Обобщение теорем Ф. Холла и Н. Блэкберна и применение их к нерегулярным $p$-группам

В работе улучшается оценка для числа циклических подгрупп в конечной $p$-группе, принадлежащая Ф. Холлу. Из полученного результата следует, что если $p$-группа $G$ не абсолютно регулярна и не группа максимального класса, то 1) число решений уравнения $x^p=1$ в $G$ равно $p^p+k(p-1)p^p$, где $k$ – неотрицательное целое число; 2) если $n>1$, то число решений уравнения $x^{p^n}=1$ в $G$ кратно $p^{n+p-1}$. Это позволило усилить важные теоремы Ф. Холла и Н. Блэкберна о существовании нормальных подгрупп простой экспоненты. Последние результаты позволяют дать некоторую факторизацию $p$-групп с абсолютно регулярной подгруппой Фраттини. Другим применением полученных результатов является теорема о числе подгрупп максимального класса в $p$-группе.