Игра на универсуме множеств

В теории множеств без аксиомы регулярности рассматривается игра двух участников на универсуме множеств. В этой игре игроки выбирают по очереди элемент данного множества, элемент этого элемента и т. д.; игрок выигрывает, если его противник не может сделать никакого следующего хода, т. е. если ему удалось выбрать пустое множество. Выигрышные множества, т. е. множества, допускающие выигрышную стратегию для одного из игроков, образуют естественную иерархию с уровнями, индексированными ординалами (в конечном случае ординал указывает наименьшую длину выигрышной стратегии). Показано, что класс всех наследственно выигрышных множеств является внутренней моделью, содержащей все фундированные множества, и что каждое из четырех возможных неравенств между универсумом, классом наследственно выигрышных множеств и классом фундированных множеств непротиворечиво. Что касается класса выигрышных множеств, либо он совпадает со всем универсумом, либо на нем нарушается много аксиом теории множеств. Несколько неожиданно, что аксиома регулярности не входит в их число: нарушение этой аксиомы совместимо с ее релятивизацией на выигрышные множества. Затем устанавливаются более тонкие свойства выигрышных нефундированных множеств. Описаны все классы ординалов, для которых непротиворечиво, что выигрышные множества без минимальных (в смысле принадлежности) элементов находятся в точности на уровнях, индексированных ординалами данного класса. В частности, показано, что если некоторый четный уровень иерархии выигрышных множеств содержит множество без минимальных элементов, то и все более высокие уровни содержат такие множества; и что нарушение аксиомы регулярности влечет существование множеств без минимальных элементов на всех нечетных уровнях, но совместимо как с их отсутствием на всех четных уровнях, так и с появлением на произвольном четном непредельном или счетно-конфинальном уровне. Для получения результатов о непротиворечивости предложен новый метод построения моделей с нефундированными множествами. Наконец, рассматривается, насколько длинной может быть эта игра в общем случае. Показано, что, хотя существуют игры любой конечной длины, для почти всех (в смысле определенной естественной вероятности) наследственно конечных фундированных множеств игра заканчивается очень быстро: либо за один, либо за три хода. Как следствие, первый игрок выигрывает почти всегда. Этот результат, как и результаты о выигрышных множествах без минимальных элементов, показывает глубокое различие между четно- и нечетно-выигрышными множествами: последние более редки и сложны.
Библиография: 24 наименования.