Поведение тета-рядов рода $n$ при модулярных подстановках

Пусть $F$ – целочисленная симметрическая положительно определенная матрица порядка $m\geqslant1$ с четной диагональю. Для тета-ряда рода $n\geqslant1$ матрицы $F$
$$ \theta_F^{(n)}(Z)=\sum_x^F\exp(\pi i\operatorname{Tr}(^tXFXZ)), $$
где $X$ пробегает все целочисленные $m\times n$-матрицы, $Z$ – точка верхней полуплоскости Зигеля рода $n$, находится конгруэнц-подгруппа группы $Sp_n(\mathbf Z)$, относительно которой $\theta_F^{(n)}(Z)$ является зигелевой модулярной формой с системой мультипликаторов (аналог группы $\Gamma_0(q)$). Аналогичная задача решается для тета-рядов рода $n$ со сферическими функциями. Для четных $m$ вычисляются соответствующие системы мультипликаторов.
Библиография: 5 названий.