Пороговые резонансы и виртуальные уровни в спектре цилиндрических и периодических волноводов

Для общих формально самосопряженных эллиптических систем дифференциальных уравнений второго порядка с краевыми условиями Дирихле или Неймана в областях с цилиндрическими и периодическими выходами на бесконечность (в волноводах) даны описание и классификация порогов непрерывного спектра и возникающих на них резонансов. Последние вызваны появлением “почти стоячих” волн, т. е. нетривиальных решений однородной задачи – волн, не переносящих энергии. В качестве примеров рассмотрены квантовые, акустические и упругие волноводы. Основное внимание уделено вырожденным порогам, которые характеризуются наличием полиномиально растущих на бесконечности стоячих волн и порождают эффекты, не свойственные обычным порогам. В частности, описан эффект поднятия собственного числа с вырожденного – нулевого – порога спектра, имеющего векторную природу упругого волновода, который (эффект) заведомо отсутствует в скалярных задачах для цилиндрических акустических и квантовых волноводов. При помощи техники самосопряженных расширений дифференциальных операторов в весовых пространствах представлена интерпретация почти стоячих волн как собственных векторов некоторых операторов, а порога – как соответствующего собственного числа. При этом пороговые собственные числа и соответствующие вектор-функции, не затухающие на бесконечности, получаются предельными переходами на порог (виртуальный уровень) либо снизу, либо сверху, т. е. их свойства существенно отличаются от привычных. Сформулированы открытые вопросы.
Библиография: 84 наименования.