Асимптотический анализ задач на соединениях областей различных предельных размерностей. Тело, пронзенное тонким стержнем

Рассматривается задача сопряжения на объединении двух тел: тонкого цилиндра $Q_\varepsilon$ и массивного тела $\Omega(\varepsilon)$ с отверстием, в которое этот цилиндр и вставлен. Уравнения на $Q\varepsilon$ и $\Omega(\varepsilon)$ содержат операторы $\mu\Delta$ и $\Delta$ ($\mu=\mu(\varepsilon)$ – большой параметр, $\Delta$ – лапласиан); на торцах $Q_\varepsilon$ назначены условия Дирихле, а на остальной части внешней границы – условия Неймана. Изучается асимптотика решения $\{u_Q,u_\Omega\}$ при $\varepsilon\to+0$. Основные асимптотические формулы таковы: $u_Q\sim w$ на $Q_\varepsilon$ и $u_\Omega\sim v$ на $\Omega(\varepsilon)$; здесь $v$ – решение задачи Неймана в $\Omega$, причем вдоль отрезка $\Omega\setminus\Omega(0)$ распределена функция Дирака с плотностью $\gamma$. Функции $w$ и $\gamma$, зависящие от переменной на оси цилиндра, находятся как решения так называемой результирующей задачи, в которую входят дифференциальное уравнение второго порядка и интегральное уравнение (главный символ оператора $(2\pi)^{-1}\ln|\xi|$). В результирующей задаче остается большой параметр $\lvert\ln\varepsilon\rvert$ – обсуждаются различные способы построения ее асимптотических решений. Наиболее интересным оказывается случай $\mu(\varepsilon)=O(\varepsilon^{-2}\lvert\ln\varepsilon\rvert^{-1})$ (даже главные члены функций $w$ и $\gamma$ не находятся порознь). Все асимптотические формулы обоснованы – остатки оцениваются по энергетической метрике.
Библиография: 38 наименований.