Об одном линейном автономном дескрипторном уравнении с дискретным временем. II. Каноническое представление и структурные свойства

В статье изучается линейное однородное автономное дескрипторное уравнение с дискретным временем
$$B_0g(k+1)+\sum_{i=1}^mB_ig(k+1-i)=0,\quad k=m,m+1,\ldots,$$
с прямоугольными (в общем случае) матрицами $B_i.$ Такое уравнение возникает при исследовании задач управления системами с многими соизмеримыми запаздываниями в управлении: задачи $0$-управляемости, задачи синтеза регулятора типа обратной связи, обеспечивающего успокоение решения исходной системы, задачи модальной управляемости (управляемости коэффициентов характеристического квазиполинома), задачи спектральной приводимости и задачи синтеза наблюдателей для двойственной системы наблюдения. Основной метод представленного исследования базируется на замене исходного уравнения эквивалентным уравнением в «расширенном» пространстве состояний, которому сопоставили некоторый пучок матриц. Это позволило исследовать ряд структурных свойств исходного уравнения посредством использования канонической формы пучка матриц, а полученные результаты выразить в терминах минимальных индексов и элементарных делителей. В статье получен критерий существования нетривиального допустимого начального условия исходного уравнения, проверка которого основана на вычислении минимальных индексов и элементарных делителей пучка матриц. Изучена следующая задача: требуется построить решение исходного уравнения в виде $g(k+1)=T\psi(k+1),\,k=1,2\ldots,$ где $T$ — некоторая матрица, последовательность векторов $\psi(k+1),\,k=1,2,\ldots,$ удовлетворяет уравнению $\psi(k+1)=S\psi(k),\,k=1,2,\ldots,$ а квадратная матрица $S$ имеет наперед заданный спектр (или часть спектра). Полученные результаты позволяют строить решения исходного дескрипторного уравнения с наперед заданными асимптотическими свойствами, например, равномерно асимптотически устойчивые.