Теорема сравнения для систем дифференциальных уравнений и ее применение для оценки средней временной выгоды от сбора ресурса

Доказан один из вариантов теоремы сравнения для систем обыкновенных дифференциальных уравнений, следствием которой является свойство монотонности решений относительно начальных данных. Рассматривается задача оценки средней временной выгоды от добычи ресурса для структурированной популяции, состоящей из отдельных видов $x_1,\ldots,x_n$, либо разделенной на $n$ возрастных групп. Предполагаем, что динамика популяции при отсутствии эксплуатации задана системой дифференциальных уравнений $\dot x =f(x)$, а в моменты времени $\tau(k)=kd$, $d>0$, из популяции извлекается некоторая доля биологического ресурса $u(k)=(u_1(k),\ldots,u_n(k))\in [0,1]^n$, $k=1,2,\ldots.$ Показано, что при помощи теоремы сравнения можно найти оценки средней временной выгоды в случаях, когда неизвестны аналитические решения соответствующих систем. Полученные результаты проиллюстрированы для моделей взаимодействия двух видов таких, как симбиоз и конкуренция. Показано, что для моделей симбиоза, комменсализма и нейтрализма наибольшее значение средней временной выгоды достигается при одновременной эксплуатации ресурса двух видов. Для популяций, между которыми наблюдается взаимодействие типа «конкуренция» выделены случаи, в которых целесообразно производить добычу ресурса только одного вида или добычу ресурса двух видов.