О слабой${}^*$ сходимости операторных средних

Для линейного оператора $U$, $\|U^n\|\leqslant\mathrm{const}$, в пространстве Банаха $X$ обсуждаются условия сходимости соответствующих его сопряженному оператору $U^*$ эргодических операторных сетей $T_\alpha$ в $\mathrm{W^*O}$-топологии пространства $\operatorname{End} X^*$. Точки накопления всевозможных таких сетей образуют выпуклое компактное множество $L$ в $\operatorname{End} X^*$, представляющее собой ядро полугруппы операторов $G=\overline{\operatorname{co}}\,\Gamma_0$, где $\Gamma_0=\{U_n^*,n\geqslant 0\}$. Показано, что все эргодические сети $T_\alpha$ слабо${}^*$ сходятся точно тогда, когда ядро $L$ состоит из одного элемента. В случае $X=C(\Omega)$ и оператора сдвига $U$, порожденного непрерывным преобразованием $\varphi$ метризуемого компакта $\Omega$, прослеживаются связи эргодических свойств $U$ со структурой полугрупп операторов $L$, $G$ и $\Gamma=\overline{\Gamma}_0$, а также с динамическими характеристиками полукаскада $(\varphi,\Omega)$. В частности, если $\operatorname{card}L=1$, то: а) при каждом $\omega \in\Omega$ замыкание траектории $\{\varphi^n\omega, n \geqslant 0\}$ содержит ровно одно минимальное множество $m$; б) сужение $(\varphi,m)$ строго эргодично. Условие а) влечет $\mathrm{W^*O}$-сходимость любых эргодических последовательностей операторов $T_n \in \operatorname{End} X^*$ при дополнительном предположении о наличии в ядре обволакивающей полугруппы $E(\varphi,\Omega)$ элементов, полученных из “базисного” семейства преобразований $\{\varphi^n, n \geqslant 0\}$ компакта $\Omega$ с помощью некоторой трансфинитной последовательности секвенциальных предельных переходов.
Библиография: 15 наименований.