Поведение асимптотики положительного спектра семейства периодических задач Штурма–Лиувилля при непрерывном переходе от дефинитной к индефинитной задаче

Рассматривается задача о спектре зависящего от параметра $a\in\mathbb R$ семейства периодических задач Штурма–Лиувилля для уравнения вида $u''+\lambda^2(g(x)-a)u=0$, где $\lambda$ – спектральный параметр. Предполагается, что $g\colon\mathbb R\to\mathbb R$ – достаточно гладкая периодическая функция, имеющая на периоде, равном $2\pi$, один простой максимум $g(x_{\max})= a_1>0$ и один простой минимум $g(x_{\min})=a_2>0$. Кроме того, предполагается, что функции $g(x-x_{\min})$ и $g(x-x_{\max})$ являются четными. При этих предположениях на всем интервале $0\le a<a_1$, включая окрестности точек $a=a_1$ и $a=a_2$, явно вычислены первые два члена асимптотики положительных собственных значений. Показано, что при $\lambda\gg1$ спектр состоит из двух ветвей $\lambda=\lambda_{\pm}(a,p)$, нумеруемых выбором знака $\pm$ и целым числом $p\in\mathbb Z^+$, $p\gg1$. Получена единая интерполяционная формула, описывающая поведение асимптотики ветвей спектра при переходе от дефинитной (классической) при $a<a_2$ к индефинитной при $a>a_2$ задаче.
Библиография: 26 наименований.