Аннотация:
Пусть KK – алгебраически замкнутое поле характеристики, отличной от 22, gg – натуральное число, f(x)f(x) – многочлен степени (2g+1)(2g+1) с коэффициентами в KK и без кратных корней, C:y2=f(x)C:y2=f(x) – соответствующая гиперэллиптическая кривая рода g над K, а J – ее якобиан. Мы отождествляем C с ее образом при каноническом вложении в якобиан J (при котором единственная бесконечная точка кривой C переходит в ноль группового закона на J).
Хорошо известно, что для каждой точки b∈J(K) найдется ровно 22g элемента a∈J(K) таких, что 2a=b. М. Штоль построил алгоритм, позволяющий найти представления Мамфорда всех таких a, если известно представление Мамфорда точки b. Цель настоящей работы – дать явные формулы в терминах координат a,b для представлений Мамфорда всех таких a, когда b∈J(K) совпадает с точкой нашей кривой P=(a,b)∈C(K)⊂J(K). Мы также доказываем, что если g>1, то C(K)не содержит точек кручения, порядок которых лежит между 3 и 2g.
Библиография: 14 наименований.
Ключевые слова:гиперэллиптические кривые, точки Вейерштрасса, якобианы, точки кручения.
Работа выполнена при частичной поддержке Simons Foundation Collaboration grant № 585711. Эта работа была начата во время моего визита в Математический Институт им. Макса Планка (Бонн, Германия) в мае–июне 2016 г. и закончена во время следующего визита в мае–июле 2018 г. Я благодарен Институту за гостеприимство и поддержку.
Поступило в редакцию: 16.02.2018 Исправленный вариант: 09.10.2018
Образец цитирования:
Ю. Г. Зархин, “Деление на 2 в гиперэллиптических кривых нечетной степени и их якобианах”, Изв. РАН. Сер. матем., 83:3 (2019), 93–112; Izv. Math., 83:3 (2019), 501–520
\RBibitem{Zar19}
\by Ю.~Г.~Зархин
\paper Деление на 2 в гиперэллиптических кривых нечетной степени и их якобианах
\jour Изв. РАН. Сер. матем.
\yr 2019
\vol 83
\issue 3
\pages 93--112
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/im8773}
\crossref{https://doi.org/10.4213/im8773}
\mathscinet{http://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=3954306}
\zmath{https://zbmath.org/?q=an:1419.14044}
\adsnasa{https://adsabs.harvard.edu/cgi-bin/bib_query?2019IzMat..83..501Z}
\elib{https://elibrary.ru/item.asp?id=37652143}
\transl
\jour Izv. Math.
\yr 2019
\vol 83
\issue 3
\pages 501--520
\crossref{https://doi.org/10.1070/IM8773}
\isi{https://gateway.webofknowledge.com/gateway/Gateway.cgi?GWVersion=2&SrcApp=Publons&SrcAuth=Publons_CEL&DestLinkType=FullRecord&DestApp=WOS_CPL&KeyUT=000472863800003}
\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85070644965}
Образцы ссылок на эту страницу:
https://www.mathnet.ru/rus/im8773
https://doi.org/10.4213/im8773
https://www.mathnet.ru/rus/im/v83/i3/p93
Эта публикация цитируется в следующих 11 статьяx:
G. V. Fedorov, “On Hyperelliptic Curves of Odd Degree and Genus g with Six Torsion Points of Order 2g + 1”, Dokl. Math., 2024
G. V. Fedorov, “On hyperelliptic curves of odd degree and genus g with 6 torsion points of order 2g + 1”, Doklady Rossijskoj akademii nauk. Matematika, informatika, processy upravleniâ, 518:1 (2024), 10
J. Boxall, “On the number of points of given order on odd-degree hyperelliptic curves”, Rocky Mountain J. Math., 53:2 (2023), 357–382
E. Cotterill, N. Pflueger, N. Zhang, “Weierstrass semigroups from cyclic covers of hyperelliptic curves”, Bull. Braz. Math. Soc., New Series, 54:3 (2023), 37
B. M. Bekker, Yu. G. Zarhin, “Torsion points of small order on hyperelliptic curves”, Eur. J. Math., 8:2 (2022), 611–624
J. Box, S. Gajovic, P. Goodman, “Cubic and quartic points on modular curves using generalised symmetric chabauty”, Int. Math. Res. Notices, 2022
N. Mani, S. Rubinstein-Salzedo, “Diophantine tuples over $\mathbb Z_p$”, Acta Arith., 197:4 (2021), 331–351
V. Arul, “Division by $1-\zeta$ on superelliptic curves and Jacobians”, Int. Math. Res. Notices, 2021:4 (2021), 3143–3185
B. M. Bekker, Yu. G. Zarhin, “Torsion points of order 2G+1 on odd degree hyperelliptic curves of genus G”, Trans. Am. Math. Soc., 373:11 (2020), 8059–8094
Yu. G. Zarhin, “Halves of points of an odd degree hyperelliptic curve in its Jacobian”, Integrable systems and algebraic geometry. A celebration of Emma Previato's 65th birthday. Volume 2, Lond. Math. Soc. Lect. Note Ser., 459, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2020, 102–118