Фрактальные кривые и всплески

Вводится понятие суммируемой фрактальной кривой (порожденной конечным семейством аффинных операторов), которое обобщает известные понятия аффинных фракталов и непрерывных фрактальных кривых на случай несжимающих операторов. Доказаны критерий существования фрактальной кривой у данного семейства операторов и критерии ее принадлежности различным пространствам функций. Получены формулы для показателей гладкости в этих пространствах, а также асимптотически точные оценки на модули непрерывности. Данные результаты применены к исследованию известных кривых (Кох, де Рама и т. д.), масштабирующих функций и всплесков. Исследуется локальное поведение непрерывных фрактальных кривых. Получена формула для показателя локальной гладкости в произвольной точке и охарактеризованы множества точек с заданной локальной гладкостью. Показано, что для любой фрактальной кривой значения ее локальной гладкости заполняют определенный отрезок. Однако почти во всех точках (в мере Лебега) гладкость одна и та же и вычисляется с помощью показателя Ляпунова данных операторов. Разработанная техника применяется к исследованию масштабирующих функций и всплесков с компактным носителем. В качестве примера вычислены модули непрерывности некоторых всплесков Добеши, показатели их локальной гладкости и гладкости в пространствах $L_p$.
Библиография: 47 наименований.