Многочлены Александера плоских алгебраических кривых

В статье исследуется фундаментальная группа дополнения к алгебраической кривой $D\subset\mathbf C^2$, заданной уравнением $f(x,y)=0$. Пусть $F\colon X=\mathbf C^2\setminus D\to\mathbf C^*=\mathbf C\setminus\{0\}$ – морфизм, заданный уравнением $z=f(x,y)$. Центральным результатом статьи является утверждение о том, что в случае, когда общий слой $Y=F^{-1}(z_0)$ неприводим, ядро гомоморфизма $F_*\colon\pi_1(X)\to\pi_1(\mathbf C^*)$ является конечно порожденной группой. В частности, если $D$ – неприводимая кривая, то коммутант группы $\pi_1(X)$ конечно порожден.
Введены понятия внутреннего $\Delta_{in}(t)$ и внешнего $\Delta_{ex}(t)$ многочленов Александера кривой $D$. Доказано, что многочлен Александера $\Delta_1(t)$ кривой $D$ делит $\Delta_{in}(t)$ и $\Delta_{ex}(t)$, является возвратным многочленом и имеет своими корнями корни из единицы. Кроме того, в случае неприводимой кривой $D$ многочлен Александера $\Delta_1(t)$ этой кривой удовлетворяет дополнительному условию: $\Delta_1(1)=\pm1$. Отсюда следует, что корнями многочлена Александера $\Delta_1(t)$ неприводимой кривой не могут быть примитивные корни из 1 степени $p^n$, где $p$ – простое число.