| Известия Российской академии наук. Серия математическая |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 7 научных статьях (всего в 7 статьях) Модели теории множеств, в которых теорема отделимости неверна В. Г. Кановей, В. А. Любецкий Институт проблем передачи информации им. А. А. Харкевича Российской академии наук, г. Москва
Англоязычная версия:
Izvestiya: Mathematics, 2021, Volume 85, Issue 6, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/IM8937 
Реферативные базы данных:
   § 1. ВведениеПроблема отделимости была введена в дескриптивную теорию множеств Н. Н. Лузиным [1]. В частности, Лузин спрашивал, верно ли, что (в современных обозначениях для проективных классов): (I) любая пара дизъюнктных $\mathbf{\Sigma}^1_n$-множеств вещественных чисел отделяется $\mathbf{\Delta}^1_n$-множеством; (II) остатки двух $\mathbf{\Sigma}^1_n$-множеств после удаления их общей части могут быть отделены дизъюнктными $\mathbf{\Pi}^1_n$-множествами; и (III) найдутся дизъюнктные $\mathbf{\Pi}^1_n$-множества, неотделимые $\mathbf{\Delta}^1_n$-множеством. Лузин подчеркнул важность и трудность этих проблем1. П. С. Новиков включил проблему отделимости в число трех главных проблем дескриптивной теории множеств в [2; с. 279], вместе с проблемой измеримости $\mathbf{\Sigma}^1_2$-множеств и проблемой мощности $\mathbf{\Pi}^1_1$-множеств. (Об этих последних см., например, в [3].) Проблема отделимости хорошо известна в дескриптивной теории множеств. В современной терминологии (см. Московакис [4], Кехрис [5]), (первая) теорема отделимости для класса $\Gamma$ точечных множеств (множеств в польских пространствах) – это утверждение, что любые два дизъюнктных множества из $\Gamma$ (в одном пространстве) отделимы множеством из $\Gamma\cap\Gamma^{\complement}$, где $\Gamma^{\complement}$ – класс дополнений к $\Gamma$-множествам. Вторая теорема отделимости для $\Gamma$ утверждает, что если $X$, $Y$ – множества из $\Gamma$ (в одном пространстве), то множества $X'=X\setminus Y$ и $Y'=Y\setminus X$ отделимы двумя дизъюнктными множествами из $\Gamma^{\complement}$. Таким образом, содержание проблем (I), (II), (III) таково: – верна ли (первая) теорема отделимости для $\mathbf{\Sigma}^1_n$? – верна ли вторая теорема отделимости для $\mathbf{\Sigma}^1_n$? – нарушается ли (первая) теорема отделимости для $\mathbf{\Pi}^1_n$? Обе теоремы отделимости верны для класса $\mathbf{\Sigma}^1_1$ согласно Лузину [6], [1], но неверны для $\mathbf{\Pi}^1_1$ согласно Новикову [7], и к моменту публикации (французского оригинала) книги [1] в 1930 г. эти результаты были известны. Несколько позже, Новиков [8] установил, что картина меняется на втором проективном уровне: обе теоремы отделимости верны для класса $\mathbf{\Pi}^1_2$, но не верны для $\mathbf{\Sigma}^1_2$. В то же время, Куратовский [9] доказал теорему редукции для класса $\mathbf{\Sigma}^1_2$, состоящую в том, что если $X$, $Y$ – множества из $\mathbf{\Sigma}^1_2$, то существуют дизъюнктные множества $X'\subseteq X$, $Y'\subseteq Y$ в том же классе $\mathbf{\Sigma}^1_2$, с тем же объединением $X'\cup Y'=X\cup Y$. Куратовский также заметил, что рассуждения Лузина в доказательстве теоремы отделимости для $\mathbf{\Sigma}^1_1$ также дают теорему редукции для $\mathbf{\Pi}^1_1$. Вообще, если теорема редукции выполнена для проективного класса $\Gamma$, то обе теоремы отделимости выполнены для двойственного класса $\Gamma^{\complement}$. Итак, классические исследования показали, что теорема редукции выполнена для проективных классов $\mathbf{\Pi}^1_1$, $\mathbf{\Sigma}^1_2$, и не имеет места для $\mathbf{\Sigma}^1_1$, $\mathbf{\Pi}^1_2$, а теоремы отделимости выполнены для $\mathbf{\Sigma}^1_1$, $\mathbf{\Pi}^1_2$ и не имеют места для $\mathbf{\Pi}^1_1$, $\mathbf{\Sigma}^1_2$. Можно заметить обращение между первым и вторым уровнями иерархии. Что касается более высоких уровней проективной иерархии, все попытки решить проблемы отделимости и редукции методами классической дескритивной теории не дали результата выше второго уровня. Прогресса удалось добиться лишь с помощью дополнительных теоретико-множественных аксиом. Так, по Новикову [2] (см. также Аддисон [10]), гёделева аксиома конструктивности $\mathbf{V}=\mathbf{L}$ влечет, что для любого $n\geqslant 3$, теорема редукции выполнена для $\mathbf{\Sigma}^1_n$ и не имеет места для $\mathbf{\Pi}^1_n$, а теоремы отделимости выполнены для $\mathbf{\Pi}^1_n$, но не для $\mathbf{\Sigma}^1_n$ – совершенно аналогично второму уровню. С другой стороны, по Аддисону и Московакису [11], и Мартину [12], аксиома проективной детерминированности $\mathbf{PD}$ влечет, что для любого $m\geqslant 1$, теорема редукции выполнена для проективных классов $\mathbf{\Pi}^1_{2m+1}$, $\mathbf{\Sigma}^1_{2m+2}$ и не имеет места для $\mathbf{\Sigma}^1_{2m+1}$, $\mathbf{\Pi}^1_{2m+2}$, а теоремы отделимости выполнены для $\mathbf{\Sigma}^1_{2m+1}$, $\mathbf{\Pi}^1_{2m+2}$, но не для $\mathbf{\Pi}^1_{2m+1}$, $\mathbf{\Sigma}^1_{2m+2}$ – совершенно аналогично тому, что происходит на первом и втором уровнях ($n=0$ в этой схеме). Сверх того, согласно Стилу [13], из полной аксиомы детерминированности $\mathbf{AD}$ следует, что если $\Gamma$ – не самодвойственный (т. е. $\Gamma\ne\Gamma^{\complement}$) класс точечных множеств, замкнутый относительно некоторых простых операций, редукция выполнена для в точности одного из классов $\Gamma$, $\Gamma^{\complement}$, а теоремы отделимости выполнены для другого класса. Обратно, согласно Стилу [14], определенная более специальная форма отделимости для $\mathbf{\Pi}^1_3$ влечет недостижимые другими способами связи между некоторыми гипотезами детерминированности. См. также [15] о некоторых других результатах. Все эти достижения однако не дают ответа на важные вопросы о статусе теорем отделимости для высших проективных классов, как, например, следующая проблема. Проблема 1.1 (Матайес [16] для $n=3$). При $n\geqslant3$, совместима ли с $\mathbf{ZFC}$ гипотеза о том, что (первая) теорема отделимости не верна для $\mathbf{\Sigma}^1_n$ и для $\mathbf{\Pi}^1_n$? Харрингтон получил положительный ответ при помощи генерического расширения $\mathbf{L}$, в котором (первая) теорема отделимости не выполнена для $\mathbf{\Sigma}^1_3$ и для $\mathbf{\Pi}^1_3$. Решение было достигнуто при помощи техники почти дизъюнктного форсинга [17], и его схематическое изложение содержится в неопубликованных рукописных заметках [18; часть 2]. Сам результат упоминается, со ссылкой на Харрингтона, например, у Московакиса [4; 5B.3]. Харрингтон также предложил в [18] некоторые существенные изменения в конструкции указанного генерического расширения, направленные к нарушению отделимости для классов $\mathbf{\Sigma}^1_n$ и $\mathbf{\Pi}^1_n$ для данного $n>3$, или даже для всех $n$, но такое обобщение не появилось в деталях. Здесь мы доказываем следующую теорему, положительно решающую проблему 1.1 для данного $n>3$, методом отличным от использованного в [18]. Теорема 1.2. Пусть (i) существует пара дизъюнктных (ii) существует пара дизъюнктных § 2. План доказательства Для данного  -множества, неотделимые дизъюнктными  -множествами в модели $M=\mathbf{L}[\langle{x_\xi}\rangle_{\xi\in\Delta}]$. Действительно, согласно (I), в $M$, так что $\Omega_1$ есть в $M$ по (II), и аналогично $\Omega_2$. Утверждение о неотделимости использует такое важное свойство  -генерических расширений: Каждый отдельный форсинг  в этой схеме – это клон минимального форсинга по Йенсену из [19] (ниже для краткости форсинг Йенсена, о нем см. также [20; 28A]). В частности, состоит из совершенных деревьев в $2^{<\omega}$. Идея использовать произведения форсингов Йенсена с конечной базой для получения моделей с разными свойствами определимости принадлежит Энайяту [21]. Она использована для построения генерических моделей, содержащих: счетные непустые $\varPi^1_2$-множества (даже $\mathsf{E}_o$-классы) без $\mathrm{OD}$ точек [22], [23], счетную $\varPi^1_2$-пару Грошек–Лейвера [24], плоские $\varPi^1_2$-множества со счетными сечениями и OD-неуниформизируемые [25], [26], контрпримеры к теореме отделимости для $\mathbf{\Sigma}^1_3$ и $\mathbf{\Pi}^1_3$ [25], контрпримеры к аксиоме выбора [27], a также ординально-определимое разбиение вещественной прямой на два непустых ординально-неопределимых множества [28]. Результат работы [25] тождествен случаю Близкие идеи и построения применены в упомянутых работах, в частности в [25], где определена модель, в которой $\mathbf{\Pi}^1_3$-отделимость неверна. Метод переноса генерических контрпримеров, первоначально построенных на втором или третьем проективном уровне, на более высокие проективные уровни (a) (b) такой (c) ROD-неуниформизуемое а также модель, в которой совокупность $\mathscr{P}(\omega)\cap\mathbf{L}$ всех конструктивных множеств $x\subseteq\omega$ тождественна совокупности всех Параграфы 3–7: совершенные деревья в $2^{<\omega}$, форсинги из совершенных деревьев, мультидеревья (конечные произведения деревьев), мультифорсинги (счетные произведения форсингов), расщепление, измельчения, генерическое измельчение расщепляющей конструкцией по Йенсену. Параграфы 8–13: свойства генерических измельчений, запирание плотных множеств и имен точек, приложения к генерическим расширениям. Параграфы 14–16: мы вводим множество $\overrightarrow{\mathbf{MF}}$ всех счетных последовательностей $\vec{\boldsymbol\pi}$ малых мультифорсингов, возрастающих по измельчению. Рассуждая в $\mathbf{L}$, мы определяем максимальную ветвь Параграфы 17–20: доказывается, что Параграфы 22–26: для вывода (III) мы используем вспомогательное отношение вынуждения $\operatorname{forc}$, аппроксимирующее истинность в § 3. Деревья и арбореальные форсингиЧерез $2^{<\omega}$ обозначается множество всех кортежей (конечных последовательностей) чисел $0$, $1$. Если $t\in2^{<\omega}$ и $i=0,1$ то $t\mathbin{{}^\smallfrown} i$ – продолжение кортежа $t$ членом $i$ справа. Если $s,t\in2^{<\omega}$, то $s\subseteq t$ означает, что $t$ продолжает $s$, а $s\subset t$ – собственное продолжение. $\operatorname{lh}(t)$ есть длина $t\in2^{<\omega}$, а $2^n=\{s\in2^{<\omega}\colon\operatorname{lh}(s)=n\}$ (кортежи длины $n$). Множество $T\subseteq2^{<\omega}$ есть дерево, когда для любых $s\subset t$ в $2^{<\omega}$, из $t\in T$ следует $s\in T$. Любое непустое дерево $T\subseteq2^{<\omega}$ содержит пустой кортеж $\Lambda$. Если $T\subseteq2^{<\omega}$ – дерево и $s\in T$, то пусть $T{\upharpoonright_s}=\{t\in T\colon s\subseteq t\text{ или } t\subseteq s\}$. Определение 3.1. $\mathbf{PT}$ есть множество всех совершенных деревьев $\varnothing\ne T\subseteq 2^{<\omega}$; дерево $T$ принадлежит $\mathbf{PT}$, если оно не имеет концевых вершин и изолированных ветвей. Если $T\in\mathbf{PT}$, то определяется совершенное множество Рассматриваются пары вида $\langle n,T\rangle$, где $n<\omega$ и $T\in\mathbf{PT}$. Следуя [34], множество $\omega\times\mathbf{PT}$ всех таких пар упорядочивается отношением $\preccurlyeq$, определенным3 так, что $\langle n,T\rangle\preccurlyeq \langle m,S\rangle$ (пара $\langle n,T\rangle$ продолжает пару $\langle m,S\rangle$), когда $m\leqslant n$, $T\subseteq S$, и $T\cap2^m=S\cap2^m$. Роль числа $m$ в паре $\langle m,S\rangle$ состоит в том, что оно сохраняет значение $S\cap2^m$ при $\preccurlyeq$-продолжениях. Выполнено соотношение $m>n\Longrightarrow\langle m,T\rangle\preccurlyeq \langle n,T\rangle$ (с тем же $T$!), но $S\subseteq T\Longrightarrow\langle n,S\rangle\preccurlyeq \langle n,T\rangle$ не обязательно верно: требуется $T\cap2^n=S\cap2^n$. Лемма 3.2 (см. [34]). Пусть $\,\cdots \preccurlyeq\langle n_2,T_2\rangle\preccurlyeq\langle n_1,T_1\rangle\preccurlyeq\langle n_0,T_0\rangle$ – убывающая последовательность в $\omega\times\mathbf{PT}$, с $n_0<n_1<n_2<\cdots$ строго, минимально генерическая в том смысле, что она пересекает каждое множество вида Тогда $T=\bigcap_nT_n\in\mathbf{PT}$, и если $i<\omega$ то $\langle n_i,T\rangle\preccurlyeq\langle n_i,T_i\rangle$. Определение 3.3. Арбореальным форсингом называется любое множество – регулярным, если для любых – особым, если имеется конечная или счетная антицепь Пример 3.4. Если $s\in2^{<\omega}$, то дерево $T[s]=\{t\in2^{<\omega}\colon s\subseteq t\text{ или } t\subseteq s\}$ принадлежит $\mathbf{PT}$ и $T[s]=(2^{<\omega}){\upharpoonright_s}$ $\forall\, s$. Множество Любое множество Применяя расщепляющие конструкции, как в лемме 3.2, над форсингом Следующая лемма доказывает абсолютность совместимости “условий” в регулярном форсинге. Лемма 3.5. Пусть форсинг Доказательство. Вследствие регулярности, пересечение $[S]\cap [T]$ является открыто-замкнутым, скажем, в $[S]$. Тогда имеется конечное множество $U\,{\subseteq}\, S$, для которого $[S]\cap [T]=\bigcup_{u\in U}[S{\upharpoonright_u}]$. Но каждое $S{\upharpoonright_u}$ принадлежит по арбореальности. Лемма доказана. Лемма 3.6. Пусть Следствие 3.7. Предположим, что (i) если $n<\omega$ и (ii) если (iii) если $n<\omega$, Доказательство. (ii) Если $T=T'$, то выберем пару кортежей $u\ne v$ в $T\,{=}\,T'$ с $\operatorname{lh}(u)=\operatorname{lh}(v)$, и пусть $S=T'{\upharpoonright_{u}}$, $S'=T'{\upharpoonright_{v}}$. Если к примеру $T\not\subseteq T'$, то берем $u\in T\setminus T'$, и пусть $S=T{\upharpoonright_{u}}$ и просто $S'=T'$. Для вывода (iii) итерируем (ii) и используем лемму 3.6. Лемма доказана.
§ 4. Мультифорсинг и мультидеревья Мультифорсингом назовем любое отображение $\boldsymbol\pi\colon |\boldsymbol\pi|\to\mathbf{AF}$, где $|\boldsymbol\pi|=\operatorname{dom}\boldsymbol\pi\subseteq\omega_1$. Через $\mathbf{MF}$ обозначим совокупность всех мультифорсингов. Каждый мультифорсинг $\boldsymbol\pi\in\mathbf{MF}$ будет обычно представлен как индексированное множество – малый, если множество $|\boldsymbol\pi|$ и каждый форсинг – особый, если каждый форсинг – регулярный, если каждый форсинг Мультидеревом назовем любую функцию $\boldsymbol{p}\colon |\boldsymbol{p}|\to\mathbf{PT}$, с конечной областью $|\boldsymbol{p}|=\operatorname{dom}\boldsymbol{p}$; через $\mathbf{MT}$ обозначим совокупность всех мультидеревьев. Каждое $\boldsymbol{p}\in\mathbf{MT}$ будет представлено как индексированное множество $\boldsymbol{p}=\langle{T^{\boldsymbol{p}}_{\xi}}\rangle_{\xi\in|\boldsymbol{p}|}$, где $T^{\boldsymbol{p}}_{\xi}=\boldsymbol{p}(\xi)\in\mathbf{PT}$ для всех $\xi\in|\boldsymbol{p}|$. Пусть
$$
\begin{equation*}
[\boldsymbol{p}]=\{x\in( 2^\omega)^{|\boldsymbol\pi|}\colon\forall\, \xi\in|\boldsymbol{p}|\,(x(\xi)\in [T^{\boldsymbol{p}}_{\xi}])\}
\end{equation*}
\notag
$$
есть ко-конечномерный совершенный куб в $( 2^\omega)^{|\boldsymbol\pi|}$. Мы упорядочиваем $\mathbf{MT}$ и каждое $\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)$ покомпонентно: $\boldsymbol{q}\leqslant\boldsymbol{p}$ ($\boldsymbol{q}$ сильнее, чем $\boldsymbol{p}$), когда $|\boldsymbol{p}|\subseteq|\boldsymbol{q}|$ и $T^{\boldsymbol{q}}_{\xi}\subseteq T^{\boldsymbol{p}}_{\xi}$ для всех $\xi\in|\boldsymbol{p}|$; это равносильно $[\boldsymbol{q}]\subseteq[\boldsymbol{p}]$. Пустое мультидерево $\boldsymbol\Lambda$, для которого $|\boldsymbol\Lambda|=\varnothing$, принадлежит $\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)$ и является слабейшим. Замечание 4.1. Если Определение 4.2. Мультидеревья $\boldsymbol{p},\boldsymbol{q}\in\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)$ где-то почти дизъюнктны (гпд), если $T^{\boldsymbol{p}}_{\xi}$ и $T^{\boldsymbol{q}}_{\xi}$ являются пд для какого-то $\xi\in|\boldsymbol{p}|\cap|\boldsymbol{q}|$. Быть гпд эквивалентно $[\boldsymbol{p}]\cap[\boldsymbol{q}]=\varnothing$, а также, для регулярных мультифорсингов $\boldsymbol\pi$, равносильно несовместности в $\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)$ согласно следующему результату. Следствие 4.3 (из леммы 3.5). Пусть $\boldsymbol\pi$ – регулярный мультифорсинг, а $\boldsymbol{p},\boldsymbol{q}\in\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)$ не являются гпд. Существует такое конечное множество $R\subseteq\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)$, что $[\boldsymbol{p}]\cap[\boldsymbol{q}]=\bigcup_{\boldsymbol{r}\in R}[\boldsymbol{r}]$. Значит, $\boldsymbol{p}$, $\boldsymbol{q}$ совместны в $\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)$, т. е. имеется мультидерево $\boldsymbol{r}\in\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)$, для которого $\boldsymbol{r}\leqslant\boldsymbol{p}$ и $\boldsymbol{r}\leqslant\boldsymbol{q}$. Определение 4.4. Покомпонентное объединение мультифорсингов Если $\vec{\boldsymbol\pi}=\langle{\boldsymbol\pi_\alpha}\rangle_{\alpha<\lambda}$ – последовательность форсингов из $\mathbf{MF}$, то определим $\boldsymbol\pi=\bigcup^{\,\mathrm{cw}}\vec{\boldsymbol\pi}=\bigcup^{\,\mathrm{cw}}_{\alpha<\lambda} \boldsymbol\pi_\alpha\in\mathbf{MF}$ так, что $|\boldsymbol\pi|=\bigcup_{\alpha<\lambda}|\boldsymbol\pi_\alpha|$ и $\boldsymbol\pi(\xi)= \bigcup_{\alpha<\lambda,\,\xi\in|\boldsymbol\pi_\alpha|} {\boldsymbol\pi_\alpha}(\xi)$ для каждого $\xi\in|\boldsymbol\pi|$. Замечание 4.5. Любой форсинг вида $\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)$, где § 5. Измельчение арбореальных форсинговЕсли $T\in\mathbf{PT}$ (дерево) и $D\subseteq\mathbf{PT}$, то $X\subseteq^{\mathrm{fin}}\bigcup D$ означает, что найдется конечное $D'\subseteq D$, для которого $T\subseteq\bigcup D'$, или равносильно, $[T]\subseteq\bigcup_{S\in D'}[S]$. Определение 5.1. Пусть (1) множество (2) если (3) если Лемма 5.2. (i) Если (ii) если (iii) если (iv) если Доказательство. (i) Иначе существует кортеж $u\in S$, удовлетворяющий $S{\upharpoonright_u}\subseteq[T]\cap[S]$. Но  , что противоречит 5.1, (3).
(ii), (iii) Уже доказанное утверждение (i) используется для вывода 5.1, (3). (iv) Для проверки регулярности, пусть Для проверки предплотности, пусть Заметим, что если Определение 5.3. Пусть Мы увидим, что запертое множество предплотно до и после измельчения. Важность запирающих измельчений состоит в том, что запертость сохраняется при последующих простых измельчениях, т. е. $\sqsubset_D$ транзитивно в сочетании с $\sqsubset$ в смысле (ii) следующей леммы. Лемма 5.4. (i) Если (ii) если (iii) если Доказательство. (i) Для вывода предплотности $D$ в
 , пусть  . По 5.1, (1) имеется дерево  , $T\subseteq T_0$. Тогда $T\subseteq^{\mathrm{fin}} \bigcup D$, так что существует дерево $S\in D$ с $X=[S]\cap[T]\ne\varnothing$. Но $X$ открыто-замкнуто в $[T]$ по 5.1, (3). Поэтому найдется дерево  с $[T']\subseteq X$, откуда $T'\subseteq S\in D$ и $T'\subseteq T\subseteq T_0$. Мы заключаем, что $T_0$ совместно с $S\in D$ в .
Для вывода предплотности $D$ в Для вывода (ii), дополнительно к лемме 5.2, (ii), пусть § 6. Измельчение мультифорсингов Пусть $\boldsymbol\pi$, Следствие 6.1 (из леммы 5.2). Если Если Наша следующая задача – приспособить определение 5.3 для мультифорсингов; причем должна быть выполнена лемма, подобная лемме 5.4. Для начала, мы приспособим определение отношения $\subseteq^{\mathrm{fin}}$ в § 5 для мультидеревьев. А именно, если $\boldsymbol{u}$ – мультидерево и $\boldsymbol{D}$ – множество мультидеревьев, то $\boldsymbol{u}\subseteq^{\mathrm{fin}}\bigvee \boldsymbol{D}$ будет означать, что имеется такое конечное множество $\boldsymbol{D}'\subseteq \boldsymbol{D}$, что 1) $|\boldsymbol{v}|=|\boldsymbol{u}|$ для всех $\boldsymbol{v}\in \boldsymbol{D}'$, и 2) $[\boldsymbol{u}]\subseteq\bigcup_{\boldsymbol{v}\in \boldsymbol{D}'}[\boldsymbol{v}]$. Определение 6.2. Пусть $\boldsymbol\pi$, Заметим, что если $\boldsymbol{p},\boldsymbol{u},\boldsymbol{D},\boldsymbol{q}$ таковы, как указано, то $\boldsymbol{u}\cup\boldsymbol{q}\subseteq^{\mathrm{fin}} \bigvee\boldsymbol{D}'$, где $\boldsymbol{D}'=\{\boldsymbol{u}'\cup\boldsymbol{q}\colon\boldsymbol{u}'\in \boldsymbol{D}^{|\boldsymbol{u}|}_{\boldsymbol{q}}\}\subseteq\boldsymbol{D}$. Определение $\mathrel{\boldsymbol\sqsubset}_{\boldsymbol{D}}$ в 6.2 несколько отличается и выглядит более сложным, чем определение $\sqsubset_D$ в 5.3; это отражает тот факт, что произведения форсингов из $\mathbf{AF}$ с конечной базой ведут себя по-другому (и более сложно), чем одиночные арбореальные форсинги. Соответственно, следующая лемма, подобная лемме 5.4, несколько менее очевидна. Лемма 6.3. Пусть $\boldsymbol\pi$, (i) если (ii) если $\boldsymbol\pi$ регулярен, (iii) если ${\boldsymbol{D}}$ открыто-плотно в $\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)$ и (iv) если $\langle{\boldsymbol\pi_\alpha}_{\alpha<\lambda}\rangle$ является $\boldsymbol\sqsubset$-возрастающей последовательностью в $\mathbf{MF}$, $0<\mu<\lambda$, $\boldsymbol\pi=\bigcup^{\,\mathrm{cw}}_{\alpha<\mu}\boldsymbol\pi_\alpha$, множество ${\boldsymbol{D}}$ открыто-плотно в $\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)$, и $\boldsymbol\pi\mathrel{\boldsymbol\sqsubset}_{\boldsymbol{D}} \boldsymbol\pi_\mu$, то Доказательство. (i) Для проверки предплотности ${\boldsymbol{D}}$ в
 , пусть  . Поскольку является произведением, можно предполагать, что $|\boldsymbol{r}|\subseteq|\boldsymbol\pi|$. Положим Тогда $\boldsymbol{r}=\boldsymbol{u}\cup \boldsymbol{p}$, где  , $\boldsymbol{p}=\boldsymbol{r}\upharpoonright Y\,{\in}\,\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)$. Раз  запирает ${\boldsymbol{D}}$, имеется мультидерево $\boldsymbol{q}\in\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)$, для которого $\boldsymbol{q}\leqslant\boldsymbol{p}$, $|\boldsymbol{q}|\cap|\boldsymbol{u}|=\varnothing$, и $\boldsymbol{u}\subseteq^{\mathrm{fin}} \bigvee \boldsymbol{D}^{|\boldsymbol{u}|}_{\boldsymbol{q}}$. Легко видеть, что найдется мультидерево $\boldsymbol{u}'\in \boldsymbol{D}^{|\boldsymbol{u}|}_{\boldsymbol{q}}$, совместное с $\boldsymbol{u}$ в  . Пусть  , $\boldsymbol{w}\leqslant\boldsymbol{u}$, $\boldsymbol{w}\leqslant\boldsymbol{u}'$, $|\boldsymbol{w}|=|\boldsymbol{u}'|=|\boldsymbol{u}|$. Тогда мультидерево  удовлетворяет $\boldsymbol{r}'\leqslant\boldsymbol{r}$ и $\boldsymbol{r}'\leqslant\boldsymbol{u}'\cup\boldsymbol{q}\in {\boldsymbol{D}}$.
Для проверки плотности ${\boldsymbol{D}}$ в $\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)$, пусть $\boldsymbol{p}\in\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)$. Положим $\boldsymbol{u}=\boldsymbol\Lambda$ (пустое мультидерево) в ($*$) определения 6.2, так что $|\boldsymbol{u}|=\varnothing$ и $\boldsymbol{D}^{|\boldsymbol{u}|}_{\boldsymbol{q}}={\boldsymbol{D}}$. (ii) Пусть $\boldsymbol{p}\in\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)$,
$$
\begin{equation*}
(\boldsymbol{D}_i)^{|\boldsymbol{u}|}_{\boldsymbol{q}} =\{\boldsymbol{u}'\in\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)\colon|\boldsymbol{u}'|=|\boldsymbol{u}|\text{ и }\boldsymbol{u}'\cup\boldsymbol{q}\in \boldsymbol{D}_i\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Существуют такие конечные множества $U_i\subseteq (\boldsymbol{D}_i)^{|\boldsymbol{u}|}_{\boldsymbol{q}}$, что $[\boldsymbol{u}]\subseteq\bigcup_{\boldsymbol{v}\in U_i}[\boldsymbol{v}]$ для всех $i$. Согласно регулярности и следствию 4.3, мы получаем такое конечное $W\subseteq \mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)$, что $|\boldsymbol{w}|=|\boldsymbol{u}|$ для всех $\boldsymbol{w}\in W$, $\bigcap_i\bigcup_{\boldsymbol{v}\in U_i}[\boldsymbol{v}] =\bigcup_{\boldsymbol{w}\in W}[\boldsymbol{w}]$, и если $i=1,\dots,n$ и $\boldsymbol{w}\in W$, то $[\boldsymbol{w}]\subseteq [\boldsymbol{v}]$ для какого-то $\boldsymbol{v}\in U_i$ – поэтому $\boldsymbol{w}\cup\boldsymbol{q}\in \boldsymbol{D}_i$. Отсюда следует $\boldsymbol{w}\cup\boldsymbol{q}\in \boldsymbol{D}$ для всех $\boldsymbol{w}\in W$, поэтому $\boldsymbol{w}\in\boldsymbol{D}^{|\boldsymbol{u}|}_{\boldsymbol{q}}$, откуда $W\subseteq\boldsymbol{D}^{|\boldsymbol{u}|}_{\boldsymbol{q}}$. Но $[\boldsymbol{u}]\subseteq\bigcup_{\boldsymbol{w}\in W}[\boldsymbol{w}]$ по выбору $W$. Поэтому $\boldsymbol{u}\subseteq^{\mathrm{fin}} \bigvee \boldsymbol{D}^{|\boldsymbol{u}|}_{\boldsymbol{q}}$.
(iii) Имеем $\boldsymbol\pi\mathrel{\boldsymbol\sqsubset}\boldsymbol\sigma$ по следствию 6.1. Для проверки, что $\boldsymbol\sigma$ запирает ${\boldsymbol{D}}$ над $\boldsymbol\pi$, пусть $\boldsymbol{u}\in\mathbf{MT}(\boldsymbol\sigma)$, $|\boldsymbol{u}|\subseteq|\boldsymbol\pi|$, $\boldsymbol{p}\in\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)$, $|\boldsymbol{u}|\cap|\boldsymbol{p}|=\varnothing$. Раз
$$
\begin{equation*}
\boldsymbol{D}^{|\boldsymbol{u}|}_{\boldsymbol{q}} =\{\boldsymbol{v}'\in\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)\colon |\boldsymbol{v}'| =|\boldsymbol{v}|=|\boldsymbol{u}|\land{\boldsymbol{v}'}\cup\boldsymbol{q}\in {\boldsymbol{D}}\}.
\end{equation*}
\notag
$$
При этом $\boldsymbol{u}\subseteq^{\mathrm{fin}}\bigvee U$ по построению, откуда имеем $\boldsymbol{u}\subseteq^{\mathrm{fin}}\bigvee \boldsymbol{D}^{|\boldsymbol{u}|}_{\boldsymbol{q}}$.
(iv) Проверим, что § 7. Генерическое измельчение мультифорсинга по ЙенсенуЗдесь излагается конструкция измельчений при помощи техники расщепления/слияния. Эта конструкция первоначально применялась как метод построения совершенных множеств в польских пространствах. Йенсен модифицировал ее в [19] для построения измельчений определенных счетных субфорсингов форсинга Сакса. Наше следующее определение вводит по сути вариант йенсеновских измельчений, подходящий для произведений арбореальных форсингов и мультифорсингов. Коль скоро мы имеем дело с произведениями с конечной базой (см. замечание 4.1), обычная техника теории произведений форсинга Сакса со счетной базой, как, например, в [36] или [37]–[39], нуждается в определенной корректировке. Понятие системы в следующем определении вводит подходящие изменения в инструментариум конструкции расщепления/слияния. То, что бесконечные произведения форсингов йенсенова типа, с конечной базой, удовлетворяют CCC, сохраняют кардиналы (в отличие от произведений форсинга Сакса с конечной базой), и допускают подходящий вариант техники расщепления/слияния, было установлено в [22], [23]. Определение 7.1. Пусть (0) Назовем $\boldsymbol\pi$-системой любое индексированное множество вида
$$
\begin{equation*}
\varphi=\langle{T^{\varphi}_{\xi k}}\rangle_{\langle \xi,k\rangle\in|\varphi|},
\end{equation*}
\notag
$$
где $|\varphi|\subseteq|\boldsymbol\pi|\times\omega$ конечно и  для всех $\xi$, $k$. (Напомним, что  включает все конечные объединения деревьев из .) Множество $\mathbf{Sys}(\boldsymbol\pi)$ всех $\boldsymbol\pi$-систем упорядочим покомпонентно: $\varphi\leqslant\psi$ ($\varphi$ продолжает $\psi$), когда $|\psi|\subseteq|\varphi|$ и $T^{\varphi}_{\xi k}\subseteq T^{\psi}_{\xi k}$ для всех $\langle \xi,k\rangle\in|\psi|$. Множество $\omega\times\mathbf{Sys}(\boldsymbol\pi)$ упорядочено так, что $\langle n,\varphi\rangle\preccurlyeq\langle m,\psi\rangle$, когда $|\psi|\subseteq|\varphi|$ и $\langle n,T^{\varphi}_{\xi k}\rangle\preccurlyeq\langle m,T^{\psi}_{\xi k}\rangle$ в $\omega\times\mathbf{PT}$ (§ 3) для всех $\xi$, $k$; это влечет $m\leqslant n$. (1) Пусть $\mathfrak{M}\in\mathrm{HC}$ – любое множество6. Множество $\mathfrak{M}^+$ всех множеств $X\in\mathrm{HC}$, $\in$-определимых в $\mathrm{HC}$ формулами с параметрами из $\mathfrak{M}$, счетно. Следовательно, существует $\preccurlyeq$-убывающая последовательность По определению каждая $\varphi_j$ имеет вид $\varphi_j=\langle{T^{\varphi_j}_{\xi k}}\rangle_{\langle \xi,k\rangle\in|\varphi_j|}$, где $|\varphi_j|\subseteq|\boldsymbol\pi|\times\omega$ конечно, и каждое дерево $T^{\varphi_j}_{\xi k}$ принадлежит (2) Пусть $\xi\in|\boldsymbol\pi|$, $k<\omega$. Согласно генеричности, существует такое число $j(\xi,k)$, что если $j\geqslant j(\xi,k)$, то $\langle \xi,k\rangle\in|\varphi_j|$, так что дерево
$$
\begin{equation*}
\dots\preccurlyeq \langle n_{j(\xi,k)+2},T^{\varphi_{j(\xi,k)+2}}_{\xi k}\rangle \preccurlyeq\langle n_{j(\xi,k)+1},T^{\varphi_{j(\xi,k)+1}}_{\xi k}\rangle \preccurlyeq\langle n_{j(\xi,k)},T^{\varphi_{j(\xi,k)}}_{\xi k}\rangle,
\end{equation*}
\notag
$$
причем $n_{j(\xi,k)}<n_{j(\xi,k)+1}<n_{j(\xi,k)+2}<\cdots$ строго, см. (1) выше. (3) Тогда по лемме 3.2 каждое пересечение (4) Наконец, положим (5) Всякий мультифорсинг Лемма 7.2 (из счетности $\mathfrak{M}^+$). Если $\mathfrak{M}\in\mathrm{HC}$, то для любого малого мультифорсинга $\boldsymbol\pi$ существует $\mathfrak{M}$-генерическое измельчение Следующая теорема формулируется в предположениях и обозначениях определения 7.1. Ее цель – показать, что конструкция из определения 7.1 приносит измельчения типов $\sqsubset_{D}$ и $\mathrel{\boldsymbol\sqsubset}_{\boldsymbol{D}}$. Теорема 7.3. Если $\mathfrak{M}\in\mathrm{HC}$ транзитивно, а (i) (ii) если пары $\langle \xi,k\rangle\ne\langle \eta,\ell\rangle$ принадлежат (iii) если $\xi\in|\boldsymbol\pi|$, (iv) если $\xi\in|\boldsymbol\pi|$, то множество (v) если $\xi\in|\boldsymbol\pi|$ и $D\in\mathfrak{M}$, (vi) если, кроме того, $\boldsymbol\pi=\bigcup^{\,\mathrm{cw}}_{\alpha<\lambda}\boldsymbol\pi_\alpha$, где $\lambda<\omega_1$, а $\langle{\boldsymbol\pi_\alpha}\rangle_{\alpha<\lambda}\in\mathfrak{M}$ является $\boldsymbol\sqsubset$-возрастающей последовательностью особых мультифорсингов, то Доказательство. Мы рассуждаем в обозначениях определения 7.1.
(ii) Согласно следствию 3.7, (iii), множество $D$ всех пар $\langle n,\varphi\rangle\in\omega\times\mathbf{Sys}(\boldsymbol\pi)$, где $\varphi$ – попарно пд система и $|\varphi|$ содержит $\langle \xi,k\rangle$, $\langle \eta,\ell\rangle$, плотно в $\omega\times\mathbf{Sys}(\boldsymbol\pi)$, и, конечно, $D\,{\in}\,\mathfrak{M}^+$. Имеем $\langle n_j,\varphi_j\rangle\,{\in}\, D$ для какого-то $j<\omega$. Тогда $T^{\varphi_j}_{\xi k}\cap T^{\varphi_j}_{\eta \ell}\,{=}\,\varnothing$, так как $\varphi_j$ пд. Но (iii) Пусть (iv) Открытость легко следует из (iii). Для вывода плотности, пусть (i) По построению множества (v) Пусть $\xi\in|\boldsymbol\pi|$, $k<\omega$, а $D\in\mathfrak{M}^+$ предплотно в (vi) Нужно доказать, что Следствие 7.4. В условиях леммы 7.2, если $|\boldsymbol\pi|\subseteq Z\subseteq\omega_1$ и $Z$ счетно, то имеется такой малый особый мультифорсинг Доказательство. Если $|\boldsymbol\pi|=Z$, то берем любое счетное $\mathfrak{M}\in\mathrm{HC}$, содержащее $\boldsymbol\pi$, берем
по лемме 7.2 и применяем теорему 7.3. Если же $|\boldsymbol\pi|\subsetneqq Z$, то мы тривиально продолжаем конструкцию через  (пример 3.4) для всех $\xi\in Z\setminus|\boldsymbol\pi|$. Следствие 7.4 доказано. § 8. Генерическое измельчение: запираем плотные множестваЗдесь доказывается важное следствие $\mathfrak{M}^+$-генеричности измельчений мультифорсингов, отношение $\mathrel{\boldsymbol\sqsubset}_{\boldsymbol{D}}$ определения 6.2 между мультифорсингом и его измельчением, через плотное множество $\boldsymbol{D}$. Теорема 8.1. В предположениях теоремы 7.3, если ${\boldsymbol{D}}\in\mathfrak{M}^+$, ${\boldsymbol{D}}\subseteq\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)$, и ${\boldsymbol{D}}$ открыто-плотно в $\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)$, то Доказательство. По условию  получено из убывающей $\mathfrak{M}^+$-генерической последовательности  пар $\langle n_j,\varphi_j\rangle\in\omega\times\mathbf{Sys}(\boldsymbol\pi)$, как в определении 7.1, (1). Рассуждаем в обозначениях 7.1. Пусть $\boldsymbol{p}\in\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)$,  , $|\boldsymbol{u}|\cap|\boldsymbol{p}|=\varnothing$, как в ($*$) определения 6.2; дополнительное условие $|\boldsymbol{u}|\subseteq|\boldsymbol\pi|$ выполнено автоматически, так как  . Требуется найти мультидерево $\boldsymbol{q}$, дающее 6.2, ($*$) для $\boldsymbol{u}$.
Каждый член $T^{\boldsymbol{u}}_{\xi}$ в $\boldsymbol{u}$ ($\xi\in|\boldsymbol{u}|$) тождествен какому-то Определение 8.2. Если $n<\omega$, то $\mathbf{Sys}_n(\boldsymbol\pi)$ содержит все такие системы $\varphi\in\mathbf{Sys}(\boldsymbol\pi)$, что $\langle \xi,k_\xi\rangle\in|\varphi|$ для всех $\xi\in|\boldsymbol{u}|$, и Если $\varphi\in\mathbf{Sys}_n(\boldsymbol\pi)$, то $\mathbf{S}^n_{\varphi}$ содержит все такие мультикортежи $\mathbf{s}=\langle{s_\xi}\rangle_{\xi\in|\boldsymbol{u}|}$, что $s_\xi\in2^n\cap T^{\varphi}_{\xi, k_\xi}$ для всех $\forall\,\xi\in|\boldsymbol{u}|$. Если $\mathbf{s}=\langle{s_\xi}\rangle_{\xi\in|\boldsymbol{u}|}\in\mathbf{S}^n_{\varphi}$, то определим $\boldsymbol{v}^{\mathbf{s}}_{\varphi}\in\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)$ так, что $|\boldsymbol{v}^{\mathbf{s}}_{\varphi}|=|\boldsymbol{u}|$ и $T^{\boldsymbol{v}^{\mathbf{s}}_{\varphi}}_{\xi}=T^{\varphi}_{\xi, k_\xi}{\upharpoonright_{s_\xi}}$ для всех $\xi\in|\boldsymbol{u}|$. Лемма 8.3. Пусть $n<\omega$ и $\varphi\in\mathbf{Sys}(\boldsymbol\pi)$. Существует система $\psi\in\mathbf{Sys}_n(\boldsymbol\pi)$, для которой $\langle n,\psi\rangle\preccurlyeq\langle n,\varphi\rangle$. Доказательство. Добавим каждую отсутствующую пару $\langle\xi,k_{\xi}\rangle\notin|\varphi|$ к $|\psi|$, доопределяя  произвольно. Если $\langle \xi,k\rangle\in|\psi|$ и $t\in2^n\cap T^{\psi}_{\xi k}$, но  , сузим $T^{\psi}_{\xi k}$ до дерева из по лемме 3.7, (i), и сделаем так для каждой такой тройки $\xi,k,t$. Лемма 8.3 доказана. Лемма 8.4. Если $\boldsymbol{r}\in\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)$, $|\boldsymbol{r}|\cap|\boldsymbol{u}|=\varnothing$, то множество $\Delta_{\boldsymbol{r}}\in\mathfrak{M}$ всех пар $\langle n,\varphi\rangle\in \omega\times\mathbf{Sys}(\boldsymbol\pi)$, для которых $\varphi\in\mathbf{Sys}_n(\boldsymbol\pi)$ и имеется такое $\boldsymbol{q}\in \mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)$, что $\boldsymbol{q}\leqslant\boldsymbol{r}$, $|\boldsymbol{u}|\cap|\boldsymbol{q}|=\varnothing$, и выполнено (1), если $\mathbf{s}\in\mathbf{S}^n_{\varphi}$, то $\boldsymbol{v}^{\mathbf{s}}_{\varphi}\cup\boldsymbol{q}\in \boldsymbol{D}$ – плотно в $\omega\times\mathbf{Sys}(\boldsymbol\pi)$. Доказательство. Пусть $\langle n,\psi\rangle\in\omega\times\mathbf{Sys}(\boldsymbol\pi)$. Мы найдем такую пару $\langle n,\varphi\rangle\in \Delta_{\boldsymbol{r}}$ (c тем же $n$!), что $\langle n,\varphi\rangle\preccurlyeq\langle n,\psi\rangle$. Не ограничивая общности предполагаем, что $\psi\in\mathbf{Sys}_n(\boldsymbol\pi)$ согласно лемме 8.3.
Пусть $\mathbf{s}=\langle{s_\xi}\rangle_{\xi\in|\boldsymbol{u}|}\in\mathbf{S}^n_{\psi}$. Рассмотрим мультидерево $\boldsymbol{v}^{\mathbf{s}}_{\psi}\in\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)$. Раз $\boldsymbol{D}$ плотно, найдутся такие мультидеревья $\boldsymbol{r}',\boldsymbol{v}\in\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)$, что $|\boldsymbol{v}|=|\boldsymbol{u}|$, $\boldsymbol{v}\leqslant\boldsymbol{v}^{\mathbf{s}}_{\psi}$, $|\boldsymbol{r}'|\cap|\boldsymbol{u}|=\varnothing$, $\boldsymbol{r}'\leqslant\boldsymbol{r}$, и $\boldsymbol{v}\cup\boldsymbol{r}'\in \boldsymbol{D}$. Определим систему $\psi'\in \mathbf{Sys}(\boldsymbol\pi)$ с $|\psi'|=|\psi|$, продолжающую $\psi$ сужением каждого дерева $T^{\psi}_{\xi, k_\xi}{\upharpoonright_{s_\xi}}$ до $T^{\boldsymbol{v}}_{\xi}$, так, что $T^{\psi'}_{\xi, k_\xi}{\upharpoonright_{s_\xi}}=T^{\boldsymbol{v}}_{\xi}$, но $T^{\psi'}_{\xi, k_\xi}{\upharpoonright_{t}}= T^{\psi}_{\xi, k_\xi}{\upharpoonright_{t}}$ для всех $t\in2^n\cap T^{\psi}_{\xi, k_\xi}$, $t\ne s_\xi$, и $T^{\psi'}_{\eta k}=T^{\psi}_{\eta k}$, когда $\langle\eta,k\rangle\in|\psi|$ не имеет вида $\langle \xi,k_\xi\rangle$, где $\xi\in|\boldsymbol{u}|$. Мы имеем $\langle n,\psi'\rangle\preccurlyeq\langle n,\psi\rangle$ по построению, поэтому $\mathbf{S}^n_{\psi'}=\mathbf{S}^n_{\psi}$. Это построение можно итерировать, рассматривая все кортежи $\mathbf{s}\in\mathbf{S}^n_{\psi}$ один за одним. В результате получается такая система $\varphi\in\mathbf{Sys}(\boldsymbol\pi)$, что $|\varphi|=|\psi|$ и $\langle n,\varphi\rangle\preccurlyeq\langle n,\psi\rangle$, – а тогда $\mathbf{S}^n_{\varphi}=\mathbf{S}^n_{\psi}$, и такое мультидерево $\boldsymbol{q}\in\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)$ с $\boldsymbol{q}\leqslant\boldsymbol{r}$ и $|\boldsymbol{q}|\cap|\boldsymbol{u}|=\varnothing$, что если $\mathbf{s}\in\mathbf{S}^n_{\psi}$, то мультидерево $\boldsymbol{v}^{\mathbf{s}}_{\psi}$ удовлетворяет $\boldsymbol{v}^{\mathbf{s}}_{\psi}\cup\boldsymbol{q}\in \boldsymbol{D}$. Это $\boldsymbol{q}$ свидетельствует, что $\langle n,\varphi\rangle\in\Delta_r$. Лемма 8.4 доказана. По лемме имеем $\langle n_j,\varphi_j\rangle\in\Delta_{\boldsymbol{p}}$ для какого-то $j$. Пусть это обеспечивается мультидеревом $\boldsymbol{q}\in\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)$, так что $\boldsymbol{q}\leqslant\boldsymbol{p}$, $|\boldsymbol{u}|\cap|\boldsymbol{q}|=\varnothing$, и выполнено условие (1) леммы 8.4 для $n=n_j$, $\varphi=\varphi_j$. Отсюда легко следует $[\boldsymbol{u}]\subseteq\bigcup_{\mathbf{s}\in \mathbf{S}^n_{\varphi_j}}[\boldsymbol{v}^{\mathbf{s}}_{\varphi_j}]$. Однако $\boldsymbol{v}^{\mathbf{s}}_{\varphi_j}\in \boldsymbol{D}^{|\boldsymbol{u}|}_{\boldsymbol{q}}$ $\forall\,\mathbf{s}$, согласно (1). Теорема 8.1 доказана. Следствие 8.5. В предположениях теоремы 7.3, если множество $\boldsymbol{D}\in\mathfrak{M}$, $\boldsymbol{D}\subseteq\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)$ предплотно в $\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)$, то оно предплотно и в Доказательство. Предполагаем без потери общности, что $\boldsymbol{D}$ открыто-плотно в $\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)$. (Иначе рассматриваем множество $\boldsymbol{D}'=\{\boldsymbol{p}\in \mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)\colon\exists\,\boldsymbol{q}\in \boldsymbol{D}\,(\boldsymbol{p}\leqslant\boldsymbol{q})\}$.) Тогда
 по теореме 8.1; далее используем лемму 6.3, (i). Следствие доказано. § 9. Имена точек и прямое вынуждениеНаша очередная цель: ввести подходящие обозначения, относящиеся к именам точек в $ 2^\omega$ в контексте форсингов вида $\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)$. Определение 9.1. Имя точки есть любое такое множество $\mathbf{c}\subseteq\mathbf{MT}\times(\omega\,{\times}\,2)$, что множества $K^{\mathbf{c}}_{ni}=\{\boldsymbol{p}\in\mathbf{MT}\colon \langle\boldsymbol{p},n,i\rangle\in\mathbf{c}\}$ удовлетворяют условию: если $n<\omega$ и $\boldsymbol{p}\in K^{\mathbf{c}}_{n0}$, $\boldsymbol{q}\in K^{\mathbf{c}}_{n1}$, то $\boldsymbol{p},\boldsymbol{q}$ являются гпд8. Положим $K^{\mathbf{c}}_n=K^{\mathbf{c}}_{n0}\cup K^{\mathbf{c}}_{n1}$. Имя точки $\mathbf{c}$ называется малым, если каждое $K^{\mathbf{c}}_n$ не более чем счетно, – тогда множество $|\mathbf{c}|=\bigcup_{n}\bigcup_{\boldsymbol{p}\in K^{\mathbf{c}}_n}|\boldsymbol{p}|$ и само $\mathbf{c}$ также счетны. Пусть $\boldsymbol\pi$ – мультифорсинг. Имя точки $\mathbf{c}$ называется $\boldsymbol\pi$-полным, если каждое множество $K^{\mathbf{c}}_n \uparrow \boldsymbol\pi=\{\boldsymbol{p}\in\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)\colon\exists\,\boldsymbol{q}\in K^{\mathbf{c}}_n\,(\boldsymbol{p}\leqslant\boldsymbol{q})\}$ ($\boldsymbol\pi$-конус $K^{\mathbf{c}}_n$) предплотно в $\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)$. В этом случае если множество (фильтр) $G\subseteq\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)$ является $\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)$-генерическим над семейством всех множеств $K^{\mathbf{c}}_n$, то мы определяем точку $\mathbf{c}[G]\in 2^\omega$ так, что $\mathbf{c}[G](n)=i$ если и только если $G\cap C_{ni}\ne\varnothing$. Мы не требуем в последнем случае, чтобы выполнялось $\mathbf{c}\subseteq\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)\times(\omega\times2)$, или, эквивалентно, $K^{\mathbf{c}}_n\subseteq\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)$ для всех $n$, и если это соотношение выполнено, то это будет оговариваться. Пусть $\mathbf{c}$ – имя точки в смысле 9.1. Определим, что мультидерево $\boldsymbol{p}$: – прямо вынуждает $\mathbf{c}(n)=i$, где $n<\omega$ и $i=0,1$, если имеется мультидерево $\boldsymbol{q}\in K^{\mathbf{c}}_{ni}$, для которого $\boldsymbol{p}\leqslant \boldsymbol{q}$; – прямо вынуждает $s\subset\mathbf{c}$, где $s\in2^{<\omega}$, если для любого $n<\operatorname{lh}(s)$, $\boldsymbol{p}$ прямо вынуждает $\mathbf{c}(n)=i$, где $i=s(n)$; – прямо вынуждает $\mathbf{c}\notin[T]$, где $T\in\mathbf{PT}$, когда имеется такой кортеж $s\in2^{<\omega}\setminus T$, что $\boldsymbol{p}$ прямо вынуждает $s\subset \mathbf{c}$. Определение прямого вынуждения не связано непосредственно ни с каким конкретным мультифорсингом, но фактически совместимо с любым из них. Лемма 9.2. Пусть $\boldsymbol\pi$ – мультифорсинг, $\mathbf{c}$ есть $\boldsymbol\pi$-полное имя точки, $\boldsymbol{p}\in\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)$. Если $n<\omega$, то найдется $i=0,1$ и мультидерево $\boldsymbol{q}\in\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi), \boldsymbol{q}\leqslant\boldsymbol{p}$, прямо вынуждающее $\mathbf{c}(n)=i$. Если $T\in\mathbf{PT}$, то найдется $s\in T$ и мультидерево $\boldsymbol{q}\in\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)$, $\boldsymbol{q}\leqslant\boldsymbol{p}$, которое прямо вынуждает $\mathbf{c}\notin[T{\upharpoonright_s}]$. Доказательство. Для вывода первого утверждения используем плотность множеств $K^{\mathbf{c}}_n$ по определению 9.1. Для второго утверждения возьмем такое $n$, что $T\,{\cap}\,2^n$ содержит не менее двух кортежей. По первому утверждению имеются такие мультидерево $\boldsymbol{q}\in\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)$, $\boldsymbol{q}\leqslant\boldsymbol{p}$, и кортеж $t\in T\cap2^n$, что $\boldsymbol{q}$ прямо вынуждает $t\subset \mathbf{c}$. Остается взять любое $s\in T\cap2^n$, $s\ne t$. Лемма доказана.
§ 10. Запирание имен точек и избегающие измельченияСледующее определение распространяет определение 6.2 на имена точек. Определение 10.1. Пусть $\boldsymbol\pi$, Следствие 10.2. В предположениях теоремы 7.3, если ${\mathbf{c}}\in\mathfrak{M}^+$ и $\mathbf{c}$ есть $\boldsymbol\pi$-полное имя точки, то Доказательство. Каждое множество $K^{\mathbf{c}}_n \uparrow \boldsymbol\pi$ принадлежит $\mathfrak{M}^+$ (вместе с $\boldsymbol\pi$ и $\mathbf{c}$) и открыто-плотно в $\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)$, так что остается применить теорему 8.1. Следствие доказано. Лемма 10.3. Пусть (i) если (ii) если (iii) если $\langle{\boldsymbol\pi_\alpha}_{\alpha<\lambda}\rangle$ – $\boldsymbol\sqsubset$-возрастающая последовательность в $\mathbf{MF}$, $0<\mu<\lambda$, $\boldsymbol\pi=\bigcup^{\,\mathrm{cw}}_{\alpha<\mu}\boldsymbol\pi_\alpha$, и $\boldsymbol\pi\mathrel{\boldsymbol\sqsubset}_{\mathbf{c}}\boldsymbol\pi_\mu$, то Доказательство. (i) По определению имеем  для любого $n$, поэтому $K^{\mathbf{c}}_n \uparrow \boldsymbol\pi$ плотно в $\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)$ (тогда, очевидно, открыто-плотно) и предплотно в по лемме 6.3, (i). Значит,  плотно в .
Для вывода (ii), (iii) используем (iii), (iv) леммы 6.3. Лемма доказана. Если $\boldsymbol\pi$ – мультифорсинг, то $\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)$ присоединяет набор главных генерических точек $x_{\xi}=x_{\xi}[G]\in 2^\omega$, $\xi\in|\boldsymbol\pi|$, каждая из которых является $\boldsymbol\pi(\xi)$-генерической над исходным универсумом множеств, см. замечание 4.5. Понятно, что присоединяются и другие точки. Имея $\boldsymbol\pi$-полное имя точки $\mathbf{c}$, можно установить разные требования, чтобы “условие” $\boldsymbol{p}\in\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)$ вынуждало, что $\mathbf{c}$ – имя точки вида $x_{\xi k}$, или вынуждало обратное. Следующее определение вводит такое требование, именно для “обратного” направления. Определение 10.4. Пусть $\boldsymbol\pi$ – мультифорсинг, $\xi\in|\boldsymbol\pi|$. Имя точки $\mathbf{c}$ назовем неглавным над $\boldsymbol\pi$ в $\xi$, если следующее множество: открыто-плотно в $\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)$. Мы докажем ниже (теорема 12.2, (i)), что неглавность влечет, что $\mathbf{c}$ не есть имя точки $x_{\xi}[\underline{G}]$. И далее, мы покажем, что условие избегания в следующем определении влечет, что $\mathbf{c}$ – имя негенерической точки. Определение 10.5. Пусть $\boldsymbol\pi$, Лемма 10.6. Пусть $\boldsymbol\pi$, (i) если (ii) если (iii) если $\langle{\boldsymbol\pi_\alpha}_{\alpha<\lambda}\rangle$ есть $\boldsymbol\sqsubset$-возрастающая последовательность в $\mathbf{MF}$, $0<\mu<\lambda$, $\boldsymbol\pi=\bigcup^{\,\mathrm{cw}}_{\alpha<\mu}\boldsymbol\pi_\alpha$, и $\boldsymbol\pi\mathrel{\boldsymbol\sqsubset}^{\mathbf{c}}_{\xi} \boldsymbol\pi_\mu$, то Доказательство. (i) Используем лемму 6.3, (i). Для доказательства (ii) пусть $S\,{\in}\,\boldsymbol\sigma(\xi)$. Коль скоро
 , найдется конечное множество  , для которого $S\subseteq Q_1\cup\dots\cup Q_m$. Имеем  для всех $i$, так как  . Значит, $\boldsymbol\pi \mathrel{\boldsymbol\sqsubset}_{\boldsymbol{D}(\mathbf{c},Q_i,\boldsymbol\pi)}\boldsymbol\sigma$, $\forall\, i$ по лемме 6.3, (iii). Однако $\bigcap_{i}\boldsymbol{D}(\mathbf{c},Q_i,\boldsymbol\pi)\subseteq \boldsymbol{D}(\mathbf{c},S,\boldsymbol\pi)$, поскольку $S\subseteq \bigcup_iQ_i$. Мы заключаем, что $\boldsymbol\pi \mathrel{\boldsymbol\sqsubset}_{\boldsymbol{D}(\mathbf{c},S,\boldsymbol\pi)} \boldsymbol\sigma$ по лемме 6.3, (ii). Отсюда $\boldsymbol\pi\mathrel{\boldsymbol\sqsubset}^{\mathbf{c}}_{\xi} \boldsymbol\sigma$, что и требовалось.
Для вывода (iii) используем лемму 6.3, (iv) аналогичным образом. Лемма доказана. § 11. Генерическое измельчение: запираем неглавные имена Согласно следующей теореме, генерические измельчения, как в § 7, избегают неглавные имена. Это напоминает теорему 8.1 до некоторой степени, однако последняя прямо не применима здесь, поскольку мультидерево $Q$ и множество $\boldsymbol{D}(\mathbf{c},Q,\boldsymbol\pi)$ зависят от Теорема 11.1. В предположениях теоремы 7.3, если $\eta\in|\boldsymbol\pi|\subseteq\mathfrak{M}$ и $\mathbf{c}\in\mathfrak{M}$ есть $\boldsymbol\pi$-полное имя точки неглавное над $\boldsymbol\pi$ в $\eta$, то Доказательство. По условию получено из убывающей $\mathfrak{M}^+$-генерической последовательности пар $\langle n_j,\varphi_j\rangle\in\omega\times\mathbf{Sys}(\boldsymbol\pi)$, как в определении 7.1, (1). Рассуждаем в обозначениях 7.1.
Пусть Пусть $\boldsymbol{r}\in\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)$, $|\boldsymbol{r}|\cap|\boldsymbol{u}|=\varnothing$. Рассмотрим множество $\Delta_{\boldsymbol{r}}\in\mathfrak{M}$ всех таких пар $\langle n,\varphi\rangle\in \omega\times\mathbf{Sys}(\boldsymbol\pi)$, что $\varphi\in\mathbf{Sys}_n(\boldsymbol\pi)$ (определение 8.2), $\langle\eta,K\rangle\in |\varphi|$, и существует мультидерево $\boldsymbol{q}\in \mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)$, для которого $\boldsymbol{q}\leqslant\boldsymbol{r}$, $|\boldsymbol{u}|\cap|\boldsymbol{q}|=\varnothing$ и ($1'$) если $\mathbf{s}\in\mathbf{S}^n_{\varphi}$ и $t\in T^{\varphi}_{\eta K}\cap2^n$, то $\boldsymbol{v}^{\mathbf{s}}_{\varphi}\cup\boldsymbol{q}$ прямо вынуждает $\mathbf{c}\notin[T^{\varphi}_{\eta K}{\upharpoonright_t}]$. Условие ($1'$) подобно условию (1) леммы 8.4, конечно. Заметим, что прямое вынуждение формулы $\mathbf{c}\notin[Q]$ нельзя использовать в ($1'$), так как $Q$ необязательно принадлежит $\mathfrak{M}$, но $\mathbf{c}\notin[T^{\varphi}_{\eta K}]$ оказывается эффективной заменой. Лемма 11.2. Если $\boldsymbol{r}\in\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)$, $|\boldsymbol{r}|\cap|\boldsymbol{u}|=\varnothing$, то $\Delta_{\boldsymbol{r}}$ плотно в $\omega\times\mathbf{Sys}(\boldsymbol\pi)$. Доказательство. Следуем доказательству леммы 8.4. Пусть $\langle n,\psi\rangle\in\omega\times\mathbf{Sys}(\boldsymbol\pi)$. Можно предполагать, что $\psi\in\mathbf{Sys}_n(\boldsymbol\pi)$ (см. лемму 8.4), так что $\langle\xi,k_{\xi}\rangle\in|\psi|$ для всех $\xi\in|\boldsymbol{u}|$,  для всех $\langle \xi,k\rangle\in|\psi|$ и $t\in2^n\cap T^{\psi}_{\xi k}$, и также $\langle\eta,K\rangle\in|\psi|$.
Требуется построить такую систему $\varphi\in\mathbf{Sys}_n(\boldsymbol\pi)$, что $\langle n,\varphi\rangle\preccurlyeq\langle n,\pi\rangle$ и $\varphi\,{\in}\,\Delta_r$. Как в доказательстве леммы 8.4, достаточно обеспечить ($1'$) для какой-то одной пары из $\mathbf{s}=\langle{s_\xi}\rangle_{\xi\in|\boldsymbol{u}|}\in\mathbf{S}^n_{\psi}$ и $t\in T^{\psi}_{\eta K}\cap2^n$; конечная цель тогда достигается простой итерацией через все эти пары. Имеем два случая. Случай 1. $\eta\in|\boldsymbol{u}|$, $K=k_\eta$, $t=s_\eta$. Рассмотрим мультидерево $\boldsymbol{v}^{\mathbf{s}}_{\psi}\in\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)$. Множество $\boldsymbol{D}^{\eta}_{\mathbf{c}}(\boldsymbol\pi)$, как в определении 10.4, плотно из-за неглавности $\mathbf{c}$. Поэтому имеются такие мультидеревья $\boldsymbol{q},\boldsymbol{v}\in\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)$, что $|\boldsymbol{v}|=|\boldsymbol{u}|$, $\boldsymbol{v}\leqslant\boldsymbol{v}^{\mathbf{s}}_{\psi}$, $|\boldsymbol{q}|\cap|\boldsymbol{u}|=\varnothing$, $\boldsymbol{q}\leqslant\boldsymbol{r}$, и $\boldsymbol{v}\cup\boldsymbol{q}\in \boldsymbol{D}^{\eta}_{\mathbf{c}}(\boldsymbol\pi)$, так что $\boldsymbol{v}\cup\boldsymbol{q}$ прямо вынуждает $\mathbf{c}\notin[T^{\boldsymbol{q}}_{\eta}]$. Определим систему $\varphi\in \mathbf{Sys}(\boldsymbol\pi)$ с $|\varphi|=|\psi|$, из $\psi$ посредством: (a) сужения каждого дерева $T^{\psi}_{\xi, k_\xi}{\upharpoonright_{s_\xi}}$ ($\xi\in|\boldsymbol{u}|$) до $T^{\boldsymbol{v}}_{\xi}$, так что $T^{\varphi}_{\xi, k_{\xi}}{\upharpoonright_{s_\xi}}=T^{\boldsymbol{v}}_{\xi}$, (b) в частности, сужения $T^{\psi}_{\eta K}{\upharpoonright_{t}}$ до $T^{\boldsymbol{v}}_{\eta}$, так что $T^{\varphi}_{\eta K}{\upharpoonright_{t}}=T^{\boldsymbol{v}}_{\eta}$, и более никаких изменений. Имеем $\langle n,\varphi\rangle\preccurlyeq\langle n,\psi\rangle$, $\boldsymbol{v}^{\mathbf{s}}_{\varphi}=\boldsymbol{v}$, и $T^{\varphi}_{\eta K}{\upharpoonright_{t}}=T^{\boldsymbol{v}}_{\eta}$ по построению, так что $\boldsymbol{v}^{\mathbf{s}}_{\varphi}\cup\boldsymbol{q}$ прямо вынуждает $\mathbf{c}\notin[T^{\varphi}_{\eta K}{\upharpoonright_{t}}]$, и мы имеем ($1'$). Случай 2: не случай 1. По лемме 9.2 существуют такие мультидеревья $\boldsymbol{q},\boldsymbol{v}\in\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)$ и дерево (c) сужения $T^{\psi}_{\eta K}{\upharpoonright_{t}}$ до $T$, так что $T^{\varphi}_{\eta K}{\upharpoonright_{t}}=T$, и более никаких изменений. Заметим, что (a) и (c) не противоречат одно другому, поскольку $\langle \eta,T,t\rangle\ne\langle \xi,k_\xi,s_\xi\rangle$ для всех $\xi\in\boldsymbol{u}$ по гипотезе случая 2). По построению имеем $\langle n,\varphi\rangle\preccurlyeq\langle n,\psi\rangle$, $\boldsymbol{v}^{\mathbf{s}}_{\varphi}=\boldsymbol{v}$, и $T^{\varphi}_{\eta K}{\upharpoonright_{t}}=T^{\boldsymbol{v}}_{\eta}$. В частности, $\boldsymbol{v}^{\mathbf{s}}_{\varphi}\cup\boldsymbol{q}$ прямо вынуждает $\mathbf{c}\notin[T^{\varphi}_{\eta K}{\upharpoonright_{t}}]$, так что ($1'$) выполнено. Лемма доказана. Возвращаемся к теореме. Раз $\Delta_{\boldsymbol{p}}\in{\mathfrak{M}^+}$, мы имеем $\langle n_j,\varphi_j\rangle\in\Delta_{\boldsymbol{p}}$ для какого-то $j$ по лемме. Пусть это обеспечивается мультидеревом $\boldsymbol{q}\in\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)$, так что $\boldsymbol{q}\leqslant\boldsymbol{p}$, $|\boldsymbol{u}|\cap|\boldsymbol{q}|=\varnothing$, и ($1'$) выполнено для $n=n_j$, $\varphi=\varphi_j$. В частности, поскольку $T^{\varphi_j}_{\eta K}=\bigcup_{t\in T^{\varphi_j}_{\eta K}\cap2^n} T^{\varphi_j}_{\eta K}{\upharpoonright_t}$, мультидерево $\boldsymbol{v}^{\mathbf{s}}_{\varphi_j}\cup\boldsymbol{q}$ прямо вынуждает $\mathbf{c}\notin[T^{\varphi_j}_{\eta K}]$ для всех $\mathbf{s}\in\mathbf{S}^n_{\varphi_j}$, следовательно, также прямо вынуждает $\mathbf{c}\notin[Q]$, так как § 12. Следствия для генерических расширенийСначала мы докажем лемму об адекватном представлении точек $ 2^\omega$ в $\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)$-генерических расширениях при помощи имен точек. Затем теорема 12.2 покажет следствия именно для неглавных имен. Лемма 12.1. Пусть $\boldsymbol\pi$ – регулярный мультифорсинг, а множество $G\subseteq\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)$ является генерическим над исходным универсумом множеств $\mathbf{V}$. Если $x\in\mathbf{V}[G]\cap 2^\omega$, то существует $\boldsymbol\pi$-полное имя точки $\mathbf{c}\in\mathbf{V}$, $\mathbf{c}\subseteq\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)\times\omega\times2$, для которого $x=\mathbf{c}[G]$. Если $\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)$ есть CCC форсинг9 в $\mathbf{V}$, и $\mathbf{c}\in\mathbf{V}$, $\mathbf{c}\subseteq\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)\times\omega\times2$ есть $\boldsymbol\pi$-полное имя точки, то существует такое малое $\boldsymbol\pi$-полное имя точки $\mathbf{d}\in\mathbf{V}$, $\mathbf{d}\subseteq\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)\times\omega\times2$, что $\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)$ вынуждает $\mathbf{c}[\underline{G}]=\mathbf{d}[\underline{G}]$ над $\mathbf{V}$. Доказательство. Первое утверждение есть частный случай общей теоремы в теории форсинга. Для вывода второго увеличим каждое множество $K^{\mathbf{c}}_n\subseteq\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)$ до открыто-плотного $K^{\mathbf{c}}_n \uparrow \boldsymbol\pi=\{\boldsymbol{p}\in\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)\colon\exists\,\boldsymbol{q} \in K^{\mathbf{c}}_{n}\,(\boldsymbol{p}\leqslant\boldsymbol{q})\}$, выберем максимальные антицепи $A_n\subseteq K^{\mathbf{c}}_n \uparrow \boldsymbol\pi$ – они счетны по CCC, затем положим $A_{ni}=\{\boldsymbol{p}\in A_n\colon\exists\,\boldsymbol{q}\in K^{\mathbf{c}}_{ni}(\boldsymbol{p}\leqslant\boldsymbol{q})\}$ и $\mathbf{d}=\{\langle\boldsymbol{p},n,i\rangle\colon\boldsymbol{p}\in A_{ni}\}$. Лемма доказана. Теорема 12.2. Пусть $\boldsymbol\pi$ – регулярный мультифорсинг и $\xi\in|\boldsymbol\pi|$. Тогда (i) если $\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)$ есть CCC, множество $G\subseteq\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)$ – генерическое над исходным универсумом множеств $\mathbf{V}$, и $x\in\mathbf{V}[G]\cap 2^\omega$, то $x\ne x_{\xi}[G]$, если и только если существует малое $\boldsymbol\pi$-полное имя точки $\mathbf{c}\subseteq\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)\times(\omega\times2)$, неглавное над $\boldsymbol\pi$ в $\xi$, и удовлетворяющее $x=\mathbf{c}[G]$; (ii) если $\mathbf{c}\subseteq\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)\times(\omega\times2)$ есть $\boldsymbol\pi$-полное имя точки, Доказательство. (i) Пусть $x\ne x_{\xi}[G]$. Согласно одной из главных теорем форсинга существует такое $\boldsymbol\pi$-полное имя точки $\mathbf{c}\subseteq\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)\times(\omega\times2)$, что $x=\mathbf{c}[G]$ и $\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)$ вынуждает $\mathbf{c}\ne x_{\xi}[\underline{G}]$, и, по лемме 12.1, $\mathbf{c}$ – малое, раз $\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)$ есть CCC. Осталось доказать, что $\mathbf{c}$ – неглавное имя над $\boldsymbol\pi$ в $\xi$, т. е. множество
$$
\begin{equation*}
\boldsymbol{D}^{\xi}_{\mathbf{c}}(\boldsymbol\pi) =\{\boldsymbol{p}\in\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)\colon\xi\in |\boldsymbol{p}|\land\boldsymbol{p}\text{ прямо вынуждает } \mathbf{c}\notin[T^{\boldsymbol{p}}_{\xi} ]\}
\end{equation*}
\notag
$$
открыто-плотно в $\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)$. Открытость очевидна, так что займемся плотностью. Рассмотрим любое $\boldsymbol{q}\in\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)$. Тогда $\boldsymbol{q}$ $\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)$-вынуждает $\mathbf{c}\ne x_{\xi }[\underline{G}]$ по выбору $\mathbf{c}$, поэтому можно предполагать, что для какого-то $n$, $\boldsymbol{q}$ $\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)$-вынуждает $\mathbf{c}(n)\ne x_{\xi}[\underline{G}](n)$. Тогда по лемме 9.2 имеется такое мультидерево $\boldsymbol{p}\in\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)$, $\boldsymbol{p}\leqslant\boldsymbol{q}$, и $s\in \omega^{n+1}$, что $\boldsymbol{p}$ прямо вынуждает $s\subseteq \mathbf{c}$. Теперь достаточно показать, что $s\notin T^{\boldsymbol{p}}_{\xi}$. Пусть, напротив, $s\in T^{\boldsymbol{p}}_{\xi}$. Тогда дерево $T=T^{\boldsymbol{p}}_{\xi}{\upharpoonright_s}$ принадлежит $\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)$. Следовательно, мультидерево $\boldsymbol{r}$, определенное через $T^{\boldsymbol{r}}_{\xi}=T$ и $T^{\boldsymbol{r}}_{\xi'}=T^{\boldsymbol{p}}_{\xi'}$ для любого $\xi'\ne\xi$, принадлежит $\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)$ и удовлетворяет $\boldsymbol{r}\leqslant\boldsymbol{p}\leqslant\boldsymbol{q}$. Однако $\boldsymbol{r}$ прямо вынуждает, что $\mathbf{c}(n)$ и $x_{\xi}[\underline{G}](n)$ равны одной и той же величине $\ell=s(n)$, что противоречит выбору $n$.
Для доказательства в обратную сторону, пусть $\mathbf{c}\subseteq\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)\times(\omega\times2)$ есть $\boldsymbol\pi$-полное имя точки, неглавное над $\boldsymbol\pi$ в $\xi$, и $x=\mathbf{c}[G]$. Пусть, напротив, $x=x_{\xi}[G]$. Существует мультидерево $\boldsymbol{q}\in G$, $\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)$-вынуждающее $\mathbf{c}=x_{\xi}[\underline{G}]$. Раз $\mathbf{c}$ неглавное, существует мультидерево $\boldsymbol{p}\in G\cap \boldsymbol{D}^{\xi}_{\mathbf{c}}(\boldsymbol\pi)$, $\boldsymbol{p}\leqslant\boldsymbol{q}$. Тогда $\boldsymbol{p}$ прямо вынуждает $\mathbf{c}\notin[T^{\boldsymbol{p}}_{\xi}]$, и поэтому $\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)$-вынуждает то же утверждение. Однако $\boldsymbol{p}$, очевидно, $\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)$-вынуждает $x_{\xi}[\underline{G}]\in[T^{\boldsymbol{p}}_{\xi}]$, имеем противоречие. (ii) Пусть напротив,
$$
\begin{equation*}
\boldsymbol{D}(\mathbf{c},Q,\boldsymbol\pi)= \{\boldsymbol{r}\in\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)\colon\xi\in|\boldsymbol{r}|\land \boldsymbol{r}\text{ прямо вынуждает }\mathbf{c}\notin[Q]\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Значит, $\boldsymbol{D}(\mathbf{c},Q,\boldsymbol\pi)$ предплотно в по лемме 6.3, и потому $G\cap \boldsymbol{D}(\mathbf{c},Q,\boldsymbol\pi)\ne \varnothing$. Иными словами, имеется мультидерево $\boldsymbol{r}\in\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)$, прямо вынуждающее $\mathbf{c}\notin[Q]$. Отсюда легко следует $\mathbf{c}[G]\notin[Q]$, противоречие. Теорема 12.2 доказана. § 13. Соединяем типы измельченийЗдесь суммируются рассмотренные выше свойства генерических измельчений. Следующее определение соединяет типы измельчений $\sqsubset_{D}$, $\mathrel{\boldsymbol\sqsubset}_{\boldsymbol{D}}$, $\mathrel{\boldsymbol\sqsubset}_{\mathbf{c}}$, $\mathrel{\boldsymbol\sqsubset}^{\mathbf{c}}_{\xi}$. Определение 13.1. Допустим, что (1) если $D\in\mathfrak{M}$, $D\subseteq\boldsymbol\pi(\xi)$, $D$ предплотно в $\boldsymbol\pi(\xi)$, то (2) если ${\boldsymbol{D}}\in\mathfrak{M}$, ${\boldsymbol{D}}\subseteq\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)$, ${\boldsymbol{D}}$ открыто-плотно в $\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)$, то (3) если $\mathbf{c}\in\mathfrak{M}$ есть $\boldsymbol\pi$-полное имя точки, то (4) если $\mathbf{c}\in\mathfrak{M}$ $\boldsymbol\pi$-полное имя точки, неглавное над $\boldsymbol\pi$ в $\xi$, то Следствие 13.2 (из лемм 5.4, 6.3, 10.3, 10.6). Пусть (i) если (ii) если $\langle{\boldsymbol\pi_\alpha}\rangle_{\alpha<\lambda}$ есть $\boldsymbol\sqsubset$-возрастающая последовательность в $\mathbf{MF}$, $0<\mu< \lambda$, $\boldsymbol\pi=\bigcup^{\,\mathrm{cw}}_{\alpha<\mu}\boldsymbol\pi_\alpha$, и $\boldsymbol\pi \mathrel{{\mathrel{\boldsymbol\sqsubset}}\hspace{-1.5ex}{\mathrel{\boldsymbol\sqsubset}}} _{\mathfrak{M}}\boldsymbol\pi_\mu$, то Следствие 13.3. Если $\boldsymbol\pi$ – малый мультифорсинг, $\mathfrak{M}\in\mathrm{HC}$, а § 14. Возрастающие последовательности мультифорсинговНапомним, что $\mathbf{MF}$ – совокупность всех мультифорсингов (§ 4). Пусть
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathbf{sMF}&=\{\boldsymbol\pi\in\mathbf{MF}\colon\boldsymbol\pi - \textit{малый } \text{мультифорсинг}\}; \\ \mathbf{spMF}&=\{\boldsymbol\pi\in\mathbf{MF}\colon\boldsymbol\pi - \textit{малый особый } \text{мультифорсинг}\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Итак, мультифорсинг $\boldsymbol\pi\in\mathbf{MF}$ принадлежит $\mathbf{sMF}$, когда $|\boldsymbol\pi|\subseteq\omega_1$ – (не более чем) счетно, и если $\xi\in |\boldsymbol\pi|$, то $\boldsymbol\pi(\xi)$ – счетный форсинг в $\mathbf{AF}$, а $\boldsymbol\pi\in\mathbf{spMF}$ требует, чтобы дополнительно каждый $\boldsymbol\pi(\xi)$ был особым (определение 3.3). Определение 14.1. Если $\kappa\leqslant\omega_1$, то через $\overrightarrow{\mathbf{MF}}_\kappa$ обозначим множество всех $\boldsymbol\sqsubset$-возрастающих последовательностей $\vec{\boldsymbol\pi}=\langle{\boldsymbol\pi_\alpha}\rangle_{\alpha<\kappa}$ мультифорсингов $\boldsymbol\pi_\alpha\in\mathbf{spMF}$, непрерывных по области в том смысле, что если $\lambda<\kappa$ – предельный ординал, то $|\boldsymbol\pi_\lambda|=\bigcup_{\alpha<\lambda}|\boldsymbol\pi_\alpha|$. Пусть $\overrightarrow{\mathbf{MF}}=\bigcup_{\kappa<\omega_1}\overrightarrow{\mathbf{MF}}_\kappa$. Мы упорядочиваем $\overrightarrow{\mathbf{MF}}\,{\cup}\,\overrightarrow{\mathbf{MF}}_{\omega_1}$ обычными отношениями $\subseteq$ и $\subset$ продолжения последовательностей. А именно, Если $\vec{\boldsymbol\pi}\in\overrightarrow{\mathbf{MF}}_\kappa$, то пусть $\mathbf{MT}(\vec{\boldsymbol\pi})= \mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)$, где $\boldsymbol\pi=\bigcup^{\,\mathrm{cw}}\vec{\boldsymbol\pi} =\bigcup^{\,\mathrm{cw}}_{\alpha<\kappa}\boldsymbol\pi_\alpha$ (покомпонентное объединение). Соответственно $\vec{\boldsymbol\pi}$-полное имя точки означает $\boldsymbol\pi$-полное имя точки. Лемма 14.2. Если Доказательство. Пусть  и $\boldsymbol\pi=\bigcup^{\,\mathrm{cw}}\vec{\boldsymbol\pi}=\bigcup^{\,\mathrm{cw}}_{\alpha<\kappa}\boldsymbol\pi_\alpha$. По определению  , так что  , ибо $\mathbf{c}$ есть $\boldsymbol\pi$-полное имя точки. Однако  по лемме 10.3, (iii). Значит, $\mathbf{c}$ есть  -полное имя по лемме 10.3, (i). Но  . Лемма доказана. Определение 14.3. Через $\mathbf{ZFL}^-$ обозначим подтеорию $\mathbf{ZFC}$, включающую все аксиомы, кроме аксиомы степени, плюс аксиома конструктивности $\mathbf{V}=\mathbf{L}$ и аксиома существования $\mathscr{P}(\omega)$. (Тогда множества $\omega_1$, $\mathrm{HC}$ и вообще относящиеся к континууму множества вроде $ 2^\omega, \mathbf{PT}$, также существуют.) Аксиома выбора включена в $\mathbf{ZFL}^-$ в форме принципа полной упорядочиваемости. Если $x\in\mathrm{HC}$ ($\mathrm{HC}=$ наследственно счетные множества, сноска 6), то через $\mathfrak{L}(x)$ обозначим наименьшую счетную транзитивная модель (CTM) теории $\mathbf{ZFL}^-$, содержащую $x$ и удовлетворяющую $x\in(\mathrm{HC})^{\mathfrak{L}(x)}$. Она с необходимостью имеет вид $\mathfrak{L}(x)=\mathbf{L}_\mu$, где $\mu=\mu_x<\omega_1$. Ординал $\xi<\kappa$ называется критическим для $\vec{\boldsymbol\pi} =\langle{\boldsymbol\pi_\alpha}_{\alpha<\kappa}\rangle\in\overrightarrow{\mathbf{MF}}_\kappa$, когда мы имеем $(\bigcup^{\,\mathrm{cw}}_{\alpha<\xi}{\boldsymbol\pi_\alpha}) \mathrel{{\mathrel{\boldsymbol\sqsubset}}\hspace{-1.5ex}{\mathrel{\boldsymbol\sqsubset}}} _{\mathfrak{L}(\vec{\boldsymbol\pi}\upharpoonright\xi)}\boldsymbol\pi_\xi$. Это эквивалентно $\vec{\boldsymbol\pi}\upharpoonright\xi\subset_{\mathfrak{L}{(\vec{\boldsymbol\pi} \upharpoonright\xi)}}\vec{\boldsymbol\pi}$. Лемма 14.4. Пусть $\kappa\leqslant\omega_1$ и $\vec{\boldsymbol\pi}=\langle{\boldsymbol\pi_\alpha}_{\alpha<\kappa}\rangle\in\overrightarrow{\mathbf{MF}}_\kappa$. Тогда (i) $\boldsymbol\pi=\bigcup^{\,\mathrm{cw}}\vec{\boldsymbol\pi} =\bigcup^{\,\mathrm{cw}}_{\alpha<\kappa}\boldsymbol\pi_\alpha$ есть регулярный мультифорсинг; (ii) если $\kappa<\lambda\leqslant\omega_1$ и $\mathfrak{M}\in\mathrm{HC}$, то существует такая последовательность (iii) если $\xi<\kappa$ – критический ординал $\vec{\boldsymbol\pi}$, $\boldsymbol\pi_{<\xi}=\bigcup^{\,\mathrm{cw}}_{\alpha<\xi}\boldsymbol\pi_\alpha$, $\boldsymbol\pi_{\geqslant\xi}=\bigcup^{\,\mathrm{cw}}_{\xi\leqslant\beta<\kappa}\boldsymbol\pi_\beta$, то $\boldsymbol\pi_{<\xi} \mathrel{{\mathrel{\boldsymbol\sqsubset}}\hspace{-1.5ex}{\mathrel{\boldsymbol\sqsubset}}} _{\mathfrak{L}{(\vec{\boldsymbol\pi}\upharpoonright\xi)}}\boldsymbol\pi_{\geqslant\xi}$ и $\boldsymbol\pi_{<\xi} \mathrel{{\mathrel{\boldsymbol\sqsubset}}\hspace{-1.5ex}{\mathrel{\boldsymbol\sqsubset}}} _{\mathfrak{L}{(\vec{\boldsymbol\pi}\upharpoonright\xi)}}\boldsymbol\pi_\beta$ для $\xi\leqslant\beta<\kappa$, следовательно,
Доказательство. (i) Используем лемму 5.2, (iv).
(ii) Определяем члены Само собой, Следующие шаги аналогичны, но только можно взять $\mathfrak{M}=\varnothing$. Для вывода главного утверждения (iii) ссылаемся на следствие 13.2. Для вывода (iii), (a) ссылаемся на следствие 6.1. Наконец, (iii), (b). Раз $\boldsymbol\pi_{<\xi} \mathrel{{\mathrel{\boldsymbol\sqsubset}}\hspace{-1.5ex}{\mathrel{\boldsymbol\sqsubset}}} _{\mathfrak{L}{(\vec{\boldsymbol\pi}\upharpoonright\xi)}}\boldsymbol\pi_{\geqslant\xi}$ и $\boldsymbol{D}\in\mathfrak{L}{(\vec{\boldsymbol\pi}\upharpoonright\xi)}$, мы имеем $\boldsymbol\pi_{<\xi}\mathrel{\boldsymbol\sqsubset}_{\boldsymbol{D}}\boldsymbol\pi_{\geqslant\xi}$, поэтому множество $\boldsymbol{D}$ предплотно в $\mathbf{MT}(\vec{\boldsymbol\pi})$ по лемме 6.3, (i). Лемма доказана. § 15. Ключевая последовательность В этом параграфе мы определяем форсинг для доказательства теоремы 1.2. Он будет иметь вид Определение 15.1. Последовательность $\vec{\boldsymbol\pi}\,{\in}\overrightarrow{\mathbf{MF}}$ блокирует множество $W$, если либо $\vec{\boldsymbol\pi}\in W$ (позитивный блок), либо не существует последовательностей Напомним, что $\mathrm{HC}$ – все наследственно счетные множества, сноска 6. Определение 15.2. Мы используем стандартные обозначения $\varSigma^{\mathrm{HC}}_n$, $\varPi^{\mathrm{HC}}_n$, $\varDelta^{\mathrm{HC}}_n$ (наклонные $\varSigma$, $\varPi$, $\varDelta$) для классов эффективной определимости в $\mathrm{HC}$ (параметры не допускаются), и $\mathbf{\Sigma}_n(\mathrm{HC})$, $\mathbf{\Pi}_n(\mathrm{HC})$, $\mathbf{\Delta}_n(\mathrm{HC})$ – для параметрической определимости в $\mathrm{HC}$ (параметры из $\mathrm{HC}$ допускаются). Хорошо известно, что если $n\geqslant1$ и $X\subseteq 2^\omega$, то и то же для $\varPi$, $\mathbf{\Pi}$, $\varDelta$, $\mathbf{\Delta}$. Теорема 15.3 (в $\mathbf{L}$). Пусть (i) последовательность (ii) (iii) если (iv) существует такое замкнутое неограниченное множество Доказательство. Рассуждаем в предположении $\mathbf{V}=\mathbf{L}$. Если  , то пусть  – каноническая универсальная  -формула, так что семейство всех множеств $X\subseteq\mathrm{HC}$ класса $\mathbf{\Sigma}_{\mathbf{n}-3}(\mathrm{HC})$ равно семейству всех множеств вида  , $p\in\mathrm{HC}$.
Доказательство. Мы опускаем рутинную проверку того, что $\overrightarrow{\mathbf{MF}}$ имеет класс $\varDelta^{\mathrm{HC}}_1$. Далее, если $\vec{\boldsymbol\pi}\in\overrightarrow{\mathbf{MF}}$ и $p\in\mathrm{HC}$, то для того, чтобы $\vec{\boldsymbol\pi}$ блокировала  , необходимо и достаточно, чтобы так что мы имеем дизъюнкцию формул типов  и  , следовательно, класс  . Утверждение доказано. Для $\alpha<\omega_1$ определим последовательность $\vec{\boldsymbol\pi}[\alpha]\in\overrightarrow{\mathbf{MF}}$ по индукции следующим образом. Положим $\vec{\boldsymbol\pi}[0]=\varnothing$, пустая последовательность. Шаг $\alpha\to\alpha+1$. Допустим, что $\vec{\boldsymbol\pi}[\alpha]\in\overrightarrow{\mathbf{MF}}$ уже определена, $\kappa=\operatorname{dom}{\vec{\boldsymbol\pi}[\alpha]}$, $\mathfrak{M}= \mathfrak{L}{(\vec{\boldsymbol\pi}[\alpha])}$ и $p_\alpha$ есть $\alpha$-й элемент множества $\mathrm{HC}=\mathbf{L}_{\omega_1}$ в смысле гёделева полного порядка $\leqslant_{\mathbf{L}}$. По лемме 14.4, (ii), имеется последовательность $\vec{\boldsymbol\tau}\in\overrightarrow{\mathbf{MF}}_{\kappa+1}$, для которой $\vec{\boldsymbol\pi}[\alpha]\subset_\mathfrak{M}\vec{\boldsymbol\tau}$. Согласно следствию 7.4 найдется последовательность Пусть $\vec{\boldsymbol\pi}[\alpha+1]$ – $\leqslant_{\mathbf{L}}$-наименьшая из последовательностей $\vec{\boldsymbol\pi}\in\overrightarrow{\mathbf{MF}}$, удовлетворяющих ($*$). Заметим, что аксиома $\mathbf{V}=\mathbf{L}$ совершенно необходима для этой конструкции, поскольку иначе выбор $\leqslant_{\mathbf{L}}$-наименьшей последовательности $\vec{\boldsymbol\pi}[\alpha+1]$ был бы, вообще говоря, невозможен. Предельный шаг. Если $\lambda<\omega_1$ пределен, то положим $\vec{\boldsymbol\pi}[\lambda]=\bigcup_{\alpha<\lambda}\vec{\boldsymbol\pi}[\alpha]$. Мы имеем $\alpha<\beta\Longrightarrow \vec{\boldsymbol\pi}[\alpha]\subset\vec{\boldsymbol\pi}[\beta]$ по построению, так что Для вывода (ii) заметим, что по построению $\alpha\in|\bigcup^{\,\mathrm{cw}}\vec{\boldsymbol\pi}[\alpha+1]|$. Для вывода (iii) ( (iv) Множество Общее соглашение 15.4 (в $\mathbf{L}$). С этого момента фиксируем число Лемма 15.5. Если Доказательство. Согласно 15.4
 удовлетворяет (iii) теоремы 15.3, поэтому найдется ординал $\gamma<\omega_1$, для которого  блокирует $W$. Негативный блок невозможен из-за плотности $W$, значит, мы имеем  . Лемма доказана. § 16. Ключевой форсинг Продолжая рассуждать в $\mathbf{L}$, мы проведем дальнейшие построения, отправляясь от ключевой последовательности Определение 16.1 (в $\mathbf{L}$). Определим мультифорсинги Мы далее определяем Множество Следствие 16.2 (в $\mathbf{L}$, согласно 15.3, (ii)). Если $\xi<\omega_1$, то, согласно следствию, пусть $\alpha(\xi)<\omega_1$ равно наименьшему ординалу $\alpha$, для которого Следствие 16.3 (в $\mathbf{L}$). Последовательность ординалов $\langle{\alpha(\xi)}\rangle_{\xi<\omega_1}$ и последовательность форсингов Доказательство. Следующая двойная эквивалентность выполнена по построению. Однако  есть -отношение по теореме 15.3, (i). Этому же классу тогда принадлежит и последовательность $\langle{\alpha(\xi)}\rangle_{\xi<\omega_1}$. Второе утверждение аналогично. Следствие доказано. Следствие 16.4 (в $\mathbf{L}$, из леммы 5.2, (iv)). Если $\xi<\omega_1$ и $\alpha(\xi)\leqslant\alpha<\omega_1$, то множество Несмотря на 16.2, множества Следствие 16.5 (в $\mathbf{L}$, из 16.2). Множество Для вывода свойства CCC нам потребуется следующая лемма. Лемма 16.6 (в $\mathbf{L}$). Если $X\subseteq\mathrm{HC}=\mathbf{L}_{\omega_1}$, то множество $\mathscr O_X$ всех таких ординалов $\gamma<\omega_1$, что $\langle \mathbf{L}_\gamma; X\cap\mathbf{L}_\gamma\rangle$ есть элементарная подмодель $\langle\mathbf{L}_{\omega_1};X\rangle$ и Вообще, если $X_n\subseteq\mathrm{HC}$ для всех $n$, то множество $\mathscr O$ всех таких $\gamma\,{<}\,\omega_1$, что $\langle\mathbf{L}_\gamma;\langle {X_n\cap\mathbf{L}_\gamma}\rangle_{n<\omega}\rangle$ есть элементарная подмодель $\langle\mathbf{L}_{\omega_1};\langle{X_n}\rangle_{n<\omega}\rangle$ и Доказательство. Пусть $C\subseteq\omega_1$ – замкнутое неограниченное множество. Пусть $M$ – счетная элементарная подмодель $\mathbf{L}_{\omega_2}$, содержащая $C$, $\omega_1$, $X$, , и такая, что $M\,{\cap}\,\mathbf{L}_{\omega_1}$ транзитивно. Рассмотрим коллапс по Мостовскому $\phi\colon M\xrightarrow{\text{на}}\mathbf{L}_\lambda$; пусть $\gamma=\phi(\omega_1)$. Тогда по выбору $M$. Отсюда следует, что  – элементарная подмодель  , таким образом, $\gamma\in\mathscr O_X$. Более того, $\gamma$ несчетен в $\mathbf{L}_\lambda$, значит,  . (См. определение 14.3 о моделях $\mathfrak{L}(\vec{\boldsymbol\pi})\models\mathbf{ZFL}^-$.) Мы заключаем, что  поскольку $X\cap\mathbf{L}_\gamma\in\mathbf{L}_\lambda$ по построению. С другой стороны, $C\cap\gamma$ неограничено в $\gamma$ по элементарности, следовательно, $\gamma\in C$, что и требовалось.
Второе, более общее утверждение мало чем отличается. Лемма доказана. Следствие 16.7 (в $\mathbf{L}$). Форсинг Доказательство. Пусть  – максимальная антицепь. По 15.4 и теореме 15.3, (iv) существует замкнутое неограниченное множество  , каждый ординал  в котором – критический для . По лемме 16.6 имеется такой ординал , что  – максимальная антицепь в  и  . Тогда множество  открыто-плотно в  .
Но $\gamma$ – критический ординал для Следствие 16.8 (в $\mathbf{L}$). Если множество Доказательство. Можно предполагать, что $D$ даже плотно. Пусть $A\,{\subseteq}\,D$ – максимальная антицепь в $D$; тогда $A$ является максимальной антицепью и в
из-за предплотности $D$. Тогда  для какого-то $\gamma<\omega_1$ по следствию 16.7. Но $A$ предплотно в . Следствие доказано. § 17. Базовое генерическое расширение Напомним, что ключевая последовательность Замечание 17.1. С этого момента мы будем обычно рассуждать в $\mathbf{L}$ и генерических расширениях $\mathbf{L}$, сохраняющих по крайней мере $\omega_1^{\mathbf{L}}$ (сюда относятся и Определение 17.2. Пусть множество – определяем – через $x_{\xi}=x_{\xi}[G]\in 2^\omega$ обозначаем единственную точку в $\bigcap_{T\in G(\xi)}[T]$; – полагаем $\boldsymbol{X}=\boldsymbol{X}[G]=\langle{x_{\xi}[G]}\rangle_{\xi<\omega_1} =\{\langle\xi,x_{\xi}[G]\rangle\colon\xi<\omega_1\}$. Итак, Если $\Delta\subseteq\omega_1$, то пусть Следующая лемма использует структуру Лемма 17.3. Пусть $\Delta\in\mathbf{L}$, $\Delta\subseteq\omega_1$. Тогда § 18. Определимость генерических точек Напомним, что компоненты Теорема 18.1. Допустим, что множество (1) $x=x_{\xi}[G]$; (2) точка $x$ является (3) Доказательство. $(1)\Longrightarrow(2)$ несложно (см. замечание 4.5). Для вывода $(2)\Longrightarrow(3)$ напомним, что каждое множество  предплотно в  по лемме 5.2, (iv). Остается вывести $(3)\Longrightarrow(1)$. Предположим, что $x\in\mathbf{L}[G]\cap 2^\omega$, но (1) не выполнено, т. е. $x\ne x_{\xi}[G]$. По теореме 12.2, (i) найдется такое малое ( удовлетворяет CCC по 16.7)  -полное имя точки $\mathbf{c}\in\mathbf{L}$, что  , $x=\mathbf{c}[G]$, и $\mathbf{c}$ неглавное над в $\xi$, в том смысле, что множество открыто-плотно в . Из-за малости $\mathbf{c}$ имеется такой ординал $\gamma<\omega_1$, что $\mathbf{c}$ есть  -полное имя точки, и можно предполагать по следствию 16.8, что множество  предплотно в , значит, открыто-плотно в , а тогда $\mathbf{c}$ является неглавным над в $\xi$. Далее, можно предполагать, что  . Наконец, можно предполагать, что $\gamma$ принадлежит множеству  теоремы 15.3, (iv), другими словами, $\gamma$ – критический ординал для $\vec{\boldsymbol\pi}$, т. е.  . Отсюда следует  по лемме 14.4, (iii). Тогда  также выполнено по лемме 13.1, (4), так как  и вследствие неглавности $\mathbf{c}$. Теперь теорема 12.2, (ii) для  и  (отметим, что  ) влечет  , в частности,  . Другими словами, (3) также не имеет места. Теорема доказана. Следствие 18.2. Пусть Напомним, что $\boldsymbol{X}[G]$ введено определением 17.2. Доказательство. По теореме соотношение $\langle\xi,x\rangle\in \boldsymbol{X}[G]$ эквивалентно в модели $M$ такому предложению: которое можно переписать как Здесь равенство $\mu=\alpha(\xi)$ имеет тип по следствию 16.3, и то же самое верно для равенства  также по 16.3. Поэтому все отношение в целом имеет тип  , так как квантор $\exists\, T\in Y$ ограничен. Следствие доказано. Следствие 8.3. Если Доказательство. Если $\gamma<\omega_1$, то пусть $\boldsymbol{X}_{\gamma}=\langle{x_{\xi}[G]}\rangle_{\xi<\gamma}$. Равенство $Y=\boldsymbol{X}_{\gamma}$ есть
-отношение в $\mathbf{L}[G]$ (с аргументами $\gamma$, $Y$) по следствию 18.2. Если $x\in 2^\omega\cap\mathbf{L}[G]$, то пусть $\gamma(x)$ – наименьший ординал $\gamma<\omega_1$, для которого $x\in\mathbf{L}[\boldsymbol{X}_{\gamma}]$, а $\nu(x)<\omega_1$ – номер $x$ в каноническом полном упорядочении $ 2^\omega$ в $\mathbf{L}[\boldsymbol{X}_{\gamma}]$. Мы упорядочиваем $ 2^\omega\cap\mathbf{L}[G]$ согласно лексикографическому порядку троек $\langle\max\{\gamma(x),\nu(x)\},\gamma(x),\nu(x)\rangle$. Класс этого порядка будет  согласно вышесказанному, следовательно,  . А “хорошесть” (т. е. множество всех кодированных начальных сегментов должно быть  ) легко проверяется. Лемма доказана. § 19. Модель, в которой отделимость нарушена Мы определим модель для теоремы 1.2 на базе Пусть Напомним, что Лемма 19.1. Доказательство. Пусть напротив,  вынуждает, что $C$ – несчетная антицепь в , где $C$ является  -именем. Заметим, что в $\mathbf{L}$, счетно полно: если $q_0\geqslant q_1\geqslant q_2\geqslant \cdots$ – последовательность в , то имеется условие  ; $q\leqslant q_k$, $\forall\, k$. Поэтому, рассуждая в $\mathbf{L}$, можно определить по индукции убывающую $\langle{q_\xi}_{\xi<\omega_1}\rangle$ в и последовательность попарно несовместных условий  , так, что $q_0\leqslant q'$ и каждое $q_\xi$ вынуждает $p_\xi\in C$. Но тогда $A=\{p_\xi\colon\xi\,{<}\,\omega_1\}\in\mathbf{L}$ – несчетная антицепь в , противоречие. Лемма доказана. Лемма 19.2. Пусть множество $G\times H$ – (i) $ 2^\omega\cap\mathbf{L}[G,H]\subseteq\mathbf{L}[G]$, поэтому $\omega_1^{\mathbf{L}}=\omega_1^{\mathbf{L}[G]}=\omega_1^{\mathbf{L}[G,H]}$; (ii) если $\Delta\in\mathbf{L}$, $\Delta\subseteq\omega_1^{\mathbf{L}}$, то $\mathbf{L}[G\upharpoonright\Delta,H]\cap 2^\omega\subseteq\mathbf{L}[G\upharpoonright\Delta]$; (iii) если $\Delta\in\mathbf{L}[H]$, $\Delta\subseteq\omega_1^{\mathbf{L}}$, и $\xi<\omega_1^{\mathbf{L}}$, то $x_{\xi}[G]\in\mathbf{L}[G\upharpoonright\Delta]$ равносильно $\xi\in\Delta$. Доказательство. Множество необязательно остается счетно полным в $\mathbf{L}[G]$, так что наиболее простой метод доказательства (ii) не работает. Однако рассмотрим $\mathbf{L}[G,H]$ как -генерическое расширение $\mathbf{L}[H][G]$ модели $\mathbf{L}[H]$. Пусть $x\in 2^\omega\cap\mathbf{L}[H][G]$. Раз есть CCC форсинг в $\mathbf{L}[H]$ по лемме 19.1, лемма 12.1 дает малое -полное имя точки $\mathbf{c}\in\mathbf{L}[H]$, для которого и $x=\mathbf{c}[G]$. Благодаря малости, $\mathbf{c}$ эффективно кодируется точкой $ 2^\omega$, так что $\mathbf{c}\in\mathbf{L}$, поскольку $\mathbf{L}[H]\cap 2^\omega=\mathbf{L}\cap 2^\omega$. Поэтому $x=\mathbf{c}[G]\in\mathbf{L}[G]$.
Доказательство (ii) аналогично. (iii) В нетривиальном направлении, пусть $\xi\notin\Delta$. Рассмотрим множество $\Delta'=\omega_1^{\mathbf{L}}\setminus\{\xi\}\in\mathbf{L}$. Ясно, что $G\upharpoonright\Delta\in\mathbf{L}[G\upharpoonright\Delta',H]$, и потому любая точка в $2^\omega\cap\mathbf{L}[G\upharpoonright\Delta]$ принадлежит $\mathbf{L}[G\upharpoonright\Delta']$ согласно (ii). Но $x_{\xi}[G]\notin \mathbf{L}[G\upharpoonright\Delta']$ по лемме 17.3. Лемма доказана. Напомним, что если $\nu\in\mathbf{Ord}$, то произведение ординалов $2\nu$ рассматривается как порядковая сумма $\nu$ копий ординала $2=\{0,1\}$. (В то время как $\nu2=\nu+\nu$.) Например, если $\nu=\lambda+m$, где $\lambda$ пределен или $0$ и $m<\omega$, то $2\nu=\lambda+2m$ и $2\nu+1=\lambda+2m+1$, а $\langle\nu,i\rangle\mapsto2\nu+i$ – биекция $\omega_1\times2$ на $\omega_1$. Определение 19.3. Если $H\colon \omega_1^{\mathbf{L}}\to\{1,2,3\}$, то определим множества и Соотношение $\mathbf{L}[G\upharpoonright\Delta_H]\subseteq\mathbf{L}[G]$ необязательно выполнено, так как множество $\Delta_H$ может не принадлежать к $\mathbf{L}[G]$, однако $\mathbf{L}[G\upharpoonright\Delta_H]\subseteq\mathbf{L}[G][H]$. § 20. Теорема неотделимости: $\mathrm{HC}$-вариантЗдесь доказывается такой вариант теоремы 1.2 для определимости в $\mathrm{HC}$. Теорема 20.1. Пусть множество (i) (ii) Доказательство теоремы 20.1 в этом параграфе содержит ссылку на следующую теорему, собственное длинное доказательство которой последует в заключительной части статьи. Теорема 20.2 (будет доказана в § 26). Пусть множество $X\in\mathbf{L}$, $X\subseteq\omega_1^{\mathbf{L}}$ неограничено в $\omega_1^{\mathbf{L}}$, а множество Следствие 20.3. В предположениях теоремы 20.1 $\mathrm{HC}^{\mathbf{L}[G\upharpoonright\Delta_H]}$ есть элементарная подмодель $\mathrm{HC}^{\mathbf{L}[G]}$ по отношению ко всем Заметим, что $\mathrm{HC}^{\mathbf{L}[G\upharpoonright\Delta_H]}\subseteq\mathrm{HC}^{\mathbf{L}[G]}$ по лемме 19.2, но $\mathbf{L}[G\upharpoonright\Delta_H]\not\subseteq\mathbf{L}[G]$. Доказательство (следствия 20.3). Имеем $\omega_1^{\mathbf{L}}=\omega_1^{\mathbf{L}[G]} =\omega_1^{\mathbf{L}[G\upharpoonright\Delta_H]}$ и $\Delta_H\cap\lambda\in\mathbf{L}$ для всех $\lambda<\omega_1^{\mathbf{L}}$ по лемме 19.2. Остается сослаться на теорему 20.2, с учетом того, что  -определимость соответствует  -определимости.
Следствие доказано. Доказательство (теоремы 20.1). (i) Чтобы проверить, к примеру, что
 является  -множеством в $\mathbf{L}[G\upharpoonright\Delta_H]$, достаточно доказать равенство в $\mathbf{L}[G\upharpoonright\Delta_H]$, где $\boldsymbol{X}=\boldsymbol{X}[G]\cap\mathbf{L}[G\upharpoonright\Delta_H]$ есть -множество в $\mathbf{L}[G\upharpoonright\Delta_H]$ согласно следствию 18.2. (Для  было бы $\langle 4\nu,x\rangle\in\boldsymbol{X}$ в выделенной формуле.)
Сначала предположим, что $\nu<\omega_1^{\mathbf{L}}$, $\xi=4\nu+1$, $x\in\mathbf{L}[G\upharpoonright\Delta_H]\cap 2^\omega$, и $\langle\xi,x\rangle\in\boldsymbol{X}$; проверим, что Обратно, пусть Для доказательства неотделимости предположим, что, напротив, множества Если $K\colon \omega_1^{\mathbf{L}}\to\{1,2,3\}$ (например, $K=H$), то положим
$$
\begin{equation}
A^\ast_{K}=\{\xi<\omega_1^{\mathbf{L}}\colon \varphi(a,\xi)^{\mathrm{HC}^{\mathbf{L}[G\upharpoonright\Delta_K]}}\},\qquad B^\ast_{K}=\{\xi<\omega_1^{\mathbf{L}}\colon \psi(a,\xi)^{\mathrm{HC}^{\mathbf{L}[G\upharpoonright\Delta_K]}}\}.
\end{equation}
\tag{$*$}
$$
По определению  ,  , и $A^\ast_H\cap B^\ast_H=\varnothing$. Имеется “условие”  , совместимое с $H$ (т. е. здесь просто $q_0\subset H$), которое вынуждает указанные свойства множеств $A$, $B$, так что
Можно предполагать, что $\operatorname{dom}{q_0}\subseteq\lambda$, иначе просто увеличим $\lambda$. Берем любой ординал $\nu_0$, $\lambda\leqslant\nu_0<\omega_1$. Рассмотрим функции $H_1, H_2, H_{3}$: $\omega_1^{\mathbf{L}}\to\{1,2,3\}$, генерические над $\mathbf{L}[G]$, совместные с $q_0$, и удовлетворяющие ${H_i}(2\nu_0)=i$, $i=1,2,3$, и ${H_1}(\alpha)={H_2}(\alpha)={H_{3}}(\alpha)$ для всех $\alpha\ne 2\nu_0$. Имеем $\Delta_{H_{3}}=\Delta_{H_1}\cup\{4\nu_0+1\}$ по определению 19.3, значит, $\mathbf{L}[G\upharpoonright\Delta_{H_1}]\subseteq\mathbf{L}[G\upharpoonright\Delta_{H_3}]$. Отсюда $ A^\ast_{H_1}\subseteq A^\ast_{H_{3}}$ по следствию 20.3. Значит, Мы выводим $2\nu_0\in B^\ast_{H_{3}}$ аналогичным рассуждением (с $H_2$). Итак, $A^\ast_{H_{3}}\cap B^\ast_{H_{3}}\ne\varnothing$, что противоречит ($\unicode{8224}$). Противоречие завершает доказательство (i). Доказательство п. (ii) строится совершенно аналогично. § 21. Главная теорема из теоремы 20.2 Доказательство (теоремы 1.2). (i) Рассуждаем в условиях теоремы 20.1. Для построения неотделимой пары
-множеств в $\mathbf{L}[G\upharpoonright\Delta_H]$, рассмотрим $\varPi^1_1$-множество кодов счетных ординалов $\mathbf{WO}\subseteq 2^\omega$, и для $w\in\mathbf{WO}$ пусть $|w|<\omega_1$ – кодируемый ординал. Раз $\omega_1^{\mathbf{L}}=\omega_1$ согласно 16.7, для любого $\xi<\omega_1$ имеется код $w\in\mathbf{WO}\cap\mathbf{L}$ с $|w|=\xi$. Через $w_\xi$ обозначим $\leqslant_{\mathbf{L}}$-наименьший из них, и пусть  и  .
Множества $X,Y\subseteq\mathbf{WO}\cap\mathbf{L}$ принадлежат
$$
\begin{equation*}
A=\{\xi<\omega_1^{\mathbf{L}}\colon w_\xi\in X'\}\quad\text{и}\quad B=\{\xi<\omega_1^{\mathbf{L}}\colon w_\xi\in Y'\}
\end{equation*}
\notag
$$
– дизъюнктные $\mathbf{\Sigma}_{\mathbf{n}-1}(\mathrm{HC})$-множества, причем  и  по построению, что противоречит теореме 20.1. Противоречие завершает доказательство п. (i).
Доказательство п. (ii) строится совершенно аналогично. § 22. Вспомогательное отношение вынуждения Мы начинаем довольно длинное доказательство теоремы 20.2. Оно включает вспомогательное отношение вынуждения, не связанное прямо ни с каким определенным форсингом, в частности, с нашим ключевым форсингом Общее соглашение 22.1. Предполагаем, что Мы рассуждаем в $\mathbf{L}$. Используется язык арифметики второго порядка с переменными $k,l,m,n,\dots$ типа $0$ над $\omega$ и переменными $a,b,x,y,\dots$ типа $1$ над $ 2^\omega$ с атомарными формулами $x(n)=i$. Через $\mathscr{L}$ обозначим расширение этого языка разрешением замещать переменные типа $0$ натуральными числами, а переменные типа $1$ – малыми именами точек (определение 9.1) $\mathbf{c}\in\mathbf{L}$. Классы $\mathscr{L}\varSigma^1_n$, $\mathscr{L}\varPi^1_n$ ($n\geqslant1$) $\mathscr{L}$-формул определяются естественным образом. Пусть $\mathscr{L}(\varSigma\varPi)^1_1$ – замыкание $\mathscr{L}\varSigma^1_1\cup\mathscr{L}\varPi^1_1$ относительно $\neg$, $\land$, $\lor$ и кванторов над $\omega$. Если $\varphi$ – формула из $\mathscr{L}\varSigma^1_n$ (или $\mathscr{L}\varPi^1_n$), то $\varphi^-$ есть результат канонического преобразования $\neg\,\varphi$ к виду $\mathscr{L}\varPi^1_n$ (соответственно $\mathscr{L}\varSigma^1_n$). Мы определим отношение $\boldsymbol{p}\operatorname{forc}_{\vec{\boldsymbol\pi}}\varphi$ между мультидеревьями $\boldsymbol{p}\in\mathbf{MT}$, последовательностями $\vec{\boldsymbol\pi}\in\overrightarrow{\mathbf{MF}}$ и замкнутыми формулами $\varphi$ из $\mathscr{L}(\varSigma\varPi)^1_1$ или $\mathscr{L}\varSigma^1_n\cup\mathscr{L}\varPi^1_n$, $n\geqslant2$, которое подходящим образом аппроксимирует настоящее отношение $1^\circ$. Пусть $\vec{\boldsymbol\pi}\in\overrightarrow{\mathbf{MF}}$, $\boldsymbol{p}\in\mathbf{MT}$ (необязательно $\boldsymbol{p}\in\mathbf{MT}(\vec{\boldsymbol\pi})$), а $\varphi$ – замкнутая $\mathscr{L}(\varSigma\varPi)^1_1$-формула. Определим $\boldsymbol{p}\operatorname{forc}_{\vec{\boldsymbol\pi}}\varphi$, когда существует CTM $\mathfrak{M}\models\mathbf{ZFL}^-$ (cм. определение 14.3 о теории $\mathbf{ZFL}^-$), ординал $\vartheta<\operatorname{dom}\vec{\boldsymbol\pi}$ и мультидерево $\boldsymbol{p}_0\in\mathbf{MT}(\vec{\boldsymbol\pi}\upharpoonright\vartheta)$, такие, что (1) $\boldsymbol{p}\leqslant \boldsymbol{p}_0$ (т. е. $\boldsymbol{p}_0$ – более слабое условие), (2) $\mathfrak{M}$ содержит $\vec{\boldsymbol\pi}\upharpoonright\vartheta$ (и тогда также содержит $\mathbf{MT}(\vec{\boldsymbol\pi}\upharpoonright\vartheta)$ и $\boldsymbol{p}_0$), (3) каждое имя $\mathbf{c}$ в $\varphi$ принадлежит $\mathfrak{M}$ и является $\vec{\boldsymbol\pi}\upharpoonright\vartheta$-полным, (4) $\vec{\boldsymbol\pi}\upharpoonright\vartheta\subset_\mathfrak{M}\vec{\boldsymbol\pi}$ – значит, $\vec{\boldsymbol\pi}\upharpoonright\vartheta\subset_{\{\mathbf{c}\}}\vec{\boldsymbol\pi}$ для любого имени $\mathbf{c}$ в $\varphi$, и (5) $\boldsymbol{p}_0$ $\mathbf{MT}(\vec{\boldsymbol\pi}\upharpoonright\vartheta)$-вынуждает $\varphi[\underline{G}]$ над $\mathfrak{M}$ в обычном смысле10. $2^\circ$. Если $\varphi(x)$ есть $\mathscr{L}\varPi^1_n$-формула, $n\geqslant1$, то определяем $\boldsymbol{p}\operatorname{forc}_{\vec{\boldsymbol\pi}}\exists\, x\,\varphi(x)$, когда имеется малое имя точки $\mathbf{c}$, для которого $\boldsymbol{p}\operatorname{forc}_{\vec{\boldsymbol\pi}}\varphi(\mathbf{c})$. $3^\circ$. Если $\vec{\boldsymbol\pi}\in\overrightarrow{\mathbf{MF}}$, $\boldsymbol{p}\in\mathbf{MT}$, а $\varphi$ – замкнутая $\mathscr{L}\varPi^1_n$-формула, $n\geqslant2$, то определяем $\boldsymbol{p}\operatorname{forc}_{\vec{\boldsymbol\pi}}\varphi$, когда нет последовательности $\vec{\boldsymbol\tau}\in\overrightarrow{\mathbf{MF}}$ и мультидерева $\boldsymbol{p}'\in\mathbf{MT}(\vec{\boldsymbol\tau})$ таких, что $\vec{\boldsymbol\pi}\subseteq\vec{\boldsymbol\tau}$, $\boldsymbol{p}'\leqslant\boldsymbol{p}$ и $\boldsymbol{p}'\operatorname{forc}_{\vec{\boldsymbol\tau}}\varphi^-$. Замечание 22.2. Условие “$\boldsymbol{p}_0$ $\mathbf{MT}(\vec{\boldsymbol\pi}\upharpoonright\vartheta)$-вынуждает $\varphi[\underline{G}]$ над $\mathfrak{M}$” в $1^\circ$ не зависит от выбора CTM $\mathfrak{M}$, содержащей $\vec{\boldsymbol\pi}\upharpoonright\vartheta$ и $\varphi$, поскольку если $\varphi$ есть $\mathscr{L}(\varSigma\varPi)^1_1$-формула, то все транзитивные модели согласованы по отношению к формуле $\varphi[G]$ по теореме абсолютности Мостовского [20; теорема 25.4]. Лемма 22.3. Пусть последовательности Доказательство. Пусть $\varphi$ есть $\mathscr{L}(\varSigma\varPi)^1_1$-формула, и $\mathfrak{M}$, $\vartheta$, $\boldsymbol{p}_0$, как в $1^\circ$, обеспечивают $\boldsymbol{p}\operatorname{forc}_{\vec{\boldsymbol\pi}}\varphi$. Тогда те же $\mathfrak{M}$, $\vartheta$, $\boldsymbol{p}_0$ обеспечивают  .
Индуктивный шаг $\exists$, как в $2^\circ$, достаточно элементарен. Теперь индуктивный шаг $\forall$, как в $3^\circ$. Пусть $\varphi$ – замкнутая $\mathscr{L}\varPi^1_n$-формула, $n\geqslant2$, и $\boldsymbol{p}\operatorname{forc}_{\vec{\boldsymbol\pi}}\varphi$. Допустим, что Определение 22.4. Если $K$ – один из классов $\mathscr{L}(\varSigma\varPi)^1_1$, $\mathscr{L}\varSigma^1_n$, $\mathscr{L}\varPi^1_n$ ($n\,{\geqslant}\,2$), то $\mathbf{FORC}[K]$ есть множество всех таких троек $\langle\vec{\boldsymbol\pi},\boldsymbol{p},\varphi\rangle$, что $\boldsymbol{p}\operatorname{forc}_{\vec{\boldsymbol\pi}}\varphi$. Таким образом, $\mathbf{FORC}[K]$ – подмножество множества $\mathrm{HC}$. Лемма 22.5 (определимость, в $\mathbf{L}$). $\mathbf{FORC}[\mathscr{L}(\varSigma\varPi)^1_1]\in\varDelta^{\mathrm{HC}}_1$. Если $n\geqslant2$, то $\mathbf{FORC}[\mathscr{L}\varSigma^1_n]$ принадлежит $\varSigma^{\mathrm{HC}}_{n-1}$, а $\mathbf{FORC}[\mathscr{L}\varPi^1_n]$ принадлежит $\varPi^{\mathrm{HC}}_{n-1}$. Доказательство. Такие отношения, как $\vec{\boldsymbol\pi}\in\overrightarrow{\mathbf{MF}}$, “быть формулой типа $\mathscr{L}(\varSigma\varPi)^1_1$, $\mathscr{L}\varSigma^1_n$, $\mathscr{L}\varPi^1_n$”, $\boldsymbol{p}\in \mathbf{MT}(\vec{\boldsymbol\rho})$, вынуждение над CTM и т. д., определимы в $\mathrm{HC}$ ограниченными формулами, поэтому $\varDelta^{\mathrm{HC}}_1$. Сверх этого, модель $\mathfrak{M}$ может быть связана как квантором $\exists$, так и $\forall$ в $1^\circ$, см. замечание 22.2. Отсюда следует $\varDelta^{\mathrm{HC}}_1$-оценка для $\mathscr{L}(\varSigma\varPi)^1_1$.
Индуктивный шаг $2^\circ$ достаточно элементарен. Теперь индуктивный шаг $3^\circ$. Пусть $n\geqslant2$, и $\mathbf{FORC}[\mathscr{L}\varSigma^1_n]\in\varSigma^{\mathrm{HC}}_{n-1}$ уже установлено. Однако $\langle\vec{\boldsymbol\pi},\boldsymbol{p},\varphi\rangle\in\mathbf{FORC}[\mathscr{L}\varPi^1_n]$, когда $\vec{\boldsymbol\pi}\in\overrightarrow{\mathbf{MF}}$, $\boldsymbol{p}\in\mathbf{MT}$, $\varphi$ – замкнутая $\mathscr{L}\varPi^1_n$-формула, и согласно $3^\circ$ нет ни одной такой тройки $\langle\vec{\boldsymbol\tau},\boldsymbol{p}',\psi\rangle \in\mathbf{FORC}[\mathscr{L}\varSigma^1_n]$, что $\vec{\boldsymbol\tau}\in\overrightarrow{\mathbf{MF}}$, $\vec{\boldsymbol\pi}\subseteq\vec{\boldsymbol\tau}$, $\boldsymbol{p}'\in\mathbf{MT}(\vec{\boldsymbol\tau})$, $\boldsymbol{p}'\leqslant\boldsymbol{p}$ и $\psi$ есть $\varphi^-$. Отсюда легко следует требуемая $\varPi^{\mathrm{HC}}_{n-1}$-оценка для $\mathbf{FORC}[\mathscr{L}\varPi^1_n]$. Лемма 22.5 доказана. Лемма 22.6 (в $\mathbf{L}$). Пусть $\vec{\boldsymbol\pi}\in\overrightarrow{\mathbf{MF}}$, $\boldsymbol{p}\in\mathbf{MT}(\vec{\boldsymbol\pi})$, $\varphi$ есть $\mathscr{L}(\varSigma\varPi)^1_1$-формула. (i) Если (ii) Если ТМ $\mathfrak{N}\models\mathbf{ZFL}^-$ содержит $\vec{\boldsymbol\pi}$, каждое имя $\mathbf{c}$ в $\varphi$ принадлежит $\mathfrak{N}$ и является $\vec{\boldsymbol\pi}$-полным, и $\boldsymbol{p}$ Доказательство. (i) По определению существуют ординал $\vartheta<\operatorname{dom}\vec{\boldsymbol\pi}$, мультидерево $\boldsymbol{p}_0\in\mathbf{MT}(\vec{\boldsymbol\pi}\upharpoonright\vartheta)$, и CTM $\mathfrak{M}\models\mathbf{ZFL}^-$, содержащая $\vec{\boldsymbol\pi}\upharpoonright\vartheta$, такие, что $\boldsymbol{p}\leqslant\boldsymbol{p}_0$, каждое имя $\mathbf{c}$ в $\varphi$ принадлежит $\mathfrak{M}$ и является $\vec{\boldsymbol\pi}\upharpoonright\vartheta$-полным, $\vec{\boldsymbol\pi}\upharpoonright\vartheta\subset_\mathfrak{M}\vec{\boldsymbol\pi}$, и $\boldsymbol{p}_0$ $\mathbf{MT}(\vec{\boldsymbol\pi}\upharpoonright\vartheta)$-вынуждает $\varphi[\underline{G}]$ над $\mathfrak{M}$. Можно, не умаляя общности, предположить, что $\mathfrak{M}\subseteq\mathfrak{N}$. (Иначе $\mathfrak{N}\subseteq\mathfrak{M}$, и просто берем модель $\mathfrak{M}$ вместо $\mathfrak{N}$.)
Пусть множество Утверждается, что множество $G'=G\cap\mathbf{MT}(\vec{\boldsymbol\pi}\upharpoonright\vartheta)$ – $\mathbf{MT}(\vec{\boldsymbol\pi}\upharpoonright\vartheta)$-генерическое над $\mathfrak{M}$. Действительно, пусть $\boldsymbol{D}\in\mathfrak{M}$, $\boldsymbol{D}\subseteq\mathbf{MT}(\vec{\boldsymbol\pi}\upharpoonright\vartheta)$ открыто-плотно в $\mathbf{MT}(\vec{\boldsymbol\pi}\upharpoonright\vartheta)$. Однако Теперь, если $\mathbf{c}$ – имя в $\varphi$, то $\mathbf{c}\in\mathfrak{M}$ и $\mathbf{c}$ является $\vec{\boldsymbol\pi}\upharpoonright\vartheta$-полным. Значит, согласно доказанному $\mathbf{c}[G']\in 2^\omega$ определено. Следовательно, $\mathbf{c}[G]=\mathbf{c}[G']$, так как $G'\subseteq G$. Поэтому $\varphi[G]$ тождественно $\varphi[G']$. Заметим также, что $\boldsymbol{p}_0\in G'$. Мы заключаем, что $\varphi[G']$ истинно в $\mathfrak{M}[G']$, так как $\boldsymbol{p}_0$ вынуждает $\varphi[\underline{G}]$ над $\mathfrak{M}$. Та же формула $\varphi[G]$ тогда истинна и в $\mathfrak{N}[G]$ по абсолютности Мостовского. (ii) Лемма 14.4, (ii) дает Лемма 22.6 доказана. Лемма 22.7 (в $\mathbf{L}$). Пусть $\vec{\boldsymbol\pi}\in\overrightarrow{\mathbf{MF}}$, $\boldsymbol{p}\in\mathbf{MT}(\vec{\boldsymbol\pi})$, $\varphi$ – формула из $\mathscr{L}(\varSigma\varPi)^1_1$ или $\mathscr{L}\varSigma^1_n$, $n\geqslant2$. Тогда $\boldsymbol{p}\operatorname{forc}_{\vec{\boldsymbol\pi}}\varphi$ и $\boldsymbol{p}\operatorname{forc}_{\vec{\boldsymbol\pi}}\varphi^-$ не выполняются вместе. Доказательство. Пусть $\varphi\in\mathscr{L}(\varSigma\varPi)^1_1$. Если $\boldsymbol{p}\operatorname{forc}_{\vec{\boldsymbol\pi}}\varphi$ и $\boldsymbol{p}\operatorname{forc}_{\vec{\boldsymbol\pi}}\varphi^-$, то по лемме 22.6 $\boldsymbol{p}$ $\mathbf{MT}(\vec{\boldsymbol\pi})$-вынуждает $\varphi[\underline{G}]$ и $\varphi^-[\underline{G}]$ над достаточно большой CTM $\mathfrak{M}$, противоречие. Если $\varphi\in\mathscr{L}\varSigma^1_n, n\geqslant2$, то результат следует из $3^\circ$. Лемма 22.7 доказана.
§ 23. Хвостовая инвариантностьТеоремы инвариантности типичны для всех типов форсинга. Мы докажем две существенные теоремы инвариантности для вспомогательного форсинга. Первая теорема доказывает “хвостовую” инвариантность, вторая же (§ 24) исследует пермутационную инвариантность. Если $\vec{\boldsymbol\pi} =\langle{\boldsymbol\pi_\alpha}_{\alpha<\lambda}\rangle\in\overrightarrow{\mathbf{MF}}$ и $\gamma<\lambda=\operatorname{dom}\vec{\boldsymbol\pi}$, то $\gamma$-хвостом $\vec{\boldsymbol\pi}{\upharpoonright_{\geqslant\gamma}}$ назовем сужение $\vec{\boldsymbol\pi}\upharpoonright{[\gamma,\lambda)}$ на ординальный полуинтервал $[\gamma,\lambda)=\{\alpha\colon\gamma\leqslant\alpha<\lambda\}$. Тогда множество $\mathbf{MT}(\vec{\boldsymbol\pi}{\upharpoonright_{\geqslant\gamma}}) =\bigcup^{\,\mathrm{cw}}_{\gamma\leqslant\alpha<\lambda}\vec{\boldsymbol\pi}(\alpha)$ открыто-плотно в $\mathbf{MT}(\vec{\boldsymbol\pi})$ по лемме 14.4, (iii), (a). Поэтому можно ожидать, что если Теорема 23.1. Пусть Доказательство. Часть 1. Случай $\mathscr{L}\varPi^1_2$. Рассмотрим $\mathscr{L}\varSigma^1_1$-формулу $\psi(x)$. Допустим, что
 не имеет места, т. е. существуют такие  и мультидерево  , что  , $\boldsymbol{q}\leqslant\boldsymbol{p}$ и  . Можно предполагать, что  . По определению $2^\circ$ (§ 22) имеется малое имя точки $\mathbf{c}$, для которого  . По определению $1^\circ$ найдется такой ординал  , что каждое имя $\mathbf{c}'$ в формуле $\psi^-(\mathbf{c})$, включая $\mathbf{c}'=\mathbf{c}$,  -полно, значит, и  -полно по лемме 14.2.
Определим последовательность $\vec{\boldsymbol\pi}'$ так, что $\operatorname{dom}{\vec{\boldsymbol\pi}'}=\lambda'$, $\vec{\boldsymbol\pi}\subseteq\vec{\boldsymbol\pi}'$ и Рассмотрим любую CTM $\mathfrak{N}\models\mathbf{ZFL}^-$, содержащую $\psi$, $\mathbf{c}$, $\vec{\boldsymbol\pi}'$, Часть 2. Шаг $\mathscr{L}\varPi^1_n\to\mathscr{L}\varSigma^1_{n+1}$, $n\geqslant2$. Рассмотрим $\mathscr{L}\varPi^1_n$-формулу $\varphi(x)$. Пусть $\boldsymbol{p}\operatorname{forc}_{\vec{\boldsymbol\pi}}\exists\, x\,\varphi(x)$. По определению (см. $2^\circ$ в § 22) существует малое имя точки $\mathbf{c}$, для которого $\boldsymbol{p}\operatorname{forc}_{\vec{\boldsymbol\pi}}\varphi(\mathbf{c})$. Тогда мы имеем Часть 3. Шаг $\mathscr{L}\varSigma^1_n\to\mathscr{L}\varPi^1_n$, $n\geqslant3$. Пусть $\varphi$ есть $\mathscr{L}\varPi^1_n$-формула, и Теорема 23.1 доказана. § 24. ПермутацииПродолжая рассуждать в $\mathbf{L}$, рассмотрим множество $\mathrm{PERM}$ всех таких биекций $\boldsymbol{h}\colon \omega_1\xrightarrow{\text{на}}\omega_1$, что $\boldsymbol{h}=\boldsymbol{h}^{-1}$ и область неидентичности $\mathbf{NID}(\boldsymbol{h})=\{\xi\colon\boldsymbol{h}(\xi)\ne\xi\}$ не более чем счетна. Элементы $\mathrm{PERM}$ называются пермутациями. Пусть $\boldsymbol{h}\in\mathrm{PERM}$. Мы продолжаем действие $\boldsymbol{h}$ следующим образом: – если $\boldsymbol{p}$ – мультидерево, то $\boldsymbol{h}\boldsymbol{p}$ – мультидерево, $|\boldsymbol{h}\boldsymbol{p}|=\boldsymbol{h}''\boldsymbol{p}= \{\boldsymbol{h}(\xi)\colon\xi\,{\in}\,|\boldsymbol{p}|\}$ и $(\boldsymbol{h}\boldsymbol{p})(\boldsymbol{h}(\xi))=\boldsymbol{p}(\xi)$ для всех $\xi\in|\boldsymbol{p}|$, таким образом, $\boldsymbol{h}\boldsymbol{p}$ тождественно суперпозиции $\boldsymbol{p}\circ{(\boldsymbol{h}^{-1})}$; – если $\boldsymbol\pi\in\mathbf{MT}$ – мультифорсинг, то $\boldsymbol{h}\cdot\boldsymbol\pi=\boldsymbol\pi\circ{(\boldsymbol{h}^{-1})}$ – мультифорсинг, $|\boldsymbol{h}\cdot\boldsymbol\pi|=\boldsymbol{h}''\boldsymbol\pi$ и $(\boldsymbol{h}\cdot\boldsymbol\pi)(\boldsymbol{h}(\xi))=\boldsymbol\pi(\xi)$ для всех $\xi\in|\boldsymbol\pi|$; – если $\mathbf{c}\subseteq\mathbf{MT}\times(\omega\times\omega)$ – имя точки, то положим $\boldsymbol{h}\mathbf{c}\,{=}\,\{\langle\boldsymbol{h}\boldsymbol{p}, n,i\rangle\colon\langle\boldsymbol{p}, n,i\rangle\,{\in}\,\mathbf{c}\}$, понятно, что $\boldsymbol{h}\mathbf{c}$ – также имя точки; – если $\vec{\boldsymbol\pi} =\langle{\boldsymbol\pi_\alpha}_{\alpha<\kappa}\rangle\in\overrightarrow{\mathbf{MF}}$, то $\boldsymbol{h}\vec{\boldsymbol\pi}=\langle{\boldsymbol{h}\cdot \boldsymbol\pi_\alpha}_{\alpha<\kappa}\rangle$ – также последовательность из $\overrightarrow{\mathbf{MF}}$; – если $\varphi:=\varphi(\mathbf{c}_1,\dots,\mathbf{c}_n)$ есть $\mathscr{L}$-формула (все имена явно указаны), то $\boldsymbol{h}\varphi$ есть $\varphi(\boldsymbol{h}\mathbf{c}_1,\dots,\boldsymbol{h}\mathbf{c}_n)$. Многие определенные выше понятия и отношения $\mathrm{PERM}$-инвариантны, т. е. $\boldsymbol{p}\in\mathbf{MT}(\boldsymbol\pi)\Longleftrightarrow \boldsymbol{h}\boldsymbol{p}\in\mathbf{MT}(\boldsymbol{h}\cdot\boldsymbol\pi)$, Теорема 24.1. Пусть $\vec{\boldsymbol\pi}\in\overrightarrow{\mathbf{MF}}$, $\boldsymbol{p}\in\mathbf{MT}(\vec{\boldsymbol\pi})$, $\boldsymbol{h}\in\mathrm{PERM}$, $n\geqslant2$ и $\varphi$ принадлежит $\mathscr{L}\varPi^1_n\cup\mathscr{L}\varSigma^1_{n+1}$. Тогда $\boldsymbol{p}\operatorname{forc}_{\vec{\boldsymbol\pi}}\varphi$ равносильно $(\boldsymbol{h}\boldsymbol{p}) \operatorname{forc}_{\boldsymbol{h}\vec{\boldsymbol\pi}}(\boldsymbol{h}\varphi)$. Доказательство. Пусть
 , $\boldsymbol{q}=\boldsymbol{h}\boldsymbol{p}$.
Часть 1. Случай $\mathscr{L}\varPi^1_2$. Пусть $\varphi(x)$ есть $\mathscr{L}\varSigma^1_1$ формула, $\psi(x):=\boldsymbol{h}\varphi(x)$, и Чтобы обойти эту трудность, пусть $\mathfrak{M}\models\mathbf{ZFL}^-$ есть любая CTM, содержащая $\vec{\boldsymbol\pi}'$, Часть 2. Шаг $\mathscr{L}\varPi^1_n\to\mathscr{L}\varSigma^1_{n+1}$, $n\geqslant2$. Пусть $\varphi(x)$ есть $\mathscr{L}\varPi^1_n$-формула, и $\psi(x):=\boldsymbol{h}\varphi(x)$. Допустим, что $\boldsymbol{p}\operatorname{forc}_{\vec{\boldsymbol\pi}}\exists\, x\,\varphi(x)$. По определению, см. $2^\circ$ в § 22, существует малое имя точки $\mathbf{c}$, удовлетворяющее $\boldsymbol{p}\operatorname{forc}_{\vec{\boldsymbol\pi}}\varphi(\mathbf{c})$. Тогда мы имеем Часть 3. Шаг $\mathscr{L}\varSigma^1_n\to\mathscr{L}\varPi^1_n$, $n\geqslant3$. Пусть $\varphi(x)$ есть $\mathscr{L}\varPi^1_n$-формула, и Теорема 24.1 доказана. § 25. Вынуждение внутри ключевой последовательности Согласно следующей теореме 25.3, вынуждение $\operatorname{forc}_{\vec{\boldsymbol\pi}}$, рассмотренное со счетными начальными сегментами Мы рассуждаем в $\mathbf{L}$. Напомним, что число Определение 25.1. Для краткости пишем $\boldsymbol{p}\operatorname{forc}_{\alpha\varphi}$ вместо Лемма 25.2 (в $\mathbf{L}$). Пусть (i) если $\alpha\leqslant\beta<\omega_1$, (ii) если (iii) если (iv) следовательно, во-первых, если Доказательство. Для вывода (i) используем лемму 22.3. Для вывода (ii) выберем $\beta$ так, что $\alpha<\beta<\omega_1$ и  и применим (i). Для вывода (iii) заметим, что $\boldsymbol{p}$, $\boldsymbol{q}$ несовместны в , ибо иначе (i) ведет к противоречию, но несовместность в влечет свойство гпд по следствию 4.3. Лемма 25.2 доказана. Теорема 25.3. Если $\varphi$ – замкнутая $\mathscr{L}$-формула в Доказательство. Через $\Vdash$ обозначим обычное
-вынуждение над $\mathbf{L}$.
Часть 1. $\varphi$ – формула из $\mathscr{L}(\varSigma\varPi)^1_1$. Если $\boldsymbol{p}\operatorname{forc}\varphi$, то Пусть теперь $\boldsymbol{p}\Vdash\varphi[\underline{G}]$. Существует такой ординал $\gamma_0<\omega_1$, что Для доказательства утверждения предположим противное. Тогда имеется мультидерево Часть 2. Шаг $\mathscr{L}\varPi^1_n\to\mathscr{L}\varSigma^1_{n+1}$ ($n\geqslant1$). Рассмотрим любую $\mathscr{L}\varPi^1_n$-формулу $\varphi(x)$. Пусть $\boldsymbol{p}\operatorname{forc}\exists\, x\,\varphi(x)$. По определению существует малое имя точки $\mathbf{c}$, для которого $\boldsymbol{p}\operatorname{forc}\varphi(\mathbf{c})$. По индуктивному предположению $\boldsymbol{p}\Vdash\varphi(c)[\underline{G}]$, откуда $\boldsymbol{p}\Vdash\exists\, x\,\varphi(x)[\underline{G}]$. Обратно, пусть $\boldsymbol{p}\Vdash\exists\, x\,\varphi(x)[\underline{G}]$. Раз Часть 3. Шаг $\mathscr{L}\varSigma^1_n\to\mathscr{L}\varPi^1_n$ ( Обратно, пусть $\boldsymbol{p}\Vdash\varphi^-$. Найдется такой ординал $\gamma_0<\omega_1$, что Случай 1. Случай 2. Ни одна последовательность в $U$ не продолжает Теорема 25.3 доказана. § 26. Теорема элементарной эквивалентности Доказательство (теоремы 20.2). Предположим противное. Тогда существует такая
 -формула $\varphi(r,x)$, с единственным параметром $r\in 2^\omega\cap\mathbf{L}[G\upharpoonright X]$ и точка $x_0\in 2^\omega\cap\mathbf{L}[G]$, что $\varphi(r,x_0)$ истинно в $\mathbf{L}[G]$, но нет таких $x\in 2^\omega\cap\mathbf{L}[G\,{\upharpoonright}\,X]$, что $\varphi(r,x)$ истинно в $\mathbf{L}[G]$. Согласно подходящему варианту леммы 12.1, мы имеем $r=\mathbf{c}_0[G]$, где  – малое  -полное имя точки. (Обозначения см. § 17.) Также имеется малое -полное имя точки , для которого $x_0=\mathbf{c}[\underline{G}]$.
По теореме 25.3 найдется такое мультидерево $\boldsymbol{p}_0\in G$, что (1) $\boldsymbol{p}_0$ (2) $\boldsymbol{p}_0\operatorname{forc} \varphi(\mathbf{c}_0,\mathbf{c})$, т. е. Коль скоро $\mathbf{c}$, $\mathbf{c}_0$ – малые имена, найдется ординал $\delta<\omega_1$, для которого (3) $|\mathbf{c}_0|\subseteq \delta\cap X$, $|\mathbf{c}|\subseteq\delta$ и $|\boldsymbol{p}_0|\subseteq\delta$. Поскольку (4) Отсюда мы будем выводить противоречие. Положим $D=\delta\setminus X$. Рассмотрим множество $U$ всех таких последовательностей $\vec{\boldsymbol\pi}\in\overrightarrow{\mathbf{MF}}$, что (A) $\mathbf{NID}(\boldsymbol{h})\cap(\delta\cap X)=\varnothing$, и $\boldsymbol{h}$ отображает $D$ на множество $R\subseteq X\setminus\delta$; (B) $\gamma_0\leqslant\zeta<\operatorname{dom}\vec{\boldsymbol\pi}$ и $(\boldsymbol{h}\vec{\boldsymbol\pi}){\upharpoonright_{\geqslant\zeta}} =\vec{\boldsymbol\pi}{\upharpoonright_{\geqslant\zeta}}$, так что $\boldsymbol{h}(\vec{\boldsymbol\pi}(\alpha))=\vec{\boldsymbol\pi}(\alpha)$ при $\zeta\leqslant\alpha<\operatorname{dom}\vec{\boldsymbol\pi}$. Рутинная оценка показывает, что $U$ является $\mathbf{\Sigma}_1(\mathrm{HC})$-множеством (параметры Случай 1. К сожалению, здесь нельзя сразу применить теорему 25.3 для вывода, что $\boldsymbol{p}$ (5) $\boldsymbol{q}$ по теореме 25.3. Однако по построению $|\mathbf{c}'|\subseteq (\delta\cap X)\cup R\subseteq X$, так что вынуждается $\mathbf{c}'[\underline{G}]\in \mathbf{L}[\underline{G}\upharpoonright X]$. Значит, $\boldsymbol{q}$ Случай 2. Ни одна последовательность в $U$ не продолжает Берем любой ординал $\lambda$, $\gamma<\lambda<\omega_1$. Наш план состоит в том, чтобы несколько изменить (a) $|\boldsymbol\pi_\alpha|=d_\alpha\cup R$ – заметим, что (b) если $\xi\in d_\alpha\setminus R$, то (c) если $\xi\in D$, т. е. $\boldsymbol{h}(\xi)=\eta\in R$, то Мы утверждаем, что $\vec{\boldsymbol\pi}=\langle{\boldsymbol\pi_\alpha}_{\alpha<\lambda}\rangle \in\overrightarrow{\mathbf{MF}}$, т. е. если $\alpha<\beta<\lambda$, то $\boldsymbol\pi_\alpha\mathrel{\boldsymbol\sqsubset}\boldsymbol\pi_\beta$. Другими словами, если $\eta\in |\boldsymbol\pi_\alpha|$, то $\boldsymbol\pi_\alpha(\eta)\sqsubset\boldsymbol\pi_\beta(\eta)$. Если $\eta\notin R$, то Мы утверждаем, что последовательность $\vec{\boldsymbol\pi}=\langle{\boldsymbol\pi_\alpha}_{\alpha<\lambda}\rangle$ удовлетворяет Каждый из двух случаев привел к противоречию, что и завершает доказательство теоремы 20.2. Таким образом, теорема 1.2 также доказана. § 27. Замечания и проблемы Можно спросить, что происходит с теоремой отделимости в модели из § 19 на других проективных уровнях Через Наконец, интересной, и вероятно очень трудной проблемой является построение генерического расширения $\mathbf{L}$, в котором теорема отделимости выполнена для данного класса Авторы признательны анонимному рецензенту за ценные замечания и предложения, существенно улучшившие изложение.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{KanLyu21} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|