Об одном классе экстремальных задач

Для операторов $S>0$, удовлетворяющих операторному тождеству $AS-SA^*=i\Pi_1/\Pi_1^*$, $\Pi_1=[\Phi_1,\Phi_2]$, исследуется матрица-функция $\rho(\lambda,\mu)=\Phi_2(E-\lambda A^*)^{-1}S^{-1}(E-\mu A)^{-1}\Phi_2$. С оператором $S$ связана задача описания функций обложения $\sigma$, дающих представления $S=\int_{-\infty}^\infty(E-At)^{-1}\Phi_2\,d\sigma(t)\Phi_2^*(E-A^*t)^{-1}$. Доказывается, что максимальный скачок функций обложения в точке $\lambda_0$ ($\operatorname{Im}{\lambda_0}=0$) равен $\rho^{-1}(\lambda_0,\lambda_0)$. В случае, когда задана последовательность операторов $S_k$, действующих в пространствах $H_k$ ($H_1\subset H_2\subset\cdots$), изучается асимптотика $\rho_k(\lambda_0,\overline\lambda_0)$ при $\operatorname{Im}{\lambda_0}\geqslant0$, $k\to\infty$. В случае матриц Тёплица $S$ из асимптотики $\rho_k(\lambda_0,\overline\lambda_0)$ вытекает первая предельная теорема Сегё.
Библиография: 19 названий.