О спектре периодического магнитного оператора Дирака

Рассматривается периодический трехмерный оператор Дирака $\widehat {\mathcal D}+\widehat W= \sum \widehat \alpha _j(-i\frac {\partial }{\partial x_j}-A_j)+\widehat V_0+ \widehat V_1$. Векторный потенциал $A\colon\mathbb R^3\to \mathbb R^3$ и функции $\widehat V_s$, $s=0,1$, со значениями в пространстве эрмитовых $(4\times 4)$-матриц являются периодическими с общей решеткой периодов $\Lambda \subset \mathbb R^3$. Предполагается, что функции $\widehat V_s$ удовлетворяют коммутационным соотношениям $\widehat V_s\widehat \alpha _j=(-1)^s\widehat \alpha _j\widehat V_s$, $j=1,2,3$, $s=0,1$. Пусть $K$ — элементарная ячейка решетки $\Lambda$. Доказана абсолютная непрерывность спектра оператора $\widehat {\mathcal D}+\widehat W$, если либо $A\in H^q_{\mathrm {loc}}({\mathbb R}^3;{\mathbb R}^3)$, $q>1$, либо $\sum \| A_N\| <+\infty $, где $A_N$ — коэффициенты Фурье магнитного потенциала $A$, а функция $\widehat V=\widehat V_0+\widehat V_1$ принадлежит пространству $L^3_w(K)$ и для нее при всех достаточно больших числах $t>0$ выполняется оценка ${\mathrm {mes}}\, \{ x\in K\colon\| \widehat V(x)\| >t\} \leqslant C t^{-3}$, где $\mathrm {mes}$ — мера Лебега и константа $C>0$ зависит от $A$ (если $A\equiv 0$, то $C$ — универсальная константа). К функции $\widehat V=\widehat V_0+\widehat V_1$ можно добавить периодическую функцию такого же вида, имеющую кулоновские особенности $|x-x_m|^{-1\widehat w_m$} в окрестностях точек $x_m\in K$, $m=1,\ldots ,m_0$, и непрерывную при $x\notin x_m+\Lambda $, $m=1,\ldots ,m_0$, если $\| \widehat w_m\| \leqslant C_1$ для всех $m$, где константа $C_1>0$ также зависит от магнитного потенциала $A$ (и не зависит от $m_0$).