Аннотация:
Пусть $(X,d)$ – локально компактное сепарабельное ультраметрическое пространство. Каждой мере $m$ на $X$ и каждой функции $C(B)$, определенной на множестве всех неодноточечных шаров $B$ пространства $X$, соответствует иерархический лапласиан $L=L_{C}$. Оператор $L$ действует на $L^{2}(X,m)$, существенно самосопряжен и имеет чисто точечный спектр. Выбор семейства $\{\varepsilon (B)\}$ независимых одинаково распределенных случайных величин определяет возмущенную функцию $C(B,\omega)$ и возмущенный иерархический лапласиан $L^{\omega }=L_{C(\omega)}$. Изучаются арифметические средние
$\bar{\lambda }(\omega)$ собственных значений оператора $L^{\omega }$. При некоторых слабых предположениях показано, что нормированные арифметические средние $( \bar{\lambda }-\mathbb{E}\bar{\lambda })/\sigma [\bar{\lambda }] $ сходятся к $N(0,1)$ по распределению. Приведены также примеры, когда сходимости к нормальному распределению нет. Доказано существование интегральной плотности состояний. Вводится эмпирический точечный процесс $N^{\omega }$ для собственных значений оператора $L^{\omega }$, и в предположении, что плотность состояний существует и непрерывна, доказывается, что конечномерные распределения процесса $N^{\omega }$ сходятся к конечномерным распределениям пуассоновского точечного
процесса. В качестве примера рассмотрены случайные возмущения оператора Владимирова, действующего на $L^{2}(X,m)$, где $X=\mathbb{Q}_{p}$ – кольцо $p$-адических чисел, а $m$ – мера Хаара.
Библиография: 34 наименования.
Ключевые слова:ультраметрическое пространство с мерой, поле $p$-адических чисел, иерархический лапласиан, дробное
дифференцирование, лапласиан Владимирова, точечный спектр, интегральная плотность состояний, свертки Бернулли, задача Эрдёша, точечный процесс, сходимость к пуассоновскому распределению.
Первый автор поддержан Национальным научным центром Польши (грант DEC-2012/05/B/ST 1/00613).
Второй автор поддержан Немецким исследовательским советом (грант SFB 701). Третий и четвертый авторы поддержаны NSF (США).
Поступило в редакцию: 21.08.2014 Исправленный вариант: 01.12.2014
Образец цитирования:
А. Д. Бендиков, А. А. Григорьян, С. А. Молчанов, Г. П. Самородницкий, “Об одном классе случайных возмущений иерархического лапласиана”, Изв. РАН. Сер. матем., 79:5 (2015), 3–38; Izv. Math., 79:5 (2015), 859–893