К вопросу о наилучшем приближении абсолютно монотонных и некоторых других функций в метрике $L$ при помощи тригонометрических полиномов

Изучается вопрос о движении корней при дифференцировании разностей вида $T(x)-\varphi(x)$, где $T(x)$ – тригонометрический полином, а $\varphi(x)$ – кратно монотонная функция.
Доказывается, что для любой аналитической в интервале $(0,2\pi)$ функции вида
$$ f(x)=\sum_{k=0}^\infty a_kx^k \quad\text{или}\quad f(x)=\int_{2n}^\infty x^s\,d\sigma(s), $$
где все $a_k\geqslant0$ или, соответственно, $\sigma(s)$ – не убывающая в промежутке $[2n,\infty)$ функция, среди тригонометрических полиномов $T_n(x)$ порядка $\leqslant n$ наилучшее приближение в метрике $L$ осуществляет тот полином $T_n^*(x)=T_n(f;x)$, который интерполирует функцию $f(x)$ в точках $x_k=\frac{k\pi}{n+1}$ ($k=1,2,\dots,2n+1$), и находится точная величина наилучшего (в $L$) приближения $E_n(f)_L$ для каждой такой функции, а также для некоторых других функций.