О методе С. А. Чаплыгина в простой и обобщенной задачах Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений

Для решения задачи Коши системы
\begin{equation} \frac{dx_i}{dt}=a_i(t,x_1,\dots,x_n), \qquad i=1,\dots,n, \end{equation}
где кусочно-непрерывные по $t$ и непрерывные по $x_j$ функции $a_i$ удовлетворяют условию единственности решения задачи Коши, доказывается теорема, обобщающая первую часть теоремы Б. Н. Бабкина [1].
В предположении, что кусочно-гладкое решение обобщенной задачи Коши для системы (1)
$$ x_i(t_i)=l_i, \qquad i=1,\dots,n, $$
существует на отрезке, для этого решения доказывается теорема Чаплыгина (об оценках). Доказывается также существование кусочно-гладкого на отрезке решения обобщенной задачи Коши и даются его оценки.
Полученные результаты применяются к уравнению $n$-го порядка, а также к сходным задачам, в которых $x_i$ заданы в моменты пересечения $x(t)$ с поверхностями $W(t,x_1,\dots,x_n)=\mathrm{const}$.