О поведении траекторий на плоскости Евклида или Лобачевского, накрывающих траектории потоков на замкнутых поверхностях. III

Статья примыкает к предыдущим статьям [1], [2].
Восполнен пробел, допущенный в первой из них при доказательстве альтернативы: при указанных в той статье условиях полутраектория $\widetilde L$ накрывающего потока на универсальной накрывающей плоскости либо ограничена, либо уходит в бесконечность, имея там асимптотическое направление. Для тора при тех же условиях в последнем случае доказана ограниченность отклонения $\widetilde L$ от прямой, отвечающей этому направлению. Показано, что для любой (полу)бесконечной непрерывной несамопересекающейся кривой $L$ на замкнутой поверхности и любого $r>0$ существует такой поток класса $C^\infty$ с инвариантной мерой, имеющей наперед заданную $C^\infty$-гладкую всюду положительную плотность, что некоторая положительная полутраектория потока аппроксимирует $L$ с точностью до $r$. (Во второй из упомянутых статей автора было доказано аналогичное аппроксимационное утверждение, в котором не было речи об инвариантной мере.)