Об интегрировании почти-периодических функций со значениями из банахова пространства

Строится пример почти-периодической функции $f(t)$ со значениями из пространства Банаха ограниченных последовательностей $l^{\infty}$, интеграл которой $\displaystyle F(t)=\int^t_0f(\eta)\,d\eta$ ограничен, не почти-периодичен и для которого существует среднее значение $\displaystyle\lim_{T\to\infty}\frac1T\int^T_0F(t)\,dt$.
Доказывается теорема: если для интеграла $F(t)$ почти-периодической функции $f(t)$ со значениями из произвольного банахова пространства среднее значение $\displaystyle\lim_{T\to\infty}\frac1T\int^{x+T}_xF(t)\,dt$ существует равномерно по $x$ ($-\infty<x<\infty$) и для всякого $\displaystyle L>0\sup_x\frac{1}{L}\int^{x+L}_{x}\|F(t)\|\,dt<\infty$, то $F(t)$ есть почти-периодическая функция.