Одномерные разбиения Фибоначчи и индуцированные двухцветные повороты окружности

Исследуются двухцветные повороты $S_\varepsilon(a,b)$ единичной окружности, переводящие $x\in[0,1)$ в точку $\langle x+a\tau\rangle$, если $x\in[0,\varepsilon)$, или в точку $\langle x+b\tau\rangle$, если $x\in[\varepsilon,1)$. Повороты $S_\varepsilon(a,b)$ зависят от дискретных параметров $a,b\in\mathbb Z$ и непрерывного параметра $\varepsilon\in[0,1)$, при этом в качестве иррациональности $\tau$ выбрано золотое сечение $\frac{1+\sqrt5}2$. Доказано, что двухцветные повороты $S_\varepsilon(a,b)$ обладают свойством инвариантности: индуцированные отображения или отображения первого возвращения для $S_\varepsilon(a,b)$ снова являются двухцветными поворотами $S_{\varepsilon'}(a',b')$ с перенормированными параметрами $\varepsilon'\in[0,1)$, $a',b'\in\mathbb Z$. Более того, найдены условия, при которых индуцированные отображения $S_{\varepsilon'}(a',b')$ имеют вид $S_{\varepsilon'}(a,b)$, т. е.двухцветные повороты $S_\varepsilon(a,b)$ изоморфны собственным индуцированным отображениям и, тем самым, обладают еще одним свойством, а именно свойством самоподобия. Описана структура аттрактора $\operatorname{Att}(S_\varepsilon(a,b))$ поворотов $S_\varepsilon(a,b)$ и доказано, что их ограничение на аттрактор изоморфно некоторому семейству интегральных изоморфизмов $T_\varepsilon$, получаемых подъемом простого поворота окружности $S(x)=\langle x+\tau\rangle$. Следствием является равномерная распределенность $S_\varepsilon(a,b)$-орбит на аттракторе $\operatorname{Att}(S_\varepsilon(a,b))$. Выявлена связь между мерой аттрактора $\operatorname{Att}(S_\varepsilon(a,b))$ и функцией частотного распределения $\nu_\varepsilon(\theta_1,\theta_2)$ точек из $S_\varepsilon(a,b)$-орбит по интервалам $[\theta_1,\theta_2]\subset[0,1)$. В некоторых случаях получены явные формулы для частоты $\nu_\varepsilon(\theta_1,\theta_2)$.
Библиография: 11 наименований.