О спектре многомерного периодического магнитного оператора Шрёдингера с сингулярным электрическим потенциалом

Для периодического $n$-мерного оператора Шрёдингера при $n\geqslant 4$ доказана абсолютная непрерывность спектра, если магнитный потенциал $A$ и электрический потенциал $V+\sum f_j\delta _{S_j}$ удовлетворяют некоторым ограничениям и, в частности, можно предполагать выполнение следующих условий:
(1) магнитный потенциал $A\colon{\mathbb{R} }^n\to {\mathbb{R} }^n$ либо имеет абсолютно сходящийся ряд Фурье, либо принадлежит какому-либо из пространств $H^q_{\mathrm {loc}}({\mathbb{R} }^n;{\mathbb{R}}^n),$ $2q>n-1,$ или $C({\mathbb{R}}^n;{\mathbb{R}}^n)\cap H^q_{\mathrm {loc}}({\mathbb{R}}^n;{\mathbb{R}}^n),$ $2q>n-2;$
(2) функция $V\colon{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$ принадлежит пространству Морри ${\mathfrak L}^{\, 2,\, p},$ $p\in \big( \frac {n-1}2, \frac n2\big],$ периодических функций (с заданной решеткой периодов) и
$$ \lim\limits_{\tau \, \to \, +0}\, \sup\limits_{0\, <\, r\, \leqslant \tau}\, \sup\limits_{x\, \in \, {\mathbb{R}}^n}\, r^2\bigg( \big(v(B^n_r)\big) ^{-1} \int_{B^n_r(x)}|{\mathcal V}(y)|^pdy\bigg) ^{1/p}\leqslant C, $$
где $B^n_r(x)$ — замкнутый шар радиуса $r>0$ с центром в точке $x\in {\mathbb{R}}^n,$ $B^n_r=B^n_r(0),$ $v(B^n_r)$ — объем шара $B^n_r$, $C=C(n,p;A)>0;$
(3) $\delta _{S_j}$ — $\delta $-функции, сосредоточенные на периодических $C^1$-(кусочно-)гладких гиперповерхностях $S_j,$ $f_j\in L^p_{\mathrm {loc}}(S_j),$ $j=1,\dots ,m.$ На гиперповерхности $S_j$ накладываются дополнительные геометрические условия, от которых зависит выбор числа $p\geqslant n-1.$ В частности, если $S_j$ — $C^2$-гладкие гиперповерхности и для какого-либо единичного вектора $e$ из некоторого плотного множества на единичной сфере $S^{n-1},$ зависящего от магнитного потенциала $A,$ нормальная кривизна гиперповерхностей $S_j$ вдоль направления вектора $e$ во всех точках касания с прямыми $\{ x_0+te\colon t\in\mathbb{R}\},$ $x_0\in {\mathbb{R}}^n,$ ненулевая, то можно выбрать число $p>\frac {3n}2-3,$ $n\geqslant 4.$