Об одном свойстве $\ell$-адических логарифмов единиц локальных неабелевых полей

Продолжено изучение конечных абелевых групп $\mathcal A_n^{(p)}$ и $\mathcal B_n^{(p)}$, определенных в работе [7] и характеризующих билинейную форму $U(K_n)\times U(K_n)\to \mathbb Q_\ell$, $(x,y)\to \operatorname{Sp}_{K_n/\mathbb Q_\ell} (\log x\cdot\log y)$, где $K_n$ – промежуточное подполе кругового $\mathbb Z_\ell$-расширения $K_\infty/K$, $K$ – конечное расширение $\mathbb Q_\ell$, $U(K_n)$ – группа единиц поля $K_n$ и $\log$ – $\ell$-адический логарифм. Доказано, что для $\ell\geqslant 3$ и неабелева $K$ всегда $\mathcal A_n^{(p)}\ne 0$ и $\mathcal B_n^{(p)}\ne0$, за исключением случая, когда $\ell=3$ и неабелево $K$ является квадратичным расширением некоторого кругового поля. Исследован и этот исключительный случай.
Библиография: 8 наименований.