О некоторых формулах обращения сингулярных интегралов

Предметом настоящей статьи, примыкающей к одной из моих заметок (1), являются формулы обращения сингулярных интегралов, когда область интегрирования есть система интервалов числовой оси. В отличие от других работ (2), здесь не требуется, чтобы функции удовлетворяли условию Hölder'а, а рассматриваются сингулярные интегралы, как операторы в гильбертовых пространствах суммируемых функций. Существенную роль в этом исследовании играют некоторые ортогональные системы полиномов, которые выступают здесь вместо функций $\cos n\theta$, $\sin n\theta$ $(n=1,2,3,\dots)$, как известно, переводимых оператором Hilbert'a
$$ HF=\frac1{2\pi}{\int^\pi_{-\pi}}'F(\varphi)\operatorname{ctg}\frac{\theta-\varphi}2\,d\varphi $$
соответственно в $\sin n\theta$, $-\cos n\theta$ (штрих у знака интеграла означает, что интеграл рассматривается, как главное значение в смысле Cauchy).