Об интегральных неравенствах для тригонометрических полиномов и их производных

Пусть $\Phi^+$ есть множество функций $\varphi$, определенных, не убывающих на $(0,\infty)$ и допускающих представление $\varphi(u)=\psi(\ln u)$, где функция $\psi$ – выпуклая (вниз) на $(-\infty,\infty)$. Классу $\Phi^+$ принадлежат, к примеру, функции $\ln u$, $\ln^+u$, $u^p$ при $p>0$, а также любая функция $\varphi$, выпуклая на $(0,\infty)$. В работе, в частности, доказано, что если $\varphi\in\Phi^+$, то для любого тригонометрического полинома $T_n$ порядка $n$ при любом натуральном $r$ имеет место неравенство
$$ \int_0^{2\pi}\varphi\bigl(\bigl|T_n^{(r)}(t)|\bigr)\,dt\leqslant\int_0^{2\pi}\varphi\bigl(n^r\bigl|T_n(t)\bigr|\bigr)\,dt; $$
это неравенство можно считать обобщением неравенств С. Н. Бернштейна и А. Зигмунда.
Библиография: 16 названий.