Универсальные функции в задачах “исправления”, обеспечивающего сходимость рядов Фурье–Уолша

Доказано, что существует функция $g(x)\in L^1[0,1]$ с монотонно убывающими коэффициентами Фурье–Уолша $\{c_k(g)\}_{k=0}^\infty\downarrow$, которая является универсальной в $L^p[0,1]$, $p\geqslant1$, в смысле модификации относительно знаков коэффициентов Фурье по системе Уолша, т. е. для каждой функции $f\in L^p[0;1]$ и для любого $\varepsilon>0$ можно найти функцию $\widetilde f\in L^p[0;1]$ с мерой $|\{x\in[0;1]\colon f(x)=\widetilde f(x)\}|>1-\varepsilon $, ряд Фурье которой по системе Уолша сходится к ней по $L^p[0,1]$-норме и $|c_k(\widetilde f)|=c_k(g)$, $k\in\operatorname{Spec}(\widetilde f)$.
Доказано также, что для любого $0<\varepsilon<1$ существуют измеримое множество $E\subset [0,1]$ с мерой $|E|>1-\varepsilon$ и функция $g\in L^1[0;1]$, $0<c_{k+1}(g)<c_k(g)$, $k=0,1,2,\dots$, такие, что для каждой функции $f\in L^1[0,1]$ можно найти функцию $\widetilde f\in L^1[0,1]$, совпадающую с $f$ на $E$, такую, что ряд Фурье–Уолша функции $\widetilde f(x)$ сходится к ней по норме $L^1[0,1]$ и все члены в последовательности коэффициентов Фурье–Уолша вновь полученной функции по модулю $|c_k(\widetilde f)|=c_k(g)$, $k=0,1,2,\dots$ .
Библиография: 42 наименования.