Два критерия слабой обобщенной локализации для кратных тригонометрических рядов Фурье функций из $L_p$, $p\geqslant1$

Вводится понятие слабой обобщенной локализации почти всюду. Для кратного ряда Фурье функции $f$ справедлива на множестве $E$ ($E$ – произвольное множество положительной меры, $E\subset T^N=[-\pi,\pi]^N$) слабая обобщенная локализация почти всюду, если из условия $f(x)\in L_p(T^N)$, $p\geqslant1$, $f=0$ на $E$, следует сходимость указанного ряда почти всюду на некотором подмножестве положительной меры $E_1$ множества $E$. Для широкого класса множеств $\{E\}$, $E\subset T^N$, доказан ряд утверждений, показывающих, что для справедливости на множестве $E$ в классах $L_p$, $p\geqslant1$, слабой обобщенной локализации при суммировании по прямоугольникам необходимо и достаточно, чтобы множество $E$ обладало определенными свойствами. При этом найдена точная геометрия и структура подмножества $E_1$ множества $E$, на котором кратный ряд Фурье сходится почти всюду к нулю.
Библиография: 13 названий.