Уточнение метода оценки сумм с простыми числами

Даются новые, более точные оценки сумм
$$ \sum_{p\leqslant N}\chi(p+k),\,\sum_{p\leqslant N}\chi(p(p+k)),\,\sum_{p\leqslant N}e^{2\pi i\alpha p}. $$

В настоящей работе я даю новую, более точную, чем ранее, оценку сумм вида
$$ \sum_{p\leqslant N}\chi(p+k),\,\sum_{p\leqslant N}\chi(p(p+k)),\,\sum_{p\leqslant N}e^{2\pi i\alpha p}, $$
где $p$ пробегает простые числа. Указываемый прием позволяет улучшить оценки всевозможных аналогичных сумм.