C}^{\infty}_0[0,+\infty), \end{gathered} \end{equation*} \notag $$
где $\phi_0(s)$ – это монотонно убывающая функция. Справедливы следующие оценки, основанные на применении неравенства Гёльдера с соответствующими показателями:
$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, &\biggl|\int_0^T\int_{\mathbb{R}^3}(\nabla u(x,t),\nabla\phi'(x,t))\,dx\,dt\biggr| \nonumber \\ &\qquad\leqslant \frac{\lambda}{T}\int_0^T\int_{\mathbb{R}^3} \biggl(1-\frac{t}{T}\biggr)^{\lambda-1} |\nabla u(x,t)||\nabla\phi_R(x)|\,dx\,dt \nonumber \\ &\qquad= \frac{\lambda}{T}\int_0^T\int_{\mathbb{R}^3} \biggl(1-\frac{t}{T}\biggr)^{{\lambda}/{q}} |\nabla u(x,t)|\phi^{1/q}_R(x) \biggl(1-\frac{t}{T}\biggr)^{{\lambda}/{q'}-1} \frac{|\nabla\phi_R(x)|}{\phi^{1/q}_R(x)}\,dx\,dt \nonumber \\ &\qquad\leqslant \frac{\lambda}{T}c_1(R,T)I^{1/q}_R, \end{aligned} \end{equation} \tag{4.4} $$
где
$$ \begin{equation} I_R:=\int_0^T\int_{\mathbb{R}^3}\phi_T(t)\phi_R(x)|\nabla u|^q\,dx\,dt, \end{equation} \tag{4.5} $$
$$ \begin{equation} \begin{split} c_1(R,T) &:=\biggl(\int_0^T\int_{\mathbb{R}^3} \biggl(1-\frac{t}{T}\biggr)^{\lambda-q'} \frac{|\nabla\phi_R(x)|^{q'}}{\phi^{q'/q}_R(x)}\,dx\,dt\biggr)^{1/q'} \\ &=\biggl(\frac{T}{\lambda-q'+1}\biggr)^{1/q'}c_2 R^{(3-q')/q'},\qquad c_3>0, \end{split} \end{equation} \tag{4.6} $$
$$ \begin{equation} \biggl|\int_0^T\int_{\mathbb{R}^3}u_{x_j}(x,t)\phi_{x_j}(x,t)\,dx\,dt\biggr|\leqslant \int_0^T\int_{\mathbb{R}^3}|\nabla u(x,t)||\nabla\phi(x,t)|\,dx\,dt\leqslant I_R^{1/q}c_3(R,T), \end{equation} \tag{4.7} $$
где
$$ \begin{equation} c_3(R,T):=\biggl(\int_0^T\int_{\mathbb{R}^3} \biggl(1-\frac{t}{T}\biggr)^{\lambda} \frac{|\nabla\phi_R(x)|^{q'}}{\phi^{q'/q}_R(x)}\,dx\,dt\biggr)^{1/q'}= \biggl(\frac{T}{\lambda+1}\biggr)^{1/q'}c_2 R^{(3-q')/q'}, \end{equation} \tag{4.8} $$
$$ \begin{equation} \begin{split} &\biggl|\int_{\mathbb{R}^3}(\nabla u_0(x),\nabla\phi(x,0))\,dx\biggr|\leqslant \int_{\mathbb{R}^3}|\nabla u_0(x)|\, |\nabla\phi_R(x)|\,dx \\ &\qquad\leqslant \||\nabla u_0|\|_{L^q(\mathbb{R}^3)}\biggl(\int_{\mathbb{R}^3}|\nabla \phi_R(x)|^{q'}\,dx\biggr)^{1/q'}=\||\nabla u_0|\|_{L^q(\mathbb{R}^3)}c_4R^{(3-q')/q'}. \end{split} \end{equation} \tag{4.9} $$
Теперь применим оценки (4.4)(4.9) к равенству (4.3) и получим следующее неравенство:
$$ \begin{equation} \frac{\lambda}{T}c_1(R,T)I^{1/q}_R+(2\sigma_1+\sigma_2)c_3(R,T)I_R^{1/q}+ \||\nabla u_0|\|_{L^q(\mathbb{R}^3)}c_4R^{(3-q')/q'}\geqslant I_R. \end{equation} \tag{4.10} $$
Применяя неравенства Гёльдера с параметром $\varepsilon=1/4$
$$ \begin{equation*} ab\leqslant\frac{1}{4}a^2+b^2, \end{equation*} \notag $$
из (4.10) получаем неравенство
$$ \begin{equation} 2\frac{\lambda^2}{T^2}c^2_1(R,T)+2(2\sigma_1+\sigma_2)^2c^2_3(R,T)+ 2\||\nabla u_0|\|_{L^q(\mathbb{R}^3)}c_4R^{(3-q')/q'}\geqslant I_R. \end{equation} \tag{4.11} $$
Положим теперь $R=N\in\mathbb{N}$ и рассмотрим последовательность функций
$$ \begin{equation} H_N(x,t):=|\nabla u(x,t)|^q\phi_N(x)\phi_T(t),\qquad H_{N+1}(x,t)\geqslant H_N(x,t), \end{equation} \tag{4.12} $$
для почти всех $(x,t)\in\mathbb{R}^3\times[0,T]$. Далее требуем выполнения неравенства
$$ \begin{equation} 3-q'\leqslant 0\quad\Longrightarrow\quad 1<q\leqslant\frac{3}{2}. \end{equation} \tag{4.13} $$
Тогда из (4.6)(4.9) вытекает, что правая часть неравенства (4.11) ограничена некоторой константой $K>0$ и тогда
$$ \begin{equation} \int_0^T\int_{\mathbb{R}^3}H_N(x,t)\,dx\,dt\leqslant K<+\infty. \end{equation} \tag{4.14} $$
И поэтому в силу теоремы Беппо Леви приходим к выводу о том, что
$$ \begin{equation} \lim_{N\to+\infty}\int_0^T \int_{\mathbb{R}^3}H_N(x,t)\,dx\,dt=\int_0^T \int_{\mathbb{R}^3}|\nabla u(x,t)|^q\,dx\,dt\leqslant K<+\infty. \end{equation} \tag{4.15} $$
Рассмотрим отдельно случаи $1<q<3/2$ и $q=3/2$. В случае $1<q<3/2$ с помощью формулы (4.11) и оценок (4.6)(4.9) приходим к выводу о том, что
$$ \begin{equation} I_N:=\int_0^T\int_{\mathbb{R}^3}\phi_T(t)\phi_N(x)|\nabla u|^q\,dx\,dt\to+0\quad\text{при}\quad N\to+\infty. \end{equation} \tag{4.16} $$
Случай $q=3/2$ является критическим и рассматривается как все критические случаи из работы [4].

Таким образом, при $q\in(1,3/2]$ приходим к следующему равенству:

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, &\int_0^T\int_{\mathbb{R}^3}|\nabla u(x,t)|^q\biggl(1-\frac{t}{T}\biggr)^{\lambda}\,dx\,dt=0 \\ &\qquad\Longrightarrow\quad u(x,t)=F(t)\quad\text{для почти всех}\quad (x,t)\in\mathbb{R}^3\times[0,T]. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
После подстановки полученного равенства $u(x,t)=F(t)$ в равенство (4.3) мы получим следующее равенство:
$$ \begin{equation*} \int_{\mathbb{R}^3}(\nabla u_0(x),\nabla\phi(x,0))\,dx=0 \end{equation*} \notag $$
для всех функций $\phi(x,t)$, удовлетворяющих условиям определения 1. Поэтому для произвольных функций $\phi(x,t)$ вида
$$ \begin{equation*} \phi(x,t)=\phi_1(x)\biggl(1-\frac{t}{T}\biggr),\qquad \phi_1(x)\in\mathbb{C}_0^{\infty}(\mathbb{R}^3),\quad \operatorname{supp}\phi_1(x)\subset O(x_0,R_0), \end{equation*} \notag $$
в классе $u_0(x)\in U$ после интегрирования по частям получим следующее равенство:
$$ \begin{equation*} \int_{O(x_0,R_0)}\Delta u_0(x)\phi_1(x)\,dx=0\quad\text{для всех}\quad \phi_1(x)\in\mathbb{C}^{\infty}_0(O(x_0,R_0)). \end{equation*} \notag $$
В силу основной леммы вариационного исчисления приходим к выводу о том, что
$$ \begin{equation*} \Delta u_0(x)=0\quad\text{для почти всех}\quad x\in O(x_0,R_0), \end{equation*} \notag $$
что противоречит определению класса $U\ni u_0(x)$. Теорема 1 доказана.

§ 5. Существование непродолжаемого решения вспомогательного интегрального уравнения при $q>3/2$

В этом параграфе мы сначала рассмотрим вспомогательное интегральное уравнение:

$$ \begin{equation} u(x,t)=\int_{\mathbb{R}^3}\mathscr{E}(x-y,t)\Delta_3u_0(y)\,dy+ \int_0^t\int_{\mathbb{R}^3}\mathscr{E}(x-y,t-\tau)|\nabla u|^q\,dy\,d\tau, \end{equation} \tag{5.1} $$
в котором функция
$$ \begin{equation} \mathscr{E}(x,t)=-\frac{\theta(t)}{4\pi|x|} \exp\biggl(-\frac{\sigma_1+\beta(x)}{2}t\biggr) I_0\biggl(\frac{\sigma_1-\beta(x)}{2}t\biggr) \end{equation} \tag{5.2} $$
является фундаментальным решением оператора
$$ \begin{equation} \mathfrak{M}_{x,t}[w](x,t):=\Delta_{3x}\, \frac{\partial w}{\partial t}+\sigma_1\Delta_{2x}w(x,t) +\sigma_{2}w_{x_3x_3}, \end{equation} \tag{5.3} $$
где
$$ \begin{equation*} \beta(x)=\frac{\sigma_2(x_1^2+x_2^2)+\sigma_1 x_3^2}{x_1^2+x_2^2+x_3^2},\qquad \sigma_j\geqslant 0,\quad j=1,2. \end{equation*} \notag $$
Фундаментальное решение $\mathscr{E}(x,t)$ обладает набором свойств, которые мы собрали в следующей лемме.

Лемма 1. Справедливы следующие свойства:

1) при $x\ne 0$

$$ \begin{equation} \mathscr{E}(x,0)=-\frac{1}{4\pi|x|}; \end{equation} \tag{5.4} $$

2) $\mathscr{E}(x,t)\in\mathbb{C}^{\infty}((\mathbb{R}^3\setminus\{0\})\times[0,+\infty))$;

3) при $x\in\mathbb{R}^3\setminus\{0\}$ и $t\in[0,T]$ справедливы оценки

$$ \begin{equation} \biggl|\frac{\partial^k\mathscr{E}(x,t)}{\partial t^k}\biggr|\leqslant\frac{A_1(T)}{|x|},\qquad \biggl|\frac{\partial^{k+1}\mathscr{E}(x,t)}{\partial t^k\, \partial x_j}\biggr|\leqslant\frac{A_2(T)}{|x|^2},\quad j=1,2,3, \end{equation} \tag{5.5} $$
$$ \begin{equation} \biggl|\frac{\partial^{k+2}\mathscr{E}(x,t)}{\partial t^k\, \partial x_j\, \partial x_l}\biggr|\leqslant\frac{A_3(T)}{|x|^3},\qquad j,l=1,2,3,\quad k\in\mathbb{N}, \end{equation} \tag{5.6} $$
где постоянные $0<A_n(T)<+\infty$ при $n=1,2,3$.

Доказательство основано на свойствах функции Инфельда $I_0(x)$ и явного вида (5.2) функции $\mathscr{E}(x,t)$.

Нам удобно вместо функции $u(x,t)$ в интегральном уравнении (5.1) к новой функции

$$ \begin{equation} v(x,t)=(1+|x|^2)^{1/2}u(x,t) \end{equation} \tag{5.7} $$
и с учетом равенства в классе дифференцируемых функций
$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, |\nabla u|^q &=\biggl|\nabla \frac{v(x,t)}{(1+|x|^2)^{1/2}}\biggr|^q= \biggl|\frac{1}{(1+|x|^2)^{1/2}}\nabla v-\frac{x}{(1+|x|^2)^{3/2}}v(x,t)\biggr|^q \nonumber \\ &=\frac{1}{(1+|x|^2)^{q}}\biggl|(1+|x|^2)^{1/2}\nabla v-\frac{x}{(1+|x|^2)^{1/2}}v\biggr|^q \end{aligned} \end{equation} \tag{5.8} $$
получить следующее интегральное уравнение:
$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, &v(x,t)=\int_{\mathbb{R}^3}G_{\alpha}(x,y,t)(1+|y|^2)^{\alpha}\Delta_3u_0(y)\,dy \nonumber \\ &\quad+ \int_0^t\int_{\mathbb{R}^3}G_q(x,y,t-\tau)\biggl|(1+|y|^2)^{1/2}\nabla v(y,\tau)-\frac{y}{(1+|y|^2)^{1/2}}v\biggr|^q\,dy\,d\tau, \end{aligned} \end{equation} \tag{5.9} $$
где
$$ \begin{equation} G_{\gamma}(x,y,t):=\frac{(1+|x|^2)^{1/2}}{(1+|y|^2)^{\gamma}}\mathscr{E}(x-y,t), \qquad\gamma>0. \end{equation} \tag{5.10} $$
Теорему о непродолжаемом решении интегрального уравнения (5.9) мы будем доказывать в банаховом пространстве $\mathbb{C}([0,T];W_1)$, которое нами определено в § 3, относительно нормы $\|\,{\cdot}\,\|_T$:
$$ \begin{equation} \| v\|_T:=\sup_{t\in[0,T],\, x\in\mathbb{R}^3}|v(x,t)| +\sum_{j=1}^3\sup_{t\in[0,T],\, x\in\mathbb{R}^3}(1+|x|^2)^{1/2}\biggl|\frac{\partial v(x,t)}{\partial x_j}\biggr|. \end{equation} \tag{5.11} $$

Справедлива следующая теорема.

Теорема 2. Пусть $q>3/2$. Для любой функции $u_0(x)\in\mathbb{C}^2(\mathbb{R}^3)$, удовлетворяющей условию

$$ \begin{equation} |\Delta_3u_0(x)|\leqslant\frac{A_4}{(1+|x|^2)^{\alpha}},\qquad\alpha>\frac32, \end{equation} \tag{5.12} $$
найдется такое $T_0=T_0(u_0)>0$, что для любого $T\in(0,T_0)$ существует единственное решение интегрального уравнения (5.9) класса
$$ \begin{equation} v(x,t)\in\mathbb{C}([0,T];W_1), \end{equation} \tag{5.13} $$
причем либо $T_0=+\infty$, либо $T_0<+\infty$ и в последнем случае имеет место предельное свойство
$$ \begin{equation} \lim_{T\uparrow T_0}\| v\|_T=+\infty. \end{equation} \tag{5.14} $$

Доказательство. Справедлива следующая вспомогательная лемма о свойствах функции $G_{\gamma}(x,y,t)$, определенной равенством (5.10).

Лемма 2. Пусть $\gamma>3/2$, тогда при $t\in[0,T]$ справедливы оценки

$$ \begin{equation} \sup_{(x,t)\in\mathbb{R}^3\times(0,+\infty)}\int_{\mathbb{R}^3} \biggl|\frac{\partial^kG_{\gamma}(x,y,t)}{\partial t^k}\biggr|\,dy \nonumber \end{equation} \notag $$
$$ \begin{equation} \ \leqslant A_1(T)\sup_{(x,t)\in\mathbb{R}^3\times(0,+\infty)}\int_{\mathbb{R}^3} \frac{(1+|x|^2)^{1/2}}{(1+|y|^2)^{\gamma}|x-y|}\,dy\leqslant B_1(T)<+\infty, \end{equation} \tag{5.15} $$
$$ \begin{equation} \sup_{(x,t)\in\mathbb{R}^3\times(0,+\infty)}(1+|x|^2)^{1/2} \int_{\mathbb{R}^3}\biggl|\frac{\partial^{k+1} G_{\gamma}(x,y,t)}{\partial x_j\, \partial t^k}\biggr|\,dy \nonumber \end{equation} \notag $$
$$ \begin{equation} \ \leqslant A_1(T)\sup_{(x,t)\in\mathbb{R}^3\times(0,+\infty)}\int_{\mathbb{R}^3} \frac{(1+|x|^2)^{1/2}}{(1+|y|^2)^{\gamma}|x-y|}\,dy \nonumber \end{equation} \notag $$
$$ \begin{equation} \ \ +A_2(T)\sup_{(x,t)\in\mathbb{R}^3\times(0,+\infty)}\int_{\mathbb{R}^3} \frac{1\,{+}\,|x|^2}{(1\,{+}\,|y|^2)^{\gamma}|x-y|^2}\,dy\,{\leqslant}\, B_2(T)\,{<}\,+\infty,\qquad j\,{=}\,1,2,3, \end{equation} \tag{5.16} $$
при $k=0,1,2$.

Доказательство. Заметим, что при $x\ne y$ и $t\geqslant 0$ справедливо равенство
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, \frac{\partial^{k+1} G_{\gamma}(x,y,t)}{\partial x_j\partial t^k} &=\frac{x_j}{(1+|x|^2)^{1/2}}\,\frac{1}{(1+|y|^2)^{\gamma}}\, \frac{\partial^k\mathscr{E}(x-y,t)}{\partial t^k} \\ &\qquad+\frac{(1+|x|^2)^{1/2}}{(1+|y|^2)^{\gamma}}\, \frac{\partial^{k+1}\mathscr{E}(x-y,t)}{\partial x_j\, \partial t^k},\qquad j=1,2,3. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Воспользуемся оценками (5.5) для фундаментального решения $\mathscr{E}(x,t)$.

Шаг 1. Оценка интеграла (5.15). Переходя к сферической системе координат получим следующее выражение:

$$ \begin{equation*} I:=\int_{\mathbb{R}^3}dy\,\frac{1}{|y|(1+|x-y|^2)^{\gamma}} =2\pi\int_0^{+\infty}dr\, \int_0^{\pi}d\theta\,\frac{r\sin\theta}{(1+|x|^2+r^2-2|x|r\cos\theta)^{\gamma}}. \end{equation*} \notag $$
Интегрируя по переменной $\theta\in(0,\pi)$, получим равенство
$$ \begin{equation*} I=\frac{2\pi}{\gamma-1}\frac{1}{|x|}\int_0^{+\infty}dr\, \biggl[\frac{1}{(1+(r-|x|)^2)^{\gamma-1}}-\frac{1}{(1+(r+|x|)^2)^{\gamma-1}}\biggr]=: \frac{1}{|x|}(I_1+I_2). \end{equation*} \notag $$

Пусть $|x|>1$. Тогда при $\gamma>3/2$ справедливы оценки

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, I_1&=\frac{2\pi}{\gamma-1} \int_0^{+\infty}dr\,\frac{1}{(1+(r-|x|)^2)^{\gamma-1}}=\frac{2\pi}{\gamma-1} \int_{-|x|}^{+\infty}dz\,\frac{1}{(1+z^2)^{\gamma-1}}<+\infty, \\ I_2&=\frac{2\pi}{\gamma-1} \int_0^{+\infty}dr\,\frac{1}{(1+(r+|x|)^2)^{\gamma-1}}\leqslant \frac{2\pi}{\gamma-1}\int_0^{+\infty}dr\, \frac{1}{(1+r^2)^{\gamma-1}}<+\infty. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$

Пусть $|x|\leqslant 1$. Тогда с помощью замен переменных выражение для $I$ приводим к виду

$$ \begin{equation*} I=\frac{2\pi}{\gamma-1}\frac{1}{|x|} \int_{-|x|}^{|x|}dz\,\frac{1}{(1+z^2)^{\gamma-1}} \leqslant \frac{2\pi}{\gamma-1}\frac{1}{|x|}2|x|\leqslant \frac{4\pi}{\gamma-1}. \end{equation*} \notag $$

Шаг 2. Оценка интеграла (5.16). Фактически осталось оценить следующий интеграл:

$$ \begin{equation*} I=\int_{\mathbb{R}^3}\frac{1}{|x-y|^2}\frac{1}{(1+|y|^2)^{\gamma}}\,dy \quad\text{при}\quad \gamma>\frac{3}{2}. \end{equation*} \notag $$
Сначала рассмотрим случай $|x|>1$. Перейдем к сферической системе координат с осью $Oz$, совпадающей с осью $Ox$. Тогда справедливо следующее равенство:
$$ \begin{equation} I=2\pi\int_0^{+\infty}dr\int_0^{\pi}d\theta\, \frac{r^2\sin\theta}{(1+r^2)^{\gamma}}\, \frac{1}{|x|^2+r^2-2|x|r\cos\theta}. \end{equation} \tag{5.17} $$
Пусть
$$ \begin{equation*} a=|x|^2+r^2,\qquad b=2|x|r. \end{equation*} \notag $$
Отдельно посчитаем
$$ \begin{equation*} \int_0^{\pi}d\theta\, \frac{\sin\theta}{a-b\cos\theta}= -\frac{1}{b}\ln\biggl(\frac{a-b}{a+b}\biggr)= -\frac{1}{2|x|r}\ln\biggl(\frac{|x|-r}{|x|+r}\biggr)^2. \end{equation*} \notag $$
Поэтому
$$ \begin{equation*} I=-\frac{\pi}{|x|}\int_0^{+\infty} \frac{r}{(1+r^2)^{\gamma}} \ln\biggl(\frac{|x|-r}{|x|+r}\biggr)^2\,dr. \end{equation*} \notag $$
Пусть $\varepsilon\in(0,1)$. Тогда
$$ \begin{equation} I=I_1+I_2+I_3, \end{equation} \tag{5.18} $$
где
$$ \begin{equation} I_1 =-\frac{\pi}{|x|}\int_0^{\varepsilon|x|} \frac{r}{(1+r^2)^{\gamma}}\ln\biggl(\frac{|x|-r}{|x|+r}\biggr)^2\,dr, \end{equation} \tag{5.19} $$
$$ \begin{equation} I_2 =-\frac{\pi}{|x|}\int_{\varepsilon|x|}^{|x|/\varepsilon} \frac{r}{(1+r^2)^{\gamma}}\ln\biggl(\frac{|x|-r}{|x|+r}\biggr)^2\,dr, \end{equation} \tag{5.20} $$
$$ \begin{equation} I_3 =-\frac{\pi}{|x|}\int_{|x|/\varepsilon}^{+\infty} \frac{r}{(1+r^2)^{\gamma}}\ln\biggl(\frac{|x|-r}{|x|+r}\biggr)^2\,dr. \end{equation} \tag{5.21} $$
Рассмотрим сначала интеграл $I_1$. В силу формулы Лагранжа имеют место равенства
$$ \begin{equation*} \ln(1-t)=-\frac{1}{1-t_{1\varepsilon}}t,\quad \ln(1+t)=\frac{1}{1+t_{2\varepsilon}}t,\qquad t, t_{1\varepsilon},t_{2\varepsilon}\in(0,\varepsilon). \end{equation*} \notag $$
Поэтому справедлива следующая оценка:
$$ \begin{equation} \biggl|{\ln\biggl(1-\frac{r}{|x|}\biggr)-\ln\biggl(1+\frac{r}{|x|}\biggr)}\biggr|\leqslant c_1(\varepsilon)\frac{r}{|x|},\qquad r\in[0,\varepsilon|x|]. \end{equation} \tag{5.22} $$
Поэтому справедлива следующая цепочка выражений:
$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, |I_1|&\leqslant\frac{2\pi}{|x|}\int_0^{\varepsilon|x|} \frac{r}{(1+r^2)^{\gamma}} \biggl|{\ln\biggl(1-\frac{r}{|x|}\biggr)-\ln\biggl(1+\frac{r}{|x|}\biggr)}\biggr|\,dr \nonumber \\ &\leqslant \frac{2\pi c_1(\varepsilon)}{|x|^2}\int_0^{+\infty}\frac{r^2}{(1+r^2)^{\gamma}}\,dr\leqslant \frac{A_5(\varepsilon)}{|x|^2}\quad\text{при}\quad \gamma>\frac32. \end{aligned} \end{equation} \tag{5.23} $$
Рассмотрим интеграл $I_2$:
$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, |I_2|&\leqslant \frac{\pi}{|x|}\int_{\varepsilon|x|}^{|x|/\varepsilon} \frac{r}{(1+r^2)^{\gamma}}\biggl|{\ln\biggl(\frac{|x|-r}{|x|+r}\biggr)^2}\biggr|\,dr \nonumber \\ &\!\!\!\!\stackrel{r=t|x|}{=}\frac{\pi}{|x|}|x|^2\int_{\varepsilon}^{1/\varepsilon}\frac{t}{(1+t^2|x|^2)^{\gamma}} \biggl|{\ln\biggl(\frac{1-t}{1+t}\biggr)^2}\biggr|\,dt \nonumber \\ &\leqslant \frac{\pi}{|x|^{2\gamma-1}} \int_{\varepsilon}^{1/\varepsilon}\frac{1}{t^{2\gamma-1}} \biggl|{\ln\biggl(\frac{1-t}{1+t}\biggr)^2}\biggr|\,dt \leqslant\frac{A_6(\varepsilon)}{|x|^{2\gamma-1}},\qquad \gamma>\frac32. \end{aligned} \end{equation} \tag{5.24} $$
Наконец, рассмотрим интеграл $I_3$. В силу формулы Лагранжа имеет место цепочка выражений
$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, |I_3|&\leqslant\frac{2\pi}{|x|}\int_{|x|/\varepsilon}^{+\infty}\frac{r}{(1+r^2)^{\gamma}} \biggl|{\ln\biggl(1-\frac{|x|}{r}\biggr)-\ln\biggl(1+\frac{|x|}{r}\biggr)}\biggr|\,dr \nonumber \\ &\leqslant c_1(\varepsilon){2\pi}\int_{|x|/\varepsilon}^{+\infty}\frac{1}{(1+r^2)^{\gamma}}\,dr\leqslant c_1(\varepsilon){2\pi}\int_{|x|/\varepsilon}^{+\infty}\frac{1}{r^{2\gamma}}\,dr \nonumber \\ &= c_1(\varepsilon){2\pi}\frac{1}{2\gamma-1}\biggl(\frac{\varepsilon}{|x|}\biggr)^{2\gamma-1}= \frac{A_7(\varepsilon)}{|x|^{2\gamma-1}},\qquad \gamma>\frac32. \end{aligned} \end{equation} \tag{5.25} $$
Итак, мы приходим к выводу о том, что найдется такая постоянная $A>0$, что при $|x|>1$ имеет место оценка
$$ \begin{equation} |I|\leqslant\frac{A_8}{|x|^2}\quad\text{при}\quad \gamma>\frac32. \end{equation} \tag{5.26} $$
Теперь мы рассмотрим случай $|x|\leqslant 1$. Для удобства мы перепишем исходный интеграл в следующем эквивалентном виде:
$$ \begin{equation} I=\int_{\mathbb{R}^3}\frac{1}{|y|^2}\, \frac{1}{(1+|x-y|^2)^{\gamma}}\,dy. \end{equation} \tag{5.27} $$
Снова переходя к сферической системе координат и учитывая оценки $|\sin\theta|\,{\leqslant}\,1$, $\cos\theta\leqslant1$, получим неравенства
$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, I&=2\pi\int_0^{+\infty}dr\,\int_{0}^{\pi}d\theta\, \frac{\sin\theta}{(1+|x|^2+r^2-2|x|r\cos\theta)^{\gamma}} \nonumber \\ &\leqslant 2\pi^2\int_0^{+\infty}dr\,\frac{1}{(1+|x|^2+r^2-2|x|r)^{\gamma}} =2\pi^2\int_0^{+\infty}dr\frac{1}{(1+(|x|-r)^2)^{\gamma}} \nonumber \\ &=2\pi^2\int^{+\infty}_{-|x|}\frac{dt}{(1+t^2)^{\gamma}}\leqslant 2\pi^2\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{dt}{(1+t^2)^{\gamma}}:=A_9<+\infty. \end{aligned} \end{equation} \tag{5.28} $$
И мы приходим к оценке
$$ \begin{equation} |I|\leqslant\frac{A_{10}}{1+|x|^2}\quad\text{для всех}\quad x\in\mathbb{R}^3. \end{equation} \tag{5.29} $$
Лемма 2 доказана.

Теперь введем в рассмотрение следующие потенциалы:

$$ \begin{equation} U_0(x,t) :=U_0[\rho_0](x):=\int_{\mathbb{R}^3}G_{\gamma}(x,y,t)\rho_0(y)\,dy, \end{equation} \tag{5.30} $$
$$ \begin{equation} U_1(x,t) :=U_1[\rho](x,t):=\int_0^t\int_{\mathbb{R}^3}G_{\gamma}(x,y,t-\tau)\rho(y,\tau)\,dy\,d\tau. \end{equation} \tag{5.31} $$
Потенциалы $U_0(x,t)$ и $U_1(x,t)$ обладают свойствами, которые мы собрали в следующей лемме.

Лемма 3. Для любых $\rho_0(x)\in\mathbb{C}_b(\mathbb{R}^3)$ и $\rho(x,t)\in\mathbb{C}([0,T];\mathbb{C}_b(\mathbb{R}^3))$ потенциалы $U_0(x,t), U_1(x,t) \in\mathbb{C}([0,T];W_1)$ при $\gamma>3/2$.

Доказательство. Шаг 1. Докажем, что
$$ \begin{equation} U_0(x,t),U_1(x,t)\in\mathbb{C}([0,T];\mathbb{C}_b(\mathbb{R}^3)). \end{equation} \tag{5.32} $$
Прежде всего заметим, что для каждого $t\in[0,T]$ потенциалы $U_0(x,t), U_1(x,t)\in\mathbb{C}(\mathbb{R}^1)$. Ниже мы докажем даже более сильный результат, заключающийся в том, что для каждого $t\in[0,T]$ потенциалы $U_0(x,t), U_1(x,t)\in\mathbb{C}^{(1)}(\mathbb{R}^1)$.

В силу оценки (5.15) имеем

$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, |U_0(x,t_2)-U_0(x,t_1)| &\leqslant \int_{\mathbb{R}^3}|\rho_0(y)| |G_{\gamma}(x,y,t_2)-G_{\gamma}(x,y,t_1)|\, dy \nonumber \\ &= \int_{\mathbb{R}^3}|\rho_0(y)|\biggl|\int_{t_2}^{t_1}\frac{\partial}{\partial s}G_{\gamma}(x,y,s)\,ds\biggr|\,dy \nonumber \\ &\leqslant \sup_{y\in\mathbb{R}^3}|\rho_0(y)||t_2-t_1|\sup_{x\in\mathbb{R}^3,\, s\in[t_1,t_2]} \int_{\mathbb{R}^3}\biggl|\frac{\partial G_{\gamma}(x,y,s)}{\partial s}\biggr|\,dy \nonumber \\ &\leqslant B_1(T)\sup_{y\in\mathbb{R}^3}|\rho_0(y)||t_2-t_1|. \end{aligned} \end{equation} \tag{5.33} $$
Таким образом, для любых $t_1,t_2\in[0,T]$ выполнена оценка
$$ \begin{equation} \sup_{x\in\mathbb{R}^3}|U_0(x,t_2)-U_0(x,t_1)|\leqslant B_1(T)\sup_{y\in\mathbb{R}^3}|\rho_0(y)||t_2-t_1|. \end{equation} \tag{5.34} $$
Кроме того, в силу оценки (5.15) справедливо следующее выражение:
$$ \begin{equation} \sup_{x\in\mathbb{R}^3,\, t\in[0,T]}|U_0(x,t)|\leqslant B_1(T)\sup_{y\in\mathbb{R}^3}|\rho_0(y)|. \end{equation} \tag{5.35} $$
Следовательно, $U_0(x,t)\in\mathbb{C}([0,T];\mathbb{C}_b(\mathbb{R}^3))$.

Теперь докажем, что $U_1(x,t)\in\mathbb{C}([0,T];\mathbb{C}_b(\mathbb{R}^3))$. Действительно, для любых $t_1,t_2\in[0,T]$ справедлива следующая цепочка неравенств:

$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, &|U_1(x,t_2)-U_1(x,t_1)| \nonumber \\ &\qquad\leqslant \biggl|\int_0^{t_2}\int_{\mathbb{R}^3}G_{\gamma}(x,y,t_2-\tau)\rho(y,\tau)\,dy\,d\tau\,{-} \int_0^{t_1}\int_{\mathbb{R}^3}G_{\gamma}(x,y,t_1-\tau)\rho(y,\tau)\,dy\,d\tau\biggr| \nonumber \\ &\qquad\leqslant\int_{t_1}^{t_2}\int_{\mathbb{R}^3}|G_{\gamma}(x,y,t_2-\tau)||\rho(y,\tau)|\,dy\,d\tau \nonumber \\ &\qquad\qquad+\int_0^{t_1}\int_{\mathbb{R}^3}|G_{\gamma}(x,y,t_2-\tau)-G_{\gamma}(x,y,t_1-\tau)| |\rho(y,\tau)|\,dy\,d\tau \nonumber \\ &\qquad=: I_{11}(x,t_2,t_1)+I_{12}(x,t_2,t_1). \end{aligned} \end{equation} \tag{5.36} $$
Для интеграла $I_{12}$ в силу оценки (5.15) справедлива следующая оценка, аналогичная оценке (5.33):
$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, I_{12} &\leqslant\int_0^{t_1}\int_{\mathbb{R}^3}\int_{t_1-\tau}^{t_2-\tau} \biggl|\frac{\partial G_{\gamma}(x,y,s)}{\partial s}\biggr|\,ds\,|\rho(y,\tau)|\,dy\,d\tau \nonumber \\ &\leqslant B_1(T)T|t_2-t_1|\sup_{\tau\in[0,T],\,y\in\mathbb{R}^3}|\rho(y,\tau)|, \end{aligned} \end{equation} \tag{5.37} $$
а для $I_{11}$ в силу оценки (5.15) справедливо неравенство
$$ \begin{equation} I_{11}\leqslant B_1(T)|t_2-t_1|\sup_{\tau\in[0,T],\, y\in\mathbb{R}^3}|\rho(y,\tau)|. \end{equation} \tag{5.38} $$
Кроме того, справедлива оценка
$$ \begin{equation} |U_1(x,t)|\leqslant TB_1(T)\sup_{\tau\in[0,T],\, y\in\mathbb{R}^3}|\rho(y,\tau)|. \end{equation} \tag{5.39} $$
Из оценок (5.36)(5.39) вытекает, что $U_1(x,t)\in\mathbb{C}([0,T];\mathbb{C}_b(\mathbb{R}^3))$.

Шаг 2. Докажем теперь, что $U_0(x,t), U_1(x,t) \in\mathbb{C}([0,T];W_1)$. Сначала рассмотрим потенциал $U_0(x,t)$:

$$ \begin{equation} U_0(x,t)=U_{01}(x,t)+U_{02}(x,t), \end{equation} \tag{5.40} $$
где $U_{01}$ и $U_{02}$ имеют вид
$$ \begin{equation} U_{01}(x,t) =\int_{O(x_{00},R)}G_{\gamma}(x,y,t)\rho_0(y)\,dy \nonumber \end{equation} \notag $$
$$ \begin{equation} =(1+|x|^2)^{1/2}\int_{O(x_{00},R)}\mathscr{E}(x-y,t)\frac{\rho_0(y)}{(1+|y|^2)^{\gamma}}\,dy, \end{equation} \tag{5.41} $$
$$ \begin{equation} U_{02}(x,t) =\int_{\mathbb{R}^3\setminus O(x_{00},R)}G_{\gamma}(x,y,t)\rho_0(y)\,dy \nonumber \end{equation} \notag $$
$$ \begin{equation} =(1+|x|^2)^{1/2}\int_{\mathbb{R}^3\setminus O(x_{00},R)} \mathscr{E}(x-y,t)\frac{\rho_0(y)}{(1+|y|^2)^{\gamma}}\,dy. \end{equation} \tag{5.42} $$
В силу (5.5) при $x\ne y$ и $t\in[0,T]$ справедливы оценки
$$ \begin{equation} |\mathscr{E}(x-y,t)|\leqslant\frac{A_1(T)}{|x-y|},\qquad \biggl|\frac{\partial\mathscr{E}(x-y,t)}{\partial x_j}\biggr|\leqslant\frac{A_2(T)}{|x-y|^2}. \end{equation} \tag{5.43} $$
Заметим, что результат леммы 4.1 работы [27] получен не на основании явного вида фундаментального решения оператора Лапласа, а с помощью оценок вида (5.43) для фундаментального решения оператора Лапласа. Действуя аналогично, устанавливаем, что для каждого $t\in[0,T]$ функция $U_{01}(x,t)\in\mathbb{C}^{(1)}(\mathbb{R}^3)$, причем справедливо равенство
$$ \begin{equation} \frac{\partial U_{01}(x,t)}{\partial x_j}=\int_{O(x_{00},R)}\frac{\partial G_{\gamma}(x,y,t)}{\partial x_j}\rho_0(y)\,dy. \end{equation} \tag{5.44} $$
Поскольку у подынтегральной функции в выражении $U_{02}(x,t)$ нет особенности и так как $q>3/2$, мы также приходим к выводу о том, что для каждого $t\in[0,T]$ функция $U_{02}(x,t)\in\mathbb{C}^{(1)}(\mathbb{R}^3)$ и справедливо равенство
$$ \begin{equation} \frac{\partial U_{02}(x,t)}{\partial x_j}=\int_{\mathbb{R}^3\setminus O(x_{00},R)}\frac{\partial G_{\gamma}(x,y,t)}{\partial x_j}\rho_0(y)\,dy. \end{equation} \tag{5.45} $$
Итак, из равенств (5.44) и (5.45) вытекает, что для каждого $t\in[0,T]$ функция $U_0(x,t)\in\mathbb{C}^{(1)}(\mathbb{R}^3)$ и справедливо равенство
$$ \begin{equation} \frac{\partial U_{0}(x,t)}{\partial x_j}=\int_{\mathbb{R}^3}\frac{\partial G_{\gamma}(x,y,t)}{\partial x_j}\rho_0(y)\,dy. \end{equation} \tag{5.46} $$
В силу оценки (5.16) справедлива следующая цепочка неравенств:
$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, &(1+|x|^2)^{1/2}\biggl|\frac{\partial U_0(x,t_2)}{\partial x_j}-\frac{\partial U_0(x,t_1)}{\partial x_j}\biggr| \nonumber \\ &\qquad\leqslant (1+|x|^2)^{1/2}\int_{\mathbb{R}^3} \biggl|\frac{\partial G_{\gamma}(x,y,t_2)}{\partial x_j}-\frac{\partial G_{\gamma}(x,y,t_1)}{\partial x_j}\biggr||\rho_0(y)|\,dy \nonumber \\ &\qquad\leqslant (1+|x|^2)^{1/2}\int_{\mathbb{R}^3}\int_{t_1}^{t_2} \biggl|\frac{\partial^2G_{\gamma}(x,y,s)}{\partial s\, \partial x_j}\biggr|\,ds\, |\rho_0(y)|\,dy \nonumber \\ &\qquad\leqslant |t_2-t_1|\sup_{y\in\mathbb{R}^3}|\rho_0(y)| \sup_{s\in[0,T],\, x\in\mathbb{R}^3}(1+|x|^2)^{1/2} \int_{\mathbb{R}^3}\biggl|\frac{\partial^2G_{\gamma}(x,y,s)}{\partial s\, \partial x_j}\biggr|\,dy \nonumber \\ &\qquad\leqslant B_2(T)|t_2-t_1|\sup_{y\in\mathbb{R}^3}|\rho_0(y)|. \end{aligned} \end{equation} \tag{5.47} $$
Кроме того, справедлива оценка
$$ \begin{equation} (1+|x|^2)^{1/2}\biggl|\frac{\partial U_0(x,t)}{\partial x_j}\biggr|\leqslant B_2(T)\sup_{y\in\mathbb{R}^3}|\rho_0(y)|. \end{equation} \tag{5.48} $$
Из оценок (5.47), (5.48) с учетом оценок (5.34), (5.35) получаем, что
$$ \begin{equation} U_0(x,t)\in\mathbb{C}([0,T];W_1). \end{equation} \tag{5.49} $$
Теперь наша задача состоит в том, чтобы доказать, что $U_1(x,t)\in\mathbb{C}([0,T];W_1)$. Таким же образом, в силу оценок (5.43) приходим к выводу о том, что для каждого $t\in[0,T]$ функция $U_1(x,t)\in\mathbb{C}^{(1)}(\mathbb{R}^3)$ и справедливо следующее равенство (ср. с равенством (5.46)):
$$ \begin{equation} \frac{\partial U_1(x,t)}{\partial x_j}=\int_0^t\int_{\mathbb{R}^3} \frac{\partial G_{\gamma}(x,y,t-\tau)}{\partial x_j}\rho(y,\tau)\,dy\,d\tau. \end{equation} \tag{5.50} $$
Для любых $t_1,t_2\in[0,T]$ в силу оценки (5.16) справедливы оценки
$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, &(1+|x|^2)^{1/2}\biggl|\frac{\partial U_1(x,t_2)}{\partial x_j}-\frac{\partial U_1(x,t_1)}{\partial x_j}\biggr| \nonumber \\ &\ \leqslant(1+|x|^2)^{1/2}\int_0^{t_1}\int_{\mathbb{R}^3} \biggl|\frac{\partial G_{\gamma}(x,y,t_2-\tau)}{\partial x_j}-\frac{\partial G_{\gamma}(x,y,t_1-\tau)}{\partial x_j}\biggr||\rho(y,\tau)|\,dy\,d\tau \nonumber \\ &\ \quad+ (1+|x|^2)^{1/2}\int_{t_1}^{t_2}\int_{\mathbb{R}^3} \biggl|\frac{\partial G_{\gamma}(x,y,t_2-\tau)}{\partial x_j}\biggr||\rho(y,\tau)|\,dy\,d\tau \nonumber \\ &\ \leqslant (1+|x|^2)^{1/2}\int_0^{t_1}\int_{\mathbb{R}^3} \int_{t_1-\tau}^{t_2-\tau}\biggl|\frac{\partial^2G_{\gamma}(x,y,s)}{\partial x_j\, \partial s}\biggr|\,ds\,dy\,d\tau \nonumber \\ &\ \quad+ (1+|x|^2)^{1/2}\int_{t_1}^{t_2}\int_{\mathbb{R}^3} \biggl|\frac{\partial G_{\gamma}(x,y,t_2-\tau)}{\partial x_j}\biggr||\rho(y,\tau)|\,dy\,d\tau \nonumber \\ &\ \leqslant T\sup_{y\in\mathbb{R}^3,\,\tau\in[0,T]}|\rho(y,\tau)||t_2-t_1| \sup_{x\in\mathbb{R}^3,\, s\in[0,T]}(1+|x|^2)^{1/2} \int_{\mathbb{R}^3}\biggl|\frac{\partial^2G_{\gamma}(x,y,s)}{\partial x_j\, \partial s}\biggr|\,dy \nonumber \\ &\ \quad+ \sup_{y\in\mathbb{R}^3,\,\tau\in[0,T]}|\rho(y,\tau)||t_2-t_1| \sup_{x\in\mathbb{R}^3,\, \tau\in[0,T]} (1+|x|^2)^{1/2}\int_{\mathbb{R}^3}\biggl|\frac{\partial G_{\gamma}(x,y,\tau)}{\partial x_j}\biggr|\,dy \nonumber \\ &\ \leqslant [TB_2(T)+B_2(T)]\sup_{y\in\mathbb{R}^3,\, \tau\in[0,T]}|\rho(y,\tau)||t_2-t_1|. \end{aligned} \end{equation} \tag{5.51} $$
Кроме того, справедливы оценки
$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, &(1+|x|^2)^{1/2}\biggl|\frac{\partial U_1(x,t)}{\partial x_j}\biggr| \nonumber \\ &\qquad\leqslant T\sup_{y\in\mathbb{R}^3,\, \tau\in[0,T]}|\rho(y,\tau)| \sup_{x\in\mathbb{R}^3,\, \tau\in[0,T]}(1+|x|^2)^{1/2} \int_{\mathbb{R}^3}\biggl|\frac{\partial G_{\gamma}(x,y,\tau)}{\partial x_j}\biggr|\,dy \nonumber \\ &\qquad\leqslant TB_2(T)\sup_{y\in\mathbb{R}^3,\, \tau\in[0,T]}|\rho(y,\tau)|. \end{aligned} \end{equation} \tag{5.52} $$
Таким образом, с учетом оценок (5.36)(5.39) и оценок (5.51), (5.52) приходим к выводу о том, что $U_1(x,t)\in\mathbb{C}([0,T];W_1)$. Лемма 3 доказана.

Наша задача заключается в том, чтобы исследовать интегральное уравнение (5.9) в весовом банаховом пространстве $\mathbb{C}([0,T];W_1)$, определенном в § 3, относительно нормы (5.11).

Для доказательства существования решения интегрального уравнения (5.9) выберем замкнутое, ограниченное и выпуклое подмножество $D_{R,T}$ банахова пространства $\mathbb{C}([0,T];W_1)$ следующего вида:

$$ \begin{equation} D_{R,T}:=\{v(x,t)\in\mathbb{C}([0,T];W_1)\colon \| v\|_T\leqslant R\}. \end{equation} \tag{5.53} $$
Перепишем интегральное уравнение (5.9) в виде
$$ \begin{equation} v(x,t)=H(v)(x,t), \end{equation} \tag{5.54} $$
где
$$ \begin{equation} H(v)(x,t)=h_{\alpha}(x,t)+H_1(v)(x,t), \end{equation} \tag{5.55} $$
$$ \begin{equation} h_{\alpha}(x,t)=\int_{\mathbb{R}^3}G_{\alpha}(x,y,t)(1+|y|^2)^{\alpha}\Delta_3u_0(y)\,dy, \end{equation} \tag{5.56} $$
$$ \begin{equation} \begin{split} H_1(v)(x,t)&=\int_0^t\int_{\mathbb{R}^3}G_q(x,y,t-\tau) \\ &\qquad\qquad\times\biggl|(1+|y|^2)^{1/2}\nabla v(y,\tau) -\frac{y}{(1+|y|^2)^{1/2}}v(y,\tau)\biggr|^q\,dy\,d\tau. \end{split} \end{equation} \tag{5.57} $$
Справедливо следующее утверждение.

Лемма 4. Пусть $u_0(x)\in\mathbb{C}^{(2)}(\mathbb{R}^3)$ и выполнена оценка (5.12). Тогда оператор $H(\,{\cdot}\,)$, определенный формулой (5.55), при $q>3/2$ действует

$$ \begin{equation} H(\,{\cdot}\,)\colon \mathbb{C}([0,T];W_1)\to \mathbb{C}([0,T];W_1). \end{equation} \tag{5.58} $$

Доказательство. Шаг 1. Прежде всего докажем, что явно заданная функция $h_{\alpha}(x,t)$, определенная формулой (5.56), принадлежит классу функций
$$ \begin{equation*} \mathbb{C}([0,T];W_1)\quad\text{для любого}\quad T>0. \end{equation*} \notag $$
С этой целью заметим, что при условии (5.12) на функцию $u_0(x)\in\mathbb{C}^{(2)}(\mathbb{R}^3)$
$$ \begin{equation*} \rho_0(y)=(1+|y|^2)^{\alpha}\Delta_3u_0(y)\in\mathbb{C}_b(\mathbb{R}^3) \end{equation*} \notag $$
и поэтому в силу результата леммы 3 относительно потенциала
$$ \begin{equation*} U_0[\rho_0](x,t)\in\mathbb{C}([0,T];W_1). \end{equation*} \notag $$

Шаг 2. Рассмотрим следующую функцию:

$$ \begin{equation} \rho(x,t)=\biggl|(1+|x|^2)^{1/2}\nabla v(x,t)-\frac{x}{(1+|x|^2)^{1/2}}v(x,t)\biggr|^q, \end{equation} \tag{5.59} $$
где функция $v(x,t)\in\mathbb{C}([0,T];W_1)$. Прежде всего заметим, что для каждого $t\in[0,T]$ функция $\rho(x,t)\in\mathbb{C}(\mathbb{R}^3)$.

Заметим, что, с одной стороны,

$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, \sup_{x\in\mathbb{R}^3,\, t\in[0,T]}|\rho(x,t)|&\leqslant c(q)\Bigl(\sup_{x\in\mathbb{R}^3,\, t\in[0,T]}(1+|x|^2)^{1/2}|\nabla v(x,t)|\Bigr)^q \nonumber \\ &\qquad+ c(q)\Bigl(\sup_{x\in\mathbb{R}^3,\, t\in[0,T]}|v(x,t)|\Bigr)^q<+\infty, \end{aligned} \end{equation} \tag{5.60} $$
где $c(q)$ – некоторая положительная постоянная. С другой стороны, имеет место следующее неравенство:
$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, &|\rho(x,t_2)-\rho(x,t_1)| \nonumber \\ &\ \leqslant q\max\{J_1^{q-1},J_2^{q-1}\} \bigl[(1+|x|^2)^{1/2}|\nabla v(x,t_2)-\nabla v(x,t_1)|+|v(x,t_2)-v(x,t_1)|\bigr], \end{aligned} \end{equation} \tag{5.61} $$
где
$$ \begin{equation*} J_k:=\biggl|(1+|x|^2)^{1/2}\nabla v(x,t_k)-\frac{x}{(1+|x|^2)^{1/2}}v(x,t_k)\biggr|,\qquad k=1,2. \end{equation*} \notag $$
Согласно (5.60) имеем
$$ \begin{equation} \sup_{x\in\mathbb{R}^3,\, t_k\in[0,T]}J_k=A<+\infty\quad\text{при}\quad k=1,2. \end{equation} \tag{5.62} $$
Поскольку $v(x,t)\in\mathbb{C}([0,T];W_1)$, то из оценок (5.61) и (5.62) вытекает, что
$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, \sup_{x\in\mathbb{R}^3}|\rho(x,t_2)-\rho(x,t_1)| &\leqslant qA^{q-1}\Bigl[\sup_{x\in\mathbb{R}^3}(1+|x|^2)^{1/2}|\nabla v(x,t_2)-\nabla v(x,t_1)| \nonumber \\ &\qquad+\sup_{x\in\mathbb{R}^3}|v(x,t_2)-v(x,t_1)|\Bigr]\to+0 \end{aligned} \end{equation} \tag{5.63} $$
при $|t_2-t_1|\to+0$ для любых $t_1,t_2\in[0,T]$. Следовательно, из (5.60) и из (5.63) вытекает, что $\rho(x,t)\in\mathbb{C}([0,T];\mathbb{C}_b(\mathbb{R}^3))$. Поэтому в силу результата леммы 3 относительно потенциала $U_1(x,t)$ приходим к выводу о том, что $U_1(x,t)\in\mathbb{C}([0,T];W_1)$.

Следовательно, из формулы (5.55) вытекает, что

$$ \begin{equation*} H(v)(x,t)=U_0[\rho_0](x,t)+U_1[\rho](x,t)\in \mathbb{C}([0,T];W_1) \end{equation*} \notag $$
для всех $u_0(x)\in\mathbb{C}^{(2)}(\mathbb{R}^3)$, удовлетворяющих свойству (5.12), и произвольной функции
$$ \begin{equation*} v(x,t)\in\mathbb{C}([0,T];W_1). \end{equation*} \notag $$
Лемма 4 доказана.

Пусть произвольная функция $u_0(x)\in\mathbb{C}^{2}(\mathbb{R}^3)$, удовлетворяющая условию (5.12), фиксирована. Тогда выберем $R>0$ настолько большим, чтобы было выполнено завершающее неравенство в следующей цепочке неравенств:

$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, \| h_{\alpha}\|_T &\leqslant\sup_{x\in\mathbb{R}^3} \int_{\mathbb{R}^3}|G_{\alpha}(x,y,t)|(1+|y|^2)^{\alpha} |\Delta_3u_0(y)|\,dy \nonumber \\ &\qquad + \sum_{j=1}^3\sup_{x\in\mathbb{R}^3}(1+|x|^2)^{1/2} \int_{\mathbb{R}^3}\biggl|\frac{\partial G_{\alpha}(x,y,t)}{\partial x_j}\biggr| (1+|y|^2)^{\alpha}|\Delta_3u_0(y)|\,dy \nonumber \\ &\leqslant A_4B_1(T)+3B_2(T)A\leqslant\frac{R}{2}. \end{aligned} \end{equation} \tag{5.64} $$
Соответствующие неравенства выполнены в силу неравенств (5.12), (5.15) и (5.16). Справедливо следующее утверждение.

Лемма 5. Для произвольного $R>0$ при $q>3/2$ найдется такое малое $T>0$, что

$$ \begin{equation} H_1(v)\colon D_{R,T}\to D_{R/2,T}. \end{equation} \tag{5.65} $$

Доказательство. Пусть $R>0$ – произвольно. При доказательстве леммы 4 нами было доказано, что
$$ \begin{equation*} H_1(\,{\cdot}\,)\colon \mathbb{C}([0,T];W_1)\to \mathbb{C}([0,T];W_1) \end{equation*} \notag $$
для любого $T>0$. Введем следующее обозначение:
$$ \begin{equation} \rho(y,\tau):=\biggl|(1+|y|^2)^{1/2}\nabla v(y,\tau) -\frac{y}{(1+|y|^2)^{1/2}}v(y,\tau)\biggr|^q. \end{equation} \tag{5.66} $$
Тогда для функции
$$ \begin{equation} H_1(x,t):=H_1(v)(x,t)=\int_0^t\int_{\mathbb{R}^3} G_q(x,y,t-\tau)\rho(y,\tau)\,dy\,d\tau \end{equation} \tag{5.67} $$
справедлива цепочка неравенств
$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, \| H_1(x,t)\|_T &\leqslant \sup_{x\in\mathbb{R}^3,\, t\in[0,T]}\int_0^t\int_{\mathbb{R}^3} |G_q(x,y,t-\tau)||\rho(y,\tau)|\,dy\,d\tau \nonumber \\ &\quad+ \sum_{j=1}^3\sup_{x\in\mathbb{R}^3,\, t\in[0,T]} \int_0^t\int_{\mathbb{R}^3}(1+|x|^2)^{1/2}\biggl|\frac{\partial G_q(x,y,t-\tau)}{\partial x_j}\biggr||\rho(y,\tau)|\,dy\,d\tau \nonumber \\ &\leqslant T[B_1(T)+3B_2(T)]\sup_{y\in\mathbb{R}^3,\, \tau\in[0,T]}|\rho(y,\tau)|. \end{aligned} \end{equation} \tag{5.68} $$
Заметим, что справедливы неравенства
$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, \sup_{y\in\mathbb{R}^3,\, \tau\in[0,T]}|\rho(y,\tau)|&\leqslant \sup_{y\in\mathbb{R}^3,\, \tau\in[0,T]}[(1+|y|^2)^{1/2}|\nabla v(y,\tau)|+|v(y,\tau)|]^q \nonumber \\ &\leqslant \sup_{y\in\mathbb{R}^3,\,\tau\in[0,T]}\biggl[\sum_{j=1}^3(1+|y|^2)^{1/2} \biggl|\frac{\partial v(y,\tau)}{\partial y_j}\biggr|+|v(y,\tau)|\biggr]^q\leqslant R^q, \end{aligned} \end{equation} \tag{5.69} $$
если $v(x,t)\in D_{R,T}$. Из оценок (5.68) и (5.69) вытекает следующая оценка:
$$ \begin{equation} \| H_1(x,t)\|_T\leqslant T[B_1(T)+3B_2(T)]R^q,\qquad q>\frac{3}{2}. \end{equation} \tag{5.70} $$
Выберем $T>0$ настолько малым, чтобы
$$ \begin{equation} T[B_1(T)+3B_2(T)]R^{q-1}\leqslant\frac{1}{2}. \end{equation} \tag{5.71} $$
Тогда из оценки (5.70) приходим к следующему неравенству:
$$ \begin{equation} \| H_1(x,t)\|_T\leqslant\frac{R}{2}, \end{equation} \tag{5.72} $$
т. е. справедливо утверждение леммы. Лемма 5 доказана.

Из результата леммы 5 и выбора $R>0$ настолько большим, чтобы было выполнено итоговое неравенство (5.64), приходим к выводу о справедливости следующего утверждения.

Лемма 6. Пусть $q>3/2$. Тогда для любого $u_0(x)\in\mathbb{C}^{(2)}(\mathbb{R}^3)$, удовлетворяющего неравенству (5.12), найдется достаточно большое $R>0$ и достаточно малое $T>0$ такие, что

$$ \begin{equation} H(\,{\cdot}\,)\colon D_{R,T}\to D_{R,T}, \end{equation} \tag{5.73} $$
где замкнутый шар $D_{R,T}\subset\mathbb{C}([0,T];W_1)$ определен равенством (5.53).

Теперь приступим к доказательству сжимаемости оператора $H(v)(x,t)$ на замкнутом шаре $D_{R,T}$ при достаточно малом $T>0$. Справедливо следующее утверждение.

Лемма 7. При выполнении условия

$$ \begin{equation} qT(B_1+3B_2)R^{q-1}\leqslant\frac{1}{2} \end{equation} \tag{5.74} $$
оператор $H(v)(x,t)$ является сжимающим на шаре $D_{R,T}$.

Доказательство. Пусть $v_1(x,t), v_2(x,t)\in D_{R,T}$. Справедливы следующие неравенства:
$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, &\biggl|\biggl|(1+|x|^2)^{1/2}\nabla v_1-\frac{x}{(1+|x|^2)^{1/2}}v_1\biggr|^q- \biggl|(1+|x|^2)^{1/2}\nabla v_2-\frac{x}{(1+|x|^2)^{1/2}}v_2\biggr|^q\biggr| \nonumber \\ &\ \leqslant q\max\biggl\{\biggl|(1+|x|^2)^{1/2}\nabla v_1-\frac{x}{(1+|x|^2)^{1/2}}v_1\biggr|^{q-1}, \nonumber \\ &\ \quad\biggl|(1+|x|^2)^{1/2}\nabla v_2-\frac{x}{(1+|x|^2)^{1/2}}v_2\biggr|^{q-1}\biggr\} \bigl[(1+|x|^2)^{1/2}|\nabla v_1-\nabla v_2|+|v_1-v_2|\bigr] \nonumber \\ &\ \leqslant q\max\bigl\{|(1+|x|^2)^{1/2}|\nabla v_1|+|v_1||^{q-1},\, |(1+|x|^2)^{1/2}|\nabla v_2|+|v_2||^{q-1}\bigr\} \nonumber \\ &\ \quad\times \bigl[(1+|x|^2)^{1/2}|\nabla v_1-\nabla v_2|+|v_1-v_2|\bigr] \nonumber \\ &\ \leqslant q\max\biggl\{\biggl|(1+|x|^2)^{1/2}\sum_{j=1}^3\biggl|\frac{\partial v_1}{\partial x_j}\biggr|+|v_1|\biggr|^{q-1},\, \biggl|(1+|x|^2)^{1/2}\sum_{j=1}^3\biggl|\frac{\partial v_1}{\partial x_j}\biggr|+|v_1|\biggr|^{q-1}\biggr\} \nonumber \\ &\ \quad\times \biggl[(1+|x|^2)^{1/2}\sum_{j=1}^3\biggl|\frac{\partial v_1}{\partial x_j}-\frac{\partial v_2}{\partial x_j}\biggr|+|v_1-v_2|\biggr]\leqslant qR^{q-1}\| v_1-v_2\|_T. \end{aligned} \end{equation} \tag{5.75} $$
Введем следующие обозначения:
$$ \begin{equation} \rho_j(y,\tau)=\biggl|(1+|x|^2)^{1/2}\nabla v_j-\frac{x}{(1+|x|^2)^{1/2}}v_j\biggr|^q,\qquad j=1,2. \end{equation} \tag{5.76} $$
В силу (5.75) мы приходим к оценке
$$ \begin{equation} \|\rho_1-\rho_2\|_T\leqslant qR^{q-1}\| v_1-v_2\|_T. \end{equation} \tag{5.77} $$
Справедливы следующие оценки:
$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, &\| H(v_1)-H(v_2)\|_T\leqslant \sup_{x\in\mathbb{R}^3,\, t\in[0,T]}\int_0^t\int_{\mathbb{R}^3} |G_q(x,y,t-\tau)||\rho_1(y,\tau)-\rho_2(y,\tau)|\,dy\,d\tau \nonumber \\ &\ \quad+ \sum_{j=1}^3\sup_{x\in\mathbb{R}^3,\, t\in[0,T]}\int_0^t\int_{\mathbb{R}^3} (1+|x|^2)^{1/2}\biggl|\frac{\partial G_q(x,y,t-\tau)}{\partial x_j}\biggr| |\rho_1(y,\tau)-\rho_2(y,\tau)|\,dy\,d\tau \nonumber \\ &\ \leqslant T[B_1(T)+3B_2(T)]\|\rho_1-\rho_2\|_T. \end{aligned} \end{equation} \tag{5.78} $$
Из неравенств (5.77) и (5.78) приходим к искомому неравенству
$$ \begin{equation} \| H(v_1)-H(v_2)\|_T\leqslant T[B_1(T)+3B_2(T)]qR^{q-1}\| v_1-v_2\|_T, \end{equation} \tag{5.79} $$
из которого вытекает утверждение леммы. Лемма 7 доказана.

Теперь нужно воспользоваться стандартным алгоритмом продолжения решения во времени, изложенного в работе [28]. В этой работе алгоритм продолжения во времени интегрального уравнения Вольтерра рассматривается в пространстве $\mathbb{C}([0,T];\mathbb{B})$, где $\mathbb{B}$ – банахово пространство. В нашем случае $\mathbb{B}=W_1$. Схематично схема продолжения во времени заключается в том, что мы уже доказали существование такого малого $T_1>0$, что интегральное уравнение (5.9) имеет единственное решение класса $v(x,t)\in\mathbb{C}([0,T_1];W_1)$. Тогда интегральное уравнение (5.9) можем переписать в следующем виде при $t\in[T_1,T]$, $T>T_1$:

$$ \begin{equation} v(x,t)\,{=}\,v(x,T_1)+\int_{T_1}^t\int_{\mathbb{R}^3}\!G_q(x,y,t-\tau)\biggl|(1+|y|^2)^{1/2}\nabla v(y,\tau)-\frac{y}{(1+|y|^2)^{1/2}}v\biggr|^q\,dy\,d\tau, \end{equation} \tag{5.80} $$
где
$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, &v(x,T_1)=\int_{\mathbb{R}^3}G_{\alpha}(x,y,T_1)(1+|y|^2)^{\alpha}\Delta_3u_0(y)\,dy \nonumber \\ &\ + \int_0^{T_1}\int_{\mathbb{R}^3}G_q(x,y,T_1-\tau)\biggl|(1+|y|^2)^{1/2}\nabla v(y,\tau)-\frac{y}{(1+|y|^2)^{1/2}}v\biggr|^q\,dy\,d\tau. \end{aligned} \end{equation} \tag{5.81} $$
В силу результата леммы 4 справедливо, что $v(x,T_1)\in W_1$. Выберем теперь $R>0$ настолько большим, чтобы выполнялось неравенство
$$ \begin{equation} \| v(x,T_1)\|:=\sup_{x\in\mathbb{R}^1}|v(x,T_1)|+ \sum_{j=1}^3\sup_{x\in\mathbb{R}^1}(1+|x|^2)^{1/2}\biggl|\frac{\partial v(x,T_1)}{\partial x_j}\biggr|\leqslant\frac{R}{2}. \end{equation} \tag{5.82} $$
Далее повторяем доказательства лемм 57 и получаем, что интегральное уравнение (5.80) имеет решение на интервале $t\in[T_1,T_2]$ при некотором $T_2>T_1$. Далее продолжаем указанный алгоритм и приходим к выводу о том, что либо этот алгоритм неограниченно продолжится на всю временную ось, либо найдется такой момент времени $T_0=T_0(u_0)>0$, что
$$ \begin{equation*} \lim_{T\uparrow T_0}\| v\|_T=+\infty. \end{equation*} \notag $$
Таким образом, приходим к утверждению теоремы. Теорема 2 доказана.

Теперь мы должны сформулировать и доказать результат относительно решения $u(x,t)$ интегрального уравнения (5.1). Справедливо следующее утверждение.

Теорема 3. Для каждой $u_0(x)\,{\in}\,\mathbb{C}^{(2)}(\mathbb{R}^3)$, удовлетворяющей условию (5.12), найдется такое максимальное $T_0=T_0(u_0)>0$, что для любого $T\in(0,T_0)$ существует единственное решение $u(x,t)$ интегрального уравнения (5.1) класса

$$ \begin{equation*} u(x,t)\in\mathbb{C}([0,T];W_2), \end{equation*} \notag $$
причем либо $T_0=+\infty$, либо $T_0<+\infty$ и в последнем случае имеем
$$ \begin{equation} \lim_{T\uparrow T_0}\| u\|_{1,T}=+\infty, \end{equation} \tag{5.83} $$
где
$$ \begin{equation} \| u\|_{1,T} := \sup_{x\in\mathbb{R}^3,\, t\in[0,T]}(1+|x|^2)^{1/2}|u(x,t)| + \sum_{j=1}^3\sup_{x\in\mathbb{R}^3,\, t\in[0,T]}(1+|x|^2) \biggl|\frac{\partial u(x,t)}{\partial x_j}\biggr|. \end{equation} \tag{5.84} $$

Доказательство. Отметим, что решение $u(x,t)$ интегрального уравнения (5.1) и решение $v(x,t)$ интегрального уравнения (5.9) связаны равенством
$$ \begin{equation} v(x,t)=(1+|x|^2)^{1/2}u(x,t) \end{equation} \tag{5.85} $$
и справедливо утверждение, что функция $u(x,t)$ – решение интегрального уравнения (5.1) тогда и только тогда, когда $v(x,t)$ – решение интегрального уравнения (5.9). Справедливо следующее утверждение.

Лемма 8. Справедливо двустороннее неравенство

$$ \begin{equation} \frac{1}{2}\| v\|_T\leqslant\| u\|_{1,T}\leqslant 4\| v\|_T. \end{equation} \tag{5.86} $$

Доказательство. Заметим, что
$$ \begin{equation} \frac{\partial v}{\partial x_j}= (1+|x|^2)^{1/2}\, \frac{\partial u}{\partial x_j}+\frac{x_j}{(1+|x|^2)^{1/2}}u. \end{equation} \tag{5.87} $$
Функция $v(x,t)\in\mathbb{C}([0,T];W_1)$ для каждого $T\in(0,T_0)$. Поэтому справедливы следующие цепочки неравенств:
$$ \begin{equation} \| v\|_T = \sup_{x\in\mathbb{R}^3,\, t\in[0,T]}|v(x,t)|+ \sum_{j=1}^3\sup_{x\in\mathbb{R}^3,\, t\in[0,T]}(1+|x|^2)^{1/2} \biggl|\frac{\partial v(x,t)}{\partial x_j}\biggr| \nonumber \end{equation} \notag $$
$$ \begin{equation} = \sup_{x\in\mathbb{R}^3,\, t\in[0,T]}(1+|x|^2)^{1/2}|u(x,t)| \nonumber \end{equation} \notag $$
$$ \begin{equation} \qquad+\sum_{j=1}^3\sup_{x\in\mathbb{R}^3,\, t\in[0,T]}(1+|x|^2)^{1/2} \biggl|(1+|x|^2)^{1/2}\frac{\partial u}{\partial x_j}+\frac{x_j}{(1+|x|^2)^{1/2}}u\biggr| \nonumber \end{equation} \notag $$
$$ \begin{equation} \leqslant 2\sup_{x\in\mathbb{R}^3,\, t\in[0,T]}(1+|x|^2)^{1/2}|u(x,t)| \nonumber \end{equation} \notag $$
$$ \begin{equation} \qquad+ \sum_{j=1}^3\sup_{x\in\mathbb{R}^3,\, t\in[0,T]}(1+|x|^2) \biggl|\frac{\partial u}{\partial x_j}\biggr|\leqslant 2\| u\|_{1,T}, \end{equation} \tag{5.88} $$
$$ \begin{equation} \| u\|_{1,T} =\sup_{x\in\mathbb{R}^3,\, t\in[0,T]}(1+|x|^2)^{1/2}|u(x,t)|+ \sum_{j=1}^3\sup_{x\in\mathbb{R}^3,\, t\in[0,T]}(1+|x|^2) \biggl|\frac{\partial u}{\partial x_j}\biggr| \nonumber \end{equation} \notag $$
$$ \begin{equation} \leqslant \sup_{x\in\mathbb{R}^3,\, t\in[0,T]}(1+|x|^2)^{1/2}|u(x,t)| \nonumber \end{equation} \notag $$
$$ \begin{equation} \qquad+ \sum_{j=1}^3\sup_{x\in\mathbb{R}^3,\, t\in[0,T]}(1+|x|^2)^{1/2} \biggl|(1+|x|^2)^{1/2}\frac{\partial u}{\partial x_j}+\frac{x_j}{(1+|x|^2)^{1/2}}u\biggr| \nonumber \end{equation} \notag $$
$$ \begin{equation} \qquad+\sum_{j=1}^3\sup_{x\in\mathbb{R}^3,\, t\in[0,T]}(1+|x|^2)^{1/2} \biggl|\frac{x_j}{(1+|x|^2)^{1/2}}u\biggr| \nonumber \end{equation} \notag $$
$$ \begin{equation} \leqslant 4\sup_{x\in\mathbb{R}^3,\, t\in[0,T]}|v(x,t)|+ \sum_{j=1}^3\sup_{x\in\mathbb{R}^3,\, t\in[0,T]}(1+|x|^2)^{1/2} \biggl|\frac{\partial v(x,t)}{\partial x_j}\biggr|\leqslant 4\| v\|_{T}. \end{equation} \tag{5.89} $$
Лемма 8 доказана.

Пусть $t_1,t_2\in[0,T]$ – произвольные числа. Тогда

$$ \begin{equation*} v(x,t_2)-v(x,t_1)=(1+|x|^2)^{1/2}[u(x,t_2)-u(x,t_1)]. \end{equation*} \notag $$
Отметим, что при выводе оценки (5.89) фактически получено неравенство
$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, &\sup_{x\in\mathbb{R}^3}(1+|x|^2)^{1/2}|u(x,t_2)-u(x,t_1)|+ \sum_{j=1}^3\sup_{x\in\mathbb{R}^3}(1+|x|^2)\biggl|\frac{\partial u(x,t_2)}{\partial x_j}-\frac{\partial u(x,t_1)}{\partial x_j}\biggr| \nonumber \\ &\ \leqslant 4\sup_{x\in\mathbb{R}^3}|v(x,t_2)-v(x,t_1)|+ 4\sum_{j=1}^3\sup_{x\in\mathbb{R}^3}(1+|x|^2)^{1/2}\biggl|\frac{\partial v(x,t_2)}{\partial x_j}-\frac{\partial v(x,t_1)}{\partial x_j}\biggr|\to+0 \end{aligned} \end{equation} \tag{5.90} $$
при $|t_2-t_1|\to+0$ для любых $t_1,t_2\in[0,T]$. Отсюда и из оценки (5.89) вытекает, что $u(x,t)\in\mathbb{C}([0,T];W_2)$ для каждого $T\in(0,T_0)$. А из двусторонней оценки (5.86) получаем, что если $T_0<+\infty$, то
$$ \begin{equation*} \lim_{T\uparrow T_0}\| u\|_{1,T}=+\infty. \end{equation*} \notag $$
Теорема 3 доказана.

§ 6. Разрешимость задачи Коши в слабом смысле (4.3) при $q>3/2$

Справедливо следующее основное утверждение.

Теорема 4. При условии $q>3/2$ для любой функции $u_0(x)\in\mathbb{C}^2(\mathbb{R}^3)$, удовлетворяющей условиям

$$ \begin{equation} |u_0(x)|\leqslant\frac{D_1}{(1+|x|^2)^{1/2}},\qquad |\nabla u_0(x)|\leqslant\frac{D_2}{1+|x|^2}, \end{equation} \tag{6.1} $$
$$ \begin{equation} |\Delta_3u_0(x)|\leqslant\frac{D_3}{(1+|x|^2)^{\alpha}},\qquad\alpha>\frac32, \end{equation} \tag{6.2} $$
существует локальное во времени слабое решение задачи Коши в смысле определения 1.

Доказательство. Шаг 1. Свойства неклассических тепловых потенциалов. Теперь наша задача изучить ряд свойств следующих неклассических тепловых объемных потенциалов:
$$ \begin{equation} V_0(x,t) :=V_0[\rho_0](x,t):=\int_{\mathbb{R}^3}\mathscr{E}(x-y,t)\rho_0(y)\,dy, \end{equation} \tag{6.3} $$
$$ \begin{equation} V(x,t) :=V[\rho](x,t):=\int_0^t\int_{\mathbb{R}^3}\mathscr{E}(x-y,t-\tau)\rho(y,\tau)\,dy\,d\tau \end{equation} \tag{6.4} $$
при некоторых условиях на плотности $\rho_0(x)$ и $\rho(x,t)$. Сначала сформулируем классический результат, который непосредственно вытекает из работы [29].

Лемма 9. Пусть $\rho_0(x)\in\mathbb{C}_b((1+|x|^2)^{\alpha};\mathbb{R}^3)$ при $\alpha>3/2$. Тогда классический объемный ньютоновский потенциал

$$ \begin{equation*} W_0(x):=W_0[\rho_0](x):=-\int_{\mathbb{R}^3}\frac{1}{4\pi|x-y|}\rho_0(y)\,dy \end{equation*} \notag $$
удовлетворяет равенству
$$ \begin{equation*} \langle\Delta_x W_0(x),\phi(x)\rangle=\langle\rho_0(x),\phi(x)\rangle \end{equation*} \notag $$
для любых $\phi(x)\in\mathscr{D}(\mathbb{R}^3)$, где $\langle\,{\cdot}\,,{\cdot}\,\rangle$ – это скобки двойственности между $\mathscr{D}(\mathbb{R}^3)$ и $\mathscr{D}'(\mathbb{R}^3)$, а оператор $\Delta_x$ понимается в смысле производных обобщенных функций.

Доказательство. Несмотря на “классичность” этого результата, мы его докажем, поскольку ниже при доказательстве равенства (6.6) будем использовать аналогичную технику в более сложном случае.

Пусть пробная функция $\phi(x)\in\mathscr{D}(\mathbb{R}^3)$ – произвольная фиксированная. Пусть

$$ \begin{equation*} \operatorname{supp}\phi(x)\subset O(0,R)\quad\text{при некотором}\quad R>0. \end{equation*} \notag $$
Но тогда, очевидно,
$$ \begin{equation*} \operatorname{supp}\Delta_x\phi(x)\subset O(0,R)\subset O(0,nR)\quad\text{для всех}\quad n\geqslant 2. \end{equation*} \notag $$
Справедлива следующая цепочка равенств:
$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, &\langle\Delta_x W_0(x),\phi(x)\rangle = \langle W_0(x),\Delta_x\phi(x)\rangle \nonumber \\ &\qquad= \int_{\mathbb{R}^3}W_0(x)\Delta_x\phi(x)\,dx= \int_{O(0,R)}W_0(x)\Delta_x\phi(x)\,dx \nonumber \\ &\qquad= -\frac{1}{4\pi}\int_{O(0,R)}\Delta_x\phi(x) \biggl[\int_{O(0,2R)}\frac{\rho_0(y)}{|x-y|}\,dy+ \int_{\mathbb{R}^3\setminus O(0,2R)}\frac{\rho_0(y)}{|x-y|}\,dy\biggr]\,dx \nonumber \\ &\qquad=-\frac{1}{4\pi}\int_{O(0,R)}\Delta_x\phi(x)\int_{O(0,2R)}\frac{\rho_0(y)}{|x-y|}\,dy\,dx. \end{aligned} \end{equation} \tag{6.5} $$
Заметим, что
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, &\int_{O(0,R)}\Delta_x\phi(x)\int_{\mathbb{R}^3\setminus O(0,2R)}\frac{\rho_0(y)}{|x-y|}\,dy\,dx \\ &\qquad=\int_{O(x,R)}\phi(x)\Delta_x\int_{\mathbb{R}^3\setminus O(0,2R)}\frac{\rho_0(y)}{|x-y|}\,dy\,dx=0, \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
поскольку в классическом смысле
$$ \begin{equation*} \Delta_x\int_{\mathbb{R}^3\setminus O(0,2R)}\frac{\rho_0(y)}{|x-y|}\,dy= \int_{\mathbb{R}^3\setminus O(0,2R)}\rho_0(y)\Delta_x\frac{1}{|x-y|}\,dy=0\quad\text{при}\quad x\in O(0,R). \end{equation*} \notag $$
Продолжим равенство (6.5)
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, \langle\Delta_x W_0(x),\phi(x)\rangle &= -\int_{O(0,R)}\Delta_x\phi(x)\int_{O(0,2R)}\frac{\rho_0(y)}{4\pi|x-y|}\,dy\,dx \\ &= -\int_{O(0,2R)}\Delta_x\phi(x)\int_{O(0,2R)}\frac{\rho_0(y)}{4\pi|x-y|}\,dy\,dx \\ &= -\int_{O(0,2R)}\rho_{0}(y)\int_{O(0,3R)}\frac{1}{4\pi|x-y|}\Delta_x\phi(x)\,dx\,dy \\ &=\int_{O(0,2R)}\rho_0(y)\phi(y)\,dy=\int_{\mathbb{R}^3}\rho_0(y)\phi(y)\,dy= \langle\rho_0,\phi\rangle, \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
где мы воспользовались хорошо известным равенством
$$ \begin{equation*} \int_{O(0,3R)}\frac{1}{4\pi|x-y|}\Delta_x\phi(x)\,dx\,dy=-\phi(y)\quad\text{при}\quad y\in O(0,2R), \end{equation*} \notag $$
которое справедливо (см., например, [30]), в частности, для произвольной функции $\phi(x)\in\mathbb{C}_0^{\infty}(O(0,3R))$ с носителем $\operatorname{supp}\phi\subset O(0,R)$. Лемма 9 доказана.

Теперь мы можем приступить к изучению неклассического объемного теплового потенциала $V(x,t)=V[\rho](x,t)$, определенного формулой (6.4). Справедлива следующая лемма, по своей сути аналогичная лемме 9.

Лемма 10. Пусть $\rho(x,t)\in\mathbb{C}([0,T];\mathbb{C}_b((1+|x|^2)^{\alpha};\mathbb{R}^3))$ при $\alpha>3/2$. Тогда

$$ \begin{equation*} V(x,t)\in\mathbb{C}^{(1)}([0,T];W_2), \end{equation*} \notag $$
где банахово пространство $W_2$ определено в § 3, и имеет место следующее равенство:
$$ \begin{equation} \langle\mathfrak{M}_{x,t}[V](x,t),\phi(x)\rangle=\langle\rho(x,t),\phi(x)\rangle \end{equation} \tag{6.6} $$
для всех $\phi(x)\in\mathscr{D}(\mathbb{R}^3)$ и для всех $t\in[0,T]$, где $\langle\,{\cdot}\,,{\cdot}\,\rangle$ – это скобки двойственности между $\mathscr{D}(\mathbb{R}^3)$ и $\mathscr{D}'(\mathbb{R}^3)$ и
$$ \begin{equation*} \mathfrak{M}_{x,t}[w](x,t):=\Delta_3\,\frac{\partial w(x,t)}{\partial t}+\sigma_1\Delta_2w(x,t)+\sigma_2 w_{x_3x_3}(x,t). \end{equation*} \notag $$

Доказательство. Пункт 1. Поскольку
$$ \begin{equation*} \rho(x,t)\in\mathbb{C}([0,T];\mathbb{C}_b((1+|x|^2)^{\alpha};\mathbb{R}^3)), \end{equation*} \notag $$
то
$$ \begin{equation} (1+|x|^2)^{\alpha}\rho(x,t)\in\mathbb{C}([0,T];\mathbb{C}_b(\mathbb{R}^3)). \end{equation} \tag{6.7} $$
Поэтому точно также как при доказательстве леммы 3 при $\alpha>3/2$ с учетом оценок (5.15) и (5.16) можно доказать, что
$$ \begin{equation} V(x,t)\in\mathbb{C}([0,T];W_2). \end{equation} \tag{6.8} $$
Заметим, что для любых $(x,t)\in\mathbb{R}^3\times[0,T]$ имеет место поточечное равенство
$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, \frac{\partial V(x,t)}{\partial t}&=-\int_{\mathbb{R}^3}\frac{1}{4\pi|x-y|}\rho(y,t)\,dy+ \int_0^t\int_{\mathbb{R}^3}\mathscr{E}_1(x-y,t-\tau)\rho(y,\tau)\,dy\,d\tau \nonumber \\ &= W_0[\rho](x,t)+W_1[\rho](x,t), \end{aligned} \end{equation} \tag{6.9} $$
где
$$ \begin{equation} \mathscr{E}_1(x-y,t-\tau):=\frac{\partial\mathscr{E}(x-y,t-\tau)}{\partial t}, \end{equation} \tag{6.10} $$
$$ \begin{equation} W_0(x,t):=W_0[\rho](x,t)=-\int_{\mathbb{R}^3}\frac{1}{4\pi|x-y|}\rho(y,t)\,dy, \end{equation} \tag{6.11} $$
$$ \begin{equation} W_1(x,t):=W_1[\rho](x,t):=\int_0^t\int_{\mathbb{R}^3}\mathscr{E}_1(x-y,t-\tau)\rho(y,\tau)\,dy\,d\tau. \end{equation} \tag{6.12} $$
Поскольку $\rho(x,t)\in\mathbb{C}([0,T];\mathbb{C}_b((1+|x|^2)^{\alpha};\mathbb{R}^3))$, то в силу результата леммы 4.1 работы [27] точно также, как при доказательстве леммы 3, можно показать, что
$$ \begin{equation} W_0(x,t)\in\mathbb{C}([0,T];W_2). \end{equation} \tag{6.13} $$
Функция $W_1(x,t)$ исследуется аналогично функции $U_1(x,t)$ из леммы 3; с учетом оценок (5.15) и (5.16) можно доказать, что
$$ \begin{equation} W_1(x,t)\in\mathbb{C}([0,T];W_2). \end{equation} \tag{6.14} $$
Следовательно, из (6.9), (6.13) и (6.14) приходим к выводу о том, что
$$ \begin{equation*} \frac{\partial V(x,t)}{\partial t}\in\mathbb{C}([0,T];W_2). \end{equation*} \notag $$
Итак, $V(x,t)\in\mathbb{C}^{(1)}([0,T];W_2)$.

Пункт 2. В силу результата леммы 9 имеем

$$ \begin{equation} \langle\Delta_{3x}W_0(x,t),\phi(x)\rangle=\langle\rho(x,t),\phi(x)\rangle \quad\text{для всех}\quad t\in[0,T] \end{equation} \tag{6.15} $$
и для любой пробной функции $\phi(x)\,{\in}\,\mathscr{D}(\mathbb{R}^3)$. Справедливо следующее равенство:
$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, &\langle\Delta_{3x}W_1(x,t)+\sigma_1\Delta_{2x}V(x,t)+ \sigma_2V_{x_3x_3}(x,t),\phi(x)\rangle \nonumber \\ &\qquad=\langle W_1(x,t),\Delta_{3x}\phi(x)\rangle+\langle V(x,t),\sigma_1\Delta_{2x}\phi(x)+\sigma_2\phi_{x_3x_3}\rangle=:J_1+J_2 \end{aligned} \end{equation} \tag{6.16} $$
для любой пробной функции $\phi(x)\in\mathscr{D}(\mathbb{R}^3)$. Поэтому найдется такое $R=R(\phi)>0$, что $\operatorname{supp}\phi(x)\subset O(0,R)$. Рассмотрим отдельно слагаемые $J_1$ и $J_2$. Справедлива следующая цепочка равенств:
$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, J_1 &=\int_{O(0,R)}dx\,\Delta_{3x}\phi(x)\int_0^td\tau \int_{\mathbb{R}^3}dy\,\mathscr{E}_1(x-y,t-\tau)\rho(y,\tau) \nonumber \\ &= \int_0^td\tau \int_{O(0,R)}dx\,\Delta_{3x}\phi(x) \biggl[\int_{O(0,2R)}\mathscr{E}_1(x-y,t-\tau)\rho(y,\tau)\,dy \nonumber \\ &\qquad+ \int_{\mathbb{R}^3\setminus O(0,2R)}\mathscr{E}_1(x-y,t-\tau)\rho(y,\tau)\,dy\biggr]=: J_{11}+J_{12}, \end{aligned} \end{equation} \tag{6.17} $$
где
$$ \begin{equation} J_{11} :=\int_0^td\tau \int_{O(0,R)}dx\,\Delta_{3x}\phi(x) \int_{O(0,2R)}\mathscr{E}_1(x-y,t-\tau)\rho(y,\tau)\,dy, \end{equation} \tag{6.18} $$
$$ \begin{equation} J_{12} :=\int_0^td\tau \int_{O(0,R)}dx\,\Delta_{3x}\phi(x) \int_{\mathbb{R}^3\setminus O(0,2R)}\mathscr{E}_1(x-y,t-\tau)\rho(y,\tau)\,dy. \end{equation} \tag{6.19} $$
Прежде всего заметим, что интегрированием по частям можно получить равенство
$$ \begin{equation} J_{12}=\int_0^td\tau \int_{O(0,R)}dx\,\phi(x) \int_{\mathbb{R}^3\setminus O(0,2R)}\Delta_{3x}\mathscr{E}_1(x-y,t-\tau)\rho(y,\tau)\,dy. \end{equation} \tag{6.20} $$
Рассмотрим теперь $J_2$. Справедливы следующие равенства:
$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, J_2&=\langle V(x,t),\sigma_1\Delta_{2x}\phi(x)+\sigma_2\phi_{x_3x_3}\rangle \nonumber \\ &= \int_{O(0,R)}dx\, [\sigma_1\Delta_{2x}\phi(x)+\sigma_2\phi_{x_3x_3}(x)] \int_0^td\tau \int_{\mathbb{R}^3}\mathscr{E}(x-y,t-\tau)\rho(y,\tau)\,dy \nonumber \\ &= \int_0^td\tau \int_{O(0,R)}dx\, [\sigma_1\Delta_{2x}\phi(x)+\sigma_2\phi_{x_3x_3}(x)] \nonumber \\ &\qquad\times \biggl[\int_{O(0,2R)}\mathscr{E}(x-y,t-\tau)\rho(y,\tau)\,dy+ \int_{\mathbb{R}^3\setminus O(0,2R)}\mathscr{E}(x-y,t-\tau)\rho(y,\tau)\,dy\biggr] \nonumber \\ &=: J_{21}+J_{22}, \end{aligned} \end{equation} \tag{6.21} $$
где
$$ \begin{equation} J_{21} :=\int_0^td\tau\,\int_{O(0,R)}dx\, [\sigma_1\Delta_{2x}\phi(x)+\sigma_2\phi_{x_3x_3}(x)] \nonumber \end{equation} \notag $$
$$ \begin{equation} \qquad\times \int_{O(0,2R)}\mathscr{E}(x-y,t-\tau)\rho(y,\tau)\,dy, \end{equation} \tag{6.22} $$
$$ \begin{equation} J_{22} :=\int_0^td\tau\,\int_{O(0,R)}dx\, [\sigma_1\Delta_{2x}\phi(x)+\sigma_2\phi_{x_3x_3}(x)] \nonumber \end{equation} \notag $$
$$ \begin{equation} \qquad\times \int_{\mathbb{R}^3\setminus O(0,2R)}\mathscr{E}(x-y,t-\tau)\rho(y,\tau)\,dy. \end{equation} \tag{6.23} $$
Интегрированием по частям можно получить равенство
$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, J_{22} &=\int_0^td\tau \int_{O(0,R)}dx\,\phi(x) \int_{\mathbb{R}^3\setminus O(0,2R)}[\sigma_1\Delta_{2x}\mathscr{E}(x-y,t-\tau) \nonumber \\ &\qquad+\sigma_2\mathscr{E}_{x_3x_3}(x-y,t-\tau)]\rho(y,\tau)\,dy. \end{aligned} \end{equation} \tag{6.24} $$
Из выражений (6.20) и (6.24) вытекает, что
$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, J_{12}+J_{22} &=\int_0^td\tau\,\int_{O(0,R)}dx\,\phi(x) \int_{\mathbb{R}^3\setminus O(0,2R)}\biggl[\Delta_{3x}\frac{\partial\mathscr{E}(x-y,t-\tau)}{\partial t} \nonumber \\ &\quad+\sigma_1\Delta_{2x}\mathscr{E}(x-y,t-\tau)+ \sigma_2\mathscr{E}_{x_3x_3}(x-y,t-\tau)\biggr]\rho(y,\tau)\,dy=0 \end{aligned} \end{equation} \tag{6.25} $$
согласно определению фундаментального решения $\mathscr{E}(x,t)$. С учетом равенств (6.18) и (6.22) справедливо равенство
$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, &J_{11}+J_{21} =\int_0^td\tau\int_{O(0,R)}dx\,\Delta_{3x}\phi(x) \int_{O(0,2R)}\mathscr{E}_1(x-y,t-\tau)\rho(y,\tau)\,dy \nonumber \\ &\ \quad +\int_0^td\tau\,\int_{O(0,R)}dx\, [\sigma_1\Delta_{2x}\phi(x)+\sigma_2\phi_{x_3x_3}(x)] \int_{O(0,2R)}\mathscr{E}(x-y,t-\tau)\rho(y,\tau)\,dy \nonumber \\ &\ =\int_0^td\tau \int_{O(0,2R)}dy\,\rho(y,\tau)\int_{O(0,3R)}dx\, \biggl[\frac{\mathscr{E}(x-y,t-\tau)}{\partial t}\Delta_{3x}\phi(x) \nonumber \\ &\ \quad +\sigma_1\mathscr{E}(x-y,t-\tau)\Delta_{2x}\phi(x)+ \sigma_2\mathscr{E}(x-y,t-\tau)\phi_{x_3x_3}(x)\biggr]. \end{aligned} \end{equation} \tag{6.26} $$
Рассмотрим отдельно следующее выражение:
$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, K &:=\int_{O(0,3R)} \biggl[\frac{\mathscr{E}(x-y,t-\tau)}{\partial t}\Delta_{3x}\phi(x) \nonumber \\ &\qquad+\sigma_1\mathscr{E}(x-y,t-\tau)\Delta_{2x}\phi(x)+ \sigma_2\mathscr{E}(x-y,t-\tau)\phi_{x_3x_3}(x)\biggr]\,dx. \end{aligned} \end{equation} \tag{6.27} $$
Заметим, что имеет место предельное равенство
$$ \begin{equation} K=\lim_{\varepsilon\to+0}K^{\varepsilon}, \end{equation} \tag{6.28} $$
где
$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, K^{\varepsilon} &:=\int_{O(0,3R)\setminus O(y,\varepsilon)} \biggl[\frac{\mathscr{E}(x-y,t-\tau)}{\partial t}\Delta_{3x}\phi(x) \nonumber \\ &\qquad+\sigma_1\mathscr{E}(x-y,t-\tau)\Delta_{2x}\phi(x)+ \sigma_2\mathscr{E}(x-y,t-\tau)\phi_{x_3x_3}(x)\biggr]\,dx \end{aligned} \end{equation} \tag{6.29} $$
для любых $y\in O(0,2R)$ и $\varepsilon\in(0,R/2)$. Теперь мы проведем интегрирование по частям в интеграле (6.29) и получим следующее равенство:
$$ \begin{equation} K^{\varepsilon}=K^{\varepsilon}_{1}+K^{\varepsilon}_{2}+K^{\varepsilon}_{3}, \end{equation} \tag{6.30} $$
где
$$ \begin{equation} K^{\varepsilon}_{1} =\int_{\partial O(0,3R)\cup\partial O(y,\varepsilon)}\biggl\{\frac{\partial\mathscr{E}(x-y,t-\tau)}{\partial t}\, \frac{\partial\phi(x)}{\partial n_x} \nonumber \end{equation} \notag $$
$$ \begin{equation} \quad+\sigma_1\mathscr{E}(x-y,t-\tau)\biggl[\frac{\partial\phi(x)}{\partial x_1}\cos(n_x,e_1)+\frac{\partial\phi(x)}{\partial x_2}\cos(n_x,e_2)\biggr] \nonumber \end{equation} \notag $$
$$ \begin{equation} \quad+\sigma_2\mathscr{E}(x-y,t-\tau)\, \frac{\partial\phi(x)}{\partial x_3}\cos(n_x,e_3)\biggr\}\,dS_x, \end{equation} \tag{6.31} $$
$$ \begin{equation} K^{\varepsilon}_2 =-\int_{\partial O(0,3R)\cup\partial O(y,\varepsilon)}\biggl[ \frac{\partial^2\mathscr{E}(x-y,t-\tau)}{\partial t\,\partial n_x}+ \sigma_1\,\frac{\partial\mathscr{E}(x-y,t-\tau)}{\partial x_1}\cos(n_x,e_1) \nonumber \end{equation} \notag $$
$$ \begin{equation} \quad+ \sigma_1\,\frac{\partial\mathscr{E}(x-y,t-\tau)}{\partial x_2}\cos(n_x,e_2) +\sigma_2\,\frac{\partial\mathscr{E}(x-y,t-\tau)}{\partial x_3}\cos(n_x,e_3)\biggr]\phi(x)\,dS_x, \end{equation} \tag{6.32} $$
$$ \begin{equation} K^{\varepsilon}_3 =\int_{O(0,3R)\setminus O(y,\varepsilon)}\phi(x)\mathfrak{M}_{x,t}[\mathscr{E}](x-y,t-\tau)\,dx=0, \end{equation} \tag{6.33} $$
поскольку согласно определению фундаментального решения $\mathscr{E}(x-y,t-\tau)$ имеет место равенство
$$ \begin{equation*} \mathfrak{M}_{x,t}[\mathscr{E}](x-y,t)=0\quad\text{для всех}\quad (x,t)\in (O(0,3R)\setminus O(y,\varepsilon))\times[0,T]. \end{equation*} \notag $$
Кроме того,
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, &\int_{\partial O(0,3R)}\biggl\{\frac{\partial\mathscr{E}(x-y,t-\tau)}{\partial t}\, \frac{\partial\phi(x)}{\partial n_x} \\ &\qquad+\sigma_1\mathscr{E}(x-y,t-\tau)\biggl[\frac{\partial\phi(x)}{\partial x_1}\cos(n_x,e_1)+\frac{\partial\phi(x)}{\partial x_2}\cos(n_x,e_2)\biggr] \\ &\qquad+\sigma_2\mathscr{E}(x-y,t-\tau)\, \frac{\partial\phi(x)}{\partial x_3}\cos(n_x,e_3)\biggr\}\,dS_x=0, \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
поскольку $\operatorname{supp}\phi(x)\subset O(0,R)$. А интеграл
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, &\int_{\partial O(y,\varepsilon)}\biggl\{\frac{\partial\mathscr{E}(x-y,t-\tau)}{\partial t}\, \frac{\partial\phi(x)}{\partial n_x} \\ &\qquad+\sigma_1\mathscr{E}(x-y,t-\tau)\biggl[\frac{\partial\phi(x)}{\partial x_1}\cos(n_x,e_1)+\frac{\partial\phi(x)}{\partial x_2}\cos(n_x,e_2)\biggr] \\ &\qquad+ \sigma_2\mathscr{E}(x-y,t-\tau)\, \frac{\partial\phi(x)}{\partial x_3}\cos(n_x,e_3)\biggr\}\,dS_x\to 0 \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
при $\varepsilon\to+0$ для каждого фиксированного $y\in O(0,2R)$, поскольку $\phi(x)\in\mathbb{C}^{\infty}_0(O(0,3R))$ и справедливы оценки (5.5) для фундаментального решения $\mathscr{E}(x,t)$, а площадь сферы $\partial O(y,\varepsilon)$ равна $2\pi\varepsilon^2$. Следовательно, имеем
$$ \begin{equation} \lim_{\varepsilon\to+0}K^{\varepsilon}_{1}=0. \end{equation} \tag{6.34} $$
Наконец, поскольку $\phi(x)=0$ на $\partial O(0,3R)$, то от выражения для $K_{2}^{\varepsilon}$ остается только следующий интеграл:
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, K^{\varepsilon}_2 &=-\int_{\partial O(y,\varepsilon)}\biggl[ \frac{\partial^2\mathscr{E}(x-y,t-\tau)}{\partial t\,\partial n_x}+ \sigma_1\,\frac{\partial\mathscr{E}(x-y,t-\tau)}{\partial x_1}\cos(n_x,e_1) \\ &\quad+\sigma_1\,\frac{\partial\mathscr{E}(x-y,t-\tau)}{\partial x_2}\cos(n_x,e_2)+ \sigma_2\,\frac{\partial\mathscr{E}(x-y,t-\tau)}{\partial x_3}\cos(n_x,e_3)\biggr]\phi(x)\,dS_x, \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
который мы перепишем в виде
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, K^{\varepsilon}_2 &=-\phi(y)\int_{\partial O(y,\varepsilon)}\biggl[ \frac{\partial^2\mathscr{E}(x-y,t-\tau)}{\partial t\, \partial n_x}+ \sigma_1\, \frac{\partial\mathscr{E}(x-y,t-\tau)}{\partial x_1}\cos(n_x,e_1) \\ &\qquad+ \sigma_1\, \frac{\partial\mathscr{E}(x-y,t-\tau)}{\partial x_2}\cos(n_x,e_2)+ \sigma_2\, \frac{\partial\mathscr{E}(x-y,t-\tau)}{\partial x_3}\cos(n_x,e_3)\biggr]\,dS_x \\ &\qquad+\int_{\partial O(y,\varepsilon)}\biggl[ \frac{\partial^2\mathscr{E}(x-y,t-\tau)}{\partial t\, \partial n_x}+ \sigma_1\, \frac{\partial\mathscr{E}(x-y,t-\tau)}{\partial x_1}\cos(n_x,e_1) \\ &\qquad+ \sigma_1\, \frac{\partial\mathscr{E}(x-y,t-\tau)}{\partial x_2}\cos(n_x,e_2)+ \sigma_2\, \frac{\partial\mathscr{E}(x-y,t-\tau)}{\partial x_3}\cos(n_x,e_3)\biggr] \\ &\qquad\qquad\times[\phi(y)-\phi(x)]\,dS_x \\ &=:K^{\varepsilon}_{21}+K^{\varepsilon}_{22}. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Отметим, что
$$ \begin{equation*} |\phi(x)-\phi(y)|\leqslant a(y,\varepsilon)|x-y|\quad\text{для всех}\quad x\in O(y,\varepsilon), \end{equation*} \notag $$
и поэтому в силу оценок (5.5) фундаментального решения $\mathscr{E}(x,t)$ приходим к предельному свойству
$$ \begin{equation*} \lim_{\varepsilon\to+0}K^{\varepsilon}_{22}=0. \end{equation*} \notag $$
Осталось заметить, что
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, &\int_{\partial O(y,\varepsilon)}\biggl[ \frac{\partial^2\mathscr{E}(x-y,t-\tau)}{\partial t\, \partial n_x}+ \sigma_1\, \frac{\partial\mathscr{E}(x-y,t-\tau)}{\partial x_1}\cos(n_x,e_1) \\ &\qquad+\sigma_1\, \frac{\partial\mathscr{E}(x-y,t-\tau)}{\partial x_2}\cos(n_x,e_2)+ \sigma_2\, \frac{\partial\mathscr{E}(x-y,t-\tau)}{\partial x_3}\cos(n_x,e_3)\biggr]\,dS_x=0, \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
что может быть проверено при помощи преобразования Лапласа. Поэтому
$$ \begin{equation} \lim_{\varepsilon\to+0}K^{\varepsilon}_2=0. \end{equation} \tag{6.35} $$
Таким образом, в силу предельных свойств (6.33), (6.35) и равенства (6.33) мы из (6.30) приходим к выводу о том, что
$$ \begin{equation} \lim_{\varepsilon\to+0}K^{\varepsilon}=0 \end{equation} \tag{6.36} $$
и, следовательно, в силу (6.28) получаем равенство $K=0$. Значит, из (6.26) вытекает равенство
$$ \begin{equation*} J_{11}+J_{21}=0. \end{equation*} \notag $$
Поэтому из (6.16) имеем
$$ \begin{equation*} \langle\Delta_{3x}W_1(x,t)+\sigma_1\Delta_{2x}W_2(x,t)+\sigma_2W_{2x_3x_3}(x,t),\phi(x)\rangle=0 \end{equation*} \notag $$
для всех $\phi(x)\in\mathscr{D}(\mathbb{R}^3)$. Поэтому с учетом равенства (6.15) мы приходим к равенству (6.6). Лемма 10 доказана.

Справедливо следующее утверждение.

Лемма 11. Для любой плотности $\rho_0(x)\in\mathbb{C}([0,T];\mathbb{C}((1+|x|^2)^{\alpha};\mathbb{R}^3))$ при $\alpha>3/2$ неклассический объемный потенциал $V_0(x,t)$, определенный равенством (6.3), принадлежит классу $\mathbb{C}^{(1)}([0,T];W_2)$ для любого $T>0$ и справедливо равенство

$$ \begin{equation} \langle\mathfrak{M}_{x,t}V_0(x,t),\phi(x)\rangle=0\quad\textit{при}\quad t\in[0,+\infty) \end{equation} \tag{6.37} $$
для всех $\phi(x)\in\mathscr{D}(\mathbb{R}^3)$.

Доказательство в точности повторяет соответствующую часть доказательства леммы 10.

Наконец, справедливо следующее утверждение.

Лемма 12. Пусть $u_0(x)\in\mathbb{C}^2(\mathbb{R}^3)$ и выполнены свойства

$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, |u_0(x)|\leqslant\frac{A_1}{(1+|x|^2)^{1/2}},\qquad |\nabla u_0(x)|\leqslant\frac{A_2}{1+|x|^2}, \\ |\Delta_3u_0(x)|\leqslant\frac{A_3}{(1+|x|^2)^{\alpha}},\quad \alpha>\frac{3}{2}. \end{gathered} \end{equation*} \notag $$
Тогда справедливо следующее равенство:
$$ \begin{equation} -\int_{\mathbb{R}^3}\frac{1}{4\pi|x-y|}\Delta_3u_0(y)\,dy=u_0(x). \end{equation} \tag{6.38} $$

Доказательство. Утверждение доказывается применением третьей формулы Грина к функции $u_0(x)$ для оператора Лапласа в области $O(0,R)$ с последующим переходом к пределу при $R\to+\infty$ с учетом неравенств в формулировке леммы. Лемма доказана.

Теперь мы можем доказать следующее утверждение.

Лемма 13. Для любой функции $u_0(x)$, удовлетворяющей условиям леммы 12, и для каждой точки $x\in\mathbb{R}^3$ справедливо равенство

$$ \begin{equation} V_0[\Delta_3u_0(x)](x,0)=u_0(x). \end{equation} \tag{6.39} $$

Доказательство. Прежде всего заметим, что для любой точки $x\in\mathbb{R}^3$ имеет место представление
$$ \begin{equation*} V_0[\Delta_3u_0](x,0)=-\int_{\mathbb{R}^3}\frac{1}{4\pi|x-y|}\Delta_3u_0(y)\,dy. \end{equation*} \notag $$
Осталось воспользоваться результатом леммы 12. Лемма доказана.

Наконец, в силу результатов лемм 10 и 11 приходим к выводу о том, что в силу интегрального уравнения (5.1) имеем

$$ \begin{equation*} u(x,t)\,{=}\,V[|\nabla u|^q](x,t)+V_0[\Delta_3u_0](x,t)\, {\in}\, \mathbb{C}^{(1)}([0,T];W_2)\quad\text{для любого } \ T\,{\in}\,(0,T_0). \end{equation*} \notag $$
Поэтому справедливо следующее утверждение.

Лемма 14. Для любого $u_0(x)\in\mathbb{C}^{(2)}(\mathbb{R}^3)$, удовлетворяющего неравенствам (6.1), (6.2), решение интегрального уравнения (5.1) принадлежит классу

$$ \begin{equation} \mathbb{C}^{(1)}([0,T];W_2)\quad\textit{для всех}\quad T\in(0,T_0). \end{equation} \tag{6.40} $$

Шаг 2. Связь построенного решения с локальным слабым решением задачи Коши. Прежде всего заметим, что в силу результата теоремы 3 справедливо, что $u(x,t)\in\mathbb{C}([0,T];W_2)$ для любого $t\in(0,T_0)$ и поэтому имеем

$$ \begin{equation} \rho(x,t):=|\nabla u|^q\in\mathbb{C}([0,T];\mathbb{C}_b((1+|x|^2)^q;\mathbb{R}^3)),\qquad q>\frac32. \end{equation} \tag{6.41} $$
Согласно результатам лемм 10 и 11 и явного вида интегрального уравнения (5.1) справедливо следующее равенство:
$$ \begin{equation*} \langle\mathfrak{M}_{x,t}[u](x,t),\phi(x)\rangle=\langle|\nabla u(x,t)|^q,\phi(x)\rangle\quad\text{для всех}\quad\phi(x)\in\mathscr{D}(\mathbb{R}^3), \end{equation*} \notag $$
где $\langle\,{\cdot}\,,{\cdot}\,\rangle$ – это скобки двойственности между $\mathscr{D}(\mathbb{R}^3)$ и $\mathscr{D}'(\mathbb{R}^3)$. Более того, нетрудно заметить, что пробная функция $\phi(x)$ может зависеть от $t\in[0,T]$ как от параметра. Поэтому, на самом деле, мы доказали, что имеет место следующее равенство:
$$ \begin{equation} \langle\mathfrak{M}_{x,t}[u](x,t),\phi(x,t)\rangle=\langle|\nabla u(x,t)|^q,\phi(x,t)\rangle\quad\text{при}\quad t\in[0,T] \end{equation} \tag{6.42} $$
и для всех $\phi(x,t)\in\mathbb{C}^{\infty,1}_{x,t}(\mathbb{R}^3\times[0,T])$, удовлетворяющих условиям из определения (4.3) слабого решения. Осталось сделать следующие наблюдения. Поскольку $|\nabla u(x,t)|^{q}\in\mathbb{C}([0,T];\mathbb{C}_b((1+|x|^2)^{q};\mathbb{R}^3))$, справедливо следующее равенство:
$$ \begin{equation} \langle|\nabla u(x,t)|^q,\phi(x,t)\rangle=\int_{\mathbb{R}^3}|\nabla u(x,t)|^q\phi(x,t)\,dx \quad\text{для всех}\quad t\in[0,T]. \end{equation} \tag{6.43} $$
Кроме того, справедливы равенства
$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, &\langle\mathfrak{M}_{x,t}[u](x,t),\phi(x,t)\rangle= \biggl\langle\Delta_{3x}\, \frac{\partial u(x,t)}{\partial t}+\sigma_1\Delta_{2x}u(x,t)+\sigma_2u_{x_3x_3}(x,t),\phi(x,t)\biggr\rangle \nonumber \\ &\qquad=-\sum_{j=1}^3\biggl\langle\frac{\partial^2u(x,t)}{\partial x_j\,\partial t},\frac{\partial\phi(x,t)}{\partial x_j}\biggr\rangle- \sigma_1\sum_{j=1}^2\biggl\langle\frac{\partial u(x,t)}{\partial x_j},\frac{\partial\phi(x,t)}{\partial x_j}\biggr\rangle \nonumber \\ &\qquad\qquad-\sigma_2\biggl\langle\frac{\partial u(x,t)}{\partial x_3},\frac{\partial\phi(x,t)}{\partial x_3}\biggr\rangle. \end{aligned} \end{equation} \tag{6.44} $$
Имеют место также следующие равенства:
$$ \begin{equation} \begin{split} &\sum_{j=1}^3\biggl\langle\frac{\partial^2u(x,t)}{\partial x_j\, \partial t},\frac{\partial\phi(x,t)}{\partial x_j}\biggr\rangle= \int_{\mathbb{R}^3}\biggl(\nabla\,\frac{\partial u(x,t)}{\partial t},\nabla\phi(x,t)\biggr)\,dx \\ &\qquad=\int_{\mathbb{R}^3}\biggl(\frac{\partial \nabla u(x,t)}{\partial t},\nabla\phi(x,t)\biggr)\,dx \\ &\qquad=\int_{\mathbb{R}^3}\frac{\partial}{\partial t}(\nabla u(x,t),\nabla \phi(x,t))\,dx-\int_{\mathbb{R}^3}(\nabla u(x,t),\nabla\phi'_t(x,t))\,dx, \end{split} \end{equation} \tag{6.45} $$
$$ \begin{equation} \sum_{j=1}^2\biggl\langle\frac{\partial u(x,t)}{\partial x_j}, \frac{\partial\phi(x,t)}{\partial x_j}\biggr\rangle =\int_{\mathbb{R}^3}[u_{x_1}(x,t)\phi_{x_1}(x,t)+ u_{x_2}(x,t)\phi_{x_2}(x,t)]\,dx, \end{equation} \tag{6.46} $$
$$ \begin{equation} \biggl\langle\frac{\partial u(x,t)}{\partial x_3},\frac{\partial\phi(x,t)}{\partial x_3}\biggr\rangle=\int_{\mathbb{R}^3}u_{x_3}(x,t)\phi_{x_3}(x,t)\,dx\quad\text{при}\quad t\in[0,T] \end{equation} \tag{6.47} $$
и для всех $\phi(x,t)\in\mathbb{C}^{\infty,1}_{x,t}(\mathbb{R}^3\times[0,T])$, удовлетворяющих условиям из определения (4.3) слабого решения.

Теперь проинтегрируем обе части равенства (6.45) по $t\in[0,T]$ и получим равенство

$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, &\int_0^T\sum_{j=1}^3\biggl\langle\frac{\partial^2u(x,t)}{\partial x_j\, \partial t},\frac{\partial\phi(x,t)}{\partial x_j}\biggr\rangle\,dt \nonumber \\ &\qquad= -\int_{\mathbb{R}^3}(\nabla u_0(x),\nabla \phi(x,0))\,dx -\int_0^T\int_{\mathbb{R}^3}(\nabla u(x,t),\nabla\phi'_t(x,t))\,dx\,dt \end{aligned} \end{equation} \tag{6.48} $$
для пробных функций $\phi(x,t)$ из определения слабого решения (4.3). В частности, $\phi(x,T)=0$.

Проинтегрируем обе части равенства (6.42) по $t\in [0,T]$. Тогда с учетом равенств (6.45)(6.48) мы получим равенство (4.3). Таким образом, при $q>3/2$ и для произвольных начальных функций $u_0(x)$, удовлетворяющих условиям теоремы, существует по меньшей мере одно локальное слабое решение задачи Коши в смысле определения 1.

Теорема 4 доказана.

Замечание 1. Вопрос о единственности локального слабого решения задачи Коши при $q>3/2$ остался открытым.

Список литературы

1. H. Brezis, X. Cabré, “Some simple nonlinear PDE's without solutions”, Boll. Unione Mat. Ital. Sez. B Artic. Ric. Mat. (8), 1:2 (1998), 223–262  mathscinet  zmath
2. X. Cabre, Y. Martel, “Existence versus explosion instantanée pour des équations de la chaleur linéaires avec potentiel singulier [Existence versus instantaneous blow-up for linear heat equations with singular potentials]”, C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math., 329:11 (1999), 973–978  crossref  mathscinet  zmath  adsnasa
3. F. B. Weissler, “Local existence and nonexistence for semilinear parabolic equations in $L^p$”, Indiana Univ. Math. J., 29:1 (1980), 79–102  crossref  mathscinet  zmath
4. Э. Митидиери, С. И. Похожаев, “Априорные оценки и отсутствие решений нелинейных уравнений и неравенств в частных производных”, Тр. МИАН, 234, Наука, МАИК «Наука/Интерпериодика», М., 2001, 3–383  mathnet  mathscinet  zmath; англ. пер.: È. Mitidieri, S. I. Pokhozhaev, “A priori estimates and blow-up of solutions to nonlinear partial differential equations and inequalities”, Proc. Steklov Inst. Math., 234 (2001), 1–362
5. V. A. Galaktionov, J.-L. Vázquez, “The problem of blow-up in nonlinear parabolic equations”, Current developments in partial differential equations (Temuco, 1999), Discrete Contin. Dyn. Syst., 8:2 (2002), 399–433  crossref  mathscinet  zmath
6. J. A. Goldstein, I. Kombe, “Instantaneous blow up”, Advances in differential equations and mathematical physics (Birmingham, AL, 2002), Contemp. Math., 327, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2003, 141–150  crossref  mathscinet  zmath
7. Y. Giga, N. Umeda, “On instant blow-up for semilinear heat equations with growing initial data”, Methods Appl. Anal., 15:2 (2008), 185–195  crossref  mathscinet  zmath
8. Е. И. Галахов, “Об отсутствии локальных решений некоторых эволюционных задач”, Матем. заметки, 86:3 (2009), 337–349  mathnet  crossref  mathscinet  zmath; англ. пер.: E. I. Galakhov, “On the absence of local solutions of several evolutionary problems”, Math. Notes, 86:3 (2009), 314–324  crossref
9. Е. И. Галахов, “О мгновенном разрушении решений некоторых квазилинейных эволюционных задач”, Дифференц. уравнения, 46:3 (2010), 326–335  mathscinet  zmath; англ. пер.: E. I. Galakhov, “On the instantaneous blow-up of solutions of some quasilinear evolution problems”, Differ. Equ., 46:3 (2010), 329–338  crossref
10. B. D. Coleman, R. J. Duffin, V. J. Mizel, “Instability, uniqueness, and nonexistence theorems for the equation $u_t=u_{xx}-u_{xtx}$ on a strip”, Arch. Rational Mech. Anal., 19:2 (1965), 100–116  crossref  mathscinet  zmath  adsnasa
11. Г. А. Свиридюк, “К общей теории полугрупп операторов”, УМН, 49:4(298) (1994), 47–74  mathnet  mathscinet  zmath; англ. пер.: G. A. Sviridyuk, “On the general theory of operator semigroups”, Russian Math. Surveys, 49:4 (1994), 45–74  crossref  adsnasa
12. A. B. Al'shin, M. O. Korpusov, A. G. Sveshnikov, Blow-up in nonlinear Sobolev type equations, De Gruyter Ser. Nonlinear Anal. Appl., 15, Walter de Gruyter & Co., Berlin, 2011, xii+648 pp.  crossref  mathscinet  zmath
13. М. О. Корпусов, “Критические показатели мгновенного разрушения или локальной разрешимости нелинейных уравнений соболевского типа”, Изв. РАН. Сер. матем., 79:5 (2015), 103–162  mathnet  crossref  mathscinet  zmath; англ. пер.: M. O. Korpusov, “Critical exponents of instantaneous blow-up or local solubility of non-linear equations of Sobolev type”, Izv. Math., 79:5 (2015), 955–1012  crossref  adsnasa
14. M. O. Korpusov, A. V. Ovchinnikov, A. A. Panin, “Instantaneous blow-up versus local solvability of solutions to the Cauchy problem for the equation of a semiconductor in a magnetic field”, Math. Methods Appl. Sci., 41:17 (2018), 8070–8099  crossref  mathscinet  zmath
15. С. А. Загребина, “Начально-конечная задача для уравнений соболевского типа с сильно $(L,p)$-радиальным оператором”, Матем. заметки СВФУ, 19:2 (2012), 39–48  zmath
16. A. A. Zamyshlyaeva, G. A. Sviridyuk, “Nonclassical equations of mathematical physics. Linear Sobolev type equations of higher order”, Вестн. Южно-Ур. ун-та. Сер. Матем. Мех. Физ., 8:4 (2016), 5–16  mathnet  crossref  zmath
17. Е. А. Альшина, Н. Н. Калиткин, П. В. Корякин, “Диагностика особенностей точного решения при расчетах с контролем точности”, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 45:10 (2005), 1837—1847  mathnet  mathscinet  zmath; англ. пер.: E. A. Al'shina, N. N. Kalitkin, P. V. Koryakin, “Diagnostics of singularities of exact solutions in computations with error control”, Comput. Math. Math. Phys., 45:10 (2005), 1769–1779
18. Н. Н. Калиткин, А. Б. Альшин, Е. А. Альшина, Б. В. Рогов, Вычисления на квазиравномерных сетках, Физматлит, М., 2005, 224 с.
19. А. Б. Альшин, Е. А. Альшина, “Численная диагностика разрушения решений псевдопараболических уравнений”, Совр. матем. и ее приложения, 40, Дифференциальные уравнения (2006), 139–156  zmath; англ. пер.: A. B. Al'shin, E. A. Al'shina, “Numerical diagnosis of blow-up of solutions of pseudoparabolic equations”, J. Math. Sci. (N.Y.), 148:1 (2008), 143–162  crossref  mathscinet
20. M. O. Korpusov, D. V. Lukyanenko, A. A. Panin, E. V. Yushkov, “Blow-up for one Sobolev problem: theoretical approach and numerical analysis”, J. Math. Anal. Appl., 442:2 (2016), 451–468  crossref  mathscinet  zmath
21. M. O. Korpusov, D. V. Lukyanenko, A. A. Panin, E. V. Yushkov, “Blow-up phenomena in the model of a space charge stratification in semiconductors: analytical and numerical analysis”, Math. Methods Appl. Sci., 40:7 (2017), 2336–2346  crossref  mathscinet  zmath  adsnasa
22. М. О. Корпусов, Д. В. Лукьяненко, Е. А. Овсянников, А. А. Панин, “Локальная разрешимость и разрушение решения одного уравнения с квадратичной некоэрцитивной нелинейностью”, Вестн. ЮУрГУ. Сер. Матем. моделирование и программирование, 10:2 (2017), 107–123  mathnet  crossref  zmath
23. M. O. Korpusov, D. V. Lukyanenko, A. A. Panin, G. I. Shlyapugin, “On the blow-up phenomena for a 1-dimensional equation of ion sound waves in a plasma: analytical and numerical investigation”, Math. Methods Appl. Sci., 41:8 (2018), 2906–2929  crossref  mathscinet  zmath  adsnasa
24. M. O. Korpusov, D. V. Lukyanenko, “Instantaneous blow-up versus local solvability for one problem of propagation of nonlinear waves in semiconductors”, J. Math. Anal. Appl., 459:1 (2018), 159–181  crossref  mathscinet  zmath
25. М. О. Корпусов, Д. В. Лукьяненко, А. А. Панин, Е. В. Юшков, “О разрушении решений одного полного нелинейного уравнения ионно-звуковых волн в плазме с некоэрцитивными нелинейностями”, Изв. РАН. Сер. матем., 82:2 (2018), 43–78  mathnet  crossref  mathscinet  zmath; англ. пер.: M. O. Korpusov, D. V. Lukyanenko, A. A. Panin, E. V. Yushkov, “Blow-up of solutions of a full non-linear equation of ion-sound waves in a plasma with non-coercive non-linearities”, Izv. Math., 82:2 (2018), 283–317  crossref  adsnasa
26. В. Л. Бонч-Бруевич, С. Г. Калашников, Физика полупроводников, Наука, М., 1977, 672 с.
27. Д. Гилбарг, Н. Трудингер, Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка, Наука, М., 1989, 464 с.  mathscinet  zmath; пер. с англ.: D. Gilbarg, N. S. Trudinger, Elliptic partial differential equations of second order, Grundlehren Math. Wiss., 224, 2nd ed., Springer-Verlag, Berlin, 1983, xiii+513 с.  crossref  mathscinet  zmath
28. А. А. Панин, “О локальной разрешимости и разрушении решения абстрактного нелинейного интегрального уравнения Вольтерра”, Матем. заметки, 97:6 (2015), 884–903  mathnet  crossref  mathscinet  zmath; англ. пер.: A. A. Panin, “On local solvability and blow-up of solutions of an abstract nonlinear Volterra integral equation”, Math. Notes, 97:6 (2015), 892–908  crossref
29. В. С. Владимиров, Уравнения математической физики, 5-е изд., Наука, М., 1988, 512 с.  mathscinet  zmath; англ. пер. 1-го изд.: V. S. Vladimirov, Equations of mathematical physics, Pure Appl. Math., 3, Marcel Dekker, Inc., New York, 1971, vi+418 с.  mathscinet  zmath
30. Дж. Уэрмер, Теория потенциала, Мир, М., 1980, 136 с.  mathscinet  zmath; пер. с англ.: J. Wermer, Potential theory, Lecture Notes in Math., 408, Springer-Verlag, Berlin–New York, 1974, viii+146 с.  crossref  mathscinet  zmath

Образец цитирования: М. О. Корпусов, А. А. Панин, А. Е. Шишков, “О критическом показателе “мгновенное разрушение” versus “локальная разрешимость” в задаче Коши для модельного уравнения соболевского типа”, Изв. РАН. Сер. матем., 85:1 (2021), 118–153; Izv. Math., 85:1 (2021), 111–144
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{KorPanShi21}
\by М.~О.~Корпусов, А.~А.~Панин, А.~Е.~Шишков
\paper О критическом показателе ``мгновенное разрушение'' versus ``локальная разрешимость'' в~задаче Коши для модельного уравнения соболевского типа
\jour Изв. РАН. Сер. матем.
\yr 2021
\vol 85
\issue 1
\pages 118--153
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/im8949}
\crossref{https://doi.org/10.4213/im8949}
\mathscinet{http://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=4223888}
\adsnasa{https://adsabs.harvard.edu/cgi-bin/bib_query?2021IzMat..85..111K}
\elib{https://elibrary.ru/item.asp?id=46756604}
\transl
\jour Izv. Math.
\yr 2021
\vol 85
\issue 1
\pages 111--144
\crossref{https://doi.org/10.1070/IM8949}
\isi{https://gateway.webofknowledge.com/gateway/Gateway.cgi?GWVersion=2&SrcApp=Publons&SrcAuth=Publons_CEL&DestLinkType=FullRecord&DestApp=WOS_CPL&KeyUT=000620163900001}
\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85101702243}
Образцы ссылок на эту страницу:
  • https://www.mathnet.ru/rus/im8949
  • https://doi.org/10.4213/im8949
  • https://www.mathnet.ru/rus/im/v85/i1/p118
  • Эта публикация цитируется в следующих 11 статьяx:
    Citing articles in Google Scholar: Russian citations, English citations
    Related articles in Google Scholar: Russian articles, English articles
    Известия Российской академии наук. Серия математическая Izvestiya: Mathematics
    Статистика просмотров:
    Страница аннотации:503
    PDF русской версии:106
    PDF английской версии:32
    HTML русской версии:198
    Список литературы:63
    Первая страница:31
     
      Обратная связь:
     Пользовательское соглашение  Регистрация посетителей портала  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2024