Диагональные комплексы

Известно, что частично упорядоченное множество наборов непересекающихся диагоналей в $n$-угольнике изоморфно решетке граней некоторого выпуклого многогранника, называемого ассоциэдр. Заменим $n$-угольник (на который следует смотреть как на диск с $n$ отмеченными точками на крае) на произвольную ориентированную поверхность с набором занумерованных отмеченных точек (“вершин”). Дав подходящие определения, мы строим клеточный комплекс $\mathcal{D}$ (обобщение ассоциэдра) и его барицентрическое подразбиение $\mathcal{BD}$. Если поверхность замкнута, то комплекс $\mathcal{D}$ (так же как и $\mathcal{BD}$) гомотопически эквивалентен пространству метрических ленточных графов $RG_{g,n}^{\mathrm{met}}$, или, что то же самое, декорированному пространству модулей $\widetilde{\mathcal{M}}_{g,n}$. Для поверхности с краем мы показали, что 1) стягивание ребра не меняет гомотопического типа комплекса; 2) стягивание компоненты края в отмеченную точку приводит к забывающему отображению между двумя диагональными комплексами, которое гомотопически эквивалентно тавтологическому расслоению Концевича со слоем “окружность”. Таким образом, мы получаем естественную симплициальную модель тавтологического расслоения. В качестве приложения мы вычислили пси-класс, т. е. первый класс Черна в комбинаторных терминах. Этот результат получен применением локальной комбинаторной формулы. 3) Аналогично, стягивание нескольких компонент края поверхности соответствует сумме Уитни тавтологических расслоений.
Библиография: 18 наименований.