О группах Морделла–Вейля и Шафаревича–Тейта для эллиптических кривых Вейля

Пусть $E$ – эллиптическая кривая Вейля над полем рациональных чисел $\mathbf Q$, $L(E,\mathbf Q,s)$ – $L$-функция $E$ над $\mathbf Q$, $\varepsilon=(-1)^{g+1}$, где $g$ – порядок нуля $L(E,\mathbf Q,s)$ в $s=1$. Пусть $K$ – мнимо-квадратичное расширение $\mathbf Q$ с дискриминантом $D\equiv\textrm{квадрат}\pmod{4N}$, $y\in E(K)$ – точка Хеегнера, $A=E$ при $\varepsilon=-1$, $A$ – нетривиальная форма $E$ над $K$ при $\varepsilon=1$. Доказано, что если $y$ имеет бесконечный порядок (что так, если $(D,2N)=1$, $L'(E,K,1)\ne0)$, то группы $A(\mathbf Q)$ и $Ш(A)$ аннулируются натуральным числом $C$ (в частности, конечны), определяемым по $y$. При $\varepsilon=1$ для некоторых кривых $A$ с $L(A,\mathbf Q,1)\ne0$ доказано совпадение $C^2$ и гипотического порядка $Ш(A)$. Доказана тривиальность $Ш$ для 23-х эллиптических кривых.
Библиография: 21 название.