Приближение функций в $L^{p(x)}_{2\pi}$ тригонометрическими полиномами

Рассматривается пространство Лебега $L^{p(x)}_{2\pi}$ с переменным показателем $p(x)$, состоящее из измеримых функций $f(x)$, для которых существует интеграл $\int_0^{2\pi}|f(x)|^{p(x)}\,dx$. В случае, когда $2\pi$-периодический переменный показатель $p(x)\geqslant1$ удовлетворяет условию
$$ |p(x')-p(x'')|\ln\frac{2\pi}{|x'-x''|}=O(1),\qquad x',x''\in[-\pi,\pi], $$
установлен аналог первой теоремы Джексона. При дополнительном условии $p_-=\min_x p(x)>1$ получен также аналог второй теоремы Джексона. В пространстве $L^{p(x)}_{2\pi}$ установлен аналог неравенства Бернштейна об оценке производной тригонометрического полинома и на его основе доказана обратная теорема для аналогов классов Липшица $\mathrm{Lip}(\alpha,M)_{p(\,\cdot\,)}\subset L^{p(x)}_{2\pi}$ при $0<\alpha<1$. Тем самым, для классов $\mathrm{Lip}(\alpha,M)_{p(\,\cdot\,)}$ установлены прямые и обратные теоремы теории приближений тригонометрическими полиномами. При определении модуля непрерывности функции $f(x)\in L^{p(x)}_{2\pi}$ вместо обычного сдвига $f^h(x)=f(x+h)$ используется усредненный сдвиг, определяемый функцией В. А. Стеклова $s_h(f)(x)=\frac{1}{h}\int_0^hf(x+t)\,dt$.
Библиография: 34 наименования.