$G$-сходимость и усреднение нелинейных эллиптических операторов дивергентного вида с переменной областью определения

Изучаются понятия $G$-сходимости и сильной $G$-сходимости последовательности эллиптических операторов $A_s\colon W^{1,m}(\Omega_s)\to(W^{1,m}(\Omega_s))^*$ где $\Omega_s$, $s=1,2,\dots$, – перфорированные области, содержащиеся в ограниченной области $\Omega\subset\mathbf R^n$. Устанавливается, что $G$-сходимость операторов $A_s$ сопровождается сходимостью решений некоторых уравнений и вариационных неравенств, связанных с операторами $A_s$, доказывается теорема о выборе из последовательности $\{A_s\}$ сильно $G$-сходящейся подпоследовательности. Показывается, что при условии периодичности перфорации областей $\Omega_s$ и определенных предположениях относительно коэффициентов операторов $A_s$ имеет место сильная $G$-сходимость $\{A_s\}$ к оператору $A\colon W^{1,m}(\Omega)\to(W^{1,m}(\Omega))^*$ с эффективно вычисляемыми коэффициентами.