Количественная концепция аппроксимационной теории Кронекера

Основным результатом аппроксимационной теории Кронекера является установление необходимого и достаточного критерия для того, чтобы система неравенств
$$ \biggl|\sum_{i=1}^m\theta_{ij}x_i-y_j-\alpha_j\biggr|<\frac1t \quad (1\le j\le n). $$
где $\theta_{ij}$ и $\alpha_j$ – данные вещественные числа, имела при любом $t>0$ решения в целых $x_i$, $y_j$. В настоящей статье ставится вопрос о необходимом и достаточном условии для существования у системы неравенств
$$ \biggl|\sum_{i=1}^m\theta_{ij}x_i-y_j-\alpha_j\biggr|<\frac{c_1}t \quad (1\le j\le n). $$
такого целочисленного решения $x_i$, $y_j$, что
$$ |x_i|<c_2\varphi(t) \quad (i\le 1\le m). $$
где $c_1$ и $c_2$ –положительные постоянные, а $\varphi(t)$ – любая положительная непрерывная неубывающая функция от $t$. Задача получает полное решение в терминах теории Кронекера.