Интегрируемые топологические биллиарды и эквивалентные динамические системы

Рассмотрен ряд топологических интегрируемых биллиардов и доказана их лиувиллева эквивалентность многим системам динамики твердого тела с помощью теории Фоменко–Цишанга об инвариантах интегрируемых систем. Изучены биллиарды, ограниченные дугами софокусных квадрик, а также их обобщения – обобщенные биллиарды, где движение происходит по локально плоской поверхности, полученной изометричной склейкой нескольких плоских областей вдоль их границ, являющихся дугами софокусных квадрик. Описаны два новых класса интегрируемых билиардов, также ограниченных дугами софокусных квадрик, а именно, некомпактные биллиарды и обобщенные биллиарды, полученные склейкой плоских биллиардов вдоль невыпуклых частей границы. Полностью классифицированы некомпактные биллиарды, ограниченные дугами софокусных квадрик, и исследована их топология с помощью инвариантов Фоменко, описывающих перестройки особых слоев дополнительного интеграла. Исследована топология изоэнергетических поверхностей некоторых невыпуклых обобщенных биллиардов: оказалось, что они обладают экзотическими слоениями Лиувилля, а именно, на некоторых особых слоях интегральные траектории биллиарда не допускают непрерывного продолжения. Оказалось, что такие биллиарды послойно эквивалентны биллиардам, ограниченным дугами софокусных квадрик в метрике Минковского.
Библиография: 34 наименования.