Sur les groupes de congruence des variétés abéliennes. II

Работа посвящена положительному решению конгруэнц проблемы для абелевых многообразий, определенных над полем алгебраических чисел $k$. Иными словами, доказывается, что любая подгруппа конечного индекса в группе $k$-рациональных точек абелева многообразия содержит подгруппу точек, сравнимых (в естественном смысле) с нулевой точкой по модулю некоторого дивизора поля $k$.
В работе [6] автор редуцировал это утверждение к соотношениям (для любого простого числа $p$)
\begin{equation} H^1(\frak g,V_p)=0 \tag{1} \end{equation}
где $V_p=T_p\otimes\mathbf Q_p$, $T_p$ – модуль Тэйта абелева многообразия, $\mathbf Q_p$ – поле $p$-адических чисел, а $\frak g$ – алгебра Ли той замкнутой подгруппы в группе $GL(V_p)$, которая задается действием группы Галуа алгебраического замыкания поля $k$ в пространстве $V_p$. В $(^6)$ эти соотношения были доказаны для эллиптических кривых и абелевых многообразий $CM$-типа. Теперь они доказываются для произвольного абелева многообразия.
Вот идея доказательства. Рассмотрим произвольный простой дивизор поля $k$, который не делит $p$ и по модулю которого абелево многообразие имеет хорошую редукцию. Обозначим через $F$ автоморфизм Фробениуса, соответствующий этому простому дивизору. Можно считать, что $F\in GL(T_p)$, и тогда логарифмирование определяет соответствующий элемент $x=\log F\in\frak g$.
Из доказанного А. Вейлем аналога гипотезы Римана для абелевых многообразий сразу же следует, что собственные значения эндоморфизма $x$ обладают следующими свойствами: 0 не является собственным значением; сумма и разность собственных значений не является собственным значением. Из первого свойства вытекает, что $x$ является обратимым эндоморфизмом в $V_p$. Поэтому любой одномерный коцикл $f\colon\frak g\to V_p$ можно так изменить в его классе когомологий, что $f(x)=0$. При этом условии определение коцикла дает:
\begin{equation} f([x,y])=x\cdot f(y) \tag{2} \end{equation}
для всех $y\in\frak g$. Иначе говоря, линейное преобразование $f\colon\frak g\to V_p$ коммутирует с $x$, который действует на $V_p$ естественным образом, а на $\frak g$ при помощи присоединенного представления. Легко вычислить, каковы собственные значения $x$, действующего таким образом в $\frak g$. Так как $\frak g\subset\operatorname{End}V_p=V_p\otimes V_p^*$ ($V_p^*$ – дуальное пространство), то все они должны иметь вид $\lambda-\mu$, где $\lambda$ и $\mu$ – собственные значения $x$ при его естественном действии в $V_p$. Ввиду указанного выше свойства собственных значений эндоморфизма $x$ ни одно из этих чисел не совпадает с собственным значением $x$ в $V_p$. Поэтому соотношение (2) показывает, что $f=0$.
В работе доказывается более общее соотношение, чем (1):
$$ H^n(\frak g,V_p)=0 $$
для всех $n\geqslant 0$. Приведенное выше рассуждение заменяется при этом следующим утверждением.
Пусть $\frak g$ – алгебра Ли, $\frak g\subset\operatorname{End}V$, $V$ – конечномерное векторное пространство $x\in\frak g$ и множество $L$ собственных значений эндоморфизма $x$ обладает свойством: если $\lambda_1,\dots,\lambda_{N+1},\mu_1,\dots,\mu_N\in L$, то $\lambda_1+\dots+\lambda_{N+1}\ne\mu_1+\dots+\mu_N$. Тогда $H^n(\frak g,V)=0$ для всех $n\leqslant N$.
Доказывается, что собственные значения эндоморфизма $x=\log F\in\operatorname{End}V_p$ обладают этими свойствами для всех $N\geqslant 0$.