Термодинамический формализм для функции де Рама: метод приращений

Изучается функция де Рама – единственная непрерывная (нигде не дифференцируемая) функция $F \in L^1(\mathbb{R})$, $\int F(x)\,dx=1$, удовлетворяющая функциональному уравнению $F(x)=F(3x)+\frac{1}{3}\bigl(F(3x-1)+F(3x+1)\bigr)+\frac{2}{3}\bigl(F(3x-2)+F(3x+2)\bigr)$. Показано, что ее поточечная гёльдерова гладкость $\alpha(x)=\operatorname{lim\,inf}_{h\to 0}\frac{\log(|F(x+h)-F(x)|)}{\log|h|}$ сильно меняется от точки к точке, а значения $\alpha(x)$ заполняют интервал, параметризующий набор фрактальных множеств $E^{(\alpha)}$, где $E^{(\alpha)}$ – множество точек $x$ с гёльдеровым показателем $\alpha(x)=\alpha$. Кроме того, установлена справедливость термодинамического формализма (метода приращений) для функций де Рама, т. е. доказана эвристическая формула $d(\alpha)=\inf_{q >0}(\alpha q-\zeta(q)+1)$, связывающая порядок убывания величины $\int_{\mathbb{R}}|F(x+h)-F(x)|^{q}\,dx\sim |h|^{\zeta(q)}$ при $h \to 0$ с хаусдорфовой размерностью $d(\alpha)$ множества $E^{(\alpha)}$.
Библиография: 22 наименования.