О числе подгрупп абелевой $p$-группы

Доказывается теорема: число подгрупп порядка $p^\alpha$ абелевой группы $\mathfrak B$ порядка $p^n$ и ранга $d$ сравнимо по модулю $p^d$ с числом подгрупп порядка $p^\alpha$ элементарной абелевой группы порядка $p^n$. Попутно доказывается ряд других предложений о числе подгрупп абелевой группы.