Elliptic equations with arbitrarily directed translations in half-spaces

Исследуется задача Дирихле в полупространстве для эллиптических дифференциально-разностных уравнений с операторами, представляющими собой суперпозиции дифференциальных операторов и операторов сдвига в произвольных направлениях, параллельных краевой гиперплоскости. На краевую функцию задачи накладывается условие суммируемости. Указанные уравнения, существенно обобщающие классические эллиптические уравнения в частных производных, возникают в различных моделях математической физики, для которых имеют место нелокальные и (или) неоднородные свойства процесса или среды: теория многослойных пластин и оболочек, теория диффузионных процессов, биоматематические приложения, модели нелинейной оптики и др. В теоретическом плане интерес к таким уравнениям обусловлен их нелокальной природой  — они связывают между собой значения неизвестной функции (и ее производных) не в одной точке, а в разных, что делает неприменимыми многие классические методы.
Для рассматриваемой задачи устанавливается разрешимость в смысле обобщенных функций, строится интегральное представление решения формулой пуассоновского типа, доказывается его бесконечная гладкость вне краевой гиперплоскости и его равномерное стремление к нулю (вместе со всеми его производными) при стремлении времениподобной независимой переменной к бесконечности. Доказывается степенная оценка скорости указанного равномерного затухания решения и каждой его производной.