О гипотезе Кизини

Гипотеза Кизини утверждает, что для каспидальной кривой $B\subset\mathbb P^2$ общий морфизм $f$, $\deg f\geqslant 5$, гладкой проективной поверхности на $\mathbb P^2$, разветвленной вдоль $B$, единствен с точностью до изоморфизма. В статье доказано, что если $\deg f$ больше, чем значение некоторой функции, зависящей от степени, рода и числа каспов кривой $B$, то гипотеза Кизини выполнена для $B$. Это неравенство имеет место для почти всех общих морфизмов. В частности, оно выполняется для общих морфизмов поверхностей с обильным каноническим классом, заданных линейной подсистемой $m$-го канонического класса, $m\in\mathbb N$.
Кроме того, в статье приведены примеры пар кривых $B_{1,m},B_{2,m}\subset \mathbb P^2$ ($m\in\mathbb N$, $m\geqslant 5$) плоских каспидальных кривых таких, что:
(i) $\deg B_{1,m}=\deg B_{2,m}$ и в $\mathbb P^2$ можно найти гомеоморфные друг другу трубчатые окрестности этих кривых, но пары $(\mathbb P^2,B_{1,m})$ и $(\mathbb P^2,B_{2,m})$ негомеоморфны;
(ii) $B_{i,m}$ – дискриминантная кривая общего морфизма $f_{i,m}\colon S_i\to\mathbb P^2$, $i=1,2$, поверхности общего типа $S_i$;
(iii) $S_1$ и $S_2$ – гомеоморфные поверхности (рассматриваемые как четырехмерные действительные многообразия);
(iv) морфизм $f_{i,m}$ задается трехмерной линейной подсистемой из $m$-канонического класса поверхности $S_i$.
Библиография: 29 наименований.