Приближенное функциональное уравнение для произведений двух $L$-функций Дирихле

Выведено приближенное функциональное уравнение для $L(s,\chi_1)L(s,\chi_2)$, где $\chi_1$ и $\chi_2$ – примитивные характеры Дирихле по модулям $k_1$ и $k_2$, а также приближенное уравнение для функции, являющейся аналогом функции Харди–Сельберга.
Если $s=1/2+it$, $k_1k_2\leqslant |t|^{1/9 -5\varepsilon}$, то остатки этих формул убывают как $O(|t|^{-\varepsilon})$ ($\varepsilon$ – произвольно маленькое положительное число) при $|t|\to\infty$.